Bất đẳng thức AM-GM * Trong chương trình tốn THCS ta thương dúng bất đẳng thức AM-GM cho số thực không âm số thực không âm a) Cho số thực khơng âm a, b ta có: a b ab dấu đẳng thức xảy a b b) Cho số thực không âm a, b, c ta có: a b c 3 abc dấu đẳng thức xảy a b c * Một số kết suy từ bất đẳng thức AM-GM a) Với a, b từ a b ab 4ab a b (*) b) Với a, b từ 1 2 lại có a b ab ab ab 1 11 1 suy a b ab a b 4a b kết hay dùng chứng minh toán BĐT c) Với a, b, c từ a b c 3 abc 27abc a b c d) Với a, b, c từ 1 a b c 3 abc , a b c 3 abc suy 1 hay a b c abc 11 1 kết hay dùng chứng minh toán abc 9a b c BĐT e) a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm bym với a, b, m, n, x, y Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a3 x3 m3 a b x y m3 n b3 y3 n3 a b x y m3 n 3axm a b3 x3 y m3 n3 a b 3byn x y m3 n3 3axm 3byn Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra: a b3 x3 y m3 n3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm bym + Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: a b3 c3 x3 y z m3 n3 p3 axm bym czp 3 MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a) a b c bc ca ab b) a b b c c a 8abc c) a b b c c a a b c ab bc ca d) Cho a b b c c a Chứng minh: ab bc ca (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội, năm 2015) e) Cho số thực x, y, z Tìm giá trị nhỏ P x y z4 y z x4 z x y4 (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chun Tốn – THPT chuyên KHTN, năm 2015) ab bc 1 2 a b b c a b b c f) Cho số thực dương a, b Chứng minh: (Tuyển sinh THPT chuyên KHTN, 2018) g) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz Chứng minh: 1 1 2 x y y 2z z 2x 2 h) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: P 2x y 2 2y z 2 1 Tìm giá trị lớn x y z z x2 (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán – THPT chuyên TP Hà Nội, 2018) Lời giải: a) Ta có a b c 1 a b c 3 1 1 1 a b c bc ca ab bc ca ab ab bc ca Và a b c 1 1 a b b c c a ab bc ca ab bc ca 1 ab ab bc bc ca ca 1 1 1 2 bc ca ab ca ab bc ab bc suy bc ab ab bc ab ca bc ca a b c nên 3 bc ab ca ab ca bc bc ca ab a b c hay dấu đẳng thức xảy a b c bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức Am-GM ta có: Cách khác: Đặt a b x; b c y; c a z a b c x yz x yz x yz yzx a ;b ;c 2 2 Thay vào ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 x y z x y z z y x x y y z x z x y Do theo bất 2 y z x y x z y z x y x đẳng thức AM-GM nên ta suy bất đẳng thức cuối b) Cách 1: Ta có: a b ab , b c bc , c a ca a b b c c a 8abc Cách 2: a b b c c a a b c ab bc ca abc Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a b c 3 abc , ab bc ca 3 a 2b2 c2 a b c ab bc ca 9abc Suy a b b c c a a b c ab bc ca abc 8abc Chú ý: a b b c c a a b c ab bc ca abc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức: c) a b b c c a a b c ab bc ca Chú ý a b b c c a a b c ab bc ca abc Áp dụng câu c ta có đpcm d) Ta ý: a b b c c a a b c ab bc ca abc abc Theo bất đẳng thức AM-Gm ta có: abc a b b c c a 3 a b b c c a a b c Mặt khác sử dụng: 1 abc Dấu a b b c c a 8abc abc Tứ suy ra: ab bc ca abc đẳng thức xảy a b c y z 44 y z e) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: y z Từ suy 2 x 4x Tương tự ta có BĐT cộng lại ta có: y z4 y z Suy ab bc ca x y z P 4 yz zx x y x y z Áp dụng câu a ta có: , suy P Dấu đẳng thức xảy yz zx x y x y z f) Ta có VT ab bc ab bc ab bc a b b c Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a b ab , b c bc , a b b c bc b2 ac ab bc b ac ab Nên a b b c bc ab Dẫn đến VT ab ab bc bc ab bc ab bc bc ab Dấu đẳng thức xảy a b c g) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x y xy; y y x y xy y 1 x y xy y 1 Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại suy ra: VT 1 1 Dấu đẳng thức xảy xy y yz z zx x x y z Chú ý: Trong toán ta sử dụng kết là: Cho số thực x, y, z thỏa mãn xyz 1 Phần chứng minh dành cho bạn xy y yz z zx x đọc h) Từ 1 1 1 33 x y z x y z 3 xyz xyz Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x y x y x xy x P2 x2 y xy x 1 Từ suy 3 1 xy y yz z zx x Để ý rằng: 1 1 x xy xy y yz z zx x xy x xyz xy x x yz xyz xy x xy Nên ta có P xy x xy x x xy Dấu đẳng thức xảy 2 x y z Ví dụ a) Cho số thực dương a, b, c cho a b c ab bc ca Chứng minh rằng: a b2 c2 (trích Đề tuyển sinh lớp 10 – TP Hà Nội, 2013) b) Cho số thực dương a, b cho: Q 1 Chứng minh: a b 1 (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi – 2 a b 2ab b a 2a b Hải Dương, 2013) c) Cho số thực dương a, b cho a b Chứng minh: a b a b2 b b a a 10 d) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ P 2a bc 2b ac 2c ab (Trích đề tuyển sinh lớp 10 – TP Hà Nội, 2014) e) Cho số thực không âm a, b cho a2 b2 Tìm GTLN P ab Trích ab2 đề tuyển sinh lớp 10 – TP Hà Nội 2015 f) Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a b c 11 1 (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán – Tin TP 2 4a b c ab bc ca Hà Nội 2017) Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a b c Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a2 b2 2ab, b2 c2 2bc, c2 a 2ac, a 2a, b2 2b, c2 2c Cộng bất đẳng thức chiều ta suy a2 b2 c2 ab bc ca a b c 12 a b2 c Dấu xảy a b c b) Dự đoán a b bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT AM-GM sau: Ta có: a4 b2 2a2b, b4 a2 2ab2 Từ suy Q 1 1 Từ giả thiết 2 2a b 2ab 2b a 2a b 2ab a b 2ab a b ab a b 2 1 ab 1 1 Do 2 a b 2ab suy Q a b ab a b a b a b a b Suy Q Dấu xảy a b c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 2 a b 2ab a b 2ab 2 2ab 10 Hay ab ab 2ab 2ab 4ab 2 10 2a b2 4a3b3 24ab 12a b2 36 18ab ab ab 2 3 2a b 4a b 24ab 12a2 b2 36 18ab 4t 10t 42t 36 Với t ab a b 9 a b 2 Ta có (*) tương đương với: 2t 5t 21t 18 t 1 2t 3t 18 Do 2t 3t 18 t nên t 1 2t 3t 18 Dấu xảy t a b d) 2a bc a a b c bc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM a b a c abac , tương tự ta có: babc cacb , 2c ab 2 2a b c 2b c a 2c a b Suy P 2a bc 2b ac 2c ab 2a b c 2 2 Dấu đẳng thức xảy a b c ab Đặt a b t t a2 b2 2ab 2ab e) Ta viết lại P ab2 2b ac b a b c ac Ta có ab Vậy P b a b c t2 t2 t2 Suy P Do t 2ab t a2 b2 t 2 t 2 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy t 2 a b Vậy GTLM P a b f) Theo bất đẳng thức AM-GM a b2 a a b c b2 a b2 ab ac 2ab ab ac 3ab ac Từ suy 11 1 a a 1 Áp dụng bất đẳng thức: ta có: x y 4 x y 3ab ac 3b c 2b b c ab 1 1 1 1 1 1 3 1 Tương tự ta có: 2b b c 2b b c 8b b c 8b 16 b c 16 b c b 3 1 c 3 1 , 2 16 c a c a 16 a b bc Cộng theo vế bất đẳng thức chiều ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b c Ví dụ Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab 2013a 2014b Chứng minh rằng: a b 2013 2014 (Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2013-2014) Lời giải Từ giả thiết suy ra: 2013 2014 2013 2014 ( a b) a b b a a b 2013a 2014b a b 2013 2014 1 b a 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 2013a 2014b 2013a 2014b 2 b a b a Kết hợp với (1) suy ra: a b 2013 2013.2014 2014 a b 2013 2014 Điều phải chứng minh ... chuyên Toán – Tin TP 2 4a b c ab bc ca Hà Nội 20 17) Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a b c Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: a2 b2 2ab, b2 c2 2bc, c2 a 2ac,... x y y z x z x y Do theo bất 2 y z x y x z y z x y x đẳng thức AM- GM nên ta suy bất đẳng thức cuối b) Cách 1: Ta có: a b ab , b c bc , c a ca a... Cách 2: a b b c c a a b c ab bc ca abc Theo bất đẳng thức AM- GM ta có: a b c 3 abc , ab bc ca 3 a 2b2 c2 a b c ab bc ca 9abc