Chuyen de luong giac chuong VI lop 10

sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA, OM )   Giả sử M ( x; y ) tang CHƯƠNG VI: GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cos   x  OH B K sin   y  OK sin   AT cos  cos  cot    BS sin         k    tan   T cotang S M  H O cosin A    k  Nhận xét:   ,   cos   1;   sin    tan xác định     k , k  Z  cot xác định   k , k  Z  sin(  k 2 )  sin   tan(  k )  tan  cos(  k 2 )  cos  Dấu giá trị lượng giác cot(  k )  cot  Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00  30  45  600  900 2 1200 3 1350 2 sin 2 cos 2 2 tan 3 3 3 cot http://tranduythai.violet.vn   2  –1 3 –1  1800 3 2700 3600 –1 –1  2 0  Biên soạn: Trần Duy Thái Hệ thức bản: sin 2  cos 2  ; tan cot  ;  tan   1 ;  cot   cos  sin  Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt “Cos đối, sin bù, phụ chéo,  tan, cot” Góc đối Góc bù Góc phụ   cos(  )  cos  sin(   )  sin  sin      cos  2    sin( )   sin  cos(   )   cos  cos      sin      tan(  )   tan  tan(   )   tan  tan      cot  2    cot( )   cot  cot(   )   cot  cot      tan  2  Góc Góc   sin(   )   sin    sin      cos  2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b cos( a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b Hệ quả:    tan  tan      , 4   tan  tan a  tan b  tan a.tan b tan a  tan b tan(a  b)   tan a tan b tan(a  b)     tan  tan      4   tan  Công thức nhân đôi sin 2  sin  cos  cos 2  cos   sin   cos     2sin  tan 2  http://tranduythai.violet.vn tan  ;  tan  cot 2  cot   cot   Biên soạn: Trần Duy Thái Công thức hạ bậc  cos 2 sin    cos 2 cos    cos 2 tan    cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích Cơng thức nhân ba (*) sin 3  3sin   4sin  cos 3  cos3   3cos  tan 3  ab ab cos 2 a b ab cos a  cos b   2sin sin 2 a b ab sin a  sin b  2sin cos 2 a b ab sin a  sin b  cos sin 2 3tan   tan   3tan  sin(a  b) cos a.cos b sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b sin( a  b ) cot a  cot b  sin a.sin b sin(b  a) cot a  cot b  sin a.sin b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4       sin   cos   sin       cos      4  4 cos a  cos b  2cos tan a  tan b  Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  [cos( a  b)  cos( a  b)] sin a.sin b  [cos( a  b)  cos( a  b)] sin a.cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái I/ GÓC - CUNG LƯNG GIÁC Bài 1: Đổi đơn vị radian góc (cung) có số đo: a/ 15o b/ 12o30’ c/ -200o Bài 2: Đổi đơn vị độ ( phút, giây) góc (cung) có số đo: 5  3 a/ b/ c/ Bài 3: Tìm điểm cung sau:    k 2 a/  AM  k b/  AN   k c/  AP    3 II/ GIAÙ TRỊ LƯNG GIÁC   Bài 1: Cho sin   0,8  <  <   Tính cos ,tan ,cot 2  o Bài 2: Cho 5cosa + = 180 < a < 270o  Tính sina , tana, cota Bài 3: Cho tan15o   Tính sin15o , cos15o ,cot15o tan x  cot x Bài 4: Tính A  biết sinx = tan x  cot x 2sin x  3cos x Bài 5: Tính B  biết tanx = -2 3sin x  2cos x sin x  3sin x cos x  cos x Bài 6: Tính C  biết cotx = -3  4sin x Bài 7: Đơn giản biểu thức: cos2 x  A ; C  sin x 1  cot x   cos x 1  tan x  sin x  cos x sin x  tan x cos x.tan x B  sin x.cot x; D  cot x.cos x tan x sin x Bài 8: Chứng minh: a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 9: Chứng minh: 1-2cos x 1+sin x cosx 2 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 2 sin x.cos x 1-sin x 1+sinx cosx sinx 1+cosx 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 2 1+cosx 1-cosx 4cotx sin x cos x g/ = ; h/1= sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx  1+cot x  = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 10: Chứng minh biểu thức sau độc lập x: A=2  sin x+cos6 x  -3  sin x+cos x  ; B=cos x  2cos2 x-3  +sin x  2sin x-3  C=2  sin x+cos x+sin xcos x  -  sin x+cos8 x  ; D=3  sin x-cos8 x  +4  cos6 x-2sin x  +6sin x E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= http://tranduythai.violet.vn sin x+cos x-1 sin x+3cos x-1 ; G= sin x+cos x-1 sin x+cos x+3cos4 x-1  Biên soạn: Trần Duy Thái   H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ; ( x  0; )  2 III/ GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CÁC CUNG ĐẶC BIỆT Loại 1: Tính Giá trị lượng giác cung(góc) *Biết số đo cung(góc): Bài 1: Tính GTLG cung(góc): 150o, 240o,315 o,3180o, -300 o, -1380o 29 16 1988 115 159 Bài 2: Tính GTLG cung (góc): 11 , , , , , 3 * Biết HSLG khác:  3   x  2  Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với        a/ Tính cosx ; b/ Tính sin   x  ,cos   x  , tan   x  , cot  3  x  2  2   3  Bài 2: Cho tan   x    2,  < x < 2    a/ Tính tanx , cotx , sinx , cosx    5   7  b/ Tính cot   x  , tan   x  ,sin  x  3  ,cos   x 2      Loại 2: Tính Giá trị biểu thức lượng giác Bài 1: Tính A  cos 0o  cos 20o  cos 40o   cos160 o  cos180o B  cos105o.cos 75o  sin105o.sin 75o Bài 2: C  tan10o.tan 20o.tan 30o tan 70o.tan 80o Tính: A  sin 825o.cos  15o   cos 75o.sin  195o   tan155o.tan 245o B  sin190o  4sin  530o   cos 280o  tan170o.cos  10o  C  cot 585o  cos1440o  2sin1125o Bài 3: Tính: sin  234o   cos 216o cot 44o  tan 226o  cos 406o  o A tan 36 B  tan18o.tan 72 o o o o sin144  cos126 cos 316 Bài 4: Tính:     2cos     sin     tan     2  2  A  2cos    cot     sin     2   3     3    sin     tan     sin     cot       2    2   cot  cot   tan  B    3  cos  2    tan      cos     cot     Loại : Đơn giản biểu thức lượng giác Bài 1: Đơn giản biểu thức: http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 9    5  A  sin 13     cos        cot 12     tan      7    3   3  B  cos 15     sin       cot      tan        5  7    9   C  sin  7     cos        tan      cot  3     tan         Bài 2: Đơn giản biểu thức: A  sin   a   sin  2  a   sin  3  a    sin 100  a  B  cos 1710o  x   2sin  x  2250o   cos  x  900o   2sin  720o  x   cos  540o  x  Đơn giản biểu thức:  19  tan   x  cos  36  x  sin  x  5  2sin 2550 o cos  188o    A B  tan 368o 2cos 638o  cos 98o  9  sin   x  cos  x  99    Loại : Chứng minh đẳng thức lượng giác Đẳng thức lượng giác tam giác Bài 1: Chứng minh: a / sin 825o cos  2535o   cos 75o sin  555o   tan  695o  tan  245o   Bài 3: 85  3   2 b / sin  x    cos  207  x   sin  33  x   sin  x        Bài 2: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A B C a / sin( A  B)  sin A; b / cos A  cos( B  C )  0; c / sin  cos ; 2 3A  B  C d / cos C  cos( A  B  2C )  0; e / sin A  cos 0 IV/ CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A Cơng thức cộng: Loại 1: Tính Giá trị lượng giác cung( góc) Bài 1: Tính giá trị HSLG cung sau: 15o ,75o ,105o , 285o ,3045o 7 13 19 103 299 Bài 2: Tính giá trị HSLG cung sau: , , , , 12 12 12 12 12 12 3   Bài 3: Tính cos   x  biết sin x   , ( < x < 2 ) 13 3  1 Bài 4: Cho góc nhọn  ,  có tan   , tan   a/ Tính tan     b/ Tính      x  y  Bài 5: Cho góc nhọn x y thoả :   tan x.tan y   2  a/ Tính tan  x  y  ; tan x  tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x y  40 3  Bài 6: Tính tan  x   biết sin x    < x < 4 41  http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái   Bài 7: Tính tan     theo tan  Áp dụng: Tính tg15o 4  Loại : Tính Giá trị biểu thức lượng giác Bài 1: Tính: tan 25o  tan 20o A  sin 20o cos10o  sin10o cos 20o B  tan 25o.tan 20o o E  sin15  cos15o o o D  sin15  cos15 C  tan15o  tan15o tan 225o  cot 81o.cot 69 o F cot 261o  tan 201o Bài 2: Tính:     3     a / A  cos  x   cos  x    cos  x   cos  x  3 4 6         2  2     b / B  tan x.tan  x    tan  x   tan  x    tan  x   tan x 3 3       Bài 3: Chứng minh biểu thức sau độc lập x:      2   2  A  cos2 x  cos   x   cos   x  B  sin x  sin   x   sin   x 3  3      Loại 3: Rút gọn biểu thức Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: cos  a  b   sin a.sin b sin  a  b   sin  a  b  sin  a  b   cos a sin b A ;B  ; C cos  a  b   sin a.sin b sin  a  b   sin  a  b  cos a cos b  cos  a  b  D sin  45o  x   cos  45o  x  sin  45  x   cos  45  x  o o ;E  2sin  a  b   tgb ; F  cos( x  y ) cos( x  y )  sin x cos  a  b   cos  a  b  Loại : Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh:     a/sinx + cosx = 2sin  x +  = 2cos  x -  4 4       b/sinx - cosx = 2sin  x -  = - 2cos  x +  4 4   + tanx - tanx     c/ = tan  + x  ; d/ = tan  - x  ; - tanx + tanx 4  4  cota.cotb - cota.cotb + e/cot  a + b  = f/cot  a - b  = cotb + cota cotb - cota Bài 2: Chứng minh: a / cos  a  b  cos  a  b   cos a  sin b  cos b  sin a b / sin  a  b  sin  a  b   sin a  sin b  cos b  cos a c / sin  a  b  cos  a  b   sin a cos a  sin b cos b     d / sin   a   sin   a   sin a 4  4  Bài 3: Chứng minh: http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái a / cos a.sin  b  c   cos b.sin  c  a   cos c.sin  a  b   b / sin  a  b   sin b  2sin  a  b  sin b cos a  sin a c / tan  a  b   tan a  tan b  tan a.tan b.tan  a  b  d / tan 2a.tan  30o  a   tan 2a.tan  60o  a   tan  60o  a  tan  30o  a   Bài 4: Chứng minh: tan a  tan b tan a  tan b a/   2 tan a.tan b tan  a  b  tan  a  b  b/ tan  a  b   tan b cos  a  b   tan a.tan b   tan  a  b   tan b cos  a  b   tan a.tan b tan a  tan b  tan c  tan a.tan b.tan c  tan a.tan b  tan b.tan c  tan c.tan a Loại 5: Hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin  cos cos  sin sin 2 2 A B C B C 4/ cos  sin cos  cos sin 2 2   5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC  A,B,C   2  A B B C C A 6/ tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 A B C A B C 7/ cot  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = B Công thức nhân đôi: Loại 1: Tính giá trị lượng giác cung (góc)  Bài 1: Cho sin x  với < x <  Tính sin2x, cos2x 6  Bài 2: Cho cos x  < x < Tính cos2x suy x  Bài 3: Cho tan x   < x < Tính sin2x, cos2x, tan2x suy x Bài 4: Cho sin x  cos x  Tính sin2x, cos2x    Bài 5: Tính GTLG cung , , 12 3 x x Bài 6: Cho sin x   < x < 2 Tính sin ,cos 2 x Bài 7: Cho sin x  cos x  Tính tan  x Bài 8: Cho cosx = 0,8 với < x < Tính tan 2 c / tan  a  b  c   http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 24 3 x với  < x < Tính tan 2 Loại 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác Bài 1: Tính A  cos 36o.cos 72o ; B  cos 20o.cos 40o.cos 60o.cos 80o  4 5 C  sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin 78o ; D  cos cos cos 7 o    tan15 E  sin cos cos ; F  ; G  o o 8  tan 15 sin10 cos10o H  cos 36o  sin18o ; I   4sin 70o o sin10  5 J  tan  tan ; K  tan 36o.tan 72o 12 12 Bài 2: Tính theo cos2x biểu thức:  sin x  tan x A  sin x.cos x; B  sin x  cos x; C  ; D  cos x  tan x x Bài 3: Tính theo t  tan biểu thức: sin x  tan x tan x  sin x A ; B ; C  tan x  cot x; D   cos x  cotx tan x  sin x Loại 3: Đơn giản biểu thức lượng giác Bài 1: Đơn giản biểu thức: sin x cos x cot x  tan x A  sin x.cos x.cos x; B  sin x  cos x; C   ; D sin x cos x cos x Bài 2: Rút gọn A  sin x  cos x  3; B  5sin x  4sin 2 x.cos 2 x  cos x  3cos x Bài 9: Cho tgx  C  sin a.cos 3a  cos3 a.sin 3a sin x cos x sin 2 x  4sin x Bài 3: Rút gọn: A  B  cos x  cos x sin 2 x  4sin x  Loại 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác Bài 1: Chứng minh: a/ cos3 x.sinx - sin x.cosx = sin4x; b/  tan2x - tanx  cos2x = tanx ; c/ cotx - 2cot2x = tanx d/ sin3a.cos 3a + sin 3a.cos3a = sin4a; e/ cos4x = 8cos x  8cos x  Bài 2: Chứng minh:  2 3 4 a/ 8cos10o cos20o cos40o = cotg10o ; b/ cos cos cos cos  9 9 16 c/ cos3x = 4cosx.cos  60o  x  cos  60o  x  ; d / cos 2 x  sin x  cos x.cos 3x     e / tan   x   tan   x   tan x; f / cot x  tan x  tan x  tan x  8cot x 4  4  Bài 3: Chứng minh: sin2x.cosx x a/ = tan ; b/  cot x  cot x sin2x 1+cos2x 1+cosx  http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 1  2sin x  cos x  ; d / tan x  cos x  sin x sin x Bài 4: Chứng minh cos x sin x  2sin x x  x  a/  cot    ; b/   tan  sin x sin x  2sin x  2 c / tan x   cos x x x  c/  tan x  cot x; d /  cot  tan    cos x 2   tan x.cot x  C Công thức biến đổi: Loại 1: | BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG  2 Bài 1: a / sin sin b / cos x.cos x c / sin  x  30o  cos  x  30o  5 a / 2sin x.sin x.sin x; b / 8cos x.sin x.sin x Bài 2:     c / sin  x   sin  x   cos x; d / 4cos  a  b  cos  b  c  cos  c  a  6 6   Loại 2: | BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Bài 1: a / cos x  cos x; b / cos 3x  cos x; c / sin x  sin x d / sin  a  b   sin  a  b  ; e / tan  a  b   tan a; f / tan 2a  tan a Bài 2: a / sin a  cos b; b / sin x  cos x; c / sin x  sin y; d / cos x  cos y; e / tan x  tan y Bài 3: a /  cos x b /  4sin x c /  4sin x Bài 4: a /  sin x; b /  cos x; c /  cos x; d /  cos x; e / sin x  1; f /  2sin x Bài 5: a /  cos x  sin x; b /  cos x  sin x; c / sin x  sin x  sin x  sin x d / cos x  cos x  cos 3x  cos x; e /  sin x  cos x; f / sin a  sin 3a  sin 5a  sin 7a Bài 6: a/ sin  a + b + c  - sina - sinb - sinc; b/ cos  a + b + c  + cosa + cosb + cosc; c/ sin  a + b  sina + sinb sina - sinb sina + sin3a + sin5a sina + sin4a + sin7a ; e/ ; f/ tana - tanb cosa + cos3a + cos5a cosa + cos4a + cos7a 2 Bài 7: A  cos a  cos b  cos c  2cos a.cos b.cos c  Loại 3: | TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1:  5 11 5 A  cos 75o cos15o ; B  sin sin ; C  sin cos ; D  tan 9o  tan 27 o  tan 63o  tan 81o 12 12 12 12 Bài 2: d/ A  cos 2p 4p 6p  cos  cos 7 p 2p 3p B  cos  cos  cos 7 p 2p C  cos  cos 5 Bài 3: C  cos10o.cos 30o.cos 50o.cos 70o Loại 4: |ĐƠN GIẢN MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC x x  x    x    x    x   Bài 1: A  4sin sin   sin   ; B  cos cos   cos   3         2  4  6  8      C  cos x  cos  x    cos  x    cos  x    cos  x           http://tranduythai.violet.vn 10  Biên soạn: Trần Duy Thái Bài 2: A  cos x  cos x  3; B  sin x.sin x  sin x.sin 3x  sin x.sin x  sin x.sin x C   cos x  6cos x  cos3 x  cos x; D  sin x  4sin x  6sin x  4sin x  cos x  sin x cos a  cos b sin x  sin x Bài 3: A  B C D sin( a  b) sin x  sin x  cos x  sin x 2 Loại 5: |CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: Chứng minh 3 a / sin10o.sin 50o.sin 70o  b / cos10 o.cos 50o.cos 70o  c / tan10o.tan 50o.tan 70 o  8 3 d / sin 20 o.sin 40o.sin 80o  e / cos 20o.cos 40o.cos 80o  f / tan 20o.tan 40o.tan 80o  8 Bài 2: Chứng minh a/  2sin 70o  b / tan 30o  tan 40o  tan 50o  tan 60o  cos 20o o 2sin10  2 5  7 c / tan  tan  tan  tan  sin 18 18 Bài 3: Chứng minh sin x  sin y x y cos x  sin x  sin x   a/  tan b/  tan  45o  x  c /  tan   x  cos x  cos y cos x  sin x  sin x 4  Bài 4: Chứng minh  cos x  cos x  cos x     a/  cos x; b / cos x.cos   x  cos   x   cos x 2 cos x  cos x  3  3      c / 4sin x.sin   x  sin   x   sin x  AD :Tính A= sin20o sin 40o sin 80o  3  3      d / tan x.tan   x  tan   x   tan x AD :Tính A= tan20 o tan 40o tan 80o   3  3  Loại 6: |HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1: Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh học thuộc kết sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2 A B C 10 / cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 1 +cosA.cosB.cosC  14/ cos A + cos B + cos C = - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos 2 Bài 2: Chứng minh ABC vuông nếu: sin B  sin C a / sin A  ; b / sin C  cos A  cos B; c / sin A  sin B  sin C  cos B  cos C Bài 3: Chứng minh ABC cân nếu: http://tranduythai.violet.vn 11  Biên soạn: Trần Duy Thái a / sin A  2sin B.cos C; b / tan A  tan B  cot c / tan A  tan B  tan A.tan B; d / C sin B  cos A sin C Bài 4: Chứng minh ABC nếu: a / cos A.cos B.cos C  b / sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sin 2C c / cos A  cos B  cos C  Bài 5: Chứng minh ABC cân vuông nếu: sin  B  C  sin  B  C  C tan B sin B a / tan A.tan B.tan  1; b /  ; c/  2 2 tan C sin C sin B  sin C sin B  sin C Bài 6: Hãy nhận dạng ABC biết: sin A a / sin A  sin B  sin 4C  b / cos A  cos B  cos C  c /  2sin C cos B …………………….Hết……………………  "H·y thực cố gắng cố gắng cã ý nghÜa ! To live is to fight! " http://tranduythai.violet.vn 12  Biên soạn: Trần Duy Thái ... Bài 1: Tính A  cos 0o  cos 20o  cos 40o   cos160 o  cos180o B  cos105o.cos 75o  sin105o.sin 75o Bài 2: C  tan10o.tan 20o.tan 30o tan 70o.tan 80o Tính: A  sin 825o.cos  15o   cos... cos cos 7 o    tan15 E  sin cos cos ; F  ; G  o o 8  tan 15 sin10 cos10o H  cos 36o  sin18o ; I   4sin 70o o sin10  5 J  tan  tan ; K  tan 36o.tan 72o 12 12 Bài 2: Tính theo cos2x... Loại 5: |CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: Chứng minh 3 a / sin10o.sin 50o.sin 70o  b / cos10 o.cos 50o.cos 70o  c / tan10o.tan 50o.tan 70 o  8 3 d / sin 20 o.sin 40o.sin 80o  e / cos