DEDA HSG TOAN 8

[r]

đề kiểm tra học sinh giỏi Năm hc: 2009-2010

Môn: Toán 8

(Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1( điểm): Cho biểu thức:

P =

2

2 2

2x 2x 21 2x 8x

:

4x 12x 13x 2x 20 2x 4x 4x

   

 

  

        

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x



c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị ngun d) Tìm x để P >

Bµi 2(3 điểm):Giải phơng trình:

a) 2 15x 12 1

x 3x x 3x

 

    

     

b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10

25 23 21 19

   

   

c) Cho c¸c sè x, y, z tho¶ m·n: 2 3 x y z

x y z

x y z

   



  



   



TÝnh tæng: 2009 2010 2011

Sx y z ?

Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình:

Mt ngi xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự nh i ca ngi ú

Bài (7 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P

a Tø gi¸c AMDB hình gì?

b Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng

c Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P

d Giả sử CPBD CP = 2,4 cm, PD

PB 16 TÝnh cạnh hình chữ nhật ABCD

Bài 5(2 ®iÓm):

a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010

đáp án biểu điểm Bài 1: (6 điểm)

§KX§: x 1;x 5;x 3;x 7;x

2 2



     1® a Rót gän P =2x

2x



 2®

b x

 x

2

  hc x



 +) x

2

  … P =

2 +)

1 x

2



  …P =

3 1® c P =2x

2x



 =

2

x

 

 PZ Z x 5

 x –  ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2  x = (TM§K) x – = -1  x = (KTM§K) x – =  x = (TM§K) x – =  x = (TM§K)

KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ d P =2x

2x



 =

2

x



 0,25®

Ta cã: > §Ĩ P > th×

x 5 >  x – >  x > 0,5đ

Với x > P > 0,25 Bài 2: (3 điểm)

a) 2 15x 12 1

x 3x x 3x

 

    

     

     

15x 1

1 12

x x x x

 

     

 

      §K: x4;x1

 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)

…

 3x.(x + 4) =

 3x = hc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K)

S = { 0} 1® b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10

25 23 21 19

   

   

 148 x 169 x 186 x 199 x

25 23 21 19

   

       

       

       

       

 (123 – x) 1 1 25 23 21 19

 

  

 

 =

Do 1 1

25 23 21 19

 

  

 

 >

S = {123} 1® c Cã  3 3      

x y z x y z 3 xy yz zx

Mà theo đb xy y  z z  x 0 Gi¶ sư xy0  z1 x y

VËy ba sè có hai số o số S 1đ Bài (2 đ)

Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:

x 3x

(km / h) 10

3



(3h20’ = 31 h

3 ) 0,25® VËn tèc cđa ngêi ®i xe gắn máy tăng lên km/h là:

3x km / h 

10  0,25đ Theo đề ta có phơng trình:

3x

5 x 10

 

 

 

  0,5®

 x =150 0,5đ Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là: 3.150 45 km / h

10 Bài 4(7đ)

V hỡnh, ghi GT, KL 0,5đ

a Gọi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD  PO đờng trung bình CAM  AM//PO

tứ giác AMDB hình thang 1đ b Do AM //BD nên OBA MAE

AOB cân O nên OBA OAB

Gi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF  AIE cân I nên IAE IEA

 

FEA OAB

  , EF//AC (1) 1đ

Mặt khác IP đờng trung bình MAC nên IP // AC (2)

Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ

c MAFDBA g  g nªn MF AD

FA AB không đổi  đpcm 1đ d Nếu PD

PB 16 th×

PD PB

k PD 9k, PB 16k

9 16    

NÕu CP BD th× CBD DCP g g  CP PB PD CP

     1®

do CP2 = PB.PD

hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2

A B

C D

O M

P

I E

PD = 9k = 1,8(cm)

PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)

C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ BC = (cm)

CD = (cm) 0,5đ Bài 5: (2 ®iĨm)

a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)

= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)

= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có ®pcm

b) Cã: 2 2

1 x 1 y 1 xy (1)

    

        

      

2

2

2 2

1 1

0

1 x xy y xy

x y x y x y

0 x xy y xy

y x xy

0 x y xy

   

      

   

   

 

  

   

 

 

  

V× x1;y1 => xy1 => xy 1 0