Lý thuyết và bài tập Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Toán 12 có đáp án

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.. Vững vàng nền tảng, K[r]

Trang |

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT TỐN 12 CĨ ĐÁP ÁN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN I LŨY THỪA

1 Các công thức:

(1) a an  a a a (n số a) (2)

1

a a 

(3) a a n 1n

a

    (4) aa a  (5) a a

a



  

  (6) (a ) a  (7) (ab) ab (8) a a

b b

 



      

(9)

m

m n n

a a  a (7) nabna b.n

(8) nap  na p(a0)

(9) ( 0)

n n

n

a a

b b  b  (10) m na mna

(11) nap  na p(a0)

(12) ( 0)

n n

n

a a

b b  b  2 Các tính chất

(1) Tính đồng biến, nghịch biến: 1:

0 1:

m n

m n

a a a m n

a a a m n

    



    



(2) So sánh lũy thừa khác số: Với a b 0

m m

m m

a b m

a b m

   



  



3 Tập xác định hàm số yx:

D  số nguyên dương  

D \ với  nguyên âm

D(0;) với  không nguyên

4 Đạo hàm: Hàm số yx, ( ) có đạo hàm với x0

(x) .x (u) .uu'

Trang | ,

 

 

y x yx, 0

1 Tập khảo sát: (0;) 1 Tập khảo sát: (0;)

2 Sự biến thiên: y x10,  x Giới hạn đặc biệt:

0

lim  0, lim  

  x  

x

x x

Tiệm cận: Khơng có

2 Sự biến thiên:

y x10,  x Giới hạn đặc biệt:

0

lim  , lim  

   x 

x

x x

Tiệm cận:

Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng

3 Bảng biến thiên: 3 Bảng biến thiên:

4 Đồ thị:

Đồ thị hàm số lũy thừa yx qua điểm I(1;1)

Lƣu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn:

3

, , yx yx yx

Lưu ý: Đẳng thức

1

n xxn chỉ xảy nếux0, hàm số

1

n

yx không đồng với hàm số

 *

n

y x nN

II LÔGARIT: Cho0a c, 1,b0, b b1, 0

(1)  logaba b (2) logaa1, log 0a  (3) logaaxx, ( x R) (4) alogax x x( 0) (5) logab , log ( )

a

Trang | (7)

1

2

loga b logab logab

b   (8)

1

loga logab b 

(9) logab logab (10) log n 1log

a b ab

n



(11) log log log c a

c

b b

a



(đổi số) (12)

1 log

log a

c

c

a



(13) loga b 1logab



 (0) (14) logab logab

 



 ( 0)

(15) logab.logbclogac a b c; ; 0; ;a b1 III HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LƠGARIT

1 Tính chất:

Hàm số mũ: yax , (0 a 1) Hàm số logarit: ylogax , (0 a 1) 1 TXĐ: D R; Tập giá trị: T (0;) 1 TXĐ: D(0;); Tập giá trị: T R 2 Sự biến thiên:

+ a1 y' axlna 0, x + 0 a  y' axlna 0, x + Giới hạn đặc biệt:

1: lim 0; lim

0 1: lim ; lim

x x

x x

x x

x x

a a a

a a a

 

 

    



     



Tiệm cận: trục Ox tiệm cận ngang

2 Sự biến thiên:

+ a1 ' 0, ln

y x

x a

    

+ 0 a ' 0, ln

y x

x a

    

+ Giới hạn đặc biệt:

0

0

1: lim log ; lim log 1: lim log ; lim log

a a

x x

a a

x x

a x x

a x x





 

 

    

 

     



Tiệm cận: trục Oy tiệm cận đứng

3 Bảng biến thiên: + a0 :

+ 0 a 1:

3 Bảng biến thiên: + a0 :

Trang | 4 Đồ thị: Đồ thị hàm số yax nằm phía trục

Ox; ln qua điểm  0;1  1;a

4 Đồ thị: Đồ thị hàm sốylogax nằm phía bên phải trục Oy; qua điểm  1;0  a;1

2 Đạo hàm hàm số mũ hàm số lôgarit

Hàm sơ cấp Hàm số hợp

 ex 'ex  eu 'u e' u

 ax 'axlna  au 'u a' .lnu a

   

lnx ' , x

x

   lnu ' u', (u 0)

u

Trang |

   

log ' ,

.ln

a x x

x a

  log ' ' , ( 0)

.ln a

u

u u

u a

 

IV PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT

Phƣơng trình mũ Phƣơng trình lơgarit 1 Phƣơng trình mũ bản:

   

log f x

a

a  b f x  b (a b, 0,a1)

1 Phƣơng trình lơgarit

logax  b x ab(0 a 1)

2 Phƣơng pháp giải: a) Đƣa số

       

f x g x

a a  f x g x

b) Đặt ẩn phụ

(1) m a 2f x n a f x  p 0, đặt ( )

0 f x

ta 

(2) m a f x n a f x  p 0, quy đồng đưa (1) (3) m.( a b)f x n.( a b)f x  p 0, ( a b)( a b)k

Đặt t( a b)f x  0 ( a b)f x  k

t

  

(4)m a 2f x n a b.  f x  p b 2f x 0 Chia hai vế cho b2f x  đặt

 

0

f x

a

t b

   

 

 

c) Lơgarit hóa hai vế Có dạng f x( ) f x( )

a  kb ( ) ( )

f x f x

a b k (với UCLN (a, b) = 1)

Khi lơgarit hai vế số a b (nên chọn số có số mũ phức tạp)

d) Sử dụng hàm số đánh giá

(1) ax  f x : Sử dụng tính đơn điệu hàm số, chứng minh phương trình có nghiệm (2) auuavv

Xét hàm đặc trưng   t

f t  a t CM hàm số đơn điệu  u v

2 Phƣơng pháp giải: a) Đƣa số

( ) log ( ) log ( )

( ) ( )

a a

f x

f x g x

f x g x

 

  

 

b) Đặt ẩn phụ

Đối với phương trình biến đổi phức tạp ta đặt loga ( )

t f x

c) Mũ hóa hai vế

Đưa phương trình cho dạng sau:

*    

   

0

loga f x g x a g x

f x a

  

  

 

*      

 

log log

t

a b t

f x a

f x g x t

g x b

 



   





Khử x hệ phương trình để thu phương trình theo ẩn t, giải phương trình tìm t, từ tìm x

Trang | V BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT

Phƣơng trình mũ Phƣơng trình lơgarit 1 Phƣơng trình mũ bản:

(1) Dạng: x

a b (hoặc ax b a, x b a, xb) với

0,

a a

1 Phƣơng trình lơgarit

loga f x( )b; loga f x( )b; loga f x( )b; loga f x( )b (a b, 0, a1)

2 Phƣơng pháp giải: (1) Dạng 1:

       

    1, (*)

* 1, * log

1, * log

f x

a a

a b dung x R

a b a b f x b

a b f x b

      



       

     



(2) Dạng 2:

       

    1, (*)

* 1, * log

1, * log

f x

a a

a b VN

a b a b f x b

a b f x b

    



       

     



(3) Dạng 3:

       

    (*)

(*)

0 (*)

f x g x a f x g x

a a

a f x g x

   



  

    



2 Phƣơng pháp giải:

(1) ( )

loga f x( )g x( ) f x( )ag x (a1)

(2) loga f x( )g x( ) f x( )ag x( ) (0 a 1)

(3) a1 log ( ) log ( ) ( ) ( ) ( )

a a

g x

f x g x

f x g x

 

  

 

(4) 0 a log ( ) log ( ) ( ) ( ) ( )

a a

f x

f x g x

f x g x

 

  

 

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho a là số dương, biểu thức

a a viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là?

A

a B

7

a C

4

a D

6 a

Câu 2. Cho a b, số thực dương, m n, số thực tùy ý Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A a bm m  ab 2m B a am n amn C a bm n  ab mn D

m

m m b

a b a

    

 

Câu 3. Viết biểu thức

P x x (x0) dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ A

5

Px B

5 12

Px C

1

Px D

1 12 Px Câu 4. Kết phép tính:    

3

12

:

a a a a

 

  bằng:

A 12

a B 11

a C

a D

Trang | A  ab  a b  B a b  a b C a a

b b

 

 

    

  D a b a b

  

  

Câu 6. Cho   Kết luận sau đúng?

A    B   C   D   0

Câu 7. Với số thực a, b bất kì, mệnh đề sau đúng?

A  3a b 3a b B  3a b 3ab C  3a b 3a b D  3a b 3ab Câu 8. Cho a b, số thực thỏa điều kiện

4

a a

   

   

   

4

3

b b Chọn khẳng định đúng khẳng định sau?

A a0 b1 B a0 0 b C a0 0 b D a0 b1 Câu 9. Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A  1 2019  1 2020 B  1 2020  1 2019

C 2 1 2 D

2020 2019

2

1

2

   

  

   

   

   

Câu 10.Tập xác định hàm số   y x là:

A 0;  B 1;  C 1;  D Câu 11.Trong hàm số đây, hàm số nghịch biến tập số thực ?

A

x

y   

  B

2

log

y x C  

4

log

y  x  D

x

y e

      Câu 12.Tập xác định hàm số  272



 

y x

A D3; B D \ 2  C D D D3; Câu 13.Giá trị loga 13

a với a0 a1 bằng:

A B

2

 C 3 D

3

 Câu 14.Giá trị aloga4 với a0,a1

A 2 B C 4 D 16

Câu 15.Giá trị   3log 4a

Trang | A 2 B 3 C 4 D 8

Câu 16.Cho alà số thực dƣơng Mệnh đề sau đúng?

A log 33 a  1 log3a B log 33 a  3 log3a C log 33 a  1 a D log 33 a log3a Câu 20 Cho hai số thực dương thỏa mãn log2alog8 ab Mệnh đề đúng?

A 

a b B 3

a b C ab D 

a b Câu 17.Gọi D tập tất giá trị x để log32020x có nghĩa Tìm D?

A D0; 2020 B D  ; 2020 C D  ; 2020 D D0; 2020 Câu 18.Tập xác định hàm số y4 3 xx22020là:

A B 4;1 C    ; 4 1;  D 4;1 Câu 19.Hàm số y4x214 có tập xác định là:

A 0; B \ 1; 2

 

 

  C D

1 ; 2

 

 

  Câu 20.Điều kiện a cho làm cho hàm số f x   1 lnax đồng biến ?

A 1 a

e B a1 C a0 D ae

Câu 21.Cho số thực a x, thỏa mãn 0 a Mệnh đề đúng? A loga x1 0 x a

B Đồ thị hàm số ylogax nhận trục Oy làm tiệm cận đứng C Nếu 0 x1 x2 logax1logax2

D loga x0 x1

Câu 22.Tính đạo hàm hàm số 

 x

y

A y 22x2ln B y 4x2ln C y 22x2ln16 D y 22x3ln Câu 23.Tính đạo hàm hàm số log2 ex

y x A 1 e

ln x



B

 ee ln

x x

x



 C

1 e e x

x

x



 D  

1 ex ln

x

Câu 24.Tập xác định hàm số  

2 3

4

y x là:

A   ; 2 2;  B 2; 2 C  ; 2 D m 2

Trang | Câu 25.Tập xác định hàm số:ylog3x24x3 là:

A  ;1 3; B  1;3 C ;1 D 3; Câu 26.Với a số thực dương bất kì, mệnh đề đúng?

A log 3 a 3loga B log 1log

a  a C loga3 3loga D log 3  1log a  a Câu 27.Đạo hàm hàm số ye1 2 x là:

A y  2e1 2 x B y e1 2 x C y 2e1 2 x D y ex

Câu 28.Tìm tập xác định D hàm số yex22x

A D B D 0; C D \ 0; 2  D D  Câu 29.Cho a số thực dương khác Khẳng định sai?

A log 2.loga 2a1 B log 0a  C log log a

a

 D logaa1 Câu 30.Cho 0 a Giá trị biểu thức  2

loga

P a a A 4

3 B 3 C

5

3 D

5

Câu 31.Với a b số thực dương Biểu thức loga a b2

A log ab B log ab C log ab D logab Câu 32.Cho hàm số y12x Khẳng định sau sai?

A Hàm số đồng biến

B Đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung C Đồ thị hàm số nhận trục hoành tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số ln nằm phía trục hoành

Câu 33.Cho alog 2, bln 2, hệ thức sau ? A 1 1

10e

a b B

e 10

a

b  C 10 e

a  b

D 10b ea

Câu 34.Cho a số thực dương khác Tính

3

4 I log

64

a

a

 

  

 

A I 3 B

3

I  C I  3 D

3

I   Câu 35.Cho a b, 0và a b, 1, biểu thức Plog ab3.logba4 có giá trị bao nhiêu?

Trang | 10 Câu 36.Tính đạo hàm f x hàm số f x log23x1 với

3

x

A    3

3 ln

f x

x

 

 B    

1 ln

f x x

 

 C    

3

3

f x

x

 

 D

   3ln

3

f x x

 



Câu 37.Cho số thực dương a, b thỏa mãn log2ax, log2b y Tính  2

log

P a b A Px y2 B Px2y3 C P6xy D P2x3y Câu 38.Giá trị thực a để hàm số yloga x 0 a 1 có đồ thị hình bên dưới?

A

2

a B a C

2

a D a2 Câu 39.Đồ thị hình bên hàm số nào?

A  3 x

y B

2

x

y   

  C  2

x

y D

3

x

y   

 

Câu 40.Hàm số sau có đồ thị phù hợp với hình vẽ

A ylog0,6x B ylog 6 x C

x

y   

  D

x

y Câu 41.Nghiệm phương trình log20192020x0 là:

A

2020

x B x2020 C x20192020 D x1 Câu 42.Giải phương trình 92x181

O x

y

1

2 A

O x

y

1



1

O x

y

1

1



2



6

Trang | 11 A

2

x B

2

x  C

2

x  D

2

x Câu 43.Giải phương trình 2x23x 1

A x0, x3 B x1, x 3 C x1, x2 D x0, x 3 Câu 44.Tìm nghiệm thực phương trình 2x 7?

A x B

2

x C xlog 72 D xlog 27 Câu 45.Phương trình 2x18 có nghiệm

A x4 B x1 C x3 D x2 Câu 46.Phương trình 3x25810 có hai nghiệmx x1; Tính giá trị tích x x1

A.9 B.9 C.29 D.27

Câu 47.Phương trình

2

2 1

2

2

x x



  

    có nghiệm là:

A x0 B x1 C x 1 D x3 Câu 48.Cho phương trình 9x2.3x 3 Khi đặt t3x ta phương trình đây?

A t2  2t B 122x1 3 C 2t2 3 D t2  t Câu 49.Khi đặt t2x, phương trình

4x 12.2x  7 trở thành phương trình sau đây?

A t2  3t B 4t212t 7 C 4t2  3t D t212t 7

Câu 50.Tìm số nghiệm phương trình log32x 1

A 1 B 5 C 2 D 0

Câu 51.Tập nghiệm S phương trình log2x44

A S   4,12 B S 4 C S  4, D S  12 Câu 52.Tập nghiệm phương trình log (3x 7)2  3

A {1} B {-2} C {5} D {-3}

Câu 53.Tập nghiệm phương trình log x2  3

A  B {8} C {

8

 } D {1

8 }

Câu 1. Cho x0, y0 Viết biểu thức

5 5.

x x x dạng m

x biểu thức

5 :

y y y dạng yn Tính m n

A 11

6 B

8

 C 11

6

 D 8

Trang | 12 Lời giải

Chọn A

Với x0, y0, ta có

5 5.

x x x

1

4 6 5

5

5. . 5. 6. 12 12

5 12

x x x  x x x x   m

           5:

y y y

4

4

5

5 12

1

1 6 6 12

5 2

4

5 12

y y y n y y y y               

Do 11

6

m n 

Câu 2. Cho hàm số    

  3

8

8

a a a

f a

a a a





 



với a0, a1 Tính giá trị  2020

2021

M  f

A M 202110101 B M  202110101 C M 202120201 D M  1 20212020 Lời giải

Chọn.B

Ta có:    

 

1

1

3 3

3

3

3 1

2

1 1

8

8 8

1

1

a a a

a a a a

f a a

a

a a a a a a

                           

Nên    

1

2020 2020 2 1010

2021 2021 2021

M  f      

Câu 3. Tính 2020 2020

2

1

log ln e

1010

 

A 2019 B 1010 C

1010 D 2020

Lời giải Chọn D

Ta có: 2020 2020 2020

2

1

log ln e log 2020 2020 2020

1010 1010 2020 1010

        

Câu 4. Với alog 330 blog 530 , giá trị log 675 bằng: 30 A

a b B

a b C 3a2b D 2ab Lời giải

Chọn C

Trang | 13 Câu 5. Cho hàm số f x ln e x Tính f ln

A 2 B 2 C 0, D 1

3

Lời giải Chọn D

Cách 1: Trắc nghiệm

Bấm máy  

ln d

ln e 0,333 d

x

x   nên chọn D

Cách 2: Ta có     e e x x f x      e e

1 e x x x      e e

x x       ln ln e ln e

f

  



Hoặc   1ln e 

x

f x   nên   e

2 e x

x

f x 

 Do     ln

ln

e

ln

3 e

f  



Câu 6. Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn alog 52 4, blog 64 16, clog 37 49 Tính giá trị

2

7

2 log

log log

3

T a b  c

A T126 B T  5 C T 88 D T  3 Câu 7. Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: alog 73 27, blog 117 49, clog 2511  11.

Tính      

2 2

3 11

log log 11 log 25

T a b c

A T469 B T 469 C T43 D T1323 11 Lời giải

Chọn A

Ta có log 73 2 log 117 2 log 2511 2

T a b c      11  11

log log 11 log 25

log log 11 log 25

a b c

     

      

  11

3

log 25

log log 11

27 49 11

   11

3

1 log 25

3log 2log 11 2

3 11

  

3 11

log log 11 log

3 11

  

3

7 11 469

   

Câu 8. Cho số thực a, b Giá trị biểu thức 2

1

log log

2a 2b

A  giá trị biểu thức biểu thức sau đây?

A  a b B ab C a b D ab Lời giải

Chọn A

Ta có log2 log2 log2 1 log22  

2 2

a b

a b a b

A          a b

Trang | 14 Câu 9. Giá trị biểu thức M log log log log 2562  2  2   2

A 56 B 8.log 256 2 C 48 D 36 Lời giải

Chọn D Ta có

2 2

log log log log 256

M      log log 22  2 2log 22 3  log 22 1 log 2

         1 81 8 36

2

  

Câu 10.Với hai số thực dương a b, tùy ý

6

log 5log

log

1 log

a

b

 

 Khẳng định khẳng định đúng?

A ablog 26 B a36b C 2a3b0 D ablog 36 Lời giải

Chọn B

Ta có

6 6

3

log 5log log

log log log log

1 log log

a a

b b a b

       



log a a 36 a 36b

b b

     

Câu 11.Cho hàm số f x ln2x22x4 Tìm giá trị x để f x 0 A x1 B x0 C x1 D x

Lời giải Chọn C

Tập xác định: D

   

2

4

ln

2

x

f x x x

x x



   

 

Nhận xét : lnx22x40  x x22x 4 1 x Do f x  0 4x 4 0 x

Câu 12.Cho hàm số ylnexm2 Với giá trị m  1

y  A me B m e C m

e

 D m  e

Trang | 15

Ta có 2  1 2

x x

e e

y y

e m e m

   

  Khi

 

2

1

1

2

e

y e e m m e

e m

         



Câu 13.Cho a0, b0 a khác thỏa mãn log a

b

b ; log2a 16 b

 Tính tổng a b

A 16 B 12 C 10 D 18

Lời giải Chọn D

Ta có

16

16

log a a 2b

b

   ; log a

b b

16

4 2 16

b b

b

b a

     

     a 21616 2  a b 18

Câu 14.Cho a, b số hữu tỉ thoả

2 2

1

log 360 log log

2 a b

   Khi tổng a b có giá trị là:

A 4

3 B

2

3 C

1

18 D

1

Lời giải Chọn D

Ta có:    

2 2 2 2

1 1 1

log 360 log 3log 2 log log log log

6 6

      

Đồng hệ số ta có:

3

a ,

6

b Do

2

a b 

Câu 15.Cho số thực x,y thỏa mãn 2x 3, 3y 4 Tính giá trị biểu thức P8x9y

A 43 B 17 C 24 D log log 432  32 Lời giải

Chọn A

Ta có P8x9y    2x 3 3y mà 2x 3,3y 4 Suy ra: P   2x 3 3y  33 42 43 Câu 16.Cho a0,b0 thỏa mãn a2b2 7ab Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A log  3log log 

a b  a b B 2 log alogblog 7 ab C 3log  1log log 

2

a b  a b D log 1log log 

3

a b

a b

  

Trang | 16 Ta có: a2b2 7aba b 2 9ab2loga b log 9 ab

    log log

2 log log log log log log

2

a b

a b a b a b 

        

 

1

log log log

3

a b

a b



  

Câu 17.Cho a, b, c số thực dương khác Hình vẽ bên đồ thị hàm số

, , log

x x

c

ya yb y x

Mệnh đề sau đúng?

A a b c B c b a C a c b D c a b Lời giải

Chọn B

Vì hàm số ylogc x nghịch biến nên 0 c 1, hàm số ya yx, bx đồng biến nên a1;b1

nên c số nhỏ ba số

Đường thẳng x1 cắt hai hàm số yax, ybxtại điểm có tung độ a b, dễ thấy ab(hình vẽ) Vậy c b a

Câu 18.Cho a b c, , số thực dương khác Đồ thị hàm số yax, ybx,

x

yc cho hình bên Chọn khẳng định khẳng định sau:

A 1  c a b B c  a b

C c  1 b a D c  1 a b

Lời giải Chọn D

Đồ thị hàm số x

yc xuống lên hàm số ycx nghịch biến, suy 0 c Đồ thị hàm số x

ya ybx lên hàm số yax ybx đồng biến, suy a1 b1

Với x1 ta thấy ba Suy c  1 a b Do đáp án D

O x

y

1

logc y x

x yb x ya

O x

y

1

x

yb yax

x

Trang | 17 Câu 19.Biết hàm số y f x  có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số y3x qua đường thẳng x 1

Chọn khẳng định khẳng định sau: A  

3.3

 x

f x B  

9.3

 x

f x C   1

3

 x 

f x D  

3

   x

f x

Lời giải Chọn B

Trên đồ thị hàm số y3x lấy M x y 0; 0 gọi N x f x ;   điểm thuộc đồ thị hàm số f x  đối xứng với M qua đường thẳng x 1

Khi

   

0

0

0

2

2

0



      

 

  



  



x x

x x

y f x

f x y

Thay vào hàm số ban đầu ta được:   9.3

   x 

x

f x

Câu 20.Tổng bình phương tất nghiệm phương trình

2

log x3log x.log 2 0 bằng: A 20 B 18 C 6 D 25

Lời giải Chọn A

Phương trình tương đương

2

log x3log x 2

2

log

log

x x

x x

 

 

 

  



Tổng bình phương nghiệm là: 2

2 4 20

O y

1

x 

3x

y

1

1

Trang | 18 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia