bai 7. Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d’ có phương trình là: r x − x0 y − y0 z − z0 d: = = qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp: u = (a; b; c) a b c ' ' ' u r x − x0 y − y0 z − z0 ' ' ' qua M 0' ( x0 ; y0 ; z0 )có vtcp: u ' = (a '; b '; c ') d ': = = a' b' c' Giữa d d’ có vị trí tương đối nào? VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 d: = = a b c ' ' ' x − x0 y − y0 z − z0 d ': = = a' b 'r u u u u u r uc 'uu u r + d chéo d’ ⇔ [u , u '].M M '0 ≠ r u d M0 M’0 u r u' d’ uuuu u u ur r Nếu d d’ chéo vectơ M M ' u r u ' có quan hệ gì? u VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 d: = = a b c ' ' ' x − x0 y − y0 z − z0 d ': = = a' b 'r u u u u u r uc 'uu u r r u d M0 + d chéo d’ ⇔ [u , u '].M M '0 ≠ r u uuuu r u u uu r + d cắt d’ ⇔ [u , u '].M M '0 = a : b: c ≠ a’ : b’ : c’ r Nếu d d’ cắt vectơ u r u u ' có quan hệ gì? u r u' M’0 d’ uuuu u u ur M0M0 ' VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG r u Vị trí tương đối hai đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 d: = = a b c ' ' ' x − x0 y − y0 z − z0 d ': = = a' b 'r u u u u u r uc 'uu u r d M0 u r u' M’0 + d chéo d’ ⇔ [u , u '].M M '0 ≠ r u uuuu r u u uu r + d cắt d’ ⇔ [u , u '].M M '0 = a : b: c ≠ a’ : b’ : c’ + d // d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x’0 - x0) : (y’0 - y0 ) : (z’0 - z0 ) r Nếu d d’ song song vectơ u r u ' u có quanuhệugì? Chúng có u u ur u u M0M quan hệ với vectơ ' ? d’ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG r u Vị trí tương đối hai đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 d: = = a b c ' ' ' x − x0 y − y0 z − z0 d ': = = a' b 'r u u u u u r uc 'uu u r u r u' M0 M’0 d d’ + d chéo d’ ⇔ [u , u '].M M '0 ≠ r u uuuu r u u uu r + d cắt d’ ⇔ [u , u '].M M '0 = a : b: c ≠ a’ : b’ : c’ + d // d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x’0 - x0) : (y’0 - y0 ) : (z’0 - z0 ) + d ≡ d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ = (x’0 - x0) : (y’0 - y0 ) : (z’0 - z0 ) r Nếu d d’ trùng vectơ u r u ' u có quanuhệugì? Chúng có u u ur u u M0M quan hệ với vectơ ' ? VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d’ cho phương trình sau: x −1 y − z − a) d : = = , x − y +1 z + d ': = = −2 ⇒ d d’ cắt r u r uuuu u u uu r r u uuuu r u u uu r u = (2;1; 4), u ' = (3; −2;1), M M '0 = (5; −8; −5) ⇒ [u, u '].M M '0 = b) d : x −1 y − z = = , −2 d ': x y+5 z−4 = = −2 ⇒ d d’ chéo r u r uuuu u u uu r r u uuuu r u u uu r u = (2; −2;1), u ' = ( −2;3;0), M M '0 = ( −1; −7; 4) ⇒ [u, u '].M M '0 = 26 ≠ x−2 y z +1 c) d : = = , −6 −8 uuuu u u uu r x−7 y−2 z d ': = = −6 12 ⇒ d // d’ M M '0 = (5; 2;1) ⇒ : −6 : −8 = −6 : :12 ≠ : :1 d) d : x −1 y − z − = = , d ': x−7 y −6 z −5 = = ⇒ d ≡ d’ uuuu u u uu r M M '0 = (6; 4; 2) ⇒ : : = : : = : : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng (α) phương trình là: r x − x0 y − y0 z − z0 d: = = qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp: u = (a; b; c) a b c (α) : Ax + By + Cz + D = rr Ta có: u.n = Aa + Bb + Cc r có vtpt n = ( A; B; C ) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x − x0 y − y0 z − z0 d r d: = = u a b c (α) : Ax + By + Cz + D = rr Ta có: u.n = Aa + Bb + Cc + d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ α Nếu d cắt (α) tích: hay khác 0? rr u.n r n VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng r x − x0 y − y0 z − z0 u d: = = a b c (α) : Ax + By + Cz + D = rr Ta có: u.n = Aa + Bb + Cc α + d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠  Aa + Bb + Cc = + d // (α) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ M0 rr Nếu d // (α) tích: u.n hay khác 0? Điểm M0 mp(α) có mối quan hệ gì? r n d VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x − x0 y − y0 z − z0 d: = = a b c (α) : Ax r r + Cz + D = + By Ta có: u.n = Aa + Bb + Cc r u M0 α + d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠  Aa + Bb + Cc = + d // (α) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ rr  Aa + Bb + Cc = + d ⊂ (α) ⇔  Nếu d ⊂ (α) tích: u.n 0 + khác 0?  Ax0 + ByhayCz0 + D =Điểm M mp(α) có mối quan hệ gì? r n d VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng d x − x0 y − y0 z − z0 d: a = b = c r u (α) : Ax r r + Cz + D = + By Ta có: u.n = Aa + Bb + Cc + d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ α  Aa + Bb + Cc = + d // (α) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  Aa + Bb + Cc = + d ⊂ (α) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D = + d ⊥ (α) ⇔ a : b : c = A : B : C r n Nếu d r (α) hai vectơ ⊥ r u n gì? có mối quan hệ Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x −1 y +1 z d: = = , −1 x − y z +1 d ': = = −1 mặt phẳng (α): x + 2y + z - = a) Xét vị trí tương đối d d’ b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (α) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm Giải: r = d qua điểm M0(1; -1; 0) có vtcp uu (2;1; −1) r d’ qua điểm M’0(3; 0; -1) có vtcp u ' = (−1; 2;1) r u r uuuu u u uu r r u uuuu r u u uu r Cã: [u , u '] = (3; −1;5) vµ M M '0 = (2;1; −1) ⇒ [u, u '].M M '0 = mà : : -1 ≠ -1 : : Vậy d d’ cắt Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x −1 y +1 z d: = = , −1 x − y z +1 d ': = = −1 mặt phẳng (α): x + 2y + z - = b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (α) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm r Giải: b) mp(α) có vtpt n = (1; 2;1) Ta có: rr ru r n.u = 1.2 + 2.1 + 1.(−1) = ≠ 0, n.u ' = 1.(−1) + 2.2 + 1.1 = ≠ Vậy d d’ cắt mp(α) Toạ độ giao điểm M d (α) nghiệm hpt:  x −1 y +1 z = =  −1  x + y + z −1 =  x = /  ⇔  y = −1 / ⇒ M(7/3; -1/3; -2/3)  z = −2 /  Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x −1 y +1 z d: = = , −1 x − y z +1 d ': = = −1 mặt phẳng (α): x + 2y + z - = b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (α) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm Giải: Toạ độ giao điểm M d (α) nghiệm hpt:  x −1 y +1 z = =  −1  x + y + z −1 =  x = /  ⇔  y = −1 / ⇒ M(7/3; -1/3; -2/3)  z = −2 /  Toạ độ giao điểm N d’ (α) nghiệm hpt:  x − y z +1 = =   −1 x + y + z − =   x = 13 /  ⇔  y = −1 / ⇒ N(13/4; -1/2; -5/4)  z = −5 /  Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x −1 y +1 z d: = = , −1 x − y z +1 d ': = = −1 mặt phẳng (α): x + 2y + z - = b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (α) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm Giải: Phương trình đường thẳng MN là: u u  11  uu r Cã MN =  ; − ; ÷ Lấy vectơ phương MN  12 12  r u = (11; −2;7), ta có phương trình đường thẳng MN:  x = / + 11t   y = −1 / − 2t  z = −2 / + 7t  CỦNG CỐ Qua em cần nắm được: + Vị trí tương đối hai đường thẳng cách xét + Vị trí tương đối đường thẳng cách xét + Vận dụng mối quan hệ giữa: đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng quan hệ hai mặt phẳng đề giải tốn viết phương trình đường thẳng thỗ mãn điều kiện cho trước BÀI TẬP VỀ NHÀ Các tập SGK - trang 97 - 99  ... ur u u M0M quan hệ với vectơ '' ? VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d’ cho phương trình sau: x... 2) ⇒ : : = : : = : : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng (α) phương trình... được: + Vị trí tương đối hai đường thẳng cách xét + Vị trí tương đối đường thẳng cách xét + Vận dụng mối quan hệ giữa: đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng quan hệ hai mặt phẳng