Phương pháp lượng giác hóa trong đại số

Khóa luận tốt nghiệp đại học ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ Sinh viên thực hiện: Mai Thị Lý Lớp: 09 CTT1 Giáo viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Sinh Đà Nẵng, tháng 5/2013 Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Sinh nhiệt tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kinh nghiệm gợi mở ý tưởng giúp tơi hồn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, đóng góp ý kiến quý báu giúp tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tơi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi để tơi có nguồn tài liệu làm khóa luận Cuối cùng, tơi xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè người ln ủng hộ tơi, cung cấp cho thông tin cần thiết, lời động viên khích lệ ý kiến quý báu thời gian tơi làm khóa luận Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013 Sinh viên thực Mai Thị Lý Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài : Khi giải toán đại số, số trường hợp ta chuyển chúng thành tốn lượng giác để giải, cơng việc gọi phương pháp lượng giác hóa Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho tốn xác định thông qua dấu hiệu đặc biệt biến có mặt tốn dấu hiệu lại xác định thơng qua miền giá trị chúng với công thức lượng giác thông thường Chẳng hạn điều kiện ràng buộc ẩn quy dạng : x2 + y2 = a2 (a > 0), ta đặt x = a.sin  , y = a cos có x + y + z = xyz, ta đặt x = tan , y = tan  , z= tan  với       k … Sau đặt ẩn phụ ta qui toán ban đầu toán lượng giác Giải tốn lượng giác, từ kết ta có kết tốn đại số Như vậy, phương pháp luợng giác hóa phương pháp quan trọng để giải số dạng tốn, điển hình dạng toán chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, giải bất phương trình, biện luận, giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhỏ nhất… Hơn nữa, sử dụng phương pháp tốn khó trở nên đơn giản mà khơng làm giảm tư học sinh tính thú vị tốn Với lí trên, tơi chọn đề tài “Phương pháp lượng giác hóa đại số “ để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Phạm vi nghiên cứu Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu, ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải số dạng tốn chương trình tốn phổ thơng Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có hai chương : Chương I, trình bày lý thuyết sở luợng giác dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải tập đại số Chương II, trình bày phương pháp lượng giác hóa để giải toán đại số chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, giải bất phương trình, biện luận giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhỏ Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG Các tính chất hàm sinx, cosx, tanx, cotx 1.1 Với  , ta ln có sin   cos2   1.2 Khi   k  , k  Z , ta có cot  1.3 Khi    tan   k , k  Z ta có  tan2   cos2  Khi   k , k  Z ta có  cot2   sin  Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt 2.1 Hai góc đối sin(  )   sin  cos( )  cos tan(  )   tan  cot( )   cot  Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học 2.2 Hai góc  sin(   )   sin  cos(   )   cos tan(   )  tan  cot(   )  cot 2.3 Hai góc bù sin(   )  sin  cos(   )   cos tan(   )   tan  cot(   )   cot 2.4 Hai góc phụ  sin(   )  cos  cos(   )  sin   tan(   )  cot  cot(   )  tan  Một số công thức lượng giác 3.1 Công thức cộng Với góc lượng giác  ,  , ta có cơng thức cộng sinx, cosx : cos(   )  cos cos   sin  cos  cos(   )  cos cos   sin  cos  sin(   )  sin  cos   cos sin  sin(   )  sin  cos   cos sin  Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Với điều kiện     k ,     k ,       k , k  Z ta có công thức cộng tanx, cotx : tan(   )  tan   tan   tan  tan  tan(   )  tan   tan   tan  tan  3.2 Công thức nhân đôi cos2  cos2   sin   cos2     sin  sin 2  sin  cos tan    tan 2  (    k  ,    k , k  Z )  tan  3.3 Công thức hạ bậc  cos 2  cos 2 cos2    cos 2  tan   , (   k , k  Z )  cos 2 sin   3.4 Công thức biểu diễn sin  , cos , tan  theo t  tan Giả sử (    2k , k  Z ) đặt t  tan 2t sin   1 t2 tan   Mai Thị Lý -09CTT1   , ta có 1 t2 , cos  1 t2 2t  (    k , k  Z ) 1 t2 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học 3.5 Cơng thức nhân ba sin 3  sin   sin  cos3  cos3   cos 3.6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos cos   [cos(   )  cos(   )] sin  sin    [cos(   )  cos(   )] sin  cos   [sin(   )  sin(   )] 3.7 Cơng thức biến đổi tổng thành tích cos  cos  cos   cos   2     cos  cos  2.sin sin 2     sin   sin   2.sin cos 2     sin   sin   cos sin 2 Mặt khác với điều kiện  ,     k ta có sin(   ) cos cos  sin(   ) tan   tan   cos cos  tan   tan   Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học II MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT VIỆC LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho tốn xác định thông qua dấu hiệu đặc biệt biến có mặt tốn dấu hiệu lại xác định thông qua miền giá trị chúng với công thức lượng giác thông thường Ta thường có dấu hiệu sau : Nếu có điều kiện biến x x  a (a  0) , ta đặt    x = asint, với t   ,  x =acost, với t  0,    2 Trong trường hợp riêng : Nếu  x  a , ta đặt :      x = asint , t  0,  x = acost, với t  0,   2  2 Nếu  a  x  , ta đặt :       x = asint , t   ,0 x = acost, với t   ,     2  Nếu biến x  R, ta đặt    x  tan với     ,   2 Trong trường hợp riêng : Nếu x  , ta đặt :      x  tan  , với   0,  x  cot , với   0,   2  2 Nếu x  , ta đặt :      ,0 x  cot , với    ,   2    x  tan  , với    Mai Thị Lý -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Nếu hai biến x,y thỏa mãn điều kiện a2x2 + b2y2 = c2 , với a, b, c > 0, ta : 2  ax   by       c c     Đặt : c sin t  ax   sin t x   c  a    by  cost  y  c cost   b c  t [0,2 ] Trong trường hợp cần sử dụng tới dấu x y ta hạn chế góc t, ví dụ x, y > < t <  Nếu x  , y  , z  thỏa điều kiện  xy + yz + zx =  x + y + z = xyz  xy + yx + zy =  x + y + z – xyz = – xy – yz –zx  xy  1, yz  1, zx  1  x 1 , y , z 3 Thì đặt : x  tan , y  tan  , z  tan  Tùy theo trường hợp :  ,  ,  0,  Mai Thị Lý -09CTT1   2     ,   2  ,  ,   Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp đại học 17  17   x  x    91 91   y   y    91 91 51  tan t   cos t   sin t   2 17 Suy nghiệm hệ phương trình : x   y 1  x  1   y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm :  x   y   17 91 5 91   17 x  91 x  x  1    y 1  y  1 y   91 Bài tốn 27 : Giải hệ phương trình sau :  log ( y  x )  log 1 1   y 4   2   x  y  25 y  x Điều kiện  y  (27) (27' ) Giải : Hệ phương trình tương đương với  1  log ( y  x )  log 1 ( y  x)  1    y y 4     2  x  y  25  x  y  25  Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp đại học  x  cost  y  sin t  t [0, 2 ] (sint > sint > cost) Đặt :  , Ta có : 1    cott   cot  sint 4 4  sin t  16    sin t   25  cos t    Vậy hệ phương trình có nghiệm : (sint - cost) x   y  Bài tốn 28 : Giải hệ phương trình sau : x  y  xy     2   x  y  10 (28) Giải :   x  10 cost Đặt    y  10 sin t thay vào (28) ta 10 (cos t  sin t )  10 cos t sin t  Đặt u = cost + sint , điều kiện u  Phương trình trở thành : 5u   10 u  10u  12     u   10   Mai Thị Lý -09CTT1 (loai) Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp đại học Với u  10 , ta có  sin t     10  cos t  sin t  cos t           sin t cos t   sin t  10     cos t   10 10 10 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x   y  x   y  Bài toán 29 : Giải hệ phương trình sau :  ( x  y)(1  xy)    2  x  y  (29) Giải :  x  sin  Vì x + y = nên đặt   y  cos 2 ,  [0, 2 ] Khi (29) trở thành : (sin t  cos t )(1  sin t cos t )  Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp đại học     cos3 t  sin t  3sin t  cos t    (cos 3t  sin 3t )     5   cos 3     cos 4   5      k 2      5  k 2 3    13 2     k  36    7 2 k   36  Vì  [0, 2 ] Nên có : (k  Z ) 13 17 37 61 41 65  ; ; ; ; ;  36 36 36 36 36   36    Vậy hệ phương trình có nghiệm :  x; y   sin 13 ; cos 13   ,  sin 17 ; cos 17    36   36       37   37    sin ; cos    36     36   36   36   ,   61   61   ,  sin ; cos    36     36    41   41     65   65    sin ; cos   ,  sin ; cos    36     36   36     36  Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp đại học Bài tốn 30: Giải hệ phương trình sau : 2 x  x y  y   2 y  y z  z  2 z  z x  x  Giải : Nhận xét : x  1 , y  1 , z  1 khơng thỏa mãn Hệ phương trình tương đương với 2 x  y  x y   2 y  z  y z  2 x  x  z x  2 x  y (1  x )    2 y  z (1  y )  2 z  x(1  z )   2x y  1 x2   2y   z  1 y2   x  2x   1 z2 Đặt Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp đại học   t    k  x  tan t   t     k  k Z Khi hệ phương trình trở thành : tan t  y   tan 2t   tan t  tan 2t   tan 4t z   tan t  tan 4t  x   tan 8t   tan t  Với đặt x = tant  tant = tan8t  t  k , k Z Vì t [0,  ] nên   2 3 4 5 6   t  0 ; ; ; ; ; ;   7 7 7  Vậy hệ phương trình có nghiệm : 2 4   2 4 8     ( x, y, z )  (0,0,0) ;  tan , tan , tan  ;  tan , tan , tan  7   7    6 12   4 8 16   3  tan , tan , tan  ,  tan , tan , tan  7   7   10 20   6 12 24   5 ,  tan , tan , tan , tan  ,  tan , tan  7   7   Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp đại học VII PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Bài tốn 31 : Tìm giá trị lớn hàm số sau : y = (1 + x)2004 + (1 – x)2004 với x [-1, 1] Giải : Vì x  [-1, 1], đặt x  cost , t [0,  ] Khi hàm số đựợc chuyển dạng : y = (1+cost)   2004 2004 + (1-cost) 2004 4008 =  cos  t  =  cos  2  2004 t    sin  2  2004 t t  sin 4008  2 Ta có nhận xét :  4008 t t cos  cos  2  y  22004  cos2 t  sin t   22004    t t 2   4008 sin  sin  2 Do ymax=22004, đạt :  t cos   t  4008 t cos t  1 cos t  cos  cos   2       t t t  4008 sin t  sin  sin   sin    2   sin t  1   sin t   cost  1  x  1 Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp đại học Bài tốn 32 : Cho x,y,z > cho x + y + z =1 Tìm giá trị lớn G xyz x y   x  yz y  zx z  xy Giải : Ta thấy : 1 x  y  z  xy z xz  y yz x yx zx  z y zy x Do đó, với A, B, C góc tam giác ABC, ta đặt yz A  tan x zx B  tan y xy C  tan z G   A B  tan  tan 2   cos2 tan C  tan C A B  cos2  sin C 2 1     cos A  cos B  sin C  sin   2 3 1 Mai Thị Lý -09CTT1 A B A B  C   C   cos cos  cos   sin    2 6 2 6 2 Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp đại học  1 A B  C   cos  cos   6 2 A B C  A B C      2 2  1  cos cos 2  1   C   cos cos   3 2  1   cos  1 3 Như : max G   3   A  B     C  2    x  y     z   Bài tốn 33 : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : U = 2x + 3 y + Với 4x2 + 9y2 = 16 Giải : Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp đại học 2  x   3y  Từ giả thiết ta đuợc :       2   Đặt x 3y  cos  sin  Với  [0,2 ) Khi hàm số chuyển dạng : 1   U  cos  sin    8 cos  sin     8sin(  )  2 2   Vì 1  sin(  )  nên :  Umin = -8 + = -6, đạt đuợc : sin(         )  1   k 2    2  2k (do   [0,2 ))   4 1  x y  2 Umax=8 + = 10, đạt đuợc : sin(         Mai Thị Lý -09CTT1      ) 1   k 2  k 2 (do   [0,2 )) x y  Trang 56 Khóa luận tốt nghiệp đại học Bài tốn 34 : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : U ( x  y)(1  xy) (1  x )(1  y ) Giải:     ,  Đặt x  tan y  tan  ,  ,     2 Khi hàm số đuợc chuyển dạng : U (tan   tan  )(1  tan  tan  ) (1  tan  )(1  tan  ) sin(    ) cos(   ) cos cos  cos cos   1 cos2  cos2   sin 2(   ) Vì   sin 2(   )  nên :  Umin= 1 , đạt : sin 2(   )  1  2(   )    2k           k (do  ,    ,   2        tan(   )  tan( ) 4  Mai Thị Lý -09CTT1 x y  1  xy Trang 57 Khóa luận tốt nghiệp đại học  Umax= , đạt sin 2(   )   2(   )             2k       k (do  ,    ,  2     tan(   )  tan( ) 4 x y  1  xy Bài toán 35 : Tìm giá tri ̣ lớn nhấ t và giá tri ̣ nhỏ nhấ t của biểu thức: 2(6 xy  x ) P  y  xy với x, y là hai số thực thay đổ i và thỏa mãn ̣ thức x  y  Giải : Hê ̣ thức x  y  2 Vì vâ ̣y, ta đă ̣t x = sinu, y = cosu Biểu thức biến đổi thành : 2(6 sin u cos u  sin u) P  cos2 u  sin u cos u  sin 2u  cos 2u  sin 2u  cos 2u   (P - 6)sin2u + (P + 1)cos2u = - 2P Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 58 Khóa luận tốt nghiệp đại học Điề u kiêṇ có nghiê ̣m của phương trình là: P  62  P  12  1  2P2  2P  6P  36   6  P  Vâ ̣y, giá tri ̣lớn nhấ t của P bằ ng 3, giá tri ̣nhỏ nhấ t của P bằ ng – Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 59 Khóa luận tốt nghiệp đại học KẾT LUẬN I Nhận xét đánh giá chung đề tài Kết đạt Đề tài liệt kê công thức luợng giác đưa dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải tập đại số Trình bày phương pháp lượng giác hóa để giải tốn đại số chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, giải bất phương trình, biện luận giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhỏ Các toán đưa chọn lọc gần gũi với tốn phổ thơng có lời giải cụ thể cho tốn Hạn chế Với kiến thức có hạn thời gian hạn chế, đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót chưa khai thác hết dạng toán liên quan phương pháp lượng giác hóa II Hướng phát triển đề tài Hi vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu mở rộng để bổ sung thêm dạng tốn liên quan đến phương pháp lượng giác hóa cách vận dụng phương pháp lượng hóa vào giải tốn chương trình phổ thơng Tơi mong nhận ủng hộ, đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn để đề tài ngày hoàn thiện Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 60 Khóa luận tốt nghiệp đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hồng Đức (Chủ biên) – Đào Thiện Khải - Lê Bích Ngọc, 2004, Phương Pháp Giải Toán Lượng Giác, NXB Đại học Sư phạm [2] Võ Anh Khoa – Hoàng Bá Minh, Lượng giác số chuyên đề ứng dụng tập : Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất, Một Số Phương Pháp Lượng Giác Hóa, NXB Đại học Sư phạm [3] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên)-Nguyễn Minh Tuấn, Chuyên đề chọn lọc lượng giác ứng dụng, NXB Giáo dục [4] Đoàn Quỳnh- Nguyễn Huy Đoan, 2009, Đại Số Và Giải Tích 11-Nâng cao, NXB Giáo dục [5] Đồn Quỳnh- Nguyễn Huy Đoan, 2009, Đại Số 10-Nâng cao,NXB Giáo dục [6] Trang web www.thpt-lequydon-quangtri.edu.vn [7] Trang web Tài liệu.VN [8] Trang web diendantoanhoc.net [9] Trang web toan.hoctainha.vn/Thu-Vien [10] Trang web http://www.kilobooks.com [11] Trang web www.mathvn.com › Olympiad Mai Thị Lý -09CTT1 Trang 61 ... k , k  Z Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp đại học CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ Chương sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải toán lĩnh vực đại số : chứng minh đẳng thức,... -09CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học II MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT VIỆC LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho tốn xác... trên, chọn đề tài ? ?Phương pháp lượng giác hóa đại số “ để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Phạm vi nghiên cứu Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu, ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải số dạng tốn chương