Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh
LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
PHA ̀N 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
A. Tóm tắt lý thuyết:
Cho < 𝑎 ∈ ℝ và 𝛼 là số vô tỉ Xét một dãy số hữu tỉ 𝑟1; 𝑟2; … ; 𝑟𝑛; … mà lim 𝑟𝑛 = 𝛼 ngƣờ i ta chƣ́ng minh đƣơ ̣c rằng dãy số thƣ̣c: 𝑎𝑟1; 𝑎𝑟2; … ; 𝑎𝑟𝑛; … có giới hạn xác định (không phụ thuô ̣c vào dãy số hƣ̃u tỉ đã cho ̣n) và gọi giới hạn đó là lũy thừa của 𝑎 vớ i số mũ 𝛼, kí hiệu là: 𝑎𝛼 và 𝑎𝛼 = lim
𝑛→+∞𝑎𝑟𝑛 Chú ý:
khi xét lũy thƣ̀a với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì số phải khác khi xét lũy thƣ̀a với số mũ không nguyên thì số phải dƣơng
Lũy thừa với số mũ thực của một số dƣơng có đầy đũ các tính chất nhƣ của lũy thừa với số mũ nguyên Khi so sánh các số dạng lũy thừa, cần lƣu ý:
Cùng số, khác số mũ: 𝑎 > va 𝑥 > 𝑦 ⇔ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦 < 𝑎 < va 𝑥 > 𝑦 ⇔ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 Cùng số mũ, khác số: giả sử 𝑎 < 𝑏
𝑥 > ⇔ 𝑎𝑥 < 𝑏𝑥 𝑥 < ⇔ 𝑎𝑥 > 𝑏𝑥
Khác số, khác số mũ: ta đƣa về một hai trƣờng hợp trên, hoă ̣c so sánh với mô ̣t số trung gian có cùng số khác số mũ
Ứng dụng thực tế cuộc sống: Công thƣ́c tăng trƣởng mũ: 𝐶 = 𝐶𝑜 𝑒𝑛𝑖
- 𝐶𝑜 là tình trạng ở thời điểm ban đầu 𝑛 =
- 𝑖 là hệ số tăng trƣởng (𝑖 > ứng với quá trình tăng trƣởng, 𝑖 < ứng với quá trình suy giảm) - 𝐶 là tình trạng ở thời điểm 𝑛 bất kỳ
Các hiện tƣợng tăng trƣởng dân số tƣ̣ nhiên, tăng trƣởng số lƣợng vi khuẩn, tăng trƣởng đồng vốn lãi xuất phần trăm không đổi và hiê ̣n tƣợng phân rã phóng xa ̣,… là nhƣ̃ng tăng trƣởng mũ
B. Các loại bài tập:
1 Loại 1: ĐƠN GIẢN BIỂU THƢ́C a 𝑎 2 𝑎13: 𝑎3 2
b 𝑎2 2−𝑏2 𝑎 2−𝑏 2+ c 𝑎
2 3−1 𝑎2 3+𝑎 3+𝑎3 𝑎4 3−𝑎
d 𝑎 5−𝑏 𝑎2 53 +𝑎
3.𝑏
3+𝑏2 73
e 𝑎𝜋+ 𝑏𝜋 2− 419𝑎𝑏 𝜋
2 Loại 2: SO SÁNH CÁC SỐ 1) So sánh các số 𝑝; 𝑞 biết rằng:
a 𝜋𝑝 > 𝜋𝑞 b − 𝑝 < − 𝑞
c − 𝑝 > − 𝑞 d cot𝜋
3 𝑝
> cot𝜋
𝑞
2) So sánh 𝑎 vớ i số biết < 𝑎 ≠ a 𝑎23 > 𝑎
3 4 b 𝑎−5 > c 𝑎−35 > 𝑎−
2
d 𝑎tan5𝜋6 > 𝑎cos 5𝜋
(2)CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh
LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
3) So sánh các số 𝛼; 𝛽 biết: a 𝛼 = 𝜋−34; 𝛽 = 𝜋−
4
b 𝛼 = − − 2; 𝛽 = − −
c 𝛼 = −
1
4; 𝛽 = −
2
4) So sánh các số 𝛼; 𝛽 biết: a 𝛼 =
7 −11
; 𝛽 =
−11
b 𝛼 =
−
; 𝛽 = 2
−
c 𝛼 =
−7
; 𝛽 =
−7
d 𝛼 =
; 𝛽 =
5) So sánh các số 𝛼; 𝛽 biết: a 𝛼 = 10; 𝛽 = 34 b 𝛼 = 23 −6; 𝛽 = 2−11 c 𝛼 =
3
; 𝛽 = 𝜋
−0,3
d 𝛼 = 𝜋
; 𝛽 = 𝜋
−
e 𝛼 = 13 11
; 𝛽 = 169 121
−35
3 Loại 3: CÁC BÀI TOÁN KHÁC 1) Hãy tính:
a 3
b 41−2 161+
c 27 2: 33 d 25
5
2) Tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁, 𝐺𝑇𝑁𝑁 (nếu có) của biểu thức a 𝑦 = 3−𝑥+ 𝑥
b 𝑦 = 2𝑥−1+ 23−𝑥
c 𝑦 = 𝑒
𝑥 1+𝑥
d 𝑦 = 5sin2𝑥 + 5cos2𝑥
3) Đƣa về lũy thƣ̀a theo số 𝑚 biết: a 𝐴 =9
5
3 vớ i 𝑚 = b 𝐵 =8 16
5 32
4 vớ i 𝑚 = 2 c 𝐶 =3 27
4 81
7 vớ i 𝑚 = 3
d 𝐷 =
2 16 83
3 vớ i 𝑚 = 2
e 𝐸 = 81 27
3
3 vớ i 𝑚 = 3 95 Loại 4: ÁP DỤNG CÔNG THỨC 𝑎𝑢 = 𝑎𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 (0 < 𝑎 ≠ 1)
1) Với giá tri ̣ nào của 𝑎 thì phƣơng trình: 2𝑎𝑥2−4𝑥+2𝑎 = có nghiệm nhất 2) Hãy tìm 𝑎 để có đẳng thức: 23𝑎 = 0,25
𝑎 2 3) Hãy tìm 𝑎 để có đẳng thức: 0,2 3𝑎−5 = 25𝑎2 Loại 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
1) Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Indonesia là 1,5% năm 1998 dân số củ a nƣớc này là 212.942.000 ngƣời Hỏi dân số của indonesia vào năm 2006 là bao nhiêu?
2) Tỉ lệ giảm dân số hàng năm của Italy là 0,1% năm 1998 dân số củ a nƣớc này là 56.783.000 ngƣờ i Hỏi dân số của Italy vào năm 2020 là bao nhiêu?
3) Năm 1994 tỉ lệ thể tích khí 𝐶𝑂2trong không khí là 358