Về căn jacobson, js căn và các lớp căn của nửa vành (TT)

I HC HU TRNG I HC S PHM -oOo- Lấ HONG MAI V CN JACOBSON, JS -CN V CC LP CN CA NA VNH Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 62 46 01 04 TểM TT LUN N TIN S TON HC HU - NM 2016 Cụng trỡnh c hon thnh ti: Khoa Toỏn, Trng i hc S phmi hc Hu Ngi hng dn khoa hc: PGS.TSKH Nguyn Xuõn Tuyn Phn bin 1: Phn bin 2: Phn bin 3: Lun ỏn s c bo v ti Hi ng chm lun ỏn cp i hc Hu hp ti: Vo hi gi ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti th vin: M U Lý chn ti Khỏi nim cn c nghiờn cu ln u tiờn bi Cartan cho cỏc i s Lie hu hn chiu trờn cỏc trng úng i s Cn ca mt i s Lie hu hn chiu A l iờan gii c ln nht ca A v nú t c bng cỏch ly tng tt c cỏc iờan gii c ca A i s Lie A c gi l na n nu cn ca nú bng Cartan ó ch rng i s Lie na n l tng trc tip ca hu hn i s Lie n Hn na, ụng cũn mụ t c cỏc i s Lie n hu hn chiu trờn cỏc trng úng i s Do ú, cu trỳc ca cỏc i s Lie na n hu hn chiu l hon ton c xỏc nh Wedderburn ó m rng kt qu núi trờn cho cỏc i s kt hp hu hn chiu trờn cỏc trng ễng nh ngha cn ca mt i s A nh vy, kớ hiu rad(A), l iờan ly linh ln nht ca A v nú cng bng tng tt c cỏc iờan ly linh ca A Tng t nh Cartan, Wedderburn gi mt i s hu hn chiu A l na n nu rad(A) = ễng ó chng minh c rng i s hu hn chiu A l na n nu v ch nu nú l tng trc tip ca hu hn cỏc i s n hu hn chiu Ai , ú mi Ai l mt i s ma trn trờn mt i s chia c hu hn chiu Artin ó m rng nh lý ca Wedderburn cho cỏc vnh tha iu kin cc tiu (gi l vnh Artin) Vi cỏc vnh R nh vy, tng ca cỏc iờan ly linh R l ly linh, ú R cú mt iờan ly linh ln nht rad(R), c gi l cn Wedderburn ca R Nh vy, nh lý ca Wedderburn cho cỏc i s n v na n ó c m rng thnh cụng cho cỏc vnh Artin mt phớa Tuy nhiờn, i vi vnh khụng Artin mt phớa R, tng ca cỏc iờan ly linh R khụng cũn l ly linh v nh vy, R khụng cú iờan ly linh ln nht, ú chỳng ta khụng cú khỏi nim cn cho cỏc vnh bt k Nm 1945, Jacobson [25] xut khỏi nim cn (c gi l cn Jacobson) cho vnh kt hp bt k l tng ca tt c cỏc iờan phi ta chớnh quy phi c bit, R l vnh Artin mt phớa thỡ khỏi nim cn Jacobson v cn Wedderburn ca R l trựng K t õy, khỏi nim cn Jacobson tr thnh mt nhng cụng c hu dng nghiờn cu cu trỳc vnh Cn Jacobson ca lý thuyt vnh v cỏc liờn quan ó c trỡnh by tng i y v cú h thng cỏc ti liu nh: Gardner-Wiegandt [11], Lam [36] v Anderson-Fuller [6] Khỏi nim na vnh c gii thiu bi Vandiver [56] vo nm 1934, l tng quỏt húa khỏi nim vnh kt hp theo ngha khụng ũi hi tớnh i xng ca phộp cng Trong thp niờn 30 ca th k 20, khỏi nim na vnh cha c cng ng toỏn hc quan tõm nhiu Tm quan trng ca na vnh lý thuyt khoa hc mỏy tớnh, u tiờn c cụng nhn bi Schă utzenberger [52] Ngy nay, na vnh c phỏt trin c v phng din lý thuyt ln ng dng Cỏc tớnh cht, ng dng ca na vnh v cỏc liờn quan ó c trỡnh by cỏc ti liu nh: Golan [13], Berstel-Reutenauer [8] v Polỏk [18] Gn õy, na vnh cng ly ng (cũn c gi l na vnh ly ng bi mt s tỏc gi) c cỏc nh toỏn hc quan tõm nh: Gathmann [12] v IzhakianRowen [23] vỡ na vnh cng ly ng l tõm im ca cỏc i tng tng i mi nh hỡnh hc tropical v i s tropical Cựng vi ú, khỏi nim na mụun trỏi n trờn na vnh cng ly ng cng c quan tõm nghiờn cu nh: Izhakian-Rhodes-Steinberg [24] ó mụ t tt c cỏc lp na mụun trỏi n trờn mt i s na nhúm hu hn ly ng BS (S l mt na nhúm hu hn), Kendziorra-Zumbrăagel [32] ch luụn tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh cú n v hu hn cng ly ng v Katsov-Nam-Zumbrăagel [29] ch luụn tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh y ch cú tng ng tm thng vi RR = Tuy nhiờn, s tn ti na mụun trỏi n trng hp na vnh núi chung l mt cha cú li gii T nhng ny gi ý chỳng tụi nghiờn cu cu trỳc cỏc na vnh Tng t nh vnh, lun ỏn ny chỳng tụi s dng mt nhng cụng c hu dng nghiờn cu cu trỳc cỏc na vnh ú l cụng c cn Núi chung, cn ca na vnh l mt iờan cụ lp gm tt c cỏc phn t xu ca na vnh cho na vnh thng theo cn ca nú khụng cú phn t xu Cn ca na vnh bt u c quan tõm bi mt s nh toỏn hc t thp niờn 50 ca th k 20 c bit, nm 1951 Bourne [9] ó gii thiu khỏi nim cn Jacobson (hay J -cn) ca na vnh theo iờan na chớnh quy mt phớa Ngoi ra, Bourne cng ó chng minh c mi iờan trỏi (phi) ly linh ca na vnh b cha J -cn [9, Theorem 7] v tớnh c J -cn ca na vnh ma trn trờn na vnh cú n v [9, Theorem 9] Nm 1958, Bounne v Zassenhaus [10] gii thiu mt lp cỏc iờan c biờt ca na vnh m nú c gi l iờan cụ lp (hay k -iờan) v chng minh c J -cn ca na vnh l mt iờan cụ lp Cn Jacobson ca cỏc na vnh tip tc c nghiờn cu bi Iizuka theo quan im lý thuyt biu din Trong [21], Iizuka ó s dng lp cỏc na mụun trỏi bt kh quy c trng J -cn ca na vnh [21, Theorem 8] ễng cng gii thiu khỏi nim iờan nguyờn thy cụ lp mnh ca na vnh v c trng J -cn l giao ca tt c cỏc iờan nguyờn thy cụ lp mnh [21, Theorem 6], v ch mi liờn h gia J -cn ca na vnh v cn Jacobson vnh sai phõn ca nú [21, p 420] Ngoi ra, ụng gii thiu mt lp iờan c bit ca na vnh m c gi l h-iờan v chng minh J -cn ca cỏc na vnh l mt h-iờan Trong [38], LaTorre ó chng minh J -cn ca na vnh l k -iờan (h-iờan) phi sinh bi tt c cỏc k -iờan (h-iờan) phi na chớnh quy phi [38, Theorem 3.1] v nu R l mt vnh thỡ hai khỏi nim cn Jacobson ca vnh v na vnh l trựng [38, Theorem 3.2] Ngoi ra, ụng thit lp c mt s tớnh cht quen thuc liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh c bit, LaTorre ó mụ t cu trỳc ca na vnh cng chớnh quy J -na n [38, Theorem 3.4] Tuy nhiờn, cỏc kt qu liờn quan n J -cn ca na vnh n thi im ny cũn rt khiờm tn so vi cỏc kt qu liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh Gn õy, Katsov-Nam ó nhn c mt s kt qu liờn quan n J -cn i vi cỏc na vnh [26, Section v 4], c bit l cỏc kt qu liờn quan n cu trỳc ca cỏc na vnh thụng qua J -cn nh nh lý ca Hopkins i vi na vnh Artin [26, Corollary 4.4] v nh lý cu trỳc i vi na vnh nguyờn thy [26, Theorem 4.5] Tuy nhiờn, mt hn ch ca J -cn l cỏc na vnh cng ly ng thuc v lp cn cm sinh ca nú, tc l, nu R l na vnh cng ly ng thỡ J(R) = R ([26, Example 3.7] hoc [53, Mnh 2.5 ]) khc phc ny, Katsov-Nam gii thiu khỏi nim Js -cn (mt dng tng quỏt húa cn Jacobson lý thuyt vnh) ca cỏc na vnh bng cỏch s dng lp cỏc na mụun trỏi n [26, p 5076] v nhn c nh lý mụ t cu trỳc ca na vnh cng ly ng hu hn Js -na n thụng qua cn ny [26, Theorem 3.11] ng thi, h cng ch rng J -cn v Js -cn l trựng i vi lp tt c cỏc vnh nhng trng hp chung ca na vnh thỡ khỏc nhau, chng hn lp cỏc na vnh cng ly ng [26, Example 3.7], v ch mi quan h gia chỳng cho cỏc na vnh cng chớnh quy v na vnh giao hoỏn [26, Proposition 4.8] Tuy nhiờn, mi quan h gia J -cn v Js -cn ca cỏc na vnh trng hp tng quỏt thỡ cha bit lm sỏng t iu ny, mt t nhiờn c t l xột mi quan h gia cỏc cn ny Bi toỏn [26, Problem 1] Mụ t lp cỏc na vnh R cho Js (R) J(R), trng hp c bit Js (R) = J(R) Trong lun ỏn ny, chỳng tụi tip tc s dng cụng c J -cn v Js -cn nghiờn cu cu trỳc mt s lp cỏc na vnh, thit lp mt s kt qu quan trng liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh, mụ t mi quan h gia J -cn v Js -cn i vi mt s lp cỏc na vnh, qua ú tr li mt phn Bi toỏn [26, Problem 1] Ngoi ra, lun ỏn ny cng quan tõm cn ca na vnh theo quan im Kurosh-Amitsur u thp niờn 50 th k 20, Amitsur [2, 3, 4] v Kurosh [34] l nhng nh toỏn hc u tiờn c lp khỏm phỏ rng tt c cỏc cn c in cú cỏc tớnh cht chung no ú v h ó s dng cỏc tớnh cht i s ny tiờn húa nh ngha lp cn tru tng Nm 1988, cn Kurosh-Amitsur cho mt phm trự i s chung c xut bi Mỏrki-Mlitz-Wiegandt [46] Nm 2004, cn ca vnh theo quan im Kurosh-Amitsur v cỏc kt qu liờn quan ó c trỡnh by mt cỏch cú h thng bi Gardner-Wiegandt [11] Trong ú, ng vi mi lp cn cho trc ta luụn xỏc nh c mt toỏn t cn hay phộp ly cn (gi l -cn hay cn Kurosh-Amitsur) v ngc li vi mi toỏn t cn cho trc ta luụn xỏc nh c mt lp cn Nm 1983, Olson-Jenkins [48] ó tng quỏt húa khỏi nim lp cn lý thuyt vnh cho trng hp na vnh v sau ú mt s liờn quan n lp cn ca cỏc na vnh c Olson v cỏc cng s ca ụng trỡnh by mt lot cỏc cụng trỡnh [49, 50, 51] Ngoi ra, cn Kurosh-Amitsur cho cỏc phm trự na trng c nghiờn cu bi Weinert-Wiegandt [59, 60, 61], phm trự nhúm c nghiờn cu bi Krempa-Malinawska [33] v Li-Zhang [42] Gn õy, cn Kurosh-Amitsur ca cỏc na vnh tip tc c nghiờn cu Trong [15, p 652], Hebisch-Weinert ó xõy dng c cỏc lp cn t cỏc lp c bit v c bit yu Morak [47] ó xõy dng ba tr ct ca cn Kurosh-Amitsur ca na vnh mt cỏch c lp ú l: Lp cn, lp na n v toỏn t cn v Hebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] ó ch c s tng ng 1-1 gia ba tr ct ú Trong [16, Theorem 3.4], Hebisch-Weinert ó chng minh c t mt lp cn theo quan im lý thuyt vnh luụn xõy dng c mt lp cn theo quan im lý thuyt na vnh Ngoi ra, Morak [47, Theorem 5.3] cng xõy dng c mt lp cn t mt lp chớnh quy cỏc na vnh cho trc c gi l lp cn trờn Trong [11, p 28], lp cn di ca mt lp cỏc vnh l giao tt c cỏc lp cn cha v nú l lp cn nh nht cha , kớ hiu L Cú mt vi phng phỏp xõy dng lp cn di ca mt lp ca cỏc vnh ú l phng phỏp ca Watters [58], phng phỏp ca Kurosh [34] v phng phỏp ca Lee [40] Lp cn di ca mt lp cỏc na vnh thỡ c nh ngha tng t nh lý thuyt vnh v lp cn di ca mt lp A cỏc na vnh cng c kớ hiu l LA Trong [63, Theorem 2.6], Zulfiqar ó xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh theo phng phỏp tng t ca Watters Ngoi ra, Zulfiqar [62, 64] cng ó tng quỏt húa khỏi nim tng ca hai lp cn v giao ca mt lp cn vi tng ca hai lp cn lý thuyt vnh c xõy dng bi Lee-Propes [11] cho trng hp na vnh Tớnh cht di truyn ca lp cn cỏc vnh thỡ c nghiờn cu bi Anderson-Divinsky-Sulớnski [5] v Morak [47, Section 6] ó tng quỏt húa cỏc tớnh cht ny cho trng hp lp cn ca cỏc na vnh Tuy nhiờn, nhng kt qu liờn quan cn Kurosh-Amitsur ca na vnh cho n thi im hin ti cũn khỏ khiờm tn so vi cỏc kt qu tng ng cn Kurosh-Amitsur lý thuyt vnh Vi cỏc lý trờn, chỳng tụi chn ti V cn Jacobson, Js -cn v cỏc lp cn ca na vnh lm ti lun ỏn Nhng sau ca ti c trung nghiờn cu (1) S dng cụng c J -cn v Js -cn nghiờn cu cu trỳc ca mt s lp cỏc na vnh v thit lp mt vi kt qu quan trng liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh (2) Thit lp mi quan h gia J -cn v Js -cn trờn mt s lp cỏc na vnh (qua ú tr li mt phn Bi toỏn [26, Problem 1]) Mụ t mt s lp na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n (qua ú tr li mt phn Bi toỏn [1, Problem 1]) (3) Nghiờn cu cỏc liờn quan n lp cn cỏc na vnh nh: xut khỏi nim na vnh chp nhn c v c trng lp cn theo khỏi nim na vnh chp nhn c v ng cu, xõy dng lp cn t mt lp cho trc cỏc na vnh v nghiờn cu tớnh di truyn ca lp cn cỏc na vnh Mc ớch nghiờn cu Mụ t y cu trỳc cỏc na vnh J -na n hoc Js -na n v thit lp mt vi kt qu quan trng liờn quan n cn Jacobson lý thuyt vnh cho trng hp na vnh So sỏnh Js -cn v cn Nil trờn lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Thit lp iu kin cn v J -cn v Js -cn trựng trờn lp cỏc na vnh na n, lp cỏc na vnh cng -chớnh quy, lp cỏc na vnh phn b chn v lp cỏc V-na vnh Mụ t mt s lp cỏc na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n c trng lp cn ca na vnh theo khỏi nim na vnh chp nhn c, xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh v thit lp iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn i tng v phm vi nghiờn cu 3.1 i tng nghiờn cu: - J -cn, Js -cn ca na vnh - Lp cn ca na vnh 3.2 Phm vi nghiờn cu: i s kt hp Lý thuyt na vnh v na mụun Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp nghiờn cu toỏn lý thuyt v phng phỏp c thự ca lý thuyt na vnh v na mụun - S dng cụng c cn nh: J -cn, Js -cn v lp cn nghiờn cu cu trỳc cỏc na vnh v cỏc liờn quan í ngha khoa hc v thc tin Mụ t y cu trỳc na vnh cng -chớnh quy J -na n Chng t s tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh cng ly ng, chng minh Js -cn trựng vi cn Nil trờn lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i, thit lp mt kt qu tng t ca Snapper v cn Jacobson ca vnh a thc lý thuyt vnh cho trng hp na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i v cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Js -na n Tr li mt phn cỏc Bi toỏn [26, Problem 1] v [1, Problem 1] c trng lp cn ca cỏc na vnh theo na vnh chp nhn c v ng cu Xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh, mt lp cỏc na vnh úng ng cu Thit lp iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn Chng t lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn Tng quan v cu trỳc ca lun ỏn Chng KIN THC CHUN B V NA VNH V NA MễUN Trong chng ny, s dng cỏc ti liu tham kho [9], [13], [21] v [26] trỡnh by li mt s khỏi nim v tớnh cht liờn quan n na vnh v na mụun iu ny l cn thit trỡnh by cỏc chng chớnh ca lun ỏn (Chng v Chng 3) Ni dung chng ny c chia lm bn tit gm: Na vnh v na mụun; Quan h tng ng, na vnh thng v na mụun thng; ng cu na vnh v ng cu na mụun; Kt lun Chng 1.1 Na vnh v na mụun Tit ny chỳng tụi trỡnh by li mt s khỏi nim v cho cỏc vớ d liờn quan na vnh v na mụun nh: khỏi nim na vnh, na vnh con, iờan, na mụun, na mụun con, 1.2 Quan h tng ng, na vnh thng v na mụun thng tit ny, chỳng tụi gii thiu li khỏi nim tng ng trờn na vnh v na mụun, cỏch xõy dng na vnh thng v na mụun thng Ngoi ra, chỳng tụi cho mt vi vớ d v nhn xột cho cỏc khỏi nim ny 1.3 ng cu na vnh v ng cu na mụun Trong tit ny, chỳng tụi trỡnh by li mt s khỏi nim v kt qu liờn quan n ng cu na vnh v na mụun Chỳng tụi cho cỏc vớ d v nhn xột nhn thy s khỏc bit ca ng cu na vnh v na mụun vi ng cu vnh v mụun 1.4 Kt lun Chng Chng V CN JACOBSON, JS -CN CA NA VNH Trong chng ny, s dng cn Jacobson (J -cn) v Js -cn mụ t cu trỳc cỏc na vnh cng -chớnh quy, na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i c bit, chỳng tụi nghiờn cu mi quan h gia cn Jacobson v Js -cn trờn lp cỏc na vnh na n, lp cỏc na vnh cng -chớnh quy, lp cỏc na vnh phn b chn Artin trỏi v lp cỏc V-na vnh trỏi Artin trỏi; nghiờn cu mi quan h gia Js -cn v cn Nil trờn lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Mụ t mt s lp cỏc na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n Thit lp cỏc kt qu tng t nh lý ca Hopkins v cn Jacobson ly linh v nh lý ca Snapper v cn Jacobson ca vnh a thc lý thuyt vnh cho trng hp na vnh Ni dung chng ny c chia lm nm tit gm: V cn Jacobson ca na vnh, V Js -cn ca na vnh, V mi quan h gia cn Jacobson v Js -cn ca na vnh, V V-na vnh trỏi (phi) Js -na n v Kt lun Chng Cỏc kt qu chớnh chng ny c trớch t cỏc kt qu cỏc bi bỏo [53], [43], [44] v [45] 2.1 V cn Jacobson ca na vnh Nm 1951, Bourne [9] s dng lp cỏc iờan na chớnh quy mt phớa nh ngha cn Jacobson ca cỏc na vnh nh ngha 2.1.1 ([9, Definition 3]) Cho R l mt na vnh v I l mt iờan phi ca R Iờan I c gi l iờan na chớnh quy phi ca R nu vi mi cp i1 , i2 I thỡ tn ti j1 , j2 I cho: i1 + j1 + i1 j1 + i2 j2 = i2 + j2 + i1 j2 + i2 j1 Iờan na chớnh quy trỏi ca na vnh c nh ngha tng t Mt iờan ca na vnh c gi l iờan na chớnh quy nu nú va l iờan na chớnh quy trỏi va l na chớnh quy phi nh ngha 2.1.4 ([9, Definition v Theorem 4]) Cho R l mt na vnh 11 2.2 V Js -cn ca na vnh Trc tiờn, chỳng tụi gii thiu li khỏi nim na mụun trỏi n trờn mt na vnh Khỏi nim ny ó c mt s nhúm tỏc gi nghiờn cu thi gian gn õy nh: Zumbrăagel [65], Izhakian-Rhodes-Steinberg [24], KendziorraZumbrăagel [32], Katsov-Nam [26], Katsov-Nam-Zumbrăagel [29], Kepka-Nemec [30] v Kepka-Kortelainen-Nemec [31] nh ngha 2.2.1 ([65, Definition 3.7] hoc [26, p 5074]) Cho R l mt na vnh Mt R-na mụun trỏi M c gi l n nu cỏc iu kin sau c tha món: (1) RM = 0; (2) M l cc tiu; (3) M ch cú tng ng tm thng Vớ d 2.2.3 (1) T Nhn xột 2.2.2(2), nu R l mt vnh thỡ khỏi nim R-na mụun trỏi n trựng vi khỏi nim R-mụun trỏi n lý thuyt vnh (2) Cho R l mt na vnh nguyờn phi kh i Khi ú, B l mt R-na mụun trỏi n Tht vy, ỏnh x f : R B xỏc nh bi f (0) = v f (x) = vi mi = x R, l mt na ng cu cỏc na vnh Vỡ B l B-na mụun trỏi n nờn B cng l R-na mụun trỏi n vi phộp nhõn vụ hng xỏc nh bi: Vi mi r R, mi b B rb := f (r)b (3) Cho (M, +, 0) l mt v nhúm giao hoỏn v End(M ) l na vnh t ng cu (xem Vớ d 1.1.2(6)) Khi ú, M l mt End(M )-na mụun trỏi vi phộp nhõn vụ hng xỏc nh bi: Vi mi m M , mi f End(M ) f m := f (m) Theo [29, Proposition 4.2], nu (M, +, 0) l mt v nhúm khỏc khụng giao hoỏn ly ng thỡ M l mt End(M )-na mụun trỏi n T Nhn xột 2.2.2(2), tn ti na mụun trỏi cc tiu nhng khụng n Tuy nhiờn, mnh di õy ch rng chỳng ta cú th to na mụun trỏi n t na mụun trỏi cc tiu Mnh 2.2.4 Cho R l mt na vnh v M l R-na mụun trỏi cc 12 tiu Khi ú, tn ti mt tng ng cc i trờn M cho M := M/ l R-na mụun trỏi n Khỏi nim na mụun trỏi n trờn mt na vnh c mt s nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu Nm 2011, Izhakian-Rhodes-Steinberg ó mụ t tt c cỏc lp na mụun trỏi n trờn mt i s na nhúm hu hn ly ng BS (S l mt na nhúm hu hn) [24, Theorem 4.4] Nm 2013, Kendziorra-Zumbrăagel ch luụn tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh cú n v hu hn cng ly ng [32, Proposition 2.17] Nm 2014, Katsov-Nam-Zumbrăagel ch luụn tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh y ch cú tng ng tm thng vi RR = [29, Proposition 4.5] Tip theo, chỳng tụi chng minh luụn tn ti na mụun trỏi n trờn lp cỏc na vnh cú n v cng ly ng nh lý 2.2.5 Cho R l mt na vnh cú n v cng ly ng Khi ú, tn ti mt R-na mụun trỏi n Nm 2014, Katsov-Nam [26] s dng lp cỏc na mụun trỏi n trờn na vnh R nh ngha Js -cn ca na vnh R nh ngha 2.2.7 ([26, p 5076]) Cho R l mt na vnh (1) Iờan cụ lp Js (R) := {(0 : M )R | M J } ca na vnh R, ú J l lp tt c cỏc na mụun trỏi n trờn na vnh R, c gi l Js -cn ca na vnh R Nu J = thỡ quy c Js (R) = R (2) Na vnh R c gi l Js -na n nu Js (R) = Theo [21, Theorem 2], J(I) = I J(R) vi mi iờan I ca na vnh R Tip theo, chỳng tụi chng minh mt kt qu tng t nh vy i vi Js -cn Mnh 2.2.10 Gi s I l mt iờan ca na vnh R Khi ú, Js (I) = I Js (R) Phn tip theo, chỳng tụi mụ t Js -cn ca na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i theo phn t ly linh ca nú Nhc li rng, cn Nil ca na vnh cú n v R l giao tt c cỏc iờan nguyờn t ca R, kớ hiu N il(R) [13, p 91] Kớ hiu P r(R) v P rm (R) ln lt l tt c cỏc iờan nguyờn t v iờan nguyờn t cc tiu ca na vnh cú n v R Theo Mnh 1.1.11 v [13, Proposition 7.28], nu R l na vnh cú n v giao hoỏn thỡ N il(R) = P P r(R) P = P P rm (R) P = {r R | n : rn = 0} 13 Mnh 2.2.11 Nu R l mt na vnh cú n v giao hoỏn thỡ N il(R) Js (R) nh lý 2.2.12 Cho R l mt na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Khi ú, Js (R) = N il(R) Trong lý thuyt vnh, Snapper tớnh c cn Jacobson ca vnh a thc trờn vnh cú n v giao hoỏn nh sau [36, Theorem 5.1]: Gi s R l mt vnh cú n v giao hoỏn v R[x] l mt vnh a thc trờn R Khi ú, J(R[x]) = N il(R[x]) = N il(R)[x] p dng nh lý 2.2.12, chỳng tụi thit lp mt kt qu tng t nh lý ca Snapper cho trng hp na vnh a thc trờn na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i H qu 2.2.15 Gi s R l mt na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i v R[x] l na vnh a thc trờn R Khi ú, Js (R[x]) = N il(R[x]) = N il(R)[x] Katsov-Nam cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh cng ly ng hu hn Js -na n [26, Theorem 3.11] p dng nh lý 2.2.12, chỳng tụi cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Js -na n H qu 2.2.18 Cho R l mt na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Khi ú, cỏc iu kin sau õy l tng ng: (1) R l Js -na n; (2) R l ta dng; (3) R na ng cu vi mt tớch trc tip ca cỏc thng nguyờn cc i ca nú 2.3 V mi quan h gia cn Jacobson v Js -cn ca na vnh Tit ny chỳng tụi thit lp iu kin cn v J -cn trựng vi Js -cn trờn mt s lp cỏc na vnh Cỏc kt qu ny tr li mt phn Bi toỏn [26, Problem 1] Trc tiờn, trờn lp cỏc na vnh na n 14 nh ngha 2.3.1 ([27, p 417]) Mt na vnh cú n v R c gi l na n trỏi nu na mụun trỏi R R l tng trc tip ca cỏc iờan trỏi cc tiu ca R nh lý 2.3.4 Cho R l mt na vnh na n trỏi Khi ú, Js (R) = J(R) nu v ch nu Z(R) = Trờn lp cỏc na vnh cng -chớnh quy Na vnh cng -chớnh quy ó c cp nh ngha 2.1.12 Mnh sau õy l mt m rng [26, Proposition 4.8] ca Katsov-Nam Mnh 2.3.5 Nu R l na vnh cng -chớnh quy thỡ Js (R) J(R) nh lý 2.3.6 Cho R l mt na vnh cng -chớnh quy Khi ú, Js (R) = J(R) nu v ch nu R l mt vnh Trờn lp cỏc na vnh phn b chn Cho R l mt na vnh cú n v t P (R) := V (R) {1 + r | r R} D dng thy rng P (R) l mt na vnh ca R nh ngha 2.3.7 ([1, p 4637]) Mt na vnh cú n v R c gi l phn b chn nu P (R) = R nh lý 2.3.10 Nu R l mt na vnh phn b chn thỡ Js (R) J(R) nh lý 2.3.11 Cho R l mt na vnh phn b chn Artin trỏi Khi ú, Js (R) = J(R) nu v ch nu R l mt vnh Artin trỏi V trờn lp cỏc V-na vnh trỏi nh ngha 2.3.12 ([20, p 222]) (1) Mt na vnh cú n v R c gi l V-na vnh trỏi (phi) nu mi R-na mụun trỏi (phi) ch cú tng ng tm thng l ni x (2) Mt R-na mụun trỏi M c gi l m rng ct yu ca mt na mụun L nu vi mi ng cu : M N ca cỏc R-na mụun trỏi thỡ cỏc ng cu i v ng thi ni x, ú i : L M l mt phộp nhỳng Mnh 2.3.14 Nu R l mt V-na vnh trỏi thỡ Js (R) J(R) nh lý 2.3.16 Cho R l mt V-na vnh trỏi Artin trỏi Khi ú, Js (R) = J(R) nu v ch nu R l mt V-vnh trỏi 15 2.4 V V-na vnh trỏi (phi) Js -na n Tit ny chỳng tụi mụ t mt s lp cỏc na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n Cỏc kt qu ny tr li mt phn Bi toỏn [1, Problem 1] Trong [35, Theorem 3.75] ó khng nh rng: Tt c V-vnh trỏi (phi) R u l J -na n, tc l cú cn Jacobson bng khụng Tuy nhiờn, iu ny khụng ỳng i vi cỏc V-na vnh trỏi (phi) trng hp chung Chng hn, na trng Boolean B l mt V-na vnh trỏi (phi) v J(B) = B Hn na, [1, Theorem 3.14] ch rng: Mt V-na vnh trỏi (phi) R l J -na n nu v ch nu R l mt V-vnh trỏi (phi) Tuy nhiờn, kt qu ny khụng ỳng i vi Js -cn Chng hn, na vnh chia tht s D l mt V-na vnh trỏi (phi) Js -na n lm sỏng t iu ny mt t nh sau [1, Problem 1]: Mụ t tt c cỏc V-na vnh trỏi (phi) Js -na n Trc tiờn, chỳng tụi cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh na n m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n nh lý 2.4.1 Cho R l mt na vnh na n Khi ú cỏc iu kin sau õy l tng ng: (1) R l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n; (2) R = Mn1 (D1 ) ì ì Mnr (Dr ), ú D1 , , Dr l cỏc vnh chia hoc cỏc na vnh chia cng hỳt tht s Tip theo, chỳng tụi xột trờn lp cỏc na vnh ch cú tng ng tm thng, na vnh n nh lý 2.4.5 Cho R l mt na vnh cú n v Nu mt cỏc iu kin sau c tha thỡ R l mt V-na vnh trỏi (phi) Js -na n (1) R l mt na vnh n vi mt phn t vụ hn; (2) R l mt na vnh cụ lp trỏi (phi) Artin trỏi (phi) ch cú tng ng tm thng Cui cựng, chỳng tụi xột trờn lp cỏc na vnh cng hỳt phn b chn nh lý 2.4.7 Nu R l mt na vnh cng hỳt phn b chn thỡ R l mt V-na vnh trỏi (phi) Js -na n 16 2.5 Kt lun Chng (1) Mụ t y lp cỏc na vnh cng -chớnh quy J -na n (nh lý 2.1.14) Ngoi ra, chng minh c mt kt qu tng t ca Hopkins v cn Jacobson ly linh lý thuyt vnh cho trng hp na vnh cng gin c (nh lý 2.1.18) (2) Chng t s tn ti na mụun trỏi n trờn na vnh cng ly ng (nh lý 2.2.5), v chng minh Js -cn trựng vi cn Nil trờn lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i (nh lý 2.2.12) T kt qu ny, chỳng tụi nhn c mt kt qu tng t ca Snapper v cn Jacobson ca vnh a thc lý thuyt vnh cho trng hp na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i (H qu 2.2.15), v cho mt mụ t y lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Js -na n (H qu 2.2.18) (3) Thit lp c mt iu kin cn v J -cn v Js -cn trựng trờn lp cỏc na vnh na n (nh lý 2.3.4), lp cỏc na vnh cng -chớnh quy (Mnh 2.3.5, nh lý 2.3.6), lp cỏc na vnh phn b chn Artin trỏi (nh lý 2.3.10, nh lý 2.3.11) v lp cỏc V-na vnh trỏi Artin trỏi (Mnh 2.3.14, nh lý 2.3.16) Cỏc kt qu ny tr li mt phn cho bi toỏn [26, Problem 1] (4) Mụ t y lp cỏc na vnh na n m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n (nh lý 2.4.1) Ngoi ra, mụ t mt s lp cỏc na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n gm: lp cỏc na vnh n vi phn t vụ hn hoc lp cỏc na vnh cụ lp trỏi (phi) Artin trỏi (phi) ch cú tng ng tm thng (nh lý 2.4.5), lp cỏc na vnh cng hỳt phn b chn (nh lý 2.4.7) Cỏc kt qu ny tr li mt phn cho bi toỏn [1, Problem 1] (5) Ni dung ca chng ny c chỳng tụi vit da trờn cỏc kt qu cỏc bi bỏo [53], [43], [44] v [45] 17 Chng V CC LP CN CA NA VNH Trong Chng 3, chỳng tụi tip tc th hin ý tng dựng cụng c cn ( õy l lp cn theo quan im Kurosh-Amitsur m khụng phi l cỏc cn c th nh Chng 2) nghiờn cu cu trỳc cỏc na vnh Chỳng tụi nhn li c cỏc khỏi nim J -cn v Js -cn ca na vnh thụng qua khỏi nim lp cn ca na vnh xut khỏi nim na vnh chp nhn c (tng t khỏi nim vnh chp nhn c) c trng lp cn ca cỏc na vnh, xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh (núi riờng, xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu), thit lp iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn, chng minh lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn Cỏc kt qu chớnh chng ny c trớch t cỏc kt qu cỏc bi bỏo [54] v [22] 3.1 c trng lp cn ca na vnh theo na vnh chp nhn c Trong tit ny, chỳng tụi trỡnh by li khỏi nim lp cn, toỏn t cn, lp na n ca na vnh v mt vi kt qu liờn quan n cỏc khỏi nim ny Ngoi ra, chỳng tụi cho vớ d v cỏc lp cn J v Js m chỳng cú phộp ly cn tng ng l J -cn v Js -cn Chng Cui cựng, xut khỏi nim na vnh chp nhn c v c trng lp cn cỏc na vnh theo na vnh chp nhn c v ng cu na vnh nh ngha 3.1.1 ([48] hoc [15, p 650]) Mt lp khỏc rng R ca mt lp ph dng U cỏc na vnh c gi l lp cn ca U nu R tha hai iu kin sau: (1) R úng ng cu; (2) Vi mi S U \ R luụn tn ti iờan cụ lp tht s K ca S cho na vnh thng S/K khụng cú iờan khỏc khụng thuc R, tc l I(S/K) R = {0} Vớ d 3.1.2 Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh (1) t R := {R U | R l mt vnh} Khi ú, R l mt lp cn ca U 18 (2) Mt na vnh S c gi l na chớnh quy phi nu vi mi s, t S luụn tn ti x, y S tha s + x + sx + ty = t + y + sy + tx Khi ú, lp J := {S U | S l na vnh na chớnh quy phi}, l mt lp cn ca U Tip theo, chỳng tụi trỡnh by li mt c trng ca lp cn m nú cn thit cho phn sau nh lý 3.1.3 ([47, Theorem 3.2]) Mt lp R ca lp ph dng U l mt lp cn ca U nu v ch nu R tha iu kin sau: (1) Nu S R thỡ mi A = l nh ng cu ca S luụn tn ti B = l iờan ca A cho B R; (2) Nu S U v mi A = l nh ng cu ca S luụn tn ti B = l iờan ca A cho B R thỡ S R Vớ d 3.1.8 Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh (1) Vi mi R U, kớ hiu R := {R M |R M| | M l R-na mụun trỏi n}, := RU R v F() := {R U | R cú cha mt R-na mụun trỏi n trung thnh} Khi ú, theo [26, Proposition 3.1], ta cú F() l lp chớnh quy T [26, Proposition 3.5 v Theorem 3.2], lp Js := {R U | Js (R) = R} l mt lp cn ca U v Js = UF() Vớ d 3.1.12 Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh (1) Theo Vớ d 3.1.2(2), lp J = {S U | S l na vnh na chớnh quy phi} l mt lp cn ca U Khi ú, theo nh lý 3.1.11, J-cn ca na vnh S U l hp tt c cỏc iờan phi na chớnh quy phi ca S v nú cng l iờan na chớnh quy phi ca S Do ú, t nh ngha 2.1.4, J (S) = J(S) (2) Theo Vớ d 3.1.8, lp Js = {R U | Js (R) = R} l mt lp cn ca U Khi ú, theo [26, Theorem 3.3], Js -cn ca S l giao ca tt c linh húa t ca cỏc S -na mụun trỏi n Do ú, Js (S) = Js (S) vi mi S U Khỏi nim na vnh chp nhn c l mt khỏi nim tng t khỏi nim vnh chp nhn c lý thuyt vnh [11, p 43] nh ngha 3.1.15 Mt na vnh S ca na vnh R c gi l chp nhn c, nu tn ti mt dóy hu hn S1 , S2 , , Sn cỏc na vnh ca R cho S = S1 S2 Sn = R, 19 ú Si Si+1 (Si iờan tht s Si+1 ) nhng Si khụng nht thit l iờan ca Si+2 hoc ca R Nhn xột 3.1.16 T nh ngha 3.1.15, nu S l mt iờan ca na vnh R thỡ S l na vnh chp nhn c ca R Tuy nhiờn, iu ngc li núi chung l khụng ỳng Tht vy, xột R := B[x] l na vnh a thc trờn na trng Boolean B t S2 := {a2 x2 + + an xn | B, n 2} gm a thc khụng v tt c cỏc a thc bc ln hn hoc bng R Khi ú, S2 l mt iờan tht s ca R t S1 := {a2 x2 + a4 x4 + a5 x5 + + an xn | B, n 2} gm a thc khụng v tt c cỏc a thc bc ln hn hoc bng nhng khụng cha hng t bc R Khi ú, S1 l mt iờan tht s ca S2 v S1 l na vnh ca R nhng S1 khụng l iờan ca R bi vỡ x2 S1 v x R nhng x3 = x.x2 / S1 Tuy nhiờn, theo nh ngha 3.1.15 thỡ S1 l na vnh chp nhn c ca R Theo nh lý 3.1.3, lp cn cỏc na vnh c c trng theo iờan v ng cu na vnh Chỳng tụi c trng lp cn cỏc na vnh theo na vnh chp nhn c v ng cu na vnh õy l mt kt qu tng t ca [11, Theorem 3.1.9] lý thuyt vnh nh lý 3.1.17 Mt lp R cỏc na vnh ca lp ph dng U l mt lp cn ca U nu v ch nu R tha iu kin sau: (1) Nu R R thỡ vi mi ton cu khỏc khụng f : R S luụn tn ti mt na vnh chp nhn c khỏc khụng I ca S cho I R; (2) Nu R U v vi mi ton cu khỏc khụng f : R S luụn tn ti mt na vnh chp nhn c khỏc khụng I ca S cho I R thỡ R R 3.2 V lp cn di ca mt lp cỏc na vnh Trong tit ny, chỳng tụi xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh theo phng phỏp tng t ca Kurosh [34], v xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu theo phng phỏp tng t ca Lee [40] lý thuyt vnh Lp cn di ca mt lp cỏc na vnh c nh ngha hon ton tng t nh lp cn di ca mt lp cỏc vnh [11, p 28] Cho A l mt lp ca 20 lp ph dng U cỏc na vnh Giao tt c cỏc lp cn ca U cha A l mt lp cn nh nht ca U cha A, kớ hiu l LA Lp cn LA c gi l lp cn di ca U xỏc nh bi lp A Tip theo, chỳng tụi xõy dng lp cn ca mt lp cỏc na vnh theo phng phỏp tng t ca Kurosh [34] lý thuyt vnh Ngoi ra, chỳng tụi chng minh lp cn xõy dng theo cỏch ny l lp cn di ca lp cỏc na vnh Gi s A l mt lp bt kỡ ca lp ph dng U cỏc na vnh Chỳng tụi xỏc nh cỏc lp (A) vi mi ch s bng quy np nh di õy Trc tiờn, chỳng tụi xỏc nh bao úng ng cu (A) ca A, tc l (A) := {S U | S l nh ng cu ca mt na vnh A A} Bt u quy np, gi s cỏc lp (A) ó c xỏc nh vi mi ch s < Khi ú, chỳng tụi xỏc nh (A) nh sau: (A) := {S U | mi nh ng cu khỏc khụng ca S luụn cú iờan khỏc khụng thuc (A) vi < } Cui cựng, chỳng tụi xỏc nh lp (A) := (A), ú hp c ly trờn tt c cỏc ch s nh lý 3.2.2 Cho A l mt lp ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, lp (A) l mt lp cn cha A ca lp ph dng U nh lý 3.2.3 Cho A l mt lp ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, (A) = LA Lee [40, Theorem 1] xõy dng lp cn t mt lp cỏc vnh úng ng cu Chỳng tụi kt thỳc tit ny bng vic xõy dng lp cn t mt lp cỏc na vnh úng ng cu theo phng phỏp tng t ca Lee Ngoi ra, chỳng tụi chng t lp cn xõy dng theo cỏch ny cng l lp cn di ca lp cỏc na vnh úng ng cu nh lý 3.2.4 Cho A l mt lp úng ng cu ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, lp Y A := {S U | mi nh ng cu khỏc khụng ca S cú na vnh chp nhn c khỏc khụng thuc A} l mt lp cn cha A ca lp ph dng U 21 H qu 3.2.5 Nu R l mt lp cn ca lp ph dng U cỏc na vnh thỡ Y R = R H qu 3.2.6 Nu A l mt lp úng ng cu ca lp ph dng U cỏc na vnh thỡ Y A l lp cn di xỏc nh bi A, tc l Y A = LA Vớ d 3.2.7 Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh Gi A l lp ca U cha tt c cỏc na vnh ly linh Khi ú d dng kim tra c A l mt lp úng ng cu, nhng A khụng l lp cn ca U vỡ lp A khụng tha tớnh cht quy np nh lý 3.1.4 Tht vy, t Tn l na vnh gm tt c cỏc ma trn tam giỏc trờn cp n vi cỏc thnh phn thuc Q+ , tc l Tn := {(aij )n | aij Q+ , aij = vi i j} Khi ú, Tn l na vnh ly linh bc n vỡ Tnn = nhng Tnn1 = Xột na vnh tng trc tip ca T2 , T3 , , Tn , R := n=2 Tn Trong na vnh R cú mt dõy chuyn tng T2 T2 T3 kn=2 Tn cỏc iờan T2 , T2 T3 , , kn=2 Tn , ca R v tha R l hp k R = k=2 (n=2 Tn ) cỏc thnh phn ca dõy chuyn v mi thnh phn ca dõy chuyn l ly linh, vỡ ta luụn cú (kn=2 Tn )k = Tuy nhiờn, na vnh R khụng ly linh Do ú, lp A cha tt c cỏc na vnh ly linh khụng tha tớnh cht quy np nh lý 3.1.4 Theo H qu 3.2.6, lp Y A l lp cn nh nht ca U cha tt c cỏc na vnh ly linh Nhn xột 3.2.8 Cho R l mt vnh Khi ú, giao tt c cỏc iờan nguyờn t ca R c gi l cn Baer [36] Theo [11, Example 2.2.2], lp cn di ca mt lp tt c cỏc vnh ly linh cú phộp ly cn chớnh l cn Baer Do ú, lp cn Y A ca lp A cha tt c cỏc na vnh ly linh cú phộp ly cn tng ng vi cn Baer lý thuyt vnh 22 3.3 V lp cn di truyn ca cỏc na vnh Tit ny chỳng tụi trỡnh by li iu kin cn v mt lp cn cỏc na vnh l di truyn, t ú suy cỏc lp cn J v Js l di truyn Sau ú, chỳng tụi thit lp mt iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn Ngoi ra, chỳng tụi chng minh lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn, t ú suy lp cn Brown-McCoy l di truyn nh lý 3.3.1 ([47, Theorem 6.2 v 6.4]) Gi s R l mt lp cn ca lp ph dng U cỏc na vnh v R l toỏn t cn tng ng Khi ú, R l di truyn nu v ch nu R (I) = I R (S) vi mi iờan I ca na vnh bt kỡ S U Theo Vớ d 3.1.10 v Vớ d 3.1.12(2), J v Js l cỏc toỏn t cn tng ng vi cỏc lp cn J v Js ca lp ph dng U cỏc na vnh T nh lý 3.3.1, [21, Theorem 2] v Mnh 2.2.10 ta cú h qu sau õy: H qu 3.3.2 Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh Khi ú, cỏc lp cn J v Js ca U l di truyn Sau õy, chỳng tụi xột mt lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh m nú khụng di truyn Vớ d 3.3.3 ([47, Example 6.5]) Cho lp ph dng U gm tt c cỏc na vnh Cho S U, kớ hiu n S := { si ti | si , ti S} i=1 t M := {S U | S = 0} Theo nh ngha 3.1.6, M l mt lp chớnh quy U Theo nh ngha 3.1.7, lp U M = {S U | A = l nh ng cu ca S suy A / M} l lp cn trờn ca lp chớnh quy M Lp cn trờn U M ny l khụng di truyn Tht vy, xột na vnh S := {0, a, e} U vi hai phộp toỏn cng v nhõn c cho bi bng sau: + a e ì a e 0 a e 0 0 a a a e a 0 a e e e e e a e 23 Vỡ S cú n v e nờn S U M Tuy nhiờn, iờan I = {0, a} ca S tha I = nờn I M iu ny dn n I / U M Do ú, lp cn trờn U M khụng di truyn Tip theo, chỳng tụi thit lp mt iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn Ngoi ra, chỳng tụi chng minh lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v thỡ luụn di truyn nh lý 3.3.4 Gi s M l mt lp chớnh quy ca lp ph dng U cỏc na vnh Khi ú, lp cn trờn U M l di truyn nu v ch nu M tha iu kin sau: Nu I l mt iờan khỏc khụng ca S U v A M l mt nh ng cu khỏc khụng ca I thỡ tn ti mt nh ng cu khỏc khụng B ca S cho B M nh lý 3.3.5 Nu M l mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v ca lp ph dng U thỡ lp cn trờn U M l di truyn Theo Vớ d 3.1.8 v nh lý 3.3.5, ta cú h qu sau õy: H qu 3.3.6 Cho lp ph dng U tt c cỏc na vnh Khi ú, Lp cn Brown-McCoy ca U l di truyn 3.4 Kt lun Chng (1) Gii thiu khỏi nim na vnh chp nhn c (nh ngha 3.1.15) c trng lp cn ca cỏc na vnh theo na vnh chp nhn c v ng cu na vnh (nh lý 3.1.17) (2) Xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh theo phng phỏp tng t ca Kurosh lý thuyt vnh (nh lý 3.2.2 v nh lý 3.2.3) S dng khỏi nim na vnh chp nhn c v phng phỏp tng t ca Lee lý thuyt vnh, chỳng tụi xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu (nh lý 3.2.4 v H qu 3.2.6) (3) Chng t cỏc lp cn J v Js l di truyn (H qu 3.3.2) Thit lp mt iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn (nh lý 3.3.4) Chng minh c lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn (nh lý 3.3.5), t ú suy lp cn Brown-McCoy l di truyn (H qu 3.3.6) (4) Ni dung ca chng ny c vit da trờn cc kt qu cỏc bi bỏo [54] v [22] 24 KT LUN CA LUN N Trong lun ỏn ny, chỳng tụi ó thu c cỏc kt qu chớnh sau õy: (1) S dng khỏi nim J -cn ca na vnh, chỳng tụi cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh cng -chớnh quy J -na n (2) Chng t luụn tn ti na mụun trỏi n trờn na vnh cng ly ng v chng minh Js -cn trựng vi cn Nil trờn lp cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i T kt qu ny, chỳng tụi nhn c mt kt qu tng t nh lý ca Snapper v cn Jacobson ca vnh a thc trờn vnh cú n v giao hoỏn cho trng hp na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Ngoi ra, chỳng tụi cho mt mụ t y cu trỳc cỏc na vnh cú n v giao hoỏn phi kh i Js -na n (3) Thit lp mt iu kin cn v J -cn v Js -cn trựng trờn lp cỏc na vnh na n, lp cỏc na vnh cng -chớnh quy, lp cỏc na vnh phn b chn Artin trỏi v lp cỏc V-na vnh trỏi Artin trỏi T cỏc kt qu ny, chỳng tụi tr li mt phn Bi toỏn [26, Problem 1] Ngoi ra, chỳng tụi cng mụ t c mt s lp cỏc na vnh m nú l V-na vnh trỏi (phi) Js -na n Qua ú, chỳng tụi tr li mt phn Bi toỏn [1, Problem 1] (4) xut khỏi nim na vnh chp nhn c v c trng lp cn ca cỏc na vnh theo na vnh chp nhn c v ng cu na vnh Xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh cho trc theo phng phỏp tng t ca Kurosh lý thuyt vnh S dng khỏi nim na vnh chp nhn c v phng phỏp tng t ca Lee lý thuyt vnh, chỳng tụi xõy dng lp cn di ca mt lp cỏc na vnh úng ng cu (5) Thit lp mt iu kin cn v lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh l di truyn v chỳng tụi chng minh c lp cn trờn ca mt lp chớnh quy cỏc na vnh cú n v luụn di truyn T kt qu ny suy lp cn Brown-McCoy ca lp ph dng U cỏc na vnh l di truyn 25 DANH MC CễNG TRèNH LIấN QUAN TRC TIP N LUN N (1) Mai L H and Tuyen N X (2016), Some remarks on the Jacobson radical types of semirings and related problems, Vietnam J Math (Online first) (2) Inassaridze H., Mai L H and Tuyen N X (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math J., 7(1), pp 69-74 (3) Mai L H and Tuyen N X (2016), On Js -semisimple left (right) V-semirings, J Adv Math Stud., 9(3), pp 437-443 (4) Mai L H (2015), On radicals of left V-semirings, Hue Univ J Sci., 107(8), pp 87-94 (5) Tuyen N X and Mai L H (2013), On a lower radical class and the corresponding semisimple class for semirings, Hue Univ J Sci., 82(4); pp 207217 CC KT QU CA LUN N C BO CO V THO LUN (1) i hi Toỏn hc Ton Quc Ln th 8, Trng S quan Thụng tin, TP Nha Trang, 08-2013 (2) Hi ngh v nhúm, biu din nhúm v cỏc liờn quan, Trng H KHTN- HQG TP HCM, 11-2013 (3) Hi ngh Toỏn hc Min Trung - Tõy Nguyờn Ln th 1, Trng H Quy Nhn, 08-2015 (4) Hi ngh i s - Hỡnh hc - Tụpụ, Buụn Ma Thut - k Lk, 10-2016 (5) Seminar ca B mụn i s - Hỡnh hc thuc Khoa Toỏn hc, Trng i hc S phm, i hc Hu [...]... và Js -căn của nửa vành thông qua khái niệm lớp căn của nửa vành Đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được (tương tự khái niệm vành con chấp nhận được) để đặc trưng lớp căn của các nửa vành, xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành (nói riêng, xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu), thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di... 3.1.15 thì S1 là nửa vành con chấp nhận được của R Theo Định lý 3.1.3, lớp căn các nửa vành được đặc trưng theo iđêan và đồng cấu nửa vành Chúng tôi đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành Đây là một kết quả tương tự của [11, Theorem 3.1.9] trong lý thuyết vành Định lý 3.1.17 Một lớp con R các nửa vành của lớp phổ dụng U là một lớp căn của U nếu và chỉ nếu R... một lớp các nửa vành đóng đồng cấu theo phương pháp tương tự của Lee [40] trong lý thuyết vành Lớp căn dưới của một lớp các nửa vành được định nghĩa hoàn toàn tương tự như lớp căn dưới của một lớp các vành [11, p 28] Cho A là một lớp con của 20 lớp phổ dụng U các nửa vành Giao tất cả các lớp căn của U chứa A là một lớp căn nhỏ nhất của U chứa A, kí hiệu là LA Lớp căn LA được gọi là lớp căn dưới của U... trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành (Định lý 3.1.17) (2) Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành (Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.3) Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng... cấu nửa vành Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu (5) Thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền và. .. chúng tôi cho ví dụ về các lớp căn J và Js mà chúng có phép lấy căn tương ứng là J -căn và Js -căn trong Chương 2 Cuối cùng, đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành Định nghĩa 3.1.1 ([48] hoặc [15, p 650]) Một lớp con khác rỗng R của một lớp phổ dụng U các nửa vành được gọi là lớp căn của U nếu R thỏa mãn... định lý của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trên vành có đơn vị giao hoán cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Ngoài ra, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js -nửa đơn (3) Thiết lập một điều kiện cần và đủ để J -căn và Js -căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π -chính quy, lớp các nửa vành phản... nguyên tố của R được gọi là căn Baer [36] Theo [11, Example 2.2.2], lớp căn dưới của một lớp tất cả các vành lũy linh có phép lấy căn chính là căn Baer Do đó, lớp căn Y A của lớp A chứa tất cả các nửa vành lũy linh có phép lấy căn tương ứng với căn Baer trong lý thuyết vành 22 3.3 Về lớp căn di truyền của các nửa vành Tiết này chúng tôi trình bày lại điều kiện cần và đủ để một lớp căn các nửa vành là... nghĩa Js -căn của nửa vành R Định nghĩa 2.2.7 ([26, p 5076]) Cho R là một nửa vành (1) Iđêan cô lập Js (R) := ∩{(0 : M )R | M ∈ J } của nửa vành R, trong đó J là lớp tất cả các nửa môđun trái đơn trên nửa vành R, được gọi là Js -căn của nửa vành R Nếu J = ∅ thì quy ước Js (R) = R (2) Nửa vành R được gọi là Js -nửa đơn nếu Js (R) = 0 Theo [21, Theorem 2], J(I) = I ∩ J(R) với mọi iđêan I của nửa vành. .. chứng tỏ lớp căn xây dựng theo cách này cũng là lớp căn dưới của lớp các nửa vành đóng đồng cấu Định lý 3.2.4 Cho A là một lớp con đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các nửa vành Khi đó, lớp Y A := {S ∈ U | mọi ảnh đồng cấu khác không của S có nửa vành con chấp nhận được khác không thuộc A} là một lớp căn chứa A của lớp phổ dụng U 21 Hệ quả 3.2.5 Nếu R là một lớp căn của lớp phổ dụng U các nửa vành thì