Toán học Các phương pháp đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức38139

Hà Nội, ngày 23 tháng năm 2008 Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Email: nguyendunghus@gmail.com Số điện thoại: 0968.289158 Các phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức Sau viết bạn Thanh TTT2(61), xin tiếp tục giới thiệu với bạn số cách đổi biến quan trọng khác Dạng Phép Ravi Trong bất đẳng thức biến a,b,c có điều kiện cạnh tam giác Khi tồn số thực dương x,y,z cho a = y + z , b = z = x, c = x + y Các bạn thấy rõ điều qua hình vẽ sau với tính chất đường trịn nội tiếp tam giác: A x x z y I B y z C Ví dụ 1: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: abc ≥ ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) Giải: Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên ta đặt a = y + z , b = z = x , c = x + y; x, y , z > Bất đẳng thức trở thành: ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ xyz Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ xy yz zx = 8xyz Dấu đẳng thức đạt x= y = z ⇔a=b=c Ví dụ 2:(IMO 1968) Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a 2b ( a − b ) + b c ( b − c ) + c a ( c − a ) ≥ Giải: Ta đặt a = y + z , b = z = x, c = x + y; x, y , z > Khi bất đẳng thức trở thành x2 y2 z x z + y x + z y ≥ x yz + xy z + xyz ⇔ + + ≥ x+ y+z y z x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, ta được: x2 y2 z2 + y ≥ x; + z ≥ y; + x ≥ x y z x DeThiMau.vn Cộng tương ứng bất đẳng thức ta đpcm D ng Đối với số bất đẳng thức biến a,b,c có bậc lệch có điều kiện đặc biệt biến số Ta đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + Ví d 3:(TTT2) Cho a,b,c số thực không âm, chứng minh rằng: a + b + c + 2abc + ≥ ( ab + bc + ca ) Gi i: Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1; x, y , z ≥ −1 Bất đẳng thức trở thành ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 2 + ( x + 1)( y + 1)( z + 1) + ≥ ( ( x + 1)( y + 1) + ( y + 1)( z + 1) + ( z + 1)( x + 1) ) ⇔ x + y + z + xyz ≥ Nhận xét ( xy )( yz )( zx ) = x y z ≥ nên số xy, yz , zx có số khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử xy ≥ Khi đó: xy ( z + 1) ≥ 0; x + y ≥ xy; z ≥ Cộng tương ứng bất đẳng thức ta x + y + z + xyz ≥ xy ≥ Suy đpcm Dấu đẳng thức xảy x = y = z = ⇔ a = b = c =1 Ví d : Cho x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) + Giải: Từ giả thiết suy x < xyz ⇒ x < yz , tương tự suy xy < yz.zx ⇒ z > ⇒ z > Hồn tồn tương tự ta có x > 1, y > Do ta đặt x = a + 1, y = b + 1, z = c + 1; a, b, c > Điều kiện trở thành 2 ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) = ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ⇔ a + b + c + a + b + c + = abc + ab + bc + ca Đặt q = ab + bc + ca ≤ a + b + c ; 3q ≤ a + b + c Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta q + 3q + ≤ a + b + c 2 ( 3q ) + a + b + c + = abc + ab + bc + ca ≤ q + 27 Đặt p ⇔ ( p − )( p + 3) ≥ suy 27 p ≥ ⇔ ab + bc + ca ≥ ⇔ ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1)( z − 1) + ( z − 1)( x − 1) ≥ p = 3q ⇒ p + ≤ Hay xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) + Dấu đẳng thức xảy Dạ ng Một số dạng đổi biến khác: xy + yz + zx + xyz = xy + yz + zx + xyz = DeThiMau.vn a = b = c = Ví d 5: Cho x,y,z s th c dương thỏa mãn xy + yz + zx + xyz = Chứng minh xy + yz + zx ≥ Gi i: Từ giả thiết, tồn số dương a,b,c cho a b c x= ,y= ,z = b+c c+a a+b Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab bc ca + + ≥ ( a + c )( b + c ) ( b + a )( c + a ) ( c + b )( a + b ) Quy đồng bất đẳng thức ( ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ) ≥ ( a + b )( b + c )( c + a ) ⇔ ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ≥ 6abc ⇔ a (b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) ≥ 2 Ln Ví d 6( n Độ 1996): Cho x, y , z ≥ 0, xy + yz + zx + xyz = Chứng minh x + y + z ≥ xy + yz + zx Giải: 2a 2b 2c Tương tự ví dụ ta đặt x = ,y= ,z = b+c c+a a+b Bất đẳng thức trở thành a b c 2ab 2bc 2ca + + ≥ + + b + c c + a a + b ( c + a )( c + b ) ( a + b )( a + c ) ( b + a )( b + c ) Quy đồng a ( a + b )( a + c ) + b ( b + c )( b + a ) + c ( c + a )( c + b ) ≥ 2ab ( a + b ) + 2bc ( b + c ) + 2ca ( c + a ) Dấu đẳng thức xảy a = b = c ⇔ x = y = z = ⇔ a ( a − b )( a − c ) + b ( b − c )( b − a ) + c ( c − a )( c − b ) ≥ Đây bất đẳng thức Schur nhắc đến THTT số tháng năm 2006 x + y + z + = xyz Ví dụ Cho x,y,z>0 x + y + z + = xyz Chứng minh ( ) xy + yz + zx ≤ x + y + z + Giải: b+c c+a a+b ,y= ,z = a b c Khi bất đẳng thức tương đương với Từ giả thiết ta đặt x= b+c c+a a+b b+c c+a a+b  + + ≤ 2 + + + 3 a b c b c  a  DeThiMau.vn Áp d ng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta b+c c+a a+b  1 1 b+c c+a a+b  + + ≤ (a + b + b + c + c + a) + +  = 2 + + + 3 a b c a b c a b c     Ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy a = b = c ⇔ x = y = z = Nh n xét: Còn nhiều phép đổi biến khác chứng minh bất đẳng thức cách chứng minh phép đổi biến mà nhiều cách chứng minh khác hay hơn, độc đáo xin nhấn manh đến tự nhiên cách đổi biến Kết thúc viết, xin mời bạn làm số tập vận dụng sau: Bài tập 1: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a) a + b3 + c + 3abc ≥ 2ab + 2bc + 2ca b) 3a 2b + 3b c + 3c a ≥ 3abc + 2ab + 2bc + 2ca Bài tập (Chào IMO, THTT số 355): Cho a,b,c số thực dương Chứng minh xyz + ( x + y + z ) + ≥ ( x + y + z ) Bài tập Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx + xyz = Chứng minh xyz ≤ Bài tậ Cho x,y,z>0 x + y + z + = xyz Chứng minh a) xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) xyz Bài tập (Nesbitt) Cho a,b,c số thực dương Chứng minh b+c c+a a+b a b c + + ≥ + + + a b c b+c c+a a+b Bài tập Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy + yz + zx = ( x + y + z ) Chứng minh b) x+ y+ z≤ xyz ≤ x + y + z + DeThiMau.vn ... xét: Còn nhiều phép đổi biến khác chứng minh bất đẳng thức cách chứng minh phép đổi biến mà nhiều cách chứng minh khác hay hơn, độc đáo xin nhấn manh đến tự nhiên cách đổi biến Kết thúc viết,... bất đẳng thức ta đpcm D ng Đối với số bất đẳng thức biến a,b,c có bậc lệch có điều kiện đặc biệt biến số Ta đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + Ví d 3:(TTT2) Cho a,b,c số thực không âm, chứng minh. .. c x= ,y= ,z = b+c c+a a+b Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab bc ca + + ≥ ( a + c )( b + c ) ( b + a )( c + a ) ( c + b )( a + b ) Quy đồng bất đẳng thức ( ab ( a + b ) + bc (