Khóa học Bất đẳng thức Online cho GV Khóa 19: 15/11/2021 học Zalo: 0989.15.2268 BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ Bài Với a,b ta có: a b 2ab ; a b 2ab 1 a b a b Bài Cho số thực dương a,b thỏa mãn ab Bài Cho a,b Chứng minh Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b 1a b Bài Cho x y 0, xy Tìm giá trị nhỏ A a b x y2 x y 1 x y Bài Cho a,b thỏa mãn a b Chứng minh a 2b a b 32 Bài Cho biểu thức P a b ab Với a,b thỏa mãn a b ab Bài Cho x , y x y 6xy Tìm giá trị nhỏ P Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P 16 Bài Cho x , y Tìm giá trị nhỏ P x y a 4 Chứng minh Bài Cho a a 16 a 2 a 8 x 1y 1 Bài 10 Cho a,b 0, a b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S 7a 7b Bài 11 Cho a 2b Tìm giá trị nhỏ P a 1 b 1 Bài 12 Cho x, y 0, x y Tìm giá trị nhỏ A 4xy Bài 13 Cho x , y thỏa mãn Bài 14 Cho a,b 0, a 2 xy x y x x 2y Tìm giá trị nhỏ K y y x b Tìm giá trị nhỏ M a b2 b a Bài 15 Cho a,b 0, a b Chứng minh a 3b b 3a 3a 3b Bài 16 Cho x , y x y Tìm giá trị lớn P x 14x 10y y 14y 10x Bài 17 Cho x, y thỏa mãn y x 4, x y Tìm giá trị lớn M x y Bài 18 Cho x, y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P x y Bài 19 Cho a,b thỏa mãn a b -1- Khóa học Bất đẳng thức Online cho GV Khóa 19: 15/11/2021 học Zalo: 0989.15.2268 Tìm giá trị lớn P a b 2b a b a 2a b Bài 20 Cho a,b Chứng minh 2a 3b b 2b a Bài 21 Cho a,b số thực dương thỏa mãn a b 2a b Tìm giá trị lớn P a b ab a b 1 2 a b b a a b Bài 23 Cho a,b Chứng minh a 1 3 a b 1 b Bài 22 Cho a,b Chứng minh Bài 24 Cho a,b Chứng minh a b b a b 2a b 8b Bài 25 Cho a,b 0, a b Chứng minh 5a 5b 1 a 2a b 2b 1 a2 b2 Bài 26 Cho a,b 0, a b ab Chứng minh Bài 27 Cho a, b 0, ab Chứng minh 1 a 1 b 214 2 Bài 28 Cho a,b thỏa mãn a b 4ab 12 1 2020ab 2021 a b Bài 29 Cho a,b số dương thỏa mãn ab Chứng minh Tìm giá trị nhỏ P a b 2a b2 a b Bài 30 Cho x, y số tự nhiên thỏa mãn x y 99 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P x y Bài 31 Cho x, y số thực thỏa mãn x 2y 2xy 24 5x 5y Tìm giá trị lớn P x y x y 2xy Bài 32 Cho a,b 0, ab Chứng minh 1 a 1 b Bài 33 Cho a,b 0, ab Chứng minh a 1 b 1 a b Bài 34 Cho a,b ab Tìm giá trị lớn P a a4 b b4 Bài 35 Cho a,b số thực thỏa mãn a ab b a b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P 2020 a b Bài 36 Cho x, y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị nhỏ P Bài 37 Cho a,b thỏa mãn a b b a -2- y 2 x 2 x2 y Khóa học Bất đẳng thức Online cho GV Khóa 19: 15/11/2021 học Zalo: 0989.15.2268 1 a b a b Bài 38 Cho x y xy; x , y Tìm giá trị nhỏ P Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P x y x 2y Bài 39 Cho x, y thỏa mãn x y 4x y 6x Tìm giá trị lớn x y Bài 40 Cho x, y thỏa mãn x xy y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A x xy y Bài 41 Cho x, y số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x y 2020 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x x y y y x Bài 42 Cho x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn M y 3xy Bài 43 Cho x, y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A x y Bài 44 Cho số thực x, y thỏa mãn xy x y 15 Tìm giá trị nhỏ A x y Bài 45 Cho số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn biểu thức A x y x y 10xy Bài 46 Cho x, y 0, xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x y x y 1 Bài 47 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y xy x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S x y 2020 a b 2021 a b2 Bài 49 Cho a 1,b Tìm giá trị nhỏ P b 1 a 1 Bài 48 Chứng minh với a,b ta có: a b 2ab Bài 50 Cho a,b Chứng minh 2021b 2020a b 2020a Bài 51 Cho a,b 0, ab Tìm giá trị nhỏ P a b 1a b2 a b Bài 52 Cho a,b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ P a ab b Bài 53 Cho x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn P x 3y xy Bài 54 Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện x x y y Tìm giá trị nhỏ P 2x y 6xy 8y 10x 2y 2024 Bài 55 Cho số không âm x, y thỏa mãn x y -3- Khóa học Bất đẳng thức Online cho GV Khóa 19: 15/11/2021 học Zalo: 0989.15.2268 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P xy x y Bài 56 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x y x y Bài 57 Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab 2a Tìm giá trị lớn biểu thức A Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức a b a b2 Bài 58 Cho a,b số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a 2b ab 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b2 Bài 59 Cho số thực không âm a,b thỏa mãn a b Tìm giá trị lớn P a b a b Bài 60 Cho x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bài 61 Cho 2x x 6y 2xy 2y x , y x y 4xy Tìm giá trị lớn P x y x y Bài 62 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y 2 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x y y x Bài 63 Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P x y x y xy Bài 64 Cho a,b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ P 2a 2b a b 20 xy 1 Bài 66 Cho a,b 0, a b Tìm giá trị nhỏ P 3ab a 3ab b 2 Bài 67 Cho x, y 0, xy 12 Tìm giá trị nhỏ P x y 3x y Bài 65 Cho x, y 0, x y Tìm giá trị nhỏ A xy Bài 68 Cho x , y thỏa mãn 4x 4y 17xy 5x 5y Tìm giá trị nhỏ P 17x 17y 16xy (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2019 - 2020) Bài 69 Cho a,b thỏa mãn 2a 3b 8a 12b 2a 3b 5ab 10 Chứng minh 3a 8b 10ab 21 (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2020 - 2021) -4- Khóa học Bất đẳng thức Online cho GV Khóa 19: 15/11/2021 học Zalo: 0989.15.2268 Bài 70 Cho x , y thỏa mãn x 3, x y Tìm giá trị nhỏ P x y x y Bài 71 Cho x, y 0, xy x Tìm giá trị lớn Q 3x xy y y2 4 x2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P xy Bài 72 Cho x , y thỏa mãn 2x (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021) Bài 73 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q x y 9x 12y 16 25 2x y (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021) 1 4x 2y 1 Tìm giá trị nhỏ T 4x 4y Bài 74 Cho x , y thỏa mãn Bài 75 Cho x , y 0, x y 10 Tìm giá trị nhỏ A x 1y 1 (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Bình Định, năm học 2020 - 2021) Bài 76 Cho x , y x y Tìm giá trị nhỏ P 13x 10y 3 2x y (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Khánh Hòa, năm học 2020 - 2021) Bài 77 Cho a,b thỏa mãn a a 1 b b 1 ab Tìm giá trị nhỏ F a 2020 b 2020 b a Bài 78 Cho a,b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ Q b a 20 a b (ĐTTS vào lớp 10 THPT TP Hồ Chí Minh, năm học 2020 - 2021) 1 17 Bài 79 Cho x, y 0, x y Tìm giá trị nhỏ P x y y x (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Cao Bằng, năm học 2020 - 2021) Bài 80 Cho a, b 0,2a 3b Tìm giá trị nhỏ Q 2002 2017 2996a 5501b a b (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021) Bài 81 Cho số thực dương a , b cho ab b Tìm GTNN P a Bài 82 Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a b 2ab Chứng minh rằng: 1 2 a b 2ab a b 2a b 4 (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Ninh Bình, năm 2021) -5- 1 b2 a b Khóa học Bất đẳng thức Online cho GV Khóa 19: 15/11/2021 học Zalo: 0989.15.2268 Bài 83 Cho số thực không âm a , b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 2b 3b2 2a 3 (2a 1)(2b 1) (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, năm 2021) Bài 84 Cho số thực dương x,y thoả mãn y y 1 6x 2x 2x 3y Tìm giá trị lớn biểu thức M xy 3y 4x (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Hải Dương, năm 2021) Bài 85 Cho a, b hai số thực dương cho a b Chứng minh rằng: 3a b a 3b 3a b a 3b (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Cà Mau, năm 2021) Bài 86 Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x y Tìm giá trị nhỏ A 53x 53 y 1 2 x y (ĐTTS vào lớp 10 chuyên tỉnh Lào Cai, năm 2021) -6- ... tỉnh Cao Bằng, năm học 20 20 - 20 21) Bài 80 Cho a, b 0,2a 3b Tìm giá trị nhỏ Q 20 02 2017 29 96a 5501b a b (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 20 20 - 20 21) Bài 81 Cho số thực... y 20 20 a b 20 21 a b2 Bài 49 Cho a 1,b Tìm giá trị nhỏ P b 1 a 1 Bài 48 Chứng minh với a,b ta có: a b 2ab Bài 50 Cho a,b Chứng minh 20 21b 20 20a b 20 20a ... 19: 15 /11 /20 21 học Zalo: 0989.15 .22 68 Bài 83 Cho số thực khơng âm a , b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 2b 3b2 2a 3 (2a 1)(2b 1) (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, năm 20 21) Bài