Phương pháp lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN LINH PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BAT ĐANG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC PHẠM VĂN LINH Bình Đinh - 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BAT ĐANG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIEN Bình Đinh - 2020 Mục lục Tài liêu tham khảo 73 Mở đầu Toán sơ cấp lĩnh vực mà kết chuyên gia sáng tạo tương đối đầy đủ hồn thiện Chính việc nghiên cứu để thu kết có ý nghĩa điều khó Khi đọc số tài liệu Bất đẳng thức gặp số toán đại số mà giải chúng chuyển thành tốn lượng giác Trong chương trình Tốn học phổ thơng, chun đề lượng giác đóng vai trị cơng cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn giải tích, đại số hình học Trong thực tiễn, lượng giác đặc trưng lượng giác chuyên đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn bậc Trung học phổ thơng, đồng thời ứng dụng ln hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên Mục tiêu luận văn "Phương pháp lương giác hóa chứng minh bất đẳng thức" nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương pháp lượng giác hoá để giải số toán bất đẳng thức nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thơng Luận văn, ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, tác giả nhắc lại số bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức Chebyshev Chương Đẳng thức Bất đẳng thức lượng giác Chương trình bày cơng thức lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thường gặp Chương Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày sở lý thuyết chứng minh bất đẳng thức tam giác phương pháp lượng giác hóa Đồng thời, sưu tầm đề toán bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi có sử dụng phương pháp lượng giác hóa Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa 20 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2020 Học viên Phạm Văn Linh Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, trình bày số bất đẳng thức bản, làm tảng cho chương sau 1.1 Bất đẳng thức Jensen 1.1.1Hàm lồi Định nghĩa 1.1 ([2]) Hàm số f (x) gọi hàm lồi (a, b) c R với x1, x2 G (a, b) cặp số dương a, p có tổng a + p = 1, ta có f (axi + fe) < af (xi) + pf (x2) Định lý 1.2 Nếu f (x) khả vi cấp (a, b) f (x) > f (x) hàm lồi 1.1.2Bất đẳng thức Định lý 1.3 (Jensen, [2]) Nếu y = f (x) hàm lồi khoảng (a,b) n với X1, , x G (a, b) số thực a1, ,a > 0, 52 a = i=1 f(a1x1 + + anxn) < a1f(x1) + + anf(xn) n n i Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp theo n Với n = bất đẳng thức theo định nghĩa Giả sử bất đẳng thức với n > Ta chứng minh bất đẳng thức cho n + Xét X 1, , x , x G (a, n n+1 b) số thực n+1 a 1j a2j , ani an+1 > 0j i=1 Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức < a f (x ) + + (a + a n a )f n n+1 a n ( f a x 11 + +a nxn +a x n n+1 +a ) n+1xn+1 Vì f (x) hàm lồi nên a a a n a n +a n+1 a n+1 x n a n n n+1 +a n+1 +a n+1 a a n n +a a n+1 f (xn) + a n+1 n f (xn+1) +a n+1 Vậy n+1 n+1 ^2aixi 1, x1, , x E (0,1) với x1 + + x = Chứng Ví du 1.4 Cho a n minh i=1 Giải Xét hàm y = f (x) = ^x +— a Ta có y = a ( - Z2 x2 n 23 ( y = a— // 1\a x+—I xx ( 12\2 ( 1\a + a(a — 1) I I x + — I > x -1 -2 Suy y = f (x) hàm lồi Chọn a1 = = a thức x = — Áp dụng bất đẳng n n Jensen ta có aif (xi) + + a f (xn) = n n T2(Xi + ) n a xi > f (aiXi + + anXn) = f (1) = n (-.1)a hay (n + 1) n a 1.2 Bất đẳng thức AM-GM 1.2.1 Bất đẳng thức Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức so sánh trung bình cộng trung bình nhân số thực khơng âm phát biểu sau Định lý 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM, [2]) Cho a, b số không âm Khi +b >V0b a Chứng minh Với a = 0, b = bất đẳng thức luôn Với a, b > 0, ta chứng minh sau: +b >Vãb Oa + b > 2\fãb a oa — 2y/ãb + b > Suy định lý chứng minh Định lý tổng quát cho n số: Định lý 1.6 Cho a1,a2, ,a thực khơng âm ta có n + a2 + + ữn ,— — > ựaia2 an n Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức cho n số không âm bất đẳng thức với 2n số khơng âm Ta có a +a + + a2n 2n / n -— , / -—\ ( + > V n V a a a a a n+1 n+2 a 2n n—. -— > y a2n ) a a nên bất đẳng thức n luỹ thừa Giả sử bất đẳng thức với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức với n — số không âm Thật vậy, đạt A A = + a2 + + an—1, an Ta có ^a1 • — a2 a n1 n—iA nA ■1 \ n n—1>V suy A > (n - 1) • 2) □ 1.2.2Ví du Ví du 1.7 (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A - 2005) Cho x,y,z > thỏa mãn — + - + - = Chứng minh xyz 111 -—, , + ——— + ———— - 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 11111 + yịỉ)