Sự tương đương của định lý Cêva và định lý Menênaúyt

Gửi tới các thầy cô yêu môn Hình THCS một dạng bài tập mà tôi thích: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy có thể đa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng và ngợc lại . Tôi đã biết cách chứng minh sự tơng đơng giữa định lý Ceva và định lý Mênênaúyt nhng không dành cho học sinh trung học cơ sở. Tôi cha thấy cách chứng minh tơng đơng giữa hai định lý này bằng kiến thức của THCS ở bất cứ tài liệu nào. Hiện nay tôi đã chứng minh nhng cha chắc chắn lắm, tôi đa một số bài tập tơng tự lên cho các thầy cô tham khảo. Nghỉ hè có nhiều thời gian hơn tôi xem xét lại và upload phần chứng minh tổng quát rất mong đợc sự giúp đỡ của các thầy cô! Một số ví dụ: Bài tập1: Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. Chứng minh: CF, BE , AM đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi AM EF = K Theo định lý Talét: KM AK BF AF = ; AK KM AE CE = ; và 1 = CM BM Suy ra BF AF . CM BM . AE CE = 1 áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đờng thẳng // BC cắt BE tại N, AM BE = I Ta có BF AF = BC AN ; MC BC =2; AI MI = AN BM Suy ra BF AF . MC BC . AI MI = BC AN .2. AN BM =1 áp dụng định lý Menenauyt cho ABM thì F,I,C thẳng hàng. Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy. Bài tập 2: Cho đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AF = AE; BF = BD; CE = CD Suy ra: BF AF . CD BD . AE CE = BD AE . CE BD . AE CE =1 áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) A F M B C K E E A F M B C N I B C F A E D B C F A E D I N Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N AD CF = I. Ta có : CE AE . DB CB . AI DI = CD AF . BF CB . AN CD = BF AF . AN CB = AN CB CB AN . =1 áp dụng định lí Menenauyt cho ACD thì AD, BE, CF đồng quy. Bài tập 3: Cho tam giác ABC đờng cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N Vì HA là phân giác của góc A, HA là đờng cao nên AM = AN Có: BH MA BD AD = ; AN CH AE CE = 1 == AN CH CH BH BH MA AE CE CH BH BD AD . áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE, CD đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lợt tại M, N, K Gọi AH BE = I Ta có: BD AD = BH MA = BH AN và AK BH AI HI = . BD AD CH BH . AI HI = AK BH HC BC BH AN = AK BC HC AN . = AE CE CE AE . =1 áp dụng định lí Menenauyt cho ABH thì D,I,C thẳng hàng. Vậy AH, BE, CD đồng quy. Bài tập 4:Cho ABC vuông tại A, đờng cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi D = AB CE, I = AC BG Đặt AB = c, AC = b. Có c 2 = BK.BC; b 2 = CK.BC CK BK = 2 2 b c và BD AD = c b ; AI CI = c b (do AIB CIG) BD AD . CK BK . AI CI = c b . 2 2 b c . c b =1 A B C D M N H E A B C D M N H E K I H A B G E C K D I F H A B G E C K D I F M O áp dụng định lý Ceva cho ABC thì AK, BG, CE đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BG tại M. AK BG tại O. Ta có BD AD = c b ; AO KO = AM BK suy ra BD AD . CK BC . AO KO = c b . CK BC . AM BK = c b . AM BC . CK BK = c b . AI CI . 2 2 b c = c b . c b 2 2 b c =1 áp dụng định lý Menenauyt cho ABK thì D, O, C thẳng hàng. Vậy AK, BG, CE đồng quy. . việc chứng minh ba điểm thẳng hàng và ngợc lại . Tôi đã biết cách chứng minh sự tơng đơng giữa định lý Ceva và định lý Mênênaúyt nhng không dành cho học. quy) Gọi AM EF = K Theo định lý Talét: KM AK BF AF = ; AK KM AE CE = ; và 1 = CM BM Suy ra BF AF . CM BM . AE CE = 1 áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: