Trong chữỡng trẳnh mổn ToĂn bêc phờ thổng, rĐt dạ bưt gp cĂc bi toĂn bĐt ng thực trong cĂc à thituyn sinh vo lợp 10, · thi tèt nghi»p THPT mæn To¡n, · thi chån håcsinh giäi v · thi Olymp
B§t ¯ng thùc AM-GM
BĐt ¯ng thực AM-GM cho 2 bián
ành lỵ 1.1 ([4]) Cho hai số thỹc khổng Ơm a, b Khi õ a+b
2 ≥ √ ab (1.1) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b.
Chựng minh BĐt ¯ng thực (1.1) tữỡng ữỡng vợi
BĐt ¯ng thực trản hiºn nhiản úng. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b.
BĐt ¯ng thực AM-GM cho 3 bián
Tữỡng tỹ nhữ trản, ta cõ thº phĂt biºu bĐt ¯ng thực AM-GM cho 3 bián nhữ sau: ành lỵ 1.2 Cho ba số thỹc khổng Ơm a, b, c Khi õ a+b+c
3 ≥ √ 3 abc (1.2) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.
BĐt ¯ng thực cừa ba số thỹc a, b, c khổng Ơm quy vã bĐt ¯ng thực cừa ba số thỹc x, y, z khổng Ơm. x 3 +y 3 +z 3 −3xyz ≥ 0
BĐt ¯ng thực trản luổn úng vợi mồi x, y, z ≥ 0. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x= y = z, hay a = b = c.
BĐt ¯ng thực AM-GM cho n bián
Sau khi chúng tổi phĂt biºu v chựng minh bĐt ¯ng thực AM-GM cho
2 bián v 3 bián thẳ sau Ơy chúng tổi phĂt biºu trữớng hủp tờng quĂt n bián Hiằn nay cõ rĐt nhiãu cĂch chựng minh bĐt ¯ng thực AM - GM cho n bián những dữợi Ơy l hai cĂch m tổi tƠm ưc nhĐt. ành lỵ 1.3 ([4]) Cho cĂc số thỹc khổng Ơm a 1 , a 2 , , a n Khi õ a 1 + a 2 + +a n n ≥ √ n a1a2 an (1.3) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a 1 = a 2 = = a n
Chùng minh Ta chùng minh b§t ¯ng thùc theo hai c¡ch sau.
Hiºn nhiản bĐt ¯ng thực úng vợi n = 2
Gi£ sû b§t ¯ng thùc ¢ cho óng cho n, ta câ: a 1 +a 2 + + a n n ≥ √ n a1.a2 an. Khi â a 1 +a 2 + +a 2n ≥ n√ n a 1 a 2 a n +n√ n a n+1 a n+2 a 2n
= 2n 2n √ a 1 a 2 a 2n Vêy bĐt ¯ng thực úng vợi 2n.
BĐt ¯ng thực úng vợi n ta chựng minh ữủc bĐt ¯ng thực cụng úng vợi n−1.
Thêt vêy Ăp dửng bĐt ¯ng thực cho n số vợi a n = n−1 √ a 1 a 2 a n−1 a 1 +a 2 + .+a n n ≥ q n a1a2 an−1 n−1
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh xong.
DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi a 1 = a 2 = = a n
Dạ thĐy f ′ (1) = 0 v f ′ (x) ời dĐu tứ Ơm sang dữỡng khi i qua iºm x = 1 nản ta cõ thº kát luên f(x) cõ giĂ trà nhọ nhĐt l f(1) = 0.
Suy ra e x−1 −x ≥0, hay x ≤ e x−1 vợi mồi số thỹc x bĐt kẳ.
BƠy giớ, x²t mởt dÂy cĂc số thỹc khổng Ơm x 1 , x 2 , , x n vợi trung bẳnh cởng x 1 +x 2 + .+x n n = α p dửng bĐt ¯ng thực x ≤e x−1 vứa chựng minh ð trản, ta cõ x1 α x2 α xn α ≤e x α 1 −1 e x α 2 −1 e xn α −1 = e x α 1 −1+ x α 2 −1+ + xn α −1 tùc l x 1 α.x 2 α x n α ≤ e x 1+ x 2+ α + xn −n = e n−n = e 0 = 1.
Tứ Ơy, ta ữủc x 1 x 2 x n ≤ α n , hay √ n x 1 x 2 ã ã ãx n ≤α.
D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x 1 = x 2 = = x n > 0.
Hằ quÊ 1.1 ([6]) Cho cĂc số thỹc dữỡng a 1 , a 2 , , a n Khi õ
(1.4) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = = an.
Chùng minh Theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: a 1 +a 2 + +a n ≥ n√ n a 1 a 2 a n > 0, (1.5)
Tứ (1.5) v (1.6) suy ra iãu phÊi chựng minh.
Hằ quÊ 1.2 (BĐt ¯ng thực AM-GM cõ trồng, [6]) Cho a 1 , a 2 , , a n l cĂc số thỹc khổng Ơm.
1 Náu m1, m2, , mn l cĂc số nguyản dữỡng Ta cõ m 1 a 1 +m 2 a 2 + .+m n a n m 1 +m 2 + ã ã ã+ m n ≥ a m 1 1 a m 2 2 a m n n
2 Cho a1, a2, , an l c¡c sè thüc d÷ìng v nsè húu t¿ d÷ìngi1, i2, in sao cho n
Chựng minh 1 GiÊ sỷ a1, a2,ã ã ã , an l cĂc số thỹc khổng Ơm v gồi m1, m2,ã ã ã , mn l cĂc số nguyản dữỡng Khi õ a1 + a1 +ã ã ã+a1
BĐt ¯ng thực ữủc viát lÔi nhữ sau m1a1 +m2a2 +ã ã ã+mnan m 1 +m 2 + ã ã ãm n ≥ a m 1 1 a m 2 2 ã ã ãa m n n
X k=1 i k = 1, i k l sè húu t¿ d÷ìng Nản tỗn tÔi cĂc số nguyản dữỡng m 1 , m 2 ,ã ã ã , m n sao cho i k = m k m 1 +m 2 + ã ã ã+ m n
Tứ (1) ta cõ a 1 m 1 + a 2 m 2 +ã ã ã+ a n m n m 1 +m 2 + ã ã ã+ m n ≥ a i 1 1 a i 2 2 ã ã ãa i n n Hay a 1 i 1 +a 2 i 2 +ã ã ã+a n i n ≥a i 1 1 a i 2 2 ã ã ãa i n n
Nhên x²t 1.1 BĐt ¯ng thực AM-GM ch¿ Ăp dửng ữủc cho cĂc số khổng Ơm.
BĐt ¯ng thực AM-GM l bĐt ¯ng thực quen thuởc nhĐt, cõ tƯm ựng dửng rởng rÂi trong cĂc bở mổn cừa toĂn hồc sỡ cĐp °c biằt l dũng º chựng minh bĐt ¯ng thực, sỹ th nh cổng cừa viằc Ăp dửng bĐt ¯ng thực AMGM º chựng minh cĂc b i toĂn vã bĐt ¯ng thực ho n to n phử thuởc v o sỹ linh hoÔt cừa tứng ngữới sỷ dửng cĂch chồn cĂc số a1, a2,ã ã ã , an.
BĐt ¯ng thực AM-GM suy rởng
ành lỵ 1.4 ([6]) Choa 1 , a 2 , , a n l cĂc số thỹc khổng Ơm v p 1 , p 2 , , p n l cĂc số thỹc dữỡng cõ tờng bơng 1 Khi õ ta cõ p 1 a 1 +p 2 a 2 + +p n a n ≥ a p 1 1 a p 2 2 a p n n
Chựng minh Náu p 1 a 1 +p 2 a 2 + .+p n a n = 0 thẳ ta cõ a 1 = a 2 = an = 0 v bĐt ¯ng thực hiºn nhiản úng.
X²t trữớng hủp p1a1 +p2a2 + .+ pnan > 0, °t a = p 1 a 1 +p 2 a 2 + .+ p n a n > 0 Ta câ: a = a ,
Do õ bĐt ¯ng thực trản cõ thº viát lÔi th nh a 1 a p 1 a 2 a p 2
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực p≤ e p−1 , ta cõ: a 1 a ≤e a a 1 −1 ,
Ho n to n t÷ìng tü, ta công câ: a 2 a p 2
NhƠn cĂc bĐt ¯ng thực trản lÔi theo vá, ta suy ra: a 1 a p 1 a 2 a p 2
≤ e a 1 p 1+ a 2 p 2+ a + anpn −(p 1 +p 2 + +p n ) = e 1−1 = 1.BĐt ¯ng thực AM-GM suy rởng ữủc chựng minh.
Mởt số vẵ dử
Vẵ dử 1.1 ([4]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm Chựng minh rơng a 2 b+c + b 2 a+c + c 2 a+b ≥ a+ b+ c
2 Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM, ta cõ a 2 b+c + b+c
Cởng theo vá ba bĐt ¯ng thực trản ta ữủc a 2 b+ c + b 2 a+c + c 2 a+b + a+b+c
2 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c (pcm)
Nhên x²t 1.2 Ơy l dÔng b i têp Ănh giĂ iºm rỡi tứ AM sang GM. Náu mợi tiáp xúc qua bĐt ¯ng thực AM-GM thẳ cõ thº nhên x²t rơng viằc tẳm ra Ănh giĂ a 2 b+c + b+c
4 = a cõ v´ mang nhiãu tẵnh may mưn Những khổng phÊi vêy, iºm rỡi cừa bĐt ¯ng thực trản tÔi a = b = c Khi õ a 2 b+c = a
2, chúng ta tÔo ra mởt biºu thực º vứa cõ giĂ trà bơng a
2, vứa cõ thº loÔi ữủc mău cừa biºu thực a 2 b+ c.
Hỡn nỳa, hai vá cừa bĐt ¯ng thực l ỗng bêc 1, tứ õ dạ d ng nhên ra biºu thực thảm v o phÊi l b+c
Sỷ dửng kát quÊ b i n y ta cõ thº l m b i toĂn sau:
Vẵ dử 1.2 (IMO 1995, [5]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn abc = 1 Chựng minh rơng
2. Líi gi£i B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng abc a 3 (b+c) + abc b 3 (a+c) + abc c 3 (a+ b) ≥ 1
1 a + 1 b + 1 c °t x = 1 a, y = 1 b, z = 1 c, ta quay trð lÔi Vẵ dử 1.1.
B i to¡n trð th nh chùng minh
4 ≥ z Cởng vá theo vá ta ữủc
2. DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1.
Vẵ dử 1.3 (India 2002, [3]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm Chựng minh rơng a b + b c + c a ≥ a+b c+a + b+ c a+b + c+a b+c.
B i toĂn quy vã viằc chựng minh x−1 y + 1 + y −1 z + 1 + z−1 x+ 1 ≥0
Theo b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ x 2 z+z 2 y +y 2 x ≥3p 3 x 3 y 3 z 3 = 3 x 2 y 2 z 2 ≥ (x+y +z) 2
3 ≥ x+y +z (vẳ x+ y+ z ≥ 3) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c
Nhên x²t 1.3 º ỵ rơng biºu thực ð vá phÊi cừa bĐt ¯ng thực chựa ph²p cởng giỳa hai bián ð cÊ tỷ v mău nản viằc sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM mởt cĂch trỹc tiáp l vổ cũng khõ khôn Do õ phữỡng Ăn ời bián º tÔo ra bĐt ¯ng thực mợi l tối ữu nhĐt.
BƠy giớ, chúng ta s³ x²t tợi mởt kắ thuêt mợi trong viằc chựng minh bĐt ¯ng thực bơng AM-GM, õ l kắ thuêt Ănh giĂ phừ ành Kắ thuêt n y ữủc dũng º chựng minh mởt số bĐt ¯ng thực khi Ăp dửng trỹc tiáp AM-GM thẳ bà ngữủc dĐu rĐt hiằu quÊ.
Vẵ dử 1.4 ([5]) Cho a, b, c l ba cÔnh cừa tam giĂc ABC, giÊ sỷ dỹng tam giĂc A ′ B ′ C ′ vợi ở d i ba cÔnh a+ b
Lới giÊi Vẳ a = y + z, b = z+ x, c = x+y nản ở d i cĂc cÔnh cừa tam gi¡c A ′ B ′ C ′ l a ′ = x+ 2y+ 3z
Sỷ dửng cổng thực Heron º tẵnh diằn tẵch tam giĂc, ta ữủc
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM - GM ta cõ
B i toĂn  ữủc chựng minh xong.
Nhên x²t 1.4 Trản Ơy l mởt vẵ dử cho bĐt ¯ng thực AM-GM º giÊi quyát cĂc b i toĂn liản quan án hẳnh hồc Sau Ơy, chúng tổi x²t thảm hai vẵ dử vã dĐu bơng khổng ối xựng trong bĐt ¯ng thực AM-GM Qua õ, ta s³ thĐy hát ữủc v´ àp v sỹ tinh tá cừa bĐt ¯ng thực.
Vẵ dử 1.5 Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn a +b+ c = 3. Chựng minh rơng a√ b 3 + 1 +b√ c 3 + 1 +c√ a 3 + 1 ≤5.
Ta c¦n chùng minh ab 2 + bc 2 +ca 2 ≤ 4 (1.7) GiÊ sỷ b l số nơm giỳa hai số a, c Ta cõ a(b−a)(b−c) ≤ 0
⇒ab 2 +bc 2 +ca 2 ≤ a 2 b+abc+bc 2 = b(a 2 +ac+c 2 )
Suy ra iãu phÊi chựng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 0, b = 1, c= 2 v c¡c ho¡n và.
Nhên x²t 1.5 CĂi khõ trong vẵ dử n y l Ănh giĂ ữủc bĐt ¯ng thực (1.7) Ngo i cĂch Ănh giĂ nhữ trản, º chựng minh (1.7) cõ thº dũng phữỡng phĂp dỗn bián vã biản.
Vẵ dử 1.6 ([3]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc ổi mởt khĂc nhau thuởc [0; 2]. Chựng minh rơng
Lới giÊi Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt giÊ sỷ 2 ≥ a > b > c ≥ 0 Theo bĐt ¯ng thùc AM - GM ta câ
Cởng hai vá bĐt ¯ng thực trản theo vá ta cõ
4 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 2, b = 1, c = 0 v c¡c ho¡n và.
Nhên x²t 1.6 Trong b i toĂn trản, náu Ăp dửng ba lƯn bĐt ¯ng thực(1.8) cho ba bián (a−b),(b−c),(c−a) thẳ bĐt ¯ng thực s³ rỡi v o ngó cửt, khổng thº i tiáp án lúc dăn án bĐt ¯ng thực (1.9) l bĐt ¯ng thực mởt bián thẳ b i toĂn  trð nản ỡn giÊn, ta nghắ ngay án phữỡng phĂp khÊo sĂt h m số trản oÔn.
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM trong chựng minh bĐt ¯ng thùc
Nởi dung chẵnh cừa phƯn n y l dũng bĐt ¯ng thực AM - GM chựng minh c¡c b§t ¯ng thùc kinh iºn kh¡c.
B i toĂn 1.1 (BT Cauchy-Schwarz, [1]) Vợi hai dÂy số thỹc tũy ỵ a 1 , a 2 ,ã ã ã , a n v b 1 , b 2 ,ã ã ã , b n ta cõ
(a 1 b 1 +a 2 b 2 +ã ã ã+a n b n ) 2 ≤ (a 2 1 +a 2 2 +ã ã ã+a 2 n )(b 2 1 +b 2 2 +ã ã ã+b 2 n ) (1.10) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = ã ã ã = a n b n Chựng minh Náu n
X i=1 a 2 i = 0 thẳ ta cõ a1 = a2 = ã ã ã = an = 0 v (1.10) hiºn nhiản úng.
Tữỡng tỹ nhữ vêy vợi trữớng hủp n
X i=1 b 2 i = 0 BƠy giớ, ta x²t trữớng hủp n
X i=1 b 2 i > 0 LĐy côn bêc hai hai vá cừa (1.10), sau õ chia cÊ hai vá cho v u u u t
Tợi Ơy, sỷ dửng tẵnh chĐt vã dĐu giĂ trà tuyằt ối kát hủp vợi bĐt ¯ng thùc AM - GM, ta câ n
B i toĂn 1.2 (BT Holder, [1]) Cho m, n l hai số nguyản dữỡng v x ij (i = 1,2,ã ã ã , m, j = 1,2,ã ã ã , n) l cĂc số thỹc dữỡng tũy ỵ GiÊ sỷ ω 1 , ω 2 ,ã ã ã , ω n l cĂc số dữỡng sao cho ω 1 +ω 2 + .+ω n = 1 Khi õ ta câ
Chùng minh °ty i = x 1i +x 2i + .+x mi v y ji = x ji yi vợii = 1,2, , n;j 1,2, , m thẳ ta cõ y1i+y2i + .+ymi = 1
Do õ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh cõ thº viát lÔi th nh y 11 ω 1 y 12 ω 2 y 1n ω n +y ω 21 1 y 22 ω 2 y 2n ω n + .+y m1 ω 1 y ω m2 2 y mn ω n ≤ 1.
Tợi Ơy, sỷ dửng bĐt ¯ng thực AMGM suy rởng, ta ữủc y 11 ω 1 y ω 12 2 y 1n ω n ≤ ω 1 y 11 +ω 2 y 12 + +ω n y 1n , y 21 ω 1 y ω 22 2 y 2n ≤ω 1 y 21 + ω 2 y 22 + .+ ω n y 2n , y m1 ω 1 y ω m2 2 y mn ω n ≤ ω1ym1 +ω2ym2 + .+ωnymn
Cởng cĂc bĐt ¯ng thực trản lÔi theo vá, ta suy ra y ω 11 1 y 12 ω 2 y 1n ω n +y 21 ω 1 y 22 ω 2 y ω 2n n + +y ω m1 1 y m2 ω 2 y ω mn n
Vêy bĐt ¯ng thực Holder ữủc chựng minh.
Trong phƯn trản, ta  chựng minh ữủc bĐt ¯ng thực Holder bơng cĂch sỷ dửng AM-GM V tứ bĐt ¯ng thực Holder, ta cõ thº suy ra ữủc mởt kát quÊ kinh iºn khĂc - BĐt ¯ng thực Minkowski
B i toĂn 1.3 (BT Minkowski thự nhĐt, [1]) Cho hai số nguyản dữỡng m, n v x ij (i = 1,2, , m;j = 1,2, , n) l c¡c sè thüc d÷ìng tòy þ. Khi õ, vợi mồi p > 1, ta cõ m
Chùng minh °t q = p p−1 thẳ ta cõ q > 1 v 1 p + 1 q = 1.
Do â, theo b§t ¯ng thùc Holder n
BĐt ¯ng thực Minkowski ữủc chựng minh.
B i to¡n 1.4 (BT Minkowski thù hai, [1]) Cho hai d¢y sè a 1 , a 2 , , a n v b 1 , b 2 , , a n khổng Ơm Chựng minh rơng n q
(a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 ) .(a n +b n ) ≥ √ n a 1 a 2 a n + p n b 1 b 2 b n Chựng minh Cõ hai trữớng hủp sau
Do a k ≥ 0, b k ≥ 0 ⇛ a k = b k = 0 Vêy bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh l úng (vẳ cÊ hai vá = 0).
2 Náu (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) .(a n + b n ) > 0 Khi õ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi dữợi dÔng sau n r a 1 a 1 +b 1 a 2 a 2 +b 2 a n a n +b n + n s b 1 a 1 +b 1 b 2 a 2 +b 2 b n a n +b n ≤1
(1.11) Theo b§t ¯ng thùc AM - GM ta câ n r a 1 a1 +b1
Cởng tứng vá (1.12), (1.13) suy ra (1.11) úng DĐu bơng xÊy ra trong hai trữớng hủp sau
1 Ho°c tỗn tÔi ch¿ số k m a k = b k = 0.
Vợi quy ữợc náu b k = 0 thẳ a k = 0, dĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n BĐt ¯ng thực Minkowski ữủc chựng minh ho n to n.
B i toĂn 1.5 (BT Nesbitt cho ba bián, [5]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng Chựng minh rơng a b+c + b c+a + c a+ b ≥ 3
Chựng minh Sỷ dửng kÿ thuêt thảm bợt, ta cõ bĐt ¯ng thực (1.14) tữỡng ÷ìng a b+c + 1
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM bở ba số, ta cõ:
(a+b)(b+c)(c+a). NhƠn hai bĐt ¯ng thực n y lÔi vá theo vá, suy ra:
(a+b)(b+c)(c+a) = 9. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c > 0.
Mởt số b i toĂn chồn lồc thi hồc sinh giọi cĂc cĐp
Trong phƯn n y, chúng tổi chồn lồc v trẳnh b y mởt số b i toĂn thi hồc sinh giọi cĂc cĐp sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM.
B i toĂn 1.6 (Mexico 2007, [5]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn a+b+c = 1 Chựng minh rơng
Lới giÊi Sỷ dửng iãu kiằn a+b+c = 1, ta cõ a+bc = a(a+ b+c) +bc = (a+b)(a+ c),
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM - GM ta ữủc
Cởng theo vá cĂc bĐt ¯ng thực trản ta ữủc
2 = 2. ¯ng thùc x£y ra khi a+b = a+c, b+c = b+a v c+a = c+b, tùc l a = b = c = 1
B i toĂn 1.7 (IMO 1983, [5]) Cho a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc. Chựng minh rơng a 2 b(a−b) +b 2 c(b−c) +c 2 a(c−a) ≥ 0 (1.15) Líi gi£i °t x = b+c−a
Suy ra a = y +z;b = z+x;c = x+y BĐt ¯ng thực (1.15) ữủc viát lÔi nh÷ sau x 3 z+y 3 x+x 3 y ≥x 2 yz+xy 2 z+xyz 2
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM - GM ta cõ x 2 y + y ≥2x;y 2 z +z ≥2y;z 2 x +x ≥ 2z
Cởng theo vá cĂc bĐt ¯ng thực trản ta ữủc iãu phÊi chựng minh. DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi a = b = c.
Nhên x²t 1.7 Ph²p ời bián sỷ dửng trong lới giÊi trản ữủc sỷ dửng khĂ nhiãu b i toĂn chựng minh bĐt ¯ng thực ối vợi ba cÔnh tam giĂc,vợi r ng buởc l bĐt ¯ng thực tam giĂc vã mởt b i toĂn vợi cĂc số thỹc d÷ìng.
B i toĂn 1.8 (IMO 2023) Cho x 1 , x 2 ,ã ã ã , x 2023 l cĂc số thỹc dữỡng ổi mởt phƠn biằt sao cho a n s (x 1 +x 2 +ã ã ã+x n )
+ã ã ã+ 1 xn l mởt số nguyản vợi mồi n ∈ {1,2, ,2023} Chựng minh rơng a 2023 ≥ 3034.
Kát hủp vợi AM-GM ta cõ bián ời: a 2 n+1 = m n+1 p n+1 = (m n +x n+1 ) p n + 1 xn+1
⇒a n+1 ≥ a n + 1 vợi mồi n, dĐu "=" xÊy ra khi v ch¿ khi: mn x n+1 = p n x n+1 ⇒ mn p n = x 2 n+1 GiÊ sỷ tỗn tÔi 2 giĂ trà n 0 v n 0 + 1 º dĐu bơng xÊy ra liản tiáp thẳ ta cõ: x 2 n 0 +2 = mn 0 +1 p n 0 +1 = mn 0 + xn 0 +1 p n 0 + x 1 n 0+1 mn 0 + rm n 0 p n 0 p n 0 + q mn 1 0 pn 0
= mn 0 p n 0 = x 2 n 0 +1 iãu n y mƠu thuăn vẳ x1, x2,ã ã ã , x2023 l cĂc số thỹc dữỡng ổi mởt phƠn biằt.
Do â a n+2 ≥ a n+1 + 1 > a n + 2 suy ra an+2 ≥an + 3 ∀n = 1,2,ã ã ã ,2023 vẳ a n ∈ N (do a n ∈ Z v a n > 0) v khổng xÊy ra 2 dĐu bơng liản tiáp Tứ ¥y ta câ: a 2023 ≥a 1 + 3.1011 ≥ 3034 ⇒a 1 = 1
B i to¡n 1.9 (IMO Shortlist 1990, [5]) Gi£ sû a, b, c, d l c¡c sè thüc khổng Ơm thọa mÂn ab+bc+cd+da = 1 Chựng minh rơng a 3 b+c+d + b 3 c+d+a + c 3 a+b+d + d 3 a+b+c ≥ 1
3. Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM - GM cho 4 số a 3 b+c+d + b+ c+ d
Ho n to n tữỡng tỹ ta cõ thảm 3 bĐt ¯ng thực vợi b, c, d sau õ cởng lÔi ữủc a 3 b+c+d + b 3 c+d+a + c 3 a+b+d + d 3 a+b+c ≥ a+ b+c+d
3 Chú ỵ rơng ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d) nản
Thay kát quÊ n y v o bĐt ¯ng thực ð trản ta cõ pcm ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi a = b = c = d= 1
B i toĂn 1.10 (VMO 2001, [3]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn 21ab+ 2bc+ 8ca ≤12 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Líi gi£i °t 1 a = x,2 b = y,3 c = z Khi õ iãu kiằn b i toĂn trð th nh 2xyz ≥ 2x+ 4y + 7z v tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa x+y +z. p dửng bĐt ¯ng thực AM-GM ta ữủc x+y +z ≥
4 xyz xyz Bði vẳ 2xyz ≥2x+ 4y + 7z, nản
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt bơng 15
B i toĂn 1.11 (IMO 1998, [4]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng v thọa mÂn abc = 1 Chựng minh rơng a 3
4. Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM ta cõ a 3
4c. Cởng ba vá cừa ba bĐt ¯ng thực trản ta ữủc a 3
M°t khĂc, cụng theo bĐt ¯ng thực AM-GM thẳ a+ b+c ≥ 3 abc = 3.
Do õ, kát hủp vợi trản ta ữủc iãu phÊi chựng minh.
DĐu bơng xÊy ra khi a = b = c = 1.
B i toĂn 1.12 (IMO 1991, [5]) Cho tam giĂc ABC, Gồi I l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc v L, M, N lƯn lữủt l giao iºm cừa cĂc ữớng phƠn giĂc trong cừa A, B, C vợi BC, CA, AB Chựng minh rơng
27. Lới giÊi Sỷ dửng ành lỵ phƠn giĂc gõc ta cõ
Ta câ thº suy ra
Sỷ dửng ành lỵ ữớng phƠn giĂc cừa gõc Ăp dửng cho ữớng phƠn giĂc gâc trong BI cõa gâc ABL ta câ
Do â, b§t ¯ng thùc m ta c¦n chùng minh l
27. Theo bĐt ¯ng thực AM-GM ta ữủc
Do õ bĐt ¯ng thực bản phÊi hiºn nhiản úng. º chựng minh bĐt ¯ng thực ð vá trĂi, ta chú ỵ rơng
(a+b+c) 3 Thay thá ð trản ta ữủc
Ta sỷ dửng ph²p bián ời a = y +z, b = z+ x, c = x+y ữủc
4. BĐt ¯ng thực  ữủc chựng minh.
Nhên x²t 1.8 Lới giÊi trản sỷ dửng bĐt ¯ng thực hẳnh hồc sau, h m èi xùng cõa a, b, c ở d i cĂc cÔnh a, b, c cừa mởt tam giĂc cõ mối quan hằ rĐt ch°t ch³ vợi s, r, R lƯn lữủt l nỷa chu vi, bĂn kẵnh nởi tiáp v bĂn kẵnh ngoÔi tiáp cừa tam giĂc CĂc mối quan hằ phờ bián nhĐt l a+b+ c = 2s, (1.16) ab+ bc+ ca = s 2 +r 2 + 4rR, (1.17) abc = 4Rrs (1.18)
Chựng minh Ưu tiản theo ành nghắa cừa s v tứ cổng thực tẵnh diằn tẵch tam giĂc ta cõ abc
Sỷ dửng cổng thực Heron tẵnh diằn tẵch tam giĂc, ta cõ s(s−a)(s−b)(s− c) =r 2 s 2 Khi â s 3 −(a+b+c)s 2 + (ab+bc+ca)s−abc = r 2 s 2
Thay (1.16) v (1.18) v o ¯ng thực trản ta ữủc ab+ bc+ ca = s 2 +r 2 + 4rR.
B i toĂn 1.13 (UK MO 2008, [5]) Cho x, y, z l cĂc số thỹc thọa mÂn x 3 +y 3 +z 3 −3xyz = 1 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực x 2 +y 2 + z 2
Lới giÊi Ta cõ iãu kiằn x 3 + y 3 + z 3 −3xyz = 1 cõ thº ữủc phƠn tẵch th nh nh¥n tû
Ta câ B > 0, ¯ng thùc (1.19) trð th nh
B Vẳ B > 0, ta Ăp dửng bĐt ¯ng thực AM-GM ta ữủc
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt l A= 1 Ôt ữủc khi (x, y, z) = (1,0,0).
B i toĂn 1.14 (Viằt Nam TST 2005, [1]) Cho cĂc số a, b, c > 0 Chựng minh rơng a 3 (a+b) 3 + b 3
Líi gi£i °t x = b a, y = c b, z = a c. Khi â xyz = 1 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh
8. Theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ
BĐt ¯ng thực trản luổn úng.
4. BĐt ¯ng thực  ữủc chựng minh ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi a = b = c.
Nhên x²t 1.9 Vẵ dử trản l mởt b i toĂn hay v khõ º giÊi ữủc bĐt ¯ng thực trản cƯn phối hủp nhiãu kắ thuêt m lới giÊi trản nơm trong nhúng líi gi£i nhanh v hay nh§t cho b i n y.
Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc
Trong chữỡng n y, chúng tổi trẳnh b y ành lẵ, chựng minh v mởt số hằ quÊ cừa bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, cụng nhữ cĂc dÔng mð rởng cừa bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz v vẵ dử Ngo i ra, chúng tổi cụng sỷ dửng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz º chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc kh¡c v mởt số kắ thuêt ữủc sỷ dửng trong chựng minh bĐt ¯ng thực Cuối cũng l cĂc b i toĂn chồn lồc thi hồc sinh giọi cĂc cĐp.
B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz
Trong phƯn n y, chúng tổi phĂt biºu ành lẵ v cĂc hằ quÊ cụng nhữ cĂc dÔng mð rởng cừa bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz. ành lþ 2.1 ([4]) Cho c¡c sè thüc a 1 , a 2 , , a n v b 1 , b 2 , , b n Khi â a 2 1 +a 2 2 +ã ã ã+a 2 n b 2 1 +b 2 2 +ã ã ã+b 2 n
≥ (a1b1 +a2b2 +ã ã ã+anbn) 2 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 b 1 = a2 b 2 = ã ã ã = an b n Chựng minh BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi q a 2 1 + a 2 2 +ã ã ã+a 2 n q b 2 1 + b 2 2 +ã ã ã+b 2 n ≥ |a 1 b 1 + a 2 b 2 +ã ã ã+a n b n |.
Náu A = 0 thẳ ró r ng a 1 = a 2 = ã ã ã = a n = 0, v bĐt ¯ng thực (2.1) úng Vẳ thá, ta giÊ sỷ rơng A, B >0.
BĐt ¯ng thực (2.1) l thuƯn nhĐt, vẳ vêy ta cõ thº chuân hõa vợi a 2 1 +a 2 2 +ã ã ã+a 2 n = 1 = b 2 1 +b 2 2 +ã ã ã+ b 2 n , (2.2)
2 = 1, ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a 1 b1
CĂc hằ quÊ
2 a 2 x + b 2 y + c 2 z ≥ (a+b+c) 2 x+ y+ z Chùng minh 1 B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng y(x+ y)a 2 +x(x+y)b 2 ≥xy(a+b) 2
⇔ a 2 xy +a 2 y 2 + x 2 b 2 +xyb 2 −xya 2 −xyb 2 −2abxy ≥ 0
⇔ (ay −bx) 2 ≥0 iãu n y ró r ng l úng. ¯ng thùc x£y ra khi ay = bx hay a x = b y.
2 B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng a 2 x + b 2 y + c 2 z ≥ (a+b) 2 x+y + c 2 z ≥ (a+b+c) 2 x+y +z ¯ng thùc x£y ra khi a x = b y = c z. Hằ quÊ 2.2 ([4]) Cho a1, a2, , an v b1, b2, , bn l cĂc số thỹc Khi õ q a 2 1 +b 2 1 + q a 2 2 +b 2 2 +ã ã ã+ q a 2 n +b 2 n ≥ q (a1 +a2 +ã ã ã+an) 2 + (b1 +b2 +ã ã ã+bn) 2
Chựng minh Chựng minh bơng quy nÔp theo n.
Vợi n = 1 ta thĐy bĐt ¯ng thực l úng.
Vợi n = k, bĐt ¯ng thực  cho trð th nh q a 2 1 +b 2 1 + q a 2 2 +b 2 2 +ã ã ã+ q a 2 k +b 2 k ≥ q (a 1 +a 2 +ã ã ã+a k ) 2 + (b 1 + b 2 + ã ã ã+b k ) 2
Vêy bĐt ¯ng thực úng cho mồi số nguyản dữỡng n.
Kát quÊ tiáp theo l do Walter Janous v ữủc tĂc giÊ coi l mởt kát quÊ rĐt quan trồng, ữủc sỷ dửng rởng rÂi trong viằc chựng minh bĐt ¯ng thùc.
Hằ quÊ 2.3 ([4]) Cho a, b, c v x, y, z l cĂc số thỹc Khi õ x y +z(b+c) + y z+ x(c+ a) + z x+ y(a+ b) ≥ q 3(ab+bc+ca).
Chựng minh BĐt ¯ng thực  cho l thuƯn nhĐt theo cĂc bián a, b, c nản ta cõ thº chuân hõa vợi a+b+c = 1.
V ta cõ thº viát lÔi bĐt ¯ng thực nhữ sau: x y +z(1−a) + y z +x(1−b) + z x+y(1−c) ≥ q 3(ab+bc+ca).
Tứ õ x y +z+ y z+ x+ z x+y ≥ q 3(ab+bc+ca)+ ax y+ z+ by z +x+ cz x+y (2.3) Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ x y+ z + y z+ x + z x+y + q 3(ab+bc+ca)
√ ab+bc+ca, v sau khi sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta cõ ữủc: s x y +z
Vẳ vêy ta cõ: ax y +z + by z +x + cz x+y + q 3(ab+ bc+ ca)
Nõ cho ta thĐy rơng x y +z
, tữỡng ữỡng vợi yz (x+y)(x+z) + xz
4 Qua cĂc ph²p bián ời bĐt ¯ng thực trản trð th nh x 2 y +y 2 x+y 2 z +z 2 y +z 2 x+x 2 z ≥ 6xyz.
DÔng mð rởng cừa bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz
ành lỵ 2.2 (BT Cauchy-Schwarz dÔng Engel, [4]) GiÊ sỷa 1 , a 2 ,ã ã ã , a n l cĂc số thỹc v b 1 , b 2 ,ã ã ã , b n l cĂc số thỹc dữỡng Khi õ a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 +ã ã ã+ a 2 n b n ≥ (a 1 +a 2 + ã ã ã+ a n ) 2 b 1 +b 2 + ã ã ã+ b n (2.4) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = ã ã ã = a n b n
Chựng minh Trữợc hát chúng ta chựng minh bĐt ¯ng thực ỡn giÊn sau: Cho a, b, x, y l c¡c sè thüc v x, y > 0 Khi â: a 2 x + b 2 y ≥ (a+b) 2 x+y (2.5)
Thêt vêy, bĐt ¯ng thực ữủc viát lÔi th nh a 2 y(x+y) +b 2 x(x+y) ≥(a+ b) 2 xy ⇔(ay−bx) 2 ≥ 0 (luổn úng) ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a x = b y Vêy bĐt ¯ng thực (2.5) ữủc chùng minh.
Vợi 6 số a, b, c, x, y, z v x, y, z > 0 p dửng bĐt ¯ng thực (2.5) hai lƯn ta câ: a 2 x + b 2 y + c 2 z ≥ (a+b) 2 x+y + c 2 z ≥ (a+b+c) 2 x+y +z
Do õ bơng ph²p quy nÔp toĂn hồc vợi a 1 , a 2 ,ã ã ã , a n l cĂc số thỹc bĐt kẳ v b 1 , b 2 ,ã ã ã , b n l cĂc số thỹc dữỡng Khi õ, ta luổn cõ: a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 +ã ã ã+ a 2 n b n ≥ (a 1 +a 2 +ã ã ã+a n ) 2 b 1 +b 2 +ã ã ã+ b n ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a 1 b1
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz trong chựng minh b§t ¯ng thùc
Kắ thuêt thảm - bợt
Cõ nhỳng bĐt ¯ng thực m khi º ð nguyản dÔng thẳ chúng khổng cõ dĐu hiằu gẳ khián ta nghắ án viằc sỷ dửng Cauchy - Schwarz º giÊi chúng Tuy nhiản, sau mởt v i bián ời cƯn thiát thẳ nhỳng dĐu hiằu õ lÔi xuĐt hiằn é kắ thuêt n y chúng ta s³ l m quen vợi cĂc b i toĂn nhữ thá.
B i toĂn 2.2 ([2]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn abc = 1. Chựng minh rơng
Lới giÊi Ta viát lÔi bĐt ¯ng thực nhữ sau
BĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng vợi
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta ữủc
Do â, ta ch¿ c¦n chùng minh
(a+ b+c) 2 + 6(ab+ bc+ ca) ≥ 3abc(a+b+c), ta suy ra ab+bc+ca ≥ q 3abc(a+b+c) = 3t.
Cuối cũng ta ch¿ cƯn chựng minh ữủc bĐt ¯ng thực sau nỳa l ừ
(3t 2 ) 2 + 6.3t≥ 9.3t 2 BĐt ¯ng thực n y tữỡng ữỡng vợi
9t(t 3 + 2−3t) ≥ 0, úng vẳ theo bĐt ¯ng thực AM - GM ta cõ t 3 + 1 + 1 ≥ 3t ¯ng thực x£y ra khi v ch¿ khi a = b = b = c = 1.
B i toĂn 2.3 ([2]) Cho a, b, c l ở d i ba cÔnh cừa mởt tam giĂc Chựng minh rơng a b+ c + b c+a + c a+b + ab+bc+ca a 2 +b 2 +c 2 ≤ 5
Lới giÊi Muốn dỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta cƯn tẳm mởt số m thẵch hủp bơng cĂch tẳm cên trản nhọ nhĐt cừa a b+c Vợi giÊi thiát a, b, c l ở d i ba cÔnh cừa mởt tam giĂc thẳ hiºn nhiản cên trản nhọ nhĐt cõa a b+c l 1, vẳ vêy m = 1 Tứ õ ta cõ ữủc bián ời sau:
Do b+c−a > 0, c+a−b > 0v a+b−c > 0nản ta cõ thº sỷ dửng bĐt ¯ng thùc Cauchy-Schwarz nh÷ sau:
2(a 2 +b 2 +c 2 ). ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c hay tam gi¡c ¢ cho l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4 ([2]) Choa, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂna+b+c = 1. Chựng minh rơng a 2 9a+ 1 + b 2
9(9a+ 1), nản bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi a 9a+ 1 + b
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ: a
= 1 9(a 2 + b 2 +c 2 ) + 1 (2.8) M°t khĂc, theo bĐt ¯ng thực AM-GM thẳ
Tứ (2.8) v (2.9) suy ra ta ch¿ cƯn chựng minh ữủc
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ
= 1. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1
Kắ thuêt tĂch gh²p
Ơy l mởt kắ thuêt khổng mău mỹc, ỏi họi nhiãu ð sỹ tinh tá v kh²o l²o Sỹ th nh cổng cừa kắ thuêt phử thuởc v o viằc phĂt hiằn ra cĂc hơng ¯ng thực °c biằt hay nhỳng bĐt ¯ng thực phử thẵch hủp Sau Ơy l mởt số b i toĂn minh hồa
B i to¡n 2.5 (Singapore IMO TST 2003, [2]) Cho a, b, c l c¡c sè thüc dữỡng Chựng minh rơng bc 2a+ b+c + ca
4 Líi gi£i Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ
Tứ õ suy ra bc 2a+ b+c + ca
4 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.
B i toĂn 2.6 ([2]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng Chựng minh rơng b+c a 2 +bc + c+ a b 2 +ca + a+ b c 2 +ab ≤ 1 a + 1 b + 1 c (2.10) Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ: b+c a 2 +bc = (b+c) 2
≤ b 2 c(a 2 +b 2 ) + c 2 b(c 2 +a 2 ). p dửng tữỡng tỹ ta ữủc c+ a b 2 +ca ≤ c 2 a(b 2 +c 2 ) + a 2 c(a 2 +b 2 ) a+ b c 2 +ab ≤ a 2 b(c 2 +a 2 ) + b 2 a(b 2 +c 2 ) Cởng theo vá cĂc bĐt ¯ng thực trản ta ữủc b+c a 2 +bc + c+ a b 2 +ca + a+ b c 2 +ab ≤ 1 a + 1 b + 1 c. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.
Nhên x²t 2.1 ([2]) Náu thay a, b, c lƯn lữủt bði 1 a , 1 b , 1 c thẳ ta ữủc mởt dÔng khĂc tữỡng ữỡng vợi bĐt ¯ng thực ban Ưu l a 2 (b+c) a 2 +bc + b 2 (c+a) b 2 +ca + c 2 (a+b) c 2 +ab ≤ a+b+c (2.11)
Vẳ a 2 (b+ c) a 2 + bc = b+c− bc(b+c) a 2 +bc nản bĐt ¯ng thực n y cỏn cõ thº ữủc viát dữợi dÔng bc(b+c) a 2 +bc + ca(c+ a) b 2 +ca + ab(a+ b) c 2 +ab ≥a+b+c (2.12) BĐt ¯ng thực (2.10) (v cĂc dÔng tữỡng ữỡng (2.11), (2.12)) l mởt kát quÊ àp vợi nhiãu ựng dửng.
B i toĂn 2.7 ([2]) Cho a, b, c ≥0 v ab+bc+ca = 3 Chựng minh rơng
1 a 2 + 1 = 1− a 2 a 2 + 1 nản bĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng vợi a 2 a 2 + 1 + b 2 b 2 + 1 + c 2 c 2 + 1 ≤ 3
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz vợi chú ỵ rơng
3a 2 +ab+bc+ca = a(a+b+c) + (2a 2 + bc), ta ữủc
2a 2 + bc. Cởng bĐt ¯ng thực n y vợi hai bĐt ¯ng thực tữỡng tỹ, ta suy ra:
Chia hai vá cừa bĐt ¯ng thực cho 4, ta ữủc kát quÊ cừa b i toĂn. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1, ho°c a = b r3
èi xùng hâa
Trong cĂc b i toĂn vã bĐt ¯ng thực thẳ cĂc bĐt ¯ng thực hoĂn và vỏng quanh luổn khõ Ănh giĂ hỡn bĐt ¯ng thực ối xựng Vẳ vêy, khi g°p phÊi nhỳng b i toĂn nhữ vêy, ta thữớng nghắ án viằc ữa chúng vã dÔng ối xựng BĐt ¯ng thực Cauchy-Shwarz l mởt trong nhỳng cổng cử rĐt hỳu hiằu giúp chúng ta thỹc hiằn ữủc iãu n y Bơng cĂch sỷ dửng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ thº bê sung v o b§t ¯ng thùc c¦n chựng minh mởt lữủng thẵch hủp º nõ trð th nh bĐt ¯ng thực ối xựng. Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử:
B i toĂn 2.8 ([2]) Cho cĂc số thỹc dữỡng a, b, c thọa mÂn
√2. Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ
= 2(a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca)(ab+bc+ca)
(a+b)(b+c)(c+a) (2.13) M°t khĂc, sỷ dửng bĐt ¯ng thực quen thuởc
9(a+b+ c)(ab+bc+ca), ta l¤i câ ab+bc+ca (a+b)(b+c)(c+ a) ≤ 9
Tứ (2.13) v (2.14) suy ra ta ch¿ cƯn chựng minh ữủc a 2 +b 2 +c 2 + ab+ bc+ ca a+b+c ≤ 2.
5 nản bĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng vợi
Tứ (2.16) v (2.17), ta thu ữủc ngay (2.15), b i toĂn  ữủc chựng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.
B i toĂn 2.9 ([2]) Chựng minh rơng vợi mồi số a, b, c > 0, ta ãu cõ s a 2 4a 2 +ab+ 4b 2 + s b 2 4b 2 +bc+ 4c 2 + s c 2 4c 2 +ca+ 4a 2 ≤ 1.
Lới giÊi p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ: s a 2 4a 2 +ab+ 4b 2 + s b 2 4b 2 +bc+ 4c 2 + s c 2 4c 2 +ca+ 4a 2 ≤
Do â ta ch¿ c¦n chùng minh
≤(4a 2 +ab+ 4b 2 )(4b 2 +bc+ 4c 2 )(4c 2 +ca+ 4a 2 ). Thỹc hiằn ph²p khai triºn trỹc tiáp, ta ữủc
+ 3abc[ab(a+ b) +bc(b+c) +ca(c+a)] ≥66a 2 b 2 c 2 , úng vẳ theo AM-GM, ta cõ: a 3 +b 3 +c 3 ≥ 3abc a 3 b 3 +b 3 c 3 +c 3 a 3 ≥ 3a 2 b 2 c 2 ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+ a) ≥ 6abc.
B i toĂn ữủc chựng minh xong ¯ng thực xÊy ra khi a = b = c.
B i toĂn 2.10 ([4]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn ab+bc+ ca = 1 Chựng minh rơng a 2 b+c + b 2 c+a + c 2 a+ b ≥
2 Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta ữủc a 2 b+c + b 2 c+a + c 2 a+b
(a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 + 2(ab+bc+ca) ≥ 3(ab+bc+ca) = 3,
Sỷ dửng (2.18) v (2.19) ta ữủc iãu phÊi chựng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1
Kắ thuêt ời bián
Mởt số bĐt ¯ng thực, náu ð dÔng nguyản thừy thẳ rĐt khõ º sỷ dửng Cauchy-Schwarz chựng minh chúng Tuy nhiản, bơng mởt số thừ thuêt ời bián nhọ, ta cõ thº ữa chúng vã dÔng m bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz cõ thº ữủc Ăp dửng v mang lÔi kát quÊ mong ủi.
Thổng thữớng, vợi cĂc bĐt ¯ng thực ba bián a, b, c, cĂc ph²p ời bián sau hay ữủc sỷ dửng:
4 (a, b, c) 7→ ka 2 bc ,kb 2 ca ,kc 2 ab ,
B i toĂn 2.11 ([2]) Cho cĂc số thỹc dữỡng a, b, c thọa mÂn abc = 1. Chựng minh rơng
Líi gi£i °t a = yz x 2 , b = zx y 2 , c = xy z 2 vợi x, y, z > 0 BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh trð th nh x 4
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ:
(2x 2 +yz)(x 2 +yz) + (2y 2 + zx)(y 2 +zx) + (2z 2 +xy)(z 2 +xy).
Do õ ta ch¿ cƯn chựng minh ữủc
+ (2y 2 +zx)(y 2 +zx) + (2z 2 + xy)(z 2 +xy). Sau khi khai triºn v rút gồn, ta ữủc: x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 ≥ xyz(x+y +z),hiºn nhiản úng
B i toĂn ữủc chựng minh xong ¯ng thực xÊy ra khi a = b = c = 1.
B i toĂn 2.12 ([2]) Cho cĂc số thỹc dữỡng x, y, z, t thọa mÂn xyzt = 1. Chựng minh rơng
Líi gi£i °t x = bc a 2 , y = cd b 2 , z = da c 2 , t= ab d 2 vợi a, b, c, d > 0 BĐt ¯ng thực (2.20) trð th nh a 4
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ: a 4
Tián h nh Ănh giĂ tữỡng tỹ, ta cụng cõ: b 4 (b 2 +cd) 2 + d 4
Cởng (2.22) v (2.23) tữỡng ựng theo vá, ta thu ữủc (2.21). ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x= y = z = t = 1.
B i toĂn 2.13 ([2]) Cho cĂc số thỹc dữỡng a, b, c, d thọa mÂn abcd = 1. Chựng minh rơng
Líi gi£i °t a = y x, b = z y, c = t z, d = x t vợi x, y, z, t > 0 BĐt ¯ng thực (2.24) trð th nh x 2 y 2 +xz + y 2 z 2 +yt + z 2 t 2 +xz + t 2 x 2 +yt ≥ 2.
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta ữủc x 2 y 2 +xz + y 2 z 2 +yt + z 2 t 2 +xz + t 2 x 2 +yt
= 2. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = c = 1 b = 1 d.
Sỷ dửng tham số
Khi giÊi toĂn, ta s³ g°p phÊi mởt số bĐt ¯ng thực m náu sỷ dửng Cauchy-Schwarz theo kiºu thổng thữớng s³ khổng i án kát quÊ Lúc n y, ta cõ thº thảm v o cĂc tham số phử º viằc sỷ dửng Cauchy-Schwarz hiằu qu£ hìn.
2 Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ: s
# ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 2.
B i toĂn 2.15 ([2]) Cho hai số thỹc x, y thọa mÂn 2x−y = 2 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Lới giÊi B i toĂn n y ta ho n to n khổng biát ữủc ¯ng thực xÊy ra khi n o Vẳ vêy, giÊ sỷ rơng P Ôt min khi x = a v y = b vợi 2a−b = 2 V bơng cĂch sỷ dửng Cauchy-Schwarz, ta s³ tẳm hai số a, b n y Thỹc hiằn ph²p chồn nhữ sau: q x 2 + (y + 1) 2 ≥ ax+ (b+ 1)(y + 1) pa 2 + (b+ 1) 2 , q x 2 + (y −3) 2 ≥ ax+ (b−3)(y −3) pa 2 + (b−3) 2 Vêy ta cõ
Ta s³ chồn a, b sao cho a pa 2 + (b+ 1) 2 + a pa 2 + (b−3) 2
= −2 b+ 1 pa 2 + (b+ 1) 2 + b−3 pa 2 + (b−3) 2 tùc a+ 2b+ 2 pa 2 + (b+ 1) 2 + a+ 2b−6 pa 2 + (b−3) 2 = 0, bði vẳ nhữ thá giÊ thiát 2x−y = 2 s³ ữủc tên dửng tối a Nhữ vêy, hai số a, b thẵch hủp chẵnh l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh
GiÊi hằ n y, ta tẳm ữủc a = 2
3 BƠy giớ, bơng cĂch thay cĂc giĂ trà n y v o (2.25), ta cõ ữủc
5 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x= 2
Mởt số b i toĂn chồn lồc thi hồc sinh giọi cĂc cĐp
B i toĂn 2.16 (VMO 1991, [2]) Cho x ≥ y ≥ z ≥0 Chựng minh rơng x 2 y z + y 2 z x + z 2 x y ≥ x 2 +y 2 +z 2 Líi gi£i Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ x 2 y z + y 2 z x + z 2 x y
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh ¯ng thực xÊy ra khi x = y = z.
B i to¡n 2.17 (Romania TST 2007, [5]) Gi£ sû a, b, c l c¡c sè thüc dữỡng thọa mÂn
Chựng minh rơng a+b+c ≥ab+bc+ca
Lới giÊi Quan sĂt giÊ thiát ta thĐy cõ dĐu hiằu sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz nản bián ời tữỡng ữỡng iãu kiằn ta ữủc:
⇔ a+b a+b+ 1 + b+c b+c+ 1 + c+a c+a+ 1 ≤ 2 Vá trĂi cừa giÊ thiát l m ta liản tữðng án bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz d¤ng ph¥n thùc a+b a+b+ 1 + b+c b+ c+ 1 + c+a c+a+ 1
(a+b+b+c+c+a) 2 ≤ 2h(a+b) 2 + (b+ c) 2 + (c+a) 2 + 2(a+b+c)i. Bián ời tữỡng ữỡng v thu gồn ta ữủc ab+bc+ca ≤a+b+cVêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh xong.
B i toĂn 2.18 (JBMO 2002 Shortlist, [3]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc thọa mÂn abc = 2 Chựng minh rơng a 3 +b 3 +c 3 ≥ a√ b+c+b√ c+a+c√ a+b Lới giÊi p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta cõ
Tứ hai bĐt ¯ng thực trản ta cõ a 3 +b 3 +c 3 ≥ (a 2 +b 2 +c 2 )(a+b+c)
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM ta ữủc a√ b+c+b√ a+c+c√ a+b ≥ 3 3 s abc q (a+b)(b+c)(c+a)
Tứ (2.26) v (2.27) ta cõ iãu phÊi chựng minh.
B i to¡n 2.19 (USA MO 2003, [2]) Cho ba sè thüc d÷ìng a, b, c Chùng minh rơng
Do õ bĐt ¯ng thực  cho ữủc viát lÔi
B¥y gií chóng ta chùng minh b§t ¯ng thùc (2.28). p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz dÔng Engel, ta cõ a 2 +b 2 ≥ (a+b) 2
2(a 2 + b 2 +c 2 ) Vêy ta cƯn chựng minh
(b+c−a) 2 + (c+a−b) 2 + (a+b−c) 2 a 2 +b 2 +c 2 ≥ 1, tùc l ta ch¿ c¦n chùng minh
(b+c−a) 2 + (c+a−b) 2 + (a+b−c) 2 ≥ a 2 +b 2 +c 2 t÷ìng ÷ìng a 2 + b 2 + c 2 −(ab+bc+ca) ≥0 (óng).
Vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi a = b c.
Nhên x²t 2.2 Ơy l mởt b i toĂn khĂ hay trong kẳ thi hồc sinh giọi nữợc Mắ nôm 2003, b i toĂn n y cõ khĂ nhiãu cĂch chựng minh v thêt thú và chúng ta cõ thº giÊi bơng cĂch sỡ cĐp l Ăp dửng bĐt ¯ng thựcCauchy - Schwarz dÔng Engel Tiáp cên b i toĂn chúng ta thĐy vá trĂi cừa bĐt ¯ng thực cõ dÔng phƠn thực, dũ tỷ số cừa mội phƠn số ãu cõ dÔng bẳnh phữỡng iãu õ gủi cho chúng ta nghắ tợi sỷ dửng bĐt ¯ng thực
Cauchy - Schwarz dÔng Engel những chúng ta chữa thº sỷ dửng ngay ữủc vẳ dĐu cừa bĐt ¯ng thực  cho l dĐu "≤" Vêy ta tẳm cĂch ữa vã bĐt ¯ng thực m cõ thº sỷ dửng tốt bĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz dÔng Engel. º þ chóng ta th§y
2c 2 + (a+b) 2 ≥1 án Ơy viằc sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz dÔng Engel l dạ d ng.
B i toĂn 2.20 Choa, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn abc = 1 Chựng minh rơng a 2 (b+c) b√ b+ 2c√ c + b 2 (c+a) c√ c+ 2a√ a + c 2 (a+ b) a√ a+ 2b√ b ≥ 2.
(ã thi HSG lợp 12 t¿nh Bẳnh ành, nôm 2022)
Lới giÊi Trữợc hát ta dỹ oĂn dĐu ¯ng thực xÊy ra tÔi a = b = c Quan sĂt bĐt ¯ng thực ta nhên thĐy, º ỡn giÊn hõa ta cƯn thỹc hiằn ph²p ời bián x = a√ a;y = b√ b;z = c√ c, tuy nhiản ta khổng thº ời bián ð cĂc tỷ số, do õ ta cƯn phÊi bián ời tỷ số sao cho xuĐt hiằn cĂc Ôi lữủng a√ a;b√ b;c√ c, những bián ời theo cĂch n o Ơy?
Chú ỵ án chiãu cừa bĐt ¯ng thực ta cõ Ănh giĂ a 2 (b+c) ≥2a 2 √ bc, º ỵ án giÊ thiát abc = 1, nản ta thay √ bc bơng 1
√a, khi õ ta ữủc a 2 (b+c) ≥ 2a 2 √ bc = 2a√ a = 2x. p dửng tữỡng tỹ ta cõ bĐt ¯ng thực a 2 (b+ c) b√ b+ 2c√ c + b 2 (c+ a) c√ c+ 2a√ a + c 2 (a+b) a√ a+ 2b√ b
BƠy giớ ta cƯn ch¿ ra ữủc x y + 2z + y z+ 2x + z x+ 2y ≥1.
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta cõ x y + 2z + y z+ 2x + z x+ 2y = x 2 x(y + 2z) + y 2 y(z + 2x) + z 2 z(x+ 2y)
Do â ta câ x y + 2z + y z + 2x + z x+ 2y ≥ 1, tực l b i toĂn ữủc chựng minh.
B i toĂn 2.21 (IMO 2005, [5]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn abc ≥ 1 Chựng minh rơng a 5 −a 2 a 5 +b 2 +c 2 + b 5 −b 2 b 5 +c 2 +a 2 + c 5 −c 2 c 5 +a 2 + b 2 ≥0.
Lới giÊi Vẳ a 5 −a 2 a 5 + b 2 +c 2 = 1− a 2 +b 2 +c 2 a 5 +b 2 +c 2 nản bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh cõ thº viát lÔi th nh: a 2 +b 2 + c 2 a 5 +b 2 + c 2 + a 2 + b 2 +c 2 b 5 + c 2 +a 2 + a 2 +b 2 +c 2 c 5 +a 2 +b 2 ≤ 3
BƠy giớ chúng ta cƯn sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz sao cho cĂc ph¥n thùc 1 a 5 +b 2 +c 2 ; 1 b 5 +c 2 +a 2 ; 1 c 5 +a 2 + b 2 vã chung mởt Ôi lữủng liản quan án vá phÊi, cử thº l phƠn thực cõ mău l a 2 +b 2 +c 2 Sỷ dửng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta câ
1 a +b 2 +c 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 Cởng bĐt ¯ng thực n y vợi cĂc bĐt ¯ng thực tữỡng tỹ, ta ữủc:
⇔ ab+bc+ca abc ≤ a 2 +b 2 +c 2 iãu n y úng do abc ≥ 1⇒ ab+ bc+ ca abc ≤ ab+bc+ca ≤ a 2 +b 2 +c 2 Kát thúc chựng minh DĐu ¯ng thực xÊy ra khi a = b= c = 1.
B i toĂn 2.22 (British MO 2005, [5]) Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm Chựng minh rơng a b + b c + c a
Lới giÊi Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta cõ a b + b c + c a
NhƠn hai vá (2.29) v (2.30) ta ữủc a b + b c + c a
1 ab + 1 bc + 1 ca Ơy l mởt hơng ¯ng thực BĐt ¯ng thực  ữủc chựng minh xong. D§u ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.
B i toĂn 2.23 (IMO 2008, [2]) Cho cĂc số thỹc x, y, z khĂc 1 thọa mÂn xyz = 1 Chựng minh rơng x x−1
Chựng minh Vẳ x, y, z l cĂc số thỹc khĂc 1 v thọa mÂn xyz = 1 nản tỗn tÔi cĂc số thỹc a, b, c thọa mÂn x = a 2 bc, y = b 2 ca, z = c 2 ab é õ a, b, c thọa mÂn (a 2 −bc)(b 2 −ca)(c 2 −ab) ̸= 0.
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh a 4 (a 2 −bc) 2 + b 4
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta ữủc a 4
⇔ (ab+bc+ca) 2 ≥ 0BĐt ¯ng thực n y úng Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh xong.
Trong ã Ăn n y chúng tổi  thỹc hiằn ữủc cĂc nởi dung sau Ơy
Trẳnh b y cĂc ành lỵ, hằ quÊ v mởt số vẵ dử vã bĐt ¯ng thực AM-
GM Ngo i ra, chúng tổi cỏn sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM trong viằc chựng minh cĂc bĐt ¯ng thực kinh iºn khĂc v mởt số b i toĂn chồn lồc thi hồc sinh giọi cĂc cĐp.
Trẳnh b y cĂc ành lỵ, hằ quÊ cừa bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz dÔng Engel Ngo i ra, chúng tổi cỏn trẳnh b y sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz trong chựng minh bĐt ¯ng thực nhữ: kắ thuêt thảm - bợt, kắ thuêt tĂch gh²p, kắ thuêt ối xựng hõa, kắ thuêt ời bián, sỷ dửng tham số v trẳnh b y mởt số b i toĂn chồn lồc thi hồc sinh giọi cĂc cĐp.