bai 7. Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng

Vị trí tương đối của hai đường thẳngVí dụ... Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm đó.. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm đó... Viết phương trình đường thẳn

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d

và d’ có phương trình lần lượt là:

: x x y y z z

d

' :

d

qua có vtcp:M x y z0( ; ; )0 0 0 u ( ; ; )a b c

qua có vtcp:u ' ( '; '; ') a b c

' ' ' '

0 ( ; ; ) 0 0 0

M x y z

Giữa d và d’ có thể có những vị trí tương đối

nào?

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

: x x y y z z

d

' :

d

Nếu d và d’ chéo nhau thì các vectơ

và có quan hệ gì?

u

0 0 '

M M

'

u

u

'

u

d

d’

M0 M’0

+ d chéo d’  [u u M M   , '] 0 '0 0

0 0 0 : x x y y z z

d

' :

d

Nếu d và d’ cắt nhau thì các vectơ

và có quan hệ gì?

u

0 0 '

M M

'

u

+ d chéo d’  [u u M M   , '] 0 '0 0

u

'

u

d

d’

M0 M’0

+ d cắt d’  và a : b: c  a’ : b’ : c’[u u M M   , '] 0 '0 0

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

: x x y y z z

d

' :

d

Nếu d và d’ song song thì các vectơ

và có quan hệ gì? Chúng có quan hệ gì với vectơ ?

u

0 0 '

M M

'

u

+ d chéo d’  [u u M M   , '] 0 '0 0

d’

u

'

u

d

M0

M’0

+ d cắt d’  và a : b: c  a’ : b’ : c’[u u M M  , '] 0 '0 0

+ d // d’  a : b : c = a’ : b’ : c’  (x’x’0 - x0) : (x’y’0 - y0 ) : (x’z’0 - z0 )

0 0 0 : x x y y z z

d

' :

d

Nếu d và d’ trùng nhau thì các vectơ

và có quan hệ gì? Chúng có quan hệ gì với vectơ ?

u

0 0 '

M M

'

u

+ d chéo d’  [u u M M   , '] 0 '0 0

d’

u

'

M0

M’0

+ d cắt d’  và a : b: c  a’ : b’ : c’[u u M M   , '] 0 '0 0

+ d // d’  a : b : c = a’ : b’ : c’  (x’x’0 - x0) : (x’y’0 - y0 ) : (x’z’0 - z0 ) + d  d’  a : b : c = a’ : b’ : c’ = (x’x’0 - x0) : (x’y’0 - y0 ) : (x’z’0 - z0 )

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:



(2;1;4), ' (3; 2;1), ' (5; 8; 5) [ , '] ' 0

u             u                 M M                                              u u M M d và d’ c ắt nhau

(2; 2;1), ' ( 2;3;0), ' ( 1; 7;4) [ , '] ' 26 0

u              u                 M M                                              u u M M d và d’ chéo nhau 

0 ' 0 (5;2;1) 4 : 6 : 8 6 : 9 :12 5 : 2 :1

0 ' 0 (6; 4;2) 9 : 6 : 3 6 : 4 : 2 6 : 4 : 2



 d  d’

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (x’) phương trình lần lượt là:

: x x y y z z

d

(x’) : Ax + By + Cz + D = 0

qua có vtcp:M x y z0( ; ; )0 0 0 u ( ; ; )a b c

có vtpt n ( ; ; )A B C

Ta có: u n    Aa Bb Cc  

2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

: x x y y z z

d



d

u

Nếu d cắt (x’) thì tích:

bằng 0 hay khác 0?

u n 

+ d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc  0

Ta có: u n    Aa Bb Cc  

0 0 0 : x x y y z z

d

(x’) : Ax + By + Cz + D = 0

Nếu d // (x’) thì tích: bằng 0 hay khác 0? Điểm M0 và mp(x’)

có mối quan hệ gì?

u n 

+ d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc  0



d

u

M0

+ d // (x’) 

0

0

Aa Bb Cc

Ax By Cz D







2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

: x x y y z z

d

(x’) : Ax + By + Cz + D = 0

Nếu d  (x’) thì tích: bằng 0 hay khác 0? Điểm M0 và mp(x’)

có mối quan hệ gì?

u n 

+ d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc  0

Ta có: u n    Aa Bb Cc  

n



d

u

M0

+ d // (x’) 

0

0

Aa Bb Cc

Ax By Cz D







+ d  (x’) 

0

0

Aa Bb Cc

Ax By Cz D







0 0 0 : x x y y z z

d

(x’) : Ax + By + Cz + D = 0

+ d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc  0

Ta có: u n    Aa Bb Cc  

d

n



u

+ d // (x’) 

0

0

Aa Bb Cc

Ax By Cz D







+ d  (x’) 

0

0

Aa Bb Cc

Ax By Cz D







Nếu d  (x’) thì hai vectơ

và có mối quan hệ gì?

u  n 

+ d  (x’)  a : b : c = A : B : C

2 1  1  1 2 1

và mặt phẳng (x’): x + 2y + z - 1 = 0

a) Xét vị trí tương đối giữa d và d’

b) Chứng minh d và d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm đó

Giải:

d qua điểm M0(x’1; -1; 0) và có vtcp u   (2;1; 1) 

d’ qua điểm M’0(x’3; 0; -1) và có vtcp u    ' ( 1; 2;1)

Cã: [u u    vµ   M M                               [u u M M 

mà 2 : 1 : -1  -1 : 2 : 1

Vậy d và d’ cắt nhau

và mặt phẳng (x’): x + 2y + z - 1 = 0

b) Chứng minh d và d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm đó

Giải: b) mp(x’) có vtpt là Ta có:n   (1; 2;1)

1.2 2.1 1.( 1) 3 0, ' 1.( 1) 2.2 1.1 4 0

n u          n u        

Vậy d và d’ cắt mp(x’)

Toạ độ giao điểm M của d và (x’) là nghiệm của hpt:













7 / 3

1 / 3

2 / 3

x y z











 



 M(x’7/3; -1/3; -2/3)

2 1  1  1 2 1

và mặt phẳng (x’): x + 2y + z - 1 = 0

b) Chứng minh d và d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm đó

Giải: Toạ độ giao điểm M của d và (x’) là nghiệm của hpt:













7 / 3

1 / 3

2 / 3

x y z











 



 M(x’7/3; -1/3; -2/3)

Toạ độ giao điểm N của d’ và (x’) là nghiệm của hpt:













13 / 4

1 / 2

5 / 4

x y z











 



 N(x’13/4; -1/2; -5/4)

và mặt phẳng (x’): x + 2y + z - 1 = 0

b) Chứng minh d và d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm đó

Giải: Phương trình đường thẳng MN là:

11 1 7

; ;

12 6 12

Cã MN   

Lấy một vectơ chỉ phương của MN là

(11; 2;7),

7 / 3 11

1 / 3 2

2 / 3 7





 



  



+ Vị trí tương đối của hai đường thẳng và cách xét.

+ Vị trí tương đối của đường thẳng và cách xét

+ Vận dụng được mối quan hệ giữa: đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng và quan hệ của hai mặt phẳng đề giải quyết các bài toán về viết phương trình đường thẳng thoã mãn điều kiện cho trước

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Các bài tập trong SGK - trang 97 - 99