Vành và môđun co rút cốt yếu

Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh MỤC LỤC Trang Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương 1: Các kiến thức mở đầu Chương 2: Vành môđun EC 10 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 25 SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Cơng Quỳnh tận tình hướng dẫn suốt q trình thực hồn thành đề tài Xin cảm ơn thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm- Đại học Đà Nẵng tập thể lớp 09ST giúp đỡ, đóng góp ý kiến tạo điều kiện cho việc hồn chỉnh đề tài Đà Nẵng, ngày 27 tháng năm 2013 Bùi Tá Vĩnh Sa SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh MỞ ĐẦU Cùng với phát triển tốn học đại nói chung, lý thuyết mơđun nhà tốn học quan tâm đạt nhiều kết xuất sắc Khái niệm môđun co rút cốt yếu vấn tổng quát khái niệm nhiều nhà Toán học nghiên cứu, khái quát lấy làm sở để xây dựng khái niệm Năm 2005, nhà Tốn học P.F Smith gọi mơđun M co rút cốt yếu với môđun cốt yếu N M, tồn đơn cấu từ M vào N Đây động lực để xây dựng nên khái niệm, tính chất mơđun co rút cốt yếu Với lí trên, luận văn thông qua số kết lý thuyết vành lý thuyết môđun, đặc biệt môđun co rút cốt yếu tác giả P.F Smith, cố gắng làm rõ vấn đề môđun co rút cốt yếu, mối quan hệ môđun co rút cốt yếu với vấn đề quan trọng khác lý thuyết mơđun Nội dung luận văn gồm hai chương phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo: Chương 1: Các kiến thức mở đầu Chương 2: Vành môđun co rút cốt yếu Trong chương này, nghi n cứu số vấn đề sau: • Các ti u ch để chứng minh R-môđun phải M EC: M EC M đẳng cấu với môđun EC M chứa môđun co SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh rút cốt yếu N cho tồn đơn cấu : M cấu cốt yếu : M •M • N tồn đơn M’ với môđun co rút cốt yếu M’ (Mệnh đề 2.1) i tổng trực tiếp môđun EC EC (Mệnh đề 2.2) Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun cốt yếu, môđun ất iến, môđun thương, môđun co-Hopfian n a đơn, môđun h u hạn sinh: Cho M mơđun EC khác khơng Khi đó: N môđun cốt yếu M, môđun ất biến tự đơn cấu M N môđun EC Nếu N môđun M cho ( ) ( ) với m i đơn cấu , M/N mơđun EC M co – Hopfian n a đơn M có mơđun co – Hopfian EC ( ) iđ an n a đơn R M có mơđun khơng bất biến hồn tồn Nếu M h u hạn sinh M không chứa tổng vô hạn môđun • Mối ất biến hồn tồn (Mệnh đề 2.3) i n hệ gi a môđun EC với môđun UC: Cho M tổng trực tiếp môđun UC mơđun khác ất kỳ M mơđun EC (Mệnh đề 2.7) • Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun tự do: Cho vành R m i R- mơđun EC không suy biến đẳng cấu với môđun mơđun tự (Định lý 2.10) • Mối i n hệ gi a vành EC phải phần t ch nh quy phải: Một vành R EC phải m i iđ an phải cốt yếu chứa phần t quy phải R (Bổ đề 2.12) SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh CHƯƠNG I: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU Trong chương I này, n u n khái niệm để phục vụ cho chương sau Trong toàn luận văn này, ta quy ước vành R có đơn vị khác không, ký hiệu không thiết giao hoán Định nghĩa 1.1: Cho R vành M R-môđun phải M gọi co rút với m i môđun khác không N M, tồn đơn cấu Định nghĩa 1.2: Cho môđun M Môđun N gọi cốt yếu M với môđun K khác không M ta có Kí hiệu Nếu N mơđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu N Định nghĩa 1.3: Một R-môđun phải M gọi EC (co rút cốt yếu) (essentially compressible) với m i môđun cốt yếu N M, tồn đơn cấu Định nghĩa 1.4: Ta nói R-mơđun phải M đẳng cấu với Rmôđun tồn đơn cấu Định nghĩa 1.5: Một R-môđun phải N gọi M-sinh tồn toàn cấu từ ( ) đến N cho tập số I Định nghĩa 1.6: Ta kí hiệu: , SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa - tập tất môđun M-sinh môđun Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh Nếu N môđun cốt yếu mơđun nội xạ E , - gọi bao M -nội xạ N Kí hiệu: ̂ Định nghĩa 1.7: R-môđun phải M gọi co-Hopfian m i đơn cấu M đẳng cấu Định nghĩa 1.8: Một R-môđun phải M gọi môđun giao hai môđun khác không M khác không Định nghĩa 1.9: Một môđun khác không đơn khơng có mơđun khơng tầm thường Nếu M tổng trực tiếp môđun đơn, nghĩa M gọi mơđun n a đơn Định nghĩa 1.10: Môđun M gọi nội xạ (injective) với m i đơn cấu f : K  N , m i đồng cấu g : K  M tồn đồng cấu f : N  M cho f f  g Định nghĩa 1.11: Cho vành R Một phần t x thuộc R ũy inh SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa với số nguy n dương n Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh Một iđ an phải gọi ũy inh m i phần t ũy inh Định nghĩa 1.12: Một R-môđun phải M có chiều Goldie h u hạn n tồn ( * +) môđun M môđun cốt yếu M Định nghĩa 1.13: Cho M R-môđun phải, S tập khác r ng M ( ) Ta ký hiệu: * +, ( ) * + Định nghĩa 1.14: Cho R vành Một R-môđun phải M khác không gọi nguyên tố ( ) ( ) với môđun khác không N M Định nghĩa 1.15: Một R-module phải M gọi UC (co rút đều) (uniform compressible) với m i môđun N M, tồn đơn cấu Định nghĩa 1.16: Cho M R-môđun phải ( ) * + Môđun M gọi suy biến ( ), không suy biến ( ) Định nghĩa 1.17: Một R-môđun phải M gọi có đủ m i môđun khác không M chứa môđun Định nghĩa 1.18: Cho vành R Iđ an phải I vành R gọi iđ an phải cực tiểu iđ an phải R chứa I khác I Nói cách khác khơng có iđ an phải R chứa I khác I khác Định nghĩa 1.19: Tổng tất iđ an phải cực tiểu vành R iđ an phải R gọi đế phải vành R, kí hiệu SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa ( ) Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh Định nghĩa 1.20: Cho R vành R gọi vành EC phải Định nghĩa 1.21: Một phần t c R gọi ch nh quy phải h : Với m i iđ an I R, tập phần t c R cho t ch nh quy phải vành thương ⁄ k hiệu SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa EC ( ) phần ( ) Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh HƯƠNG II: VÀNH VÀ MƠĐUN EC Trong chương chúng tơi tiến hành làm rõ mối liên hệ gi a môđun co rút cốt yếu với môđun đơn, môđun n a đơn, môđun nguyên tố, môđun n a nguyên tố, môđun co-Hopfian, môđun h u hạn sinh, tổng trực tiếp môđun, chiều Goldie h u hạn môđun, môđun đều, môđun co rút đều, môđun tự Mệnh đề 2.1: Các điều kiện sau tương đương R-môđun phải M a M EC b M đẳng cấu với môđun EC c M chứa môđun co rút cốt yếu N cho tồn đơn cấu : M N d Tồn đơn cấu cốt yếu : M M’ với môđun co rút cốt yếu M’ Chứng minh: (a) ⇒(b): M EC tồn đơn cấu suy M đẳng cấu với M (b) ⇒(c): Giả s tồn môđun co rút cốt yếu M’ đẳng cấu với M Khi tồn đơn cấu: Đặt ( ) Ta có N N EC Thật vậy: với m i N’ môđun cốt yếu N, N’ SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa N M M nên N’ Trang Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh môđun cốt yếu M Suy tồn đơn cấu ( ) Xét (do M EC) hay đơn cấu Vậy N EC Khi đơn cấu (c) ⇒(a): Với m i L môđun cốt yếu M Khi L yếu N Thật : với B N, B B khác N EC nên tồn đơn cấu: :N Xét : L x (d) ⇒(b): Ta có L N N) = (B L) N Mặt N L x đơn cấu Vậy M EC ánh xạ bao hàm, (a) ⇒(d): Xét (L N mơđun cốt :M M, ta điều phải chứng minh đơn cấu Vì đơn cấu cốt yếu nên (M) môđun cốt yếu M’ Mặt khác, M’ EC nên tồn đơn cấu ( ) Khi ’ : M’ Xét đơn cấu ’ : (M) M (m) m M đơn cấu Vậy M’ đẳng cấu với M Mệnh đề 2.2: Mỗi tổng trực tiếp môđun EC EC Chứng minh: SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 10 Vành môđun co rút cốt yếu Giả s M = , với GVHD: TS Trương Công Quỳnh ( ) môđun EC, với I tập số Với m i L mơđun cốt yếu M L i EC nên tồn đơn cấu I Mà =∑ Xét tương ứng ( • x,y :M : L , với m i L xác định (∑ ∑ ) ( ), với ) M : x= ∑ ( ) , i I hay ∑ • mơđun cốt yếu , y= ∑ mà: x=y ( )= ∑ ( ) M : x+y = ∑ ( x,y ∑ , ( ) =∑ ( • x,y ( ), i ( )- = ∑ ) , ( ) - = ,∑ M : (x) = (y) ∑ I hay , i , i I suy (x) = (y) Vậy ( ( )+∑ )=∑ = ) = ∑ ( )= (x)+ (y) ( )-r = (x)r Vậy ( )=∑ ( )= ánh xạ ( ) = r R : (xr) đồng cấu ( ) ( ) Suy I x = y Do đơn cấu Vậy M EC Mệnh đề 2.3: Cho M mơđun EC khác khơng Khi đó: a Nếu N môđun cốt yếu M, môđun bất biến tự đơn cấu M N môđun EC b Nếu N môđun M cho ( ) ( ) với đơn cấu , M/N mơđun EC SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 11 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh c M co – Hopfian nửa đơn M có mơđun co – Hopfian EC ( ) iđêan nửa đơn R d e M có mơđun khơng bất biến hồn tồn f Nếu M hữu hạn sinh M không chứa tổng vô hạn môđun bất biến hồn tồn Chứng minh: a • Xét trường hợp N môđun cốt yếu M, với M môđun EC khác không Với m i N’ mơđun cốt yếu N N’ mơđun cốt yếu M Vì M EC nên tồn đơn cấu ( ) n N đơn cấu Suy • Xét trường hợp N N K đơn cấu Vậy N EC M cho môđun cốt yếu M Theo giả thiết, tồn đơn cấu f: tự đơn cấu M nên ( ) nhúng b Với m i , xác định bất biến tự đơn cấu M K môđun cốt yếu ồn N’ M Suy Ta có Suy ( ) mơđun cốt yếu Và cốt yếu Vì N bất biến với m i Do f(N), N Vậy N EC , L chứa N cho SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa môđun cốt yếu Trang 12 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh Dễ dàng kiểm tra L môđun cốt yếu M Theo giả thiết, tồn đơn cấu ( ) Vì định bởi: ̅ ( ) ( ) ( ) nên ánh xạ cảm sinh ̅ xác đơn cấu Vậy , với m i EC c • Điều kiện cần hiển nhiên • Ngược lại, m i co – Hopfian EC môđun n a đơn Do theo (a), M có đế cốt yếu Vậy M n a đơn ( ) A iđ an R Gọi B iđ an R cho d Cho * Đặt tồn * + Nếu + cho Trong trường hợp Do L mơđun cốt yếu M Theo giả thiết, Ta có ( tồn đơn cấu Do ) ( ) , với Vậy A iđ an n a đơn e Giả s N mơđun bất biến hồn tồn M Theo giả thiết, tồn môđun L N đẳng cấu ( ̂ ) Do đó: ( ̂) ( ) ( ̂) ̅( ) ̅( ) mở rộng thành ̅ Từ suy ̂ … tổng trực tiếp môđun bất biến f Giả s hồn tồn M Khi tồn mơđun K M cho môđun cốt yếu M Theo giả thiết, tồn đơn cấu Từ M h u hạn sinh Chúng ta giả s ( ) SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa , với Trang 13 Vành môđun co rút cốt yếu Theo giả thiết, GVHD: TS Trương Công Quỳnh ( ) Vậy ( ) ( ) Mệnh đề 2.4: Cho M mơđun EC vành giao hốn R Khi chiều Goldie ( ) hữu hạn, với Chứng minh: Giả s N S – môđun M định bởi: ( ) , với Ta định nghĩa xác Do Vì R giao hốn nên ( ) Suy N mơđun hồn tồn ất biến M Theo Mệnh đề 2.3 (f) ta có điều phải chứng minh ( ) Nếu Mệnh đề 2.5: Cho M môđun EC hữu hạn sinh với môđun ngun tố với mơđun U khác M, tồn số ( nguyên dương n ∑ ( ) Hơn nữa, )( không suy biến ) cho M nhúng vào có chiều Goldie hữu hạn có mơđun Chứng minh: • Cho U môđun Đặt ∑* ( ) ⁄ ất kỳ khác M + Dễ dàng kiểm tra N mơđun khác bất biến hồn tồn M Mặt khác, tồn môđun K M cho: cốt yếu M Theo giả thiết, tồn đơn cấu với phép chiếu tắc Khi ( ) SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Ta đặt ( ) , Theo điều Trang 14 Vành môđun co rút cốt yếu kiện nguyên tố GVHD: TS Trương Công Quỳnh phần t S Suy ( ) ( hạn sinh nên tồn số nguy n dương n cho: ( ) • Giả s ( ) h u )( ) ( ) không suy biến Nếu U đều, ta định nghĩa ánh xạ: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) xác định bởi: ( ) ( ), với ( ) đơn cấu Rõ ràng Lưu ( ) Vì mơđun ( ) có chiều Goldie n Ngồi ra, R-mơđun suy biến Theo [2,1.10 5.10 (1)] ∑ ( )⁄ ( ) ( )⁄ khơng có chiều Goldie h u hạn M Ta biết rằng, m i mơđun có chiều Goldie h u hạn có mơđun Do M có chiều Goldie h u hạn M có mơđun Mệnh đề 2.6: Cho môđun ( tổng trực tiếp môđun ) Cho N môđun khác M Khi tồn tập I’ I đơn cấu cốt yếu Chứng minh: • Nếu N môđun cốt yếu M Kết mệnh đề hiển nhiên SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 15 Vành môđun co rút cốt yếu • Giả s , với ⁄ ) Chú ý I’’ tập I tập hợp khác phép chiếu tắc Khi Xét ( cấu (vì * Theo bổ đề Zorn, tồn tập cực ( đại I’’ I cho GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh )+ ( ) đơn , theo cách chọn I’’ ) Lấy ( ) Suy ( ) Vậy ( ) môđun cốt yếu Mệnh đề 2.7: Cho M tổng trực tiếp mơđun UC Khi mơđun khác M môđun EC Chứng minh: Dùng Bổ đề 1.7 Mệnh đề 1.2, 1.4(a) Mệnh đề 2.8: Cho ̂ mơđun EC Khi đó: môđun nửa đơn a Hoặc cho mơđun b Nếu c ̂ có dãy giảm dần vô hạn môđun cốt yếu đẳng cấu với ̂ môđun nửa đơn có DCC hạng tử trực tiếp ( ̂) , với môđun co rút cốt yếu L Chứng minh: a Giả s ̂ EC khơng n a đơn Khi đó: với ̂ Vì cốt yếu khơng n a đơn n n khơng n a đơn Do đó: Lại điều kiện EC SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa có mơđun , đẳng cấu có mơđun có mơđun đẳng cấu Trang 16 Vành môđun co rút cốt yếu với Nhưng từ GVHD: TS Trương Công Quỳnh không M – nội xạ (nếu không môđun ), Tiếp tục tiến hành ta thu dãy giảm dần vô hạn riêng b Hiển nhiên (a) ( ̂ ), tồn mơđun K ̂ cho c Cho cốt yếu ̂ Theo giả thiết, N có mơđun A đẳng cấu với ̂ Vì A M-nội xạ nên tồn môđun B N cho ( ) ( ) ( ) ( ̂⁄ ( ) Do ) Vì ( ) ̂ , ̂ Ta lại có ( ) , với Suy , với mơđun L Vậy môđun EC theo Mệnh đề 1.4(b) Định lý 2.9: Các điều kiện sau tương đương với môđun M a M EC b , với c M đẳng cấu với môđun nửa đơn , với môđun với đế môđun EC không suy biến môđun EC suy biến Chứng minh: (b)⇒(a) (c)⇒(a) chứng minh Mệnh đề 1.1 1.2 (a)⇒(b): Cho M môđun EC môđun cốt yếu Theo giả thiết, tồn đơn M cho cấu ( ), tồn môđun K Đặt SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa ( ( )), ta có ( ) Vì S n a đơn n n Trang 17 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh ( ) với mơđun L S Do Suy U hạng t trực tiếp ( ) Vì M đẳng cấu với ( ) nên tồn môđun N’ M cho ( ) (a)⇒(c): Cho M Môđun Theo Mệnh đề 1.4, N’ EC cốt yếu M với mơđun L EC theo mệnh đề 1.4(a) đơn cấu đẳng cấu với M (vì tồn ) Theo Mệnh đề 1.4, ⁄ môđun EC Định lý 2.10: Cho vành R bất kỳ, R-môđun EC không suy biến đẳng cấu với môđun môđun tự Chứng minh: Cho M môđun EC không suy iến khác không Theo bổ đề Zorn, tồn môđun cốt yếu iđ an phải R tồn iđ an phải phải cốt yếu R Cho ( , đặt Với ) cho ∑ ( tập số I nh ng phần t khác khơng ) Khi R cho Khi cho iđ an phải cốt yếu R Vì M khơng suy biến nên Do mơđun cốt yếu xác định cấu Cuối ưu với môđun ( ) ( ) ( Lưu là iđ an với E th m ánh xạ ) hiển nhiên đẳng môđun cốt yếu M đẳng cấu mơđun tự ( ) Vì M EC nên tồn đơn cấu Vậy ta có điều phải chứng minh SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 18 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh Định lý 2.11: Các điều kiện sau tương đương với môđun khác không M vành R a không suy biến, EC có đủ b đẳng cấu với tổng trực tiếp suy biến ( ) R cho không R với iđêan phải không không chứa iđêan phải lũy linh khác c M không suy biến M nhúng tổng trực tiếp R-môđun phải UC Chứng minh: (a)⇒(b): Theo bổ đề Zorn, tồn tập cực đại môđun xyc ic ( cho ∑ ) môđun cốt yếu Đặt trực tiếp Dễ dàng kiểm tra Với , đặt , tồn cho ( ) Chú ý U R-môđun không suy iến cho C iđ an cốt yếu R Do tồn iđ an phải khác không A R cho Lưu A iđ an phải không suy biến R Cho B iđ an phải R cho cho Do A khơng chứa iđ an ta có phải ũy inh khác khơng R Vì vậy, với m i không suy biến không R R cho Theo Mệnh đề 2.3(d), , tồn iđ an phải khơng chứa iđ an phải ũy inh khác đẳng cấu với môđun khác không đẳng cấu với môđun cốt yếu Suy Vì M EC nên tồn đơn cấu Điều chứng minh (b) SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 19 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh (b)⇒(c): Giả s (b) thỏa mãn, rõ ràng không suy biến Chúng ta cần R-môđun phải cốt yếu với m i Nếu B môđun khác không A theo giả thiết, cho đặt Vì giả s Khi tồn xác định bởi: Suy ánh xạ ( ) đồng cấu khác không Chú ý đồng cấu khác không từ môđun đến môđun không suy iến đơn cấu Điều chứng tỏ A môđun co rút (c)⇒(a): Nếu m phần t khác không M mR nhúng tổng trực tiếp h u hạn môđun mR chứa mơđun Suy M có đủ Cuối cùng, M EC theo Mệnh đề 2.7 Bổ đề 2.12: Một vành R EC iđêan phải cốt yếu chứa phần tử quy phải R Chứng minh: • Giả s R vành EC Gọi I iđ an phải cốt yếu R Khi Do tồn đơn cấu cốt yếu ( ) ( ) + Ta () có * + * (vì + * mơđun EC) Ta đặt ( ) +=* Suy i quy Vậy m i iđ an phải cốt yếu R có chứa phần t quy • Cho vành R Gọi I iđ an phải cốt yếu R Theo giả thiết, I chứa phần t quy c Xét tương ứng SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa xác định bởi: ( ) Trang 20 Vành môđun co rút cốt yếu mà hay ( ) ) hay ( ) suy ( ) Vậy f ánh xạ ( ( GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh ( Ta có ) ( ) ) * ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy f đồng cấu ( ) + * + ( ) Do f đơn cấu Vậy EC hay R EC Mệnh đề 2.13: Cho R vành EC phải Khi đó: a Mỗi iđêan R R-môđun EC b Mỗi môđun cốt yếu môđun tự môđun EC c Nếu A iđêan R với SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa ⁄ khơng mơđun EC Trang 21 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu hệ thống hóa số kết sau: Trình ày định nghĩa số tính chất vành môđun co rút cốt yếu Nghi n cứu số kết mơđun EC: • Các ti u ch để chứng minh R-môđun phải M EC: M EC M đẳng cấu với môđun EC M chứa môđun co rút cốt yếu N cho tồn đơn cấu : M cốt yếu : M •M N tồn đơn cấu M’ với môđun co rút cốt yếu M’ (Mệnh đề 2.1) i tổng trực tiếp môđun EC EC (Mệnh đề 2.2) • Mối i n hệ gi a mơđun EC với môđun cốt yếu, môđun ất iến, môđun thương, môđun co-Hopfian n a đơn, môđun h u hạn sinh (Mệnh đề 2.3) • Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun UC: Cho M tổng trực tiếp mơđun UC mơđun khác ất kỳ M môđun EC (Mệnh đề 2.7) • Mối i n hệ gi a mơđun EC với môđun tự do: Cho vành R m i R- mơđun EC khơng suy biến đẳng cấu với môđun môđun tự (Định lý 2.10) SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 22 Vành mơđun co rút cốt yếu • GVHD: TS Trương Công Quỳnh Mối i n hệ gi a vành EC phải phần t ch nh quy phải: Một vành R EC phải m i iđ an phải cốt yếu chứa phần t quy phải R (Bổ đề 2.12) SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 23 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: TS Trương Công Quỳnh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F Cedo, D Herbera, The Ore condition for polynomial and power series rings, Comm Algebra 23 (14) (1995) 5131-5159 [2] A.W Chatters, C.R Hajarnavis, Rings with Chain Conditions, Pitman, Boston, 1980 [3] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith, R Wisbauer, Extending Modules, Longman, Harlow, 1994 [4] K.R Goodearl, R.B Warfield Jr, An Introduction to Non- commutative Noetherian Rings, London Math Soc Stud Texts, vol 16, 1989 [5] P.F Smith, Essentially compressible modules and rings, Journal of Algebra 304 (2006) 812-831 [6] Nguyễn Xuân Tuyến - L Văn Thuyết, Đại số trừu tượng, NXB Giáo dục, 2005 SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa Trang 24 ... môđun cốt yếu ồn N’ M Suy Ta có Suy ( ) môđun cốt yếu Và cốt yếu Vì N bất biến với m i Do f(N), N Vậy N EC , L chứa N cho SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa môđun cốt yếu Trang 12 Vành môđun co rút cốt. .. a môđun co rút cốt yếu với môđun đơn, môđun n a đơn, môđun nguyên tố, môđun n a nguyên tố, môđun co- Hopfian, môđun h u hạn sinh, tổng trực tiếp môđun, chiều Goldie h u hạn môđun, môđun đều, môđun. .. 2.13: Cho R vành EC phải Khi đó: a Mỗi iđêan R R -môđun EC b Mỗi môđun cốt yếu môđun tự môđun EC c Nếu A iđêan R với SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa ⁄ khơng môđun EC Trang 21 Vành môđun co rút cốt yếu GVHD: