Bất đẳng thức (2)

BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI) a , b , c ta có: Cho số thực không âm a  b 2 ab Dấu đẳng thức xảy a b a  b  c 3 abc Dấu đẳng thức xảy a b c Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Cịn gọi bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau: 1) 1 2    a b a b a  b2 2) 1     a b c a b c a  b2  c2 3) 4) 2 x  y ; x  y  a b 3 a b 3 a  ab  b  (a  b)2  (a  b )2  (a  b )2 4 2 2 a  ab  b  (a  b)  (a  b)  (a  b) 4 5) ab  bc  ca   a  b  c a  b  c 2 x  y  z 6) x  y  z   a b c a b c a  b 7) a3  b3   8)   a  b  ( a  b) ( a  b) 2(a  b )  a  b    a4  b4      m mn m n m 9) Với a, b 0 a  b  (a  b ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với ( a n  bn )(a m  b m )( a n  b n ) 0 điều hiển nhiên a n  bn  a  b   (**) Tổng quát ta có    n a n  b n  a  b   a n  b n    a b       2      Thật áp dụng (*) ta có n 10) Với a, b, c 0 a m n  b m n  c m n  (a m  b m  c m )(a n  bn  c n ) (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( a m  b m )( a n  b n )  (b m  c m )(b n  c n )  (c m  a m )(c n  a n ) 0 mà điều hiển nhiên Tổng quát ta có: an  bn  cn  a  b  c    3   n Thật áp dụng (*) ta có: a n  b n  c n  a  b  c   a n  b n  c n   a  b  c   a n  b n  c n         3 3        Áp dụng bất đẳng thức ta có: n n a n  n bn  n b n  n a  n b  n c     3   Tương tự ta có: Do n a  n b  n c n a b c  3 1 1 1     a n b n c n  a b c    3     1    a b c a b c suy n 1     3   a n bn c n  a b c  n 11) 1   a  b  1  ab với a, b 1 Tổng quát: với a, b 1 ta có 1   (1  a ) n (1  b) n  ab   n 12) Với a, b 1 a   b    ab 1 Tổng quát: Với a, b   0;1 ta có: n  a  n  b  n  ab 13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si 3 3 3 +  a  b   x  y   m  n   axm  byn  (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a3 x3 m3 3axm b3 y3 n3 3byn       3 3 3 3 3 3 a b x  y m n a  b3    x  y   m3  n3  a  b x  y m  n  a  b   x  y   m  n  Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra:  a 3axm  3byn a  b3   x  y   m3  n3    b3   x  y   m3  n3   axm  byn  + Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:  a  b3  c3   x3  y  z   m3  n3  p   axm  byn  czp  Bài tập 1: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: 3 a) a  b ab  a  b  b) 1 1  3   Với (a, b, c  0) 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc c)  a  b   b  c   c  a  8abc d)  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca  e) Cho  a  b   b  c   c  a  1 Chứng minh: ab  bc  ca  Lời giải: 3 2 a) Ta có : a  b  a  b   a  ab  b  Suy a  b3  ab  a  b   a  b   a  2ab  b   a  b   a  b  0 suy đpcm 3 b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: a  b  abc ab  a  b   abc ab  a  b  c  1 Suy a3  b3  abc  ab  a  b  c  1 1 Tương tự ta có: b3  c3  abc bc  a  b  c  ; c3  a  abc ca  a  b  c  Cộng ba bất đẳng thức chiều suy ra: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Dấu xảy a b c c)  a  b   b  c   c  a  8abc Cách 1: Ta có: a  b 2 ab , b  c 2 bc , c  a 2 ca   a  b   b  c   c  a  8abc Cách 2:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b  c 3 abc , ab  bc  ca 3 a 2b 2c   a  b  c   ab  bc  ca  9abc Suy  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc 8abc Chú ý:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức: d)  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca  Chú ý rằng:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc Áp dụng câu c ta có đpcm e) Ta ý:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc Suy ab  bc  ca   abc a b c Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b  b  c  c  a 3  a  b   b  c   c  a  3  a  b  c  Mặt khác sử dụng: 1  abc  a  b   b  c   c  a  8abc  abc  Từ suy ra: ab  bc  ca  a  b  c   Dấu ‘’=’’ xảy a b c  Bài tập 2: a) Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  ab  bc  ca 6 Chứng minh rằng: a  b  c 6 1 b) Cho số thực dương a, b cho :  2 Chứng minh: Q    2 2 a a  b  2ab b b  a  2a b a b  1  2 c) Cho số thực dương a, b cho a  b 2 Chứng minh:  a  b          10 b a a b     d) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 2 Tìm giá trị nhỏ P  2a  bc  2b  ac  2c  ab ab e) Cho số thực không âm a, b cho a  b 4 Tìm GTLN P  a b  Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a b c 1 Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b2 2ab, b  c 2bc, c  a 2ac, a  2a, b2  2b, c 1 2c 2 2 2 Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy  a  b  c   2  ab  bc  ca  a  b  c  12  a  b  c 3 Dấu xảy a b c 1 b) Dự đốn a b 1 bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cơ si sau: 1 1 Ta có: a  b 2a 2b, b  a 2ab Từ suy Q  2a 2b  2ab  2b a  2a 2b  2ab  a  b   2ab  a  b   ab  a  b  1 1 1 a b 2  a  b 2ab suy Q      Suy Q  Do  Từ giả thiết  2   a  b a b ab a b a b a b 2 Dấu xảy a b 1 c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:   a  b   2ab     4ab  2 a  b   2ab  a  b   2ab 10 9 ab a 2b Hay  2ab  2ab  2  10 0   2a 2b  4a 3b3  24ab  12a 2b  36  18ab 0 ab ab a  b 1 Ta có (*) tương đương với: 2t  5t  21t  18 0   t  1  2t  3t  18  0 Do 2t  3t  18     2a b  4a b  24ab  12a b  36  18ab 0  4t  10t  42t  36 0 (*) với  t ab  2 3 2 t  0 nên  t  1  2t  3t  18  0 Dấu xảy t 1  a b 1 2a  bc  a  a  b  c   bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si  a  b   a  c   d) 2b  ac  b  a  b  c   ac   b  a  b  c  P  2a  bc  2b  ac  2c  ab  b a b c , 2c  ab  a b  a c , tương tự ta có: c a c b Từ suy 2 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   2(a  b  c) 4 Dấu xảy a b c  2 ab  Đặt a  b  t  t   a  b  2ab  t    2ab t  2t  a b  2 2  t   Ta có :  a  b   a  b    a  b  8  a  b 2   t 2  Ta viết lại P   a  b ab t  2t   a b 2 t Dự đoán dấu xảy a b   t 2  nên ta chứng minh: Ta chứng minh: P  P t  2t     t 1 1 Hay t         t  2  t  2  0    t  0  t  2  t    0 Bất đẳng thức  t 2  Dấu xảy t 2   a b  MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI Dạng 1: Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cơ si Đối với toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo Ta xét ví dụ sau: 2 2 Bài tập 1: Cho x, y số dương thỏa mãn x  y 2 Chứng minh x y  x  y  2 Lời giải:  Cách 1: Ta dự đoán dấu xảy x  y 1 Khi xy 1 , x  y 2 Mặt khác để tận dụng giả thiết x  y 2 ta đưa đẳng thức  x  y  Vì ta phân tích tốn x  y 2 2 2  x y x  y  xy xy x  y sau:     Theo bất đẳng thức Cauchy xy  1 , 4  xy  x  y   x  y  4 2 2 xy  x  y   Từ suy x y x  y 2 Dấu xảy x  y 1        Cách 2: giải toán cách đưa biến: t  x  y t  xy với ý:  x  y  4 xy , 2  x  y   x  y  Thật vậy: Đặt t  xy;  x  y  x  y  xy   x  y  2t  x  y 4  2t Do  x  y xy  1   t 1 Ta cần chứng minh: t   2t  2  t  2t 1 0   t  1  t  t  1 0 Bất đẳng thức với giá trị  t 1 Bài tập 2: a) Cho a, b số không âm thỏa mãn a  b 2 Chứng minh rằng: a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  6 b) Với ba số dương x, y , z thỏa mãn x  y  z 1 , tìm giá trị lớn biểu thức: Q x y z   x  x  yz y  y  zx z  z  xy Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a b 1 Khi 3a a  2b,3b b  2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu x y 3a  a  2b 2a  ab , Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy  , dễ thấy a 3a  a  2b  a 2 3b  b  2a b 3b  b  2a  b 2b  ab Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: M a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  2  a  b   2ab 4  2ab Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:  2ab 4  a  b 6 Từ ta có M 6 Dấu xảy  a b 1     x x  x  y  z   yz  x x x  yz  x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai   x  yz  x x  x  y  z   yz  x x  x  yz a b số thực dương ab  ta có: b) Ta có: x   x  y  x  z  xy  yz  xz x  x yxz   x xy  xz  xy  yz  xz  xy  yz  xz    x   Chứng minh tương tự cộng vế, ta suy Q 1 Đẳng thức xảy x  y  z  Vậy Q lớn x  y z  Bài tập 3: Cho c  a, b c Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab Lời giải:Dự đoán dấu xảy a b Bất đẳng thức cần chứng minh viết thành: c a c c b c x y P  1 Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng: xy  , ta có: b a a b c a c c b c c c c c   1   1  b a a b b a a b P   1 2 Bài tốn giải hồn tồn Đẳng thức xảy c a  c  b  a 1     c b  c a b c    a b Ngồi ta chứng minh toán biến đổi tương đương Bài tập 4: Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: x2 y2 z2   1 x  yz y  zx z  xy Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 2ab a  b , dễ thấy: x2 y2 z2 x2 y2 z2 P      1 x  yz y  zx z  xy x  y  z y  z  x z  x  y Đẳng thức xảy x  y  z 4 Bài tập 5: Cho x, y  x  y 1 Chứng minh  x  y   5 xy Giải: Dự đoán dấu xảy x  y  Ta đánh giá x  y để đưa xy Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: 1 16 x y  Để ý dấu xảy xy xy 1 1 2 2   16 x y 1 nên ta phân tích sau: 16 x y  16 x y  xy xy xy xy 4 4 2 x  y 2 x y suy  x  y  16 x y Suy  x  y   Áp dụng bất đẳng thức Cô si a  b  c 3 abc 1 2  3 , xy  x  y  1  xy  ta có: 16 x y  xy xy 1 1 2   3  5 Đẳng thức xảy x  y  Suy 16 x y  xy xy xy 9a 2b c Bài tập 6) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: a 2b  b c  c a   2a 2b c Lời giải:   2 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:  a b  b c  c a      9 abc  2 1   9 Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Cauchy ba số, ta có: ab bc ca 1 1 a 2b  a 2b  3 a 2b.a 2b 3a , b 2c  b 2c  3 b 2c.b 2c 3b bc bc ab ab   a 2b  b c  c a   c2a  c 2a  1 3 c a.c a 3c ca ca Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:  a 2b  b 2c  c a   1   9 Dấu đẳng thức xảy ab bc ca hcir a b c 1 Bài tập 7) Cho x, y  Chứng minh rằng: x  y3    x2  y   x  1  y  1 8 Giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: P x2 y2 x2 y2  2  y x y x xy  x  1  y  1 (1) Mặt khác, lại để ý sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng a b ab  , thì: 2 x x 1 y  y  ; y    y  1   Nhân hai bất đẳng thức lại theo vế, ta thu được: 2 2 xy xy 8  x  1  y  1   (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy  x  1  y  1 x    x  1   x2 y2    y  x   x  y 2  x 2, y 2  Đối với toán mà dấu không xảy biến Ta cần ý tính đối xứng phận , để dự đốn sau liên kết liệu tốn để tìm điểm rơi Từ áp dụng bất đẳng thức Cauchy để thu kết quả: Bài tập 8: Cho x, y, z  thỏa mãn: xy  yz  zx 1 Tìm GTNN P x  y  z Giải: Ta dự đoán dấu xảy x  y az mong muốn biến đổi : P x  y  z k ( xy  yz  zx ) để tận dụng giả thiết xy  yz  zx 1 dấu xảy x  y az Để có tích x y ta áp dụng x  y 2 xy Để tạo yz ta áp dụng: y  a z 2ayz Để tạo zx ta áp dụng: a z  x 2azx Vì hệ số yz , zx a nên ta nhân a vào bất đẳng thức cộng lại theo vế ta thu a( xy  yz  zx)  a x2  y  y  a z  a2 z  x      2   a 1  x 2  y  2a z  2 Hay 2a (a 1)( x  y )  2a z Để tạo P  x  y  z ta cần có tỷ lệ: 1 (a  1) : 2a 1:  a  a  0  a  2a   Các em học sinh tự hoàn thiện lời giải Từ ta tìm được: P  1 a Bài tập 9) Cho x, y, z  thỏa mãn: x  y  z 3 Tìm GTNN P  x  y  z Lời giải: Ta dự đốn dấu có x  y a, z b ; 2a  b 3 Theo bất đẳng  x  a 2ax  2 thức Cô si ta có:  y  a 2ay  3  z  b  b 3b z Cộng ba bất đẳng thức chiều ta có: x  y  z  2a  2b3 2a ( x  y )  3b z Tức là: x  y  z 2a ( x  y )  3b z  2a  2b3 2a 3b Bây ta cần chọn a, b cho 2a : 3b 1:1   2a  b 3 19  37 37  ; z c  12 Giải hệ tìm được: x  y a  Từ bạn đọc tự hồn thiện lời giải: Bài tập 10) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a  2b  3c 1 Tìm GTNN P 2a  3b3  4c3 Lời giải: Dự đoán dấu xảy a  x; b  y; c  z với x, y, z  x  y  z 1 Ta có: a  a3  x3 3a x ; b3  b3  y3 3b2 y ; c3  c3  z 3c z , suy 2a 3a x  x3 3 3 b3  b3  y 3b y  3b  yb  y , c3  c3  z 3c z  2c3 3c z  z  4c 2 3c z  z Cộng ba 2  2 3 3 bất đẳng thức chiều suy ra: P 3  xa  yb  zc   x  y  z Ta cần chọn x, y, z để: 2   x : y : z 1: : x  y  z 1 Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta dễ dàng tìm được: x ;y ;z  Học sinh tự hoàn thiện lời giải 407 407 407 Bài tập 11) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn: abc  bcd  cda  dab 1 Tìm GTNN P 4  a  b3  c   9d   Lời giải: Biểu thức P cho ta dự đoán dấu xảy a b c  xd , Để giảm ẩn toán ta áp dụng bất đẳng thức Cơ si theo cách: Khi a  b3  c 3abc , b3  c  x3d 3xbcd , c  a  x 3d 3xcad , a  b3  x3d 3 xabd  x  a  b3  c  3xabc  b3  c  x 3d 3xbcd Suy  Cộng bốn bất đẳng thức chiều ta có: 3 c  a  x d 3xcad  3 3  a  b  x d 3xabd  x   a3   x   b3   x   c3  3x3d 3x  abc  bcd  cda  dab  3x Bây ta chọn x cho  x   : 3x 4 :  x2   x  x 6 3x 1 1 Đặt x   y   thay vào ta tìm y   35 , y   35  x   35   35 2 y Bạn đọc tự hoàn thiện lời giải Dạng 2:Kỹ thuật ghép đối xứng Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để toán trở nên đơn giản toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp hai dạng sau: Dạng 1: Chứng minh X  Y  Z  A  B  C ý tưởng: Nếu ta chứng minh X  Y 2 A Sau đó, tương tự hóa đẻ Y  Z 2 B Z  X 2C (nhờ tính đối xứng tốn) Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh Dạng 2: Chứng minh XYZ  ABC với X , Y , Z 0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY  A2 Sau đó, tương tự hóa để YZ B ZX C (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức lại theo vế lấy bậc hai, ta có:   XYZ  A2 B 2C  ABC  ABC Bài tập Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 Chứng minh x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x  Giải: Ta cần đánh giá dạng : x  xy  y  mx  ny  cho dấu xảy x  y Để có đánh giá 2 thông thường ta viết lại x  xy  y a  x  y   b  x  y   a  b  x   b  a  xy   a  b  y Từ suy a  b 2   1 b  a   a   b   4 5 Từ ta có: x  xy  y   x  y    x  y    x  y   x  xy  y   x  y tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại ta có: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x   x  y  z   dấu xảy x  y z  Ta chứng minh trực tiếp: x  xy  y   x  y  x  xy  y   x  y  2   x  y   3xy   x  y  xy (đúng theo Cauchy)  x  y  4 Bài tập Cho số thực dương a, b, c cho ab  bc  ca 1 Chứng minh rằng: 2abc  a  b  c    a 4b  b 4c  c 4a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương ta có:  2 a b  abc  ca a bc   2 4 b c  a bc  ab b ca  abc  a  b  c  a b  b c  c a  (1) 9   2 c a  ab c  bc c ab  1 Mặt khác ta có: abc  a  b  c  ab.ac  bc.ba  ca.cb   ab  bc  ca   3 Suy 4 abc  a  b  c   (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có đpcm Bài tập 3) Cho ba số dương x, y, z thỏa 1   2 1 x 1 y 1 z Chứng minh xyz  Giải: Từ giả thiết 1   2 , 1 x 1 y 1 z ta suy ra:  1    y z    2   1  1 x  1 y   1 z  1 y 1 z yz 1 y  1 z   zx 2 1 x yz 1 y  1 z  xy Hồn tồn tương tự ta có:  y 2  z  x ;  z 2  x  y       xyz Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta thu được:   x    y    z    x    y    z   xyz  Bài tập Cho x, y, z  1   1 x y z Chứng minh  x    y    z   1 Lời giải: Với giả thiết x, y , z  , ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc Đặt x a  2; y b  2; z c  với a, b, c  Bài toán quay chứng minh abc 1 Với a, b, c  thỏa mãn: 1 1 a b c   1    1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 1  1  a b ab Ta có: c  1  a   b    a      b     a     b     a    b       ca bc Tương tự: b   c  a  ; a   b  c        Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta được:  abc  a  2  b  2  c  2  a  2  b  2  c    abc 1  x 1 y 1 z 1 Bài tập 5) Cho x, y, z số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y  z    z  x    x  y    Giải: Ta có P   2x  y  z    y  z  x   2z  x  y  8 x  y  y  z   z  x (1) Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: x  y  z  x  y   x  z  2  x  y   x  z  (2) y  z  x  y  z   y  x  2  y  z   x  y  (3) z  x  y  z  x   z  y  2  z  x   z  y  (4) Nhân vế (2),(3),(4) từ (1) suy P 1 Dấu (5) xảy  đồng thời có dấu (2),(3),(4)  x  y x  z    y  z  y  x  x  y z  Từ  z  x z  y  suy P 1    Dạng 3: Kỹ thuật cô si ngược dấu: a b c Bài tập Cho a, b, c  a  b  c 3 Chứng minh rằng: b3  ab  c3  bc  a3  ca  Giải: a b b 1 1        1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b3  ab b  a  b b  b a b 4 a  ab Tương tự: b 11  c 11      1 ;     1 c  bc c  b  a  ca a  c  Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: a b c 3 1 1        b  ab c  bc a  ca  a b c  3 1 1 3 1 1  1  1  Bài toán quy chứng minh:  a  b  c     a  b  c 3    a     b     c  3  a  b  c 6   a  b  c  a b Bất c đẳng thức cuối hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:  a 2, ;  b 2;  c 2 Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c 1 a  b b3  c c  a   9 Bài tập 2) Cho a, b, c  0, a  b  c 9 Chứng minh: ab  Ta c/m  a  b bc  ac  1 a b 36(a  b) a  b3  ( a  b)3 , ab  ( a  b)2   a  b  4 ab  ( a  b)  36 ( a  b)  36 Mặt khác ta có: (a  b)  36 12(a  b) Suy a  b3 a  b  ab  Cộng ba bất đẳng thức chiều suy đpcm x y z   Bài tập 3) Cho x, y, z  x  y  z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2  y  z  x2 Lời giải: Ta có: Suy x xy  x  1 y2 1 y2 x xy x  1 y Theo bất đẳng thức Cô si  y 2 y Tương tự, ta có: y yz z zx y  z  , Cộng vế ba bất đẳng thức 2 1 z 1 x  xy  yz  zx  Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:  xy  yz  zx   x  y  z  Vì x  y  z 3  xy  yz  zx 3 Như P   x  y  z 1 Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ: Kỹ thuật đặt ẩn phụ kỹ thuật đặc biệt chứng minh bất đẳng thức: Việc chọn ẩn phụ thích hợp giúp tốn trở nên đơn giản hơn: Một số kỹ thuật hay gặp sau: 1   1 đặt Khi có giả thiết : a  b  c abc ta biến đổi thành: ab bc ca 1 x;  y;  z  xy  yz  zx 1 a b c ta có P  x  y  z   Khi gặp giả thiết a  b  c 1 ta viết thành: ab ac bc ba ac cb   1 c b a c b a Đặt ab bc ca  x,  y,  z  xy  yz  zx 1 c a b Khi gặp giả thiết: ab  bc  ca  abc 4 Ta viết thành: x 1 ;y ;z   x  y  z 1 a2 b2 c2 10 1   1 Đặt a2 b2 c2