Về phương pháp phân tích bình phương trong chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Vũ Hải Long VỀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THÁI NGUYÊN, 1/2024 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Vũ Hải Long VỀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN, 1/2024 1 Mục lục Mở đầu 1 Danh mục ký hiệu viết tắt 5 Chương 1 Một số bất đẳng thức cơ bản và vận dụng 6 1.1 Bất đẳng thức AM-GM 6 1.2 Bất đẳng thức Chebyshev 8 1.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 13 Chương 2 Phương pháp phân tích bình phương và vận dụng 16 2.1 Về phương pháp phân tích bình phương 16 2.2 Về biểu diễn cơ sở của phương pháp phân tích bình phương và một số kĩ thuật phân tích 23 2.3 Một số vận dụng 29 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 2 Mở đầu Bất đẳng thức là một đề tài thú vị, có ý nghĩa quan trọng trong Toán học Ngày nay việc tìm lời giải đúng của các bài toán trong kinh tế, trở thành phổ biến do có sự hỗ trợ mạnh mẽ của máy tính Việc làm đó, đòi hỏi ta ước lượng đánh giá đề thu được lời giải gần đúng cần thiết Trong trường phổ thông các bài toán bất đẳng thức (hay bài toán so sánh) luôn được khai thác để đưa vào rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi các cấp thì chủ đề bất đẳng thức hầu như luôn xuất hiện trong các đề thi Với với vai trò có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, nên chủ đề bất đẳng thức cũng đã được khai thác rất mạnh trong nhiều lĩnh vực của Toán học Đặc biêt, trong chương trình toán phổ thông thì các bài toán được khai thác, mở rộng vô cùng mạnh mẽ, nó luôn là đề tài được thảo luận và trao đổi trên nhiều diễn đàn toán học trong và ngoài nước Có thể nói, tới thời điểm hiện tại các chuyên đề về bất đẳng thức hiên tại khó tìm được một chủ đề "mới" nhưng nó luôn mới, hay và hấp dẫn người làm toán sơ cấp về sự tìm tòi khám phá nó Ở Việt Nam, trong nhiều năm gần đây việc thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPT ít nhiều ảnh hưởng tới tư duy người học trong việc khám phá, suy luận tính mới mẻ của bài toán Nên nhiều chủ để đã được hoàn thiện và khai thác ở những thập niên trước vẫn là chủ đề khó và vẫn còn tính hấp dẫn trong việc khám phá ra tính vẫn dụng của nó trong các bài toán thực tiễn của toán tối ưu Do vậy, với sự theo học chuyên ngành phương pháp Toán sơ cấp em lựa chọn chủ đề bất đẳng thức với mong muốn khám phá, tìm mối liên hệ với các lớp bất đẳng thức sơ cấp và một số dạng toán vận dụng trong chương trình phổ thông và ứng dụng của bất đẳng thức này trong việc giải các bài toán đại số sơ cấp, tôi đã lựa chọn đề tài Về phương pháp phân tích bình phương trong chứng minh bất đẳng thức Trong phạm vi luận văn thạc sĩ Toán học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, chúng tôi tập trung tìm hiều trình bày lại các kết quả trong 3 cuốn Sáng tạo bất đẳng thức của tác giả Phạm Kim Hùng1 chủ nhân của 02 huy chương Vàng và Bạc quốc tế về Toán học (IMO 2004 và 2005) và là tác giả cuốn sách Sáng tạo bất đẳng thức (xem [1]) được xuất bản bằng hai thứ tiếng, đây là cuốn sách hay và khó và là tài liệu tốt cho nhưng người yêu thích chủ đề bất đẳng thức Ngoài ra tác giả cũng tham khảo các tài liệu của một số tác giả yêu thích bất đẳng thức ở trong nước như Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Duy Khương, và tài liệu của Zdravko Cvetkovsk (xem [4] xuất bản năm 2012) Cụ thể, nội dung luận văn sẽ tập trung trình bày về một số bất đẳng thức cơ bản và phương pháp phương pháp phân tích bình phương Hệ thống lại các bài toán đã sử dụng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế, trình bày lại lời giải một cách chi tiết hơn Trong luận văn này em sẽ giới thiệu về năm phương pháp quan trọng và độc đáo nhất của bất đẳng thức đại số Đó là phương pháp phân tích bình phương (hay còn gọi phương pháp phân tích bình phương) Các phương pháp được trình bày giúp hoàn thiện kĩ năng chứng minh bất đẳng thức của mình, không phải là những bất đẳng thức trong một dạng nhất định, mà còn bao quát gần như toàn bộ các bất đẳng thức đại số sơ cấp hiện nay Ngoài tài liệu đưa nội dung trong luận văn, để hiểu sâu sắc và bao quát được kết quả trình bày trong luận văn tác giả tham khảo các tài liệu [2, 3] Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán -Tin Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ công sức của mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho những định lý toán học vốn dĩ đã rất đẹp Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể các thầy cô giảng viên của trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên nói chung và Khoa Toán - Tin nói riêng, đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu trong thời gian em được là học viên của trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT An Lão, An Lão, Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời 1Phạm Kim Hùng, cựu học sinh chuyên Toán của trường chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội Năm 2004, Anh Hùng đoạt Giải Nhất học sinh giỏi Toán quốc gia Việt Nam; giành Huy chương Vàng Olympic Toán học quốc tế lần thứ 45 khi đang học lớp 11 với điểm số cao nhất đoàn Việt Nam Năm 2005, Phạm Kim Hùng tiếp tục đoạt Giải Nhất Toán quốc gia Việt Nam và giành Huy chương Bạc cuộc thi Olympic Toán học quốc tế 4 gian đi học Cao học; cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán K15A7 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Xuân Quý đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các anh chị em học viên lớp K15A7 nói chung và với bản thân em nói riêng Dấu ấn ấy hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ hai bên và các anh chị em con cháu trong gia đình Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 28 tháng 01 năm 2024 Tác giả Vũ Hải Long 5 Danh mục ký hiệu viết tắt N∗ Tập số tự nhiên khác không R, R+ Tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn Tập các vector thực n chiều Crux Crux Mathematicorum (Tạp chí toán học Canada) Iran 1996 Trích bài do Iran đề suất năm 1996 UK TST 2005 Đề thi chọn đội tuyển của Vương Quốc Anh năm 2005 Tổng đối xứng sym Để thi học sinh giỏi Moldova 2006 Đề thi học sinh giỏi quốc tế 2005 Moldova MO 2006 Đề thi học sinh giỏi Rumani 2004 IMO 2005 China Western Mathematical Olympiad Rumani 2004 Đề thi học sinh giỏi Balkan CWMO Balkan MO 6 Chương 1 Một số bất đẳng thức cơ bản và vận dụng Mặc dù có nhiều bất đẳng thức sơ cấp hay, quan trọng và có nhiều vận dụng trong kỹ thuật phân tích bình phương Tuy nhiên, với khuôn khổ luận văn cao học, chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, chúng tôi tập trung trình bày ba bất đẳng thức cơ bản đó là Bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Cauchy-Swchrz Với mỗi bất đẳng thức này, chúng tôi cố gắng trình bày từ dạng tự nhiên nhất đến dạng tổng quát Đi cùng với các bất đẳng thức này là các ví dụ, bài toán từ cấp độ dễ đến khó (nhiều bài toán đã sử dụng trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế) có vân dụng phân tích bình phương đơn giản trong chứng minh Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 3] và một số nguồn tài liệu khác 1.1 Bất đẳng thức AM-GM Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM Vì có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng cách chứng minh quy nạp của Cauchy được đánh giá là hiệu quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means) Bất đẳng thức sau được gọi là bất đẳng thức AM-GM, là một bất đẳng 7 thức cổ điển hay và đẹp đã có nhiều vận dụng trong chứng minh các bài toàn sơ cấp Định lý 1.1 Cho a1, a2, · · · , an là các số thực dương Khi đó, ta có 1n n1 n ai ⩾ ai n i=1 i=1 trong đó i=1 n ai = a1 · a2 · · · an Để minh họa cho ứng dụng của bất đẳng thức này ta xét một số ví dụ minh hoạ sau Ví dụ 1.1 Với a, b, c ⩾ 0, chứng minh rằng √ a + b + c ⩾ 3 3 abc + (√ √ a − b)2 Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với √3 √ c ⩾ 3 abc − 2 ab hay √√ √ c + ab + ab ⩾ 3 3 abc Theo Định lý 1.1, ta suy ra điều cần chứng minh Ví dụ 1.2 Với 0 < a, b, c < 1, chứng minh rằng 1−a 1−b 1−c 1 + b + c + 1 + c + a + 1 + a + b ⩾ 3(1 − a)(1 − b)(1 − c) Lời giải Ta có 1+a+b+1−a+1−b 3 (1 + a + b)(1 − a)(1 − b) ⩽ =1 3 hay tương đương với 1−c 1 + a + b ⩾ (1 − a)(1 − b)(1 − c) Tương tự 1−b 1 + c + a ⩾ (1 − a)(1 − b)(1 − c), 1−a 1 + b + c ⩾ (1 − a)(1 − b)(1 − c) Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh 8 abc Ví dụ 1.3 Với a, b, c > 0 thoả mãn điều kiện + + = 1 Chứng bca minh rằng bca a + b + c ⩽ 1 Lời giải Ta có abc b 1 − b = c + a ⩾ 2 a, b ca c 1 − a = a + b ⩾ 2 b, c ab a 1− a = b + c ⩾ 2 c Cộng ba bất đẳng thức trên ta thu được điều cần chứng minh Ví dụ 1.4 Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh rằng √ a bc + b√ √ ca + c ab ⩽ 1(a + b + c)2 3 Lời giải Ta có (a+b+c)2 = (a2+bc)+(b2+ca)+(c2+ab)+ ab + bc + bc + ca + ca + ab 2 2 2 Suy ra (a + b + c)2 √ √ √ √ √ √ ⩾ 2a bc + 2b ca + 2c ab + b ac + c ab + a bc √ √ √ ⩾ 3(a bc + b ca + c ab) 1.2 Bất đẳng thức Chebyshev Bất đẳng thức sau được gọi là bất đẳng thức Chebyshev Định lý 1.2 Với 2 dãy số đơn điệu tăng a1, a2, , an và b1, b2, , bn ta có 1 a1b1 + a2b2 + + anbn ≥ n(a1 + a2 + + an)(b1 + b2 + + bn)