Nội dung phương pháp Sử dụng những BĐT được thừa nhận, áp dụng các tính chất để biến đổi các BĐT cần chứng minh về các BĐT đúng hoặc ngược lại theo ba cách trên.. Hướng dẫn cách giải HDC[r]
(1)PHẦN I SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC -I Định nghĩa Cho A, B là các biểu thức số + Bất đẳng thức là các mệnh đề có dạng “A > B”, “A < B”, “A ≥ B”, “A ≤ B” + BĐT có thể đúng, có thể sai Khi nói BĐT mà không chú thích gì thêm thì ta coi các BĐT đó là đúng + Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh các BĐT (các mệnh đề tương ứng) là đúng Nhận xét: Như chứng minh BĐT không thiết phải dấu “=” xảy nào (trừ bài toán yêu cầu bài toán tìm GTLN - GTNN) II Các tính chất BĐT A > B A - B > A > B và B > C A > C A > B A + C > B + C với C Hệ quả: A > B + C A - C > B A > B và C > D A + C > B + D A > B và C > D A + C > B + D A.C B.C AB A.C B.C (C 0) (C 0) A > B > và C > D > A.C > B.D Hệ quả: a) A, B ≥ 0, nN*: A > B A2n > B2n b) nN*: A > B A2n+1 > B2n+1 2n 1 2n A 2n B A 2n 1 B III Cách chứng minh BĐT Để chứng minh BĐT ta thường dùng các cách chính sau đây: Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh các BĐT đúng (hoặc giả thiết đúng) bđt(1) bđt(2) Vì (2) đúng nên (1) đúng Từ BĐT đúng (hoặc giả thiết đúng) biến đổi kéo theo (suy ra) BĐT cần chứng minh Bđt(1) bđt(2) Vì (1) đúng nên (2) đúng (2) Áp dụng hai cách trên: Bđt(1) bđt(2); bđt(3) bđt(2) Vì (3) đúng nên (2) đúng (1) đúng đúng IV Các bất đẳng thức đúng thừa nhận x2 ≥ với xR Dấu “=” xảy và x = x12 x22 xn2 0 với x1,…, xnR Dấu “=” xảy x1 = … = xn = |x| ≥ với xR Dấu “=” xảy và x = |x| ≥ ± x với xR BĐT Cauchy: Cho nN, n > và a1, a2,…, an ≥ Khi đó ta có: n a1 an n a an a1 an a1 an n n a1 an a1 an n n Dấu “=” xảy và a1 = a2 =…= an BĐT Bunhiacopxki: Cho a1,…, an và b1,…, bn là các số thực Khi đó ta có: (a12 a22 an2 )( b12 b22 bn2 ) (a1b1 an bn )2 Dấu “=” xảy và a i = t.bi với i = 1,…, n Bất đẳng thức GTTĐ: |a| - |b| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| Để xét dấu xảy cần xét dấu các trường hợp a và b Tham khảo thêm: 8.) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: Nếu Nếu {Aa≤≤ bB≤≤ cC {Aa≥≤bB≤≥Cc ⇒ ⇒ aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≥ 3 aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≤ 3 { a=b=c Dấu xảy A=B=C I CHøNG MINH BÊT §¼NG THøC Cã §IÒU KIÖN B»NG PH¦¥NG PH¸P §ÆT ÈN PHô *) C¸c c«ng thøc c¬ b¶n: 1)Các đẳng thức: (3) (a b)2 =a2 2ab +b2 (a b)3 = a3 3a2b +3ab2 b3 (a+b)(a-b) = a2 - b2 (a+ b)(a2 - ab + b2) = a3+ b3 (a - b) (a2 + ab+b2) = a3 - b3 (a b)4 =a44a3 + 6a3 b3 ± 4ab3 +b4 2) Các bất đẳng thức: (a b)2 víi a, b a2 víi a *)C¸c vÝ dô minh ho¹: 1.) Điều kiện bài toán là đẳng thức: Bµi1: Cho a + b = Chøng minh: a4 + b4 162 Gi¶i Do a + b = nên có thể đặt ¿ a=3+ m b=3− m ¿{ ¿ Ta cã: víi m tuú ý a4 + b4 = (3 + m)4 + (3 - m)4 = 2 4 2 ¿ + m+6 m + m +m +3 − m+6 m − m + m = 162+ 108 m2 +2 m4 ≥162 Víi mäi m §¼ng thøc x¶y m = Hay a = b = Suy §PCM Bµi 2: Cho a + b = chøng minh: a4 + b4 32 Giải: Do a + b = nên có thể đặt ¿ a=2+m b=2− m ¿{ ¿ víi m tuú ý Ta cã: a4 + b4 = (2 + m)4 + (2- m)4 = 32 + 48m2 +2m4 32 Víi mäi m §¼ng thøc x¶y m =0 hay a = b =2 Ta suy §PCM Nhận xét 1: Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với ¿ c a= + m c b= − m ¿{ ¿ Víi m tuú ý Bµi 3: Cho x + y + z = Chøng minh r»ng: Giải: Do x + y + z = nên ta đặt ¿ x=1+a y=1+b z=1 −a − b ¿{{ ¿ x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx Víi a, b tuú ý Thay vào vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta có: x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx = (1 + a)2+ (1 + b )2 + (1 - a - b)2 +(1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = + a2 + ab + b2 (4) 6+ a+ b 3b + ≥6 ( ) = Víi mäi a, b DÊu” = “x¶y a = b= hay x =y =z =1 suy §PCM Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt: ¿ k x= +m k y= +n k z= − m− n ¿{{ ¿ ¿ k x= +a k y= +b k z= +c ¿{ { ¿ HoÆc víi a +b +c = Hai cách đặt này có thể vận dụng cho bài toán trên Bµi 4: cho a + b + c + d = Chøng minh r»ng: (a + c) (b + d) + 2ac +2bd Giải: Do a + b +c + d = nên ta có thể đặt: 1 1 a= + x+ z ; b= − x + z ; c= + y − z ; d= − y − z 4 4 Với x, y, z tuỳ ý Thay vào vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta có: (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd = ¿ ( 12 + x+ y )( 12 − x − y )+2( 14 + x + z)( 14 + y − z)+2( 14 − x+ z )( 14 − y − z ) 1 ¿ − ( x − y )2 − z ≤ 2 Víi mäi x, y z DÊu ” = “ x¶y x - y = z = hay a = c vµ b = d suy §PCM NhËn xÐt 3: NÕu gi¶ thiÕt cho a + b + c + d = k Ta có thể đặt theo cách: ¿ k a= +x+ z k b= − x + z k c= + y − z k d= − y − z ¿{ { { ¿ Bµi 5: Cho HoÆc ¿ k a= +m k b= +n k c= + p k d = +q ¿{{{ ¿ a + b = c + d chøng minh r»ng c + d2 + cd 3ab a2 + b2 + ab 3cd Gi¶i PhÇn a, b t¬ng tù nhau, ta chøng minh phÇn a Gi¶i: Do a +b = c + d nên ta đặt Ta cã: 2 ¿ c=a+ x d=b − x ¿{ ¿ Víi x tuú ý c + d + cd=( a+ x ) + ( b − x ) + ( a+ x ) ( b − x )=¿ víi m + n + p + q = (5) ( ¿ a− b+ x 3x + +3 ab ≥ ab ) a, b, x DÊu ” = “x¶y x = a - b + x = hay a = b = c = d 2 Víi c + d +cd 3ab víi a, b tho¶ m·n a + b = c + d Cho a + b + c + d = CMR a2+ b2 + c2 + d2 Bµi 6: Vì a + b + c + d = nên đặt 1 a= + x ; c= + z 2 1 b= + y ; d= +t 2 Víi: x + y + z + t = Ta cã: a2 +b 2+ c 2+ d2 =¿ 2 2 2 2 + x + + y + + z + +t 4 4 1 + x + x+ + y 2+ y + + z2 + z + +t 2+ t 4 4 1 1 2 2 ¿ + + + + ( x + y + z +t ) + ( x+ y+ z +t ) 4 4 ¿ 1+ x2 + y + z +t ≥ ¿ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dấu xảy x = y = z = t Khi đó a =b = c = d = NhËn xÐt 4: NÕu cho ®iÒu kiÖn lµ a1 +a 2+ a3 +a + +a n=k CMR: a21 +a 22+ a23 +a24 + +a 2n ≥ Ta nên đặt a1= k + x , n k2 n k a2= + x , n k a3 = + x , n k an = + x n , n Các bài toán có điềukiện là đẳng thức kết hợp BĐT Cho x + y =3 vµ x 1 Chøng minh r»ng: 3 2 y x y x y 0 Gi¶i: Do y nên đặt y =2 + t 0, t Do x +y = nên đặt y = + t, Thì x = - t Thay x = - t vµ y = + t vµo vÕ tr¸i ta cã: x3+ y3 = (1 -t )3 + ( t + 2)3= +9 t +9t2 v× t (6) DÊu “=“x¶y t = hay x = vµ y = b) 2x4 + y4 =2 (1 - t)4 + ( + t) =18 +24t + 36 t2 + 3t4 18 v× t DÊu “ = “x¶y t = hay x =1 vµ y =2 suy §PCM Suy §PCM NhËn xÐt 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên đặt y = + m với m (hay x = n - m víi m 0) Từ đó suy x = k - l - m (hay y = k - n - m) suy ra: ¿ x=k −l −m y=l +m ¿{ ¿ Hay ¿ x=n −m y=k − n −m ¿{ ¿ Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh Cho x vµ x + y r»ng: 5x2 + 2y2 + 8y 62 Bµi 8: Chøng minh Gi¶i Do x và x + y nên ta đặt ¿ x=2− t x+ y=5+k ¿{ ¿ Víi t, k ¿ x=2 −t y=3+t +k ¿{ ¿ Suy Thay vào vế trái bất đẳng thức ta có 5x2 +2y2 +8y = (2 - t)2 + 2(3 + k + t)2 +8 (3 + k + t) = = 62 + (k + t)2 +5t2 +20 k 62 k, t Suy §PCM Bµi 9: Cho a + b vµ b Chøng minh r»ng: 27a2 +10 b3 945 Gi¶i Do a + b vµ b ¿ b=3+t a+b=8+ k ¿{ ¿ Nên ta đặt Víi k, t 0 (7) a 5 k t b 3 t Thay vµo vÕ tr¸i cña B§T ta cã: 27a2 + 10b3 ¿ 27 ( 5+k −t )2 +10 ( 3+t )3 =¿ 2 ¿ 945+27 ( k − t ) +270 k + 90t +10 t ≥ 945 V× t, k 0 Suy §PCM NhËn xÐt 6: NÕu ®iÕu kiÖn cho lµ: ¿ x+ y ≥ u x≤v ¿{ ¿ Ta nên đặt ¿ x+ y=u+n x=v − m Với m, n 0 từ đó ¿{ ¿ y m v u n x v m Thay vµo B§T suy §PCM NÕu ®iÕu kiÖn cho lµ: a b k a b k m b l Thì ta đặt b l n víi n, m 0 Thay vµo B§T suy §PCM\ a k m l n b l n VD : x 1; x y 3.T×m GTNN cña biÓu thøc 2 A= 3x y 3xy Bµi10: Cho a + b + c Chøng minh r»ng a4 +b4+c4 a3 + b3 + c3 Gi¶i: Do a + b + c nên ta đặt: a 1 x b 1 y c 1 z Tho¶ m·n x + y + z (8) XÐt hiÖu: 4 3 a +b + c −a − b − c =¿ 4 3 x y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 2 2 2 x y z x 3x y 3y z 3z 3x 3y 3z 0 4 3 VËy: a +b + c ≥ a +b +c DÊu'' = ''x¶y x = y = z hay a = b = c = NhËn xÐt Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông Ta thấy biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh có thể chứng minh đợc học sinh THCS C¸c bµi to¸n cã ®iÒu kiÖn phøc t¹p: Bµi 11: cho: a3 + b3 Chøng minh r»ng: a+b2 Gi¶i Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng ¿ a=1+ x Gi¶ sö a+b ≥ ta đặt b=1+ y víi x+ y ≥ ¿{ ¿ Ta cã: a3 +b 3=( 1+ x )3+ ( 1+ y )3=2+3 ( x+ y )+ ( x + y ) + x + y = 2+3 ( x+ y )+3 ( x + y ) + ( x + y ) ( x − xy+ y ≥ ) V× x+ y ≥ Suy a3 +b ≥ Tr¸i gi¶ thiÕt.VËy a + b Bµi 12 Cho a4+ b4 a3 + b3Chøng minh r»ng: a + b Gi¶i Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng: ¿ a=1+ x Gi¶ sö a+b ≥ §Æt víi x+ y ≥ b=1+ y ¿{ ¿ XÐt hiÖu: a +b4 − a3 −b3 =( 1+ x )4 + ( 1+ y )4 − ( 1+ x )3 − ( 1+ y )3 ¿ ( x+ y )+3 ( x + y ) +3 ( x + y ) ∀x;y ¿ ( x+ y )+ ( x + y ) +3 ( x+ y ) ( x − xy+ y ) ≥ 4 3 4 3 Hay a +b − a −b ≥ → víi a + b Th×: a + b a + b Tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy a + b Bµi to¸n 13 Cho a, b, c lµ sè d¬ng Chøng minh: a b c + + ≥ b+c a+ c a+b Gi¶i: (9) §Æt x = b + c; y = c + a; z = a + b Khi đó: ¿ a+b +c= x+ y+ z ¿ − x+ y + z x − y+ z b= x+ y − z c= a= Cho nªn ¿ a b c − x + y +z x − y +z x+ y − z + + =¿= + + b+c c +a a+b 2x 2y 2z y z x z x y ¿ − 1+ + + −1+ + + −1 x x y y z z y x z x z y ¿ + + + + + −3 ≥ x y x z y z ( 2+2+2− )= 2 ¿ ( ) [( ) ( ) ( ) ] (¸p dông B§T C¤ SI) DÊu b»ng x¶y x = y = z, Hay a = b = c Bµi to¸n 14 Cho u, v lµ c¸c sè d¬ng vµ u+v=1 chøng minh r»ng Gi¶i §Æt a = u + u Vµ V× b=v + vµ v Ta cã a 0, b 2 a+b a +b (1) 2 ( a − b )2 a+b a2+ b2 a2 +2 ab+b2 −2 a2 −2 b2 − = =− 2 4 ( ) ( ) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 1 u+ +v + u+ v+ + u v u v ≥ = 2 [( ) ( ) ] [ a2 +b2 1 = u+ + v + 2 u v ][ ] 1+ uv 1+ 25 ≥ = 2 u+v v× uv đó ≥ ) = uv 2 Dấu đẳng thức xảy khi: u = v = [ ]( ) ( ) Bµi to¸n:15 Cho a.b 2 Chøng minh r»ng: a2 + b2 − a + b + ≥ b Gi¶i: §Æt x = a b + b a ta cã: x 2= a a2 b2 + +2 b2 a2 (b a) ⇒ Bất đẳng thức trở thành: 2 25 + v+ ≥ u v ( )( ) u+ a2 b2 + =x − 2 b a (10) x −2 −3 x +4 ≥0 ⇔ x − x+2 ≥ ⇔ ( x −1 ) ( x −2 ) ≥ NÕu ab Th× ta cã 2 a +2 ab+b ≥ 2 ⇒ a + b ≥ −2 ab 2 Chia hai vế cho ab ta đợc a +b ≤ −2 Vậy x −2 ab Trong c¶ hai trêng hîp th× ( x − )( x − ) ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b II Phương pháp biến đổi tương đương Nội dung phương pháp Sử dụng BĐT thừa nhận, áp dụng các tính chất để biến đổi các BĐT cần chứng minh các BĐT đúng ngược lại (theo ba cách trên) Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh: a2 b2 ab a b a,bR (1) Hướng dẫn cách giải (HDCG): Sử dụng cách biến đổi tương đương BĐT đúng Lời giải: (1) 2a2 2b2 2ab 2a 2b a b a 1 b 1 0 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 0 (1’) Vì (1’) luôn đúng a,bR nên (1) luôn đúng a,bR VÝ dô 2: Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng Chøng minh r»ng : Giải: HDCG: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 4(ab + a + b + 1) 4ab + 4ab (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho a.b Chứng minh rằng: 1 2 1 ab 1 a 1 b (3) HDCG: Sử dụng cách biến đổi hỗn hợp 1 + ≥ a+1 b+1 (v× a + b = 1) (11) Lời giải: (3) 1 a 1 b2 a b a 1 0 1 ab 1 ab b a b 2 1 a 1 ab 1 b 1 ab b a a ab2 b ba 0 1 ab 1 a2 1 b2 ab a2 ab b2 2 1 a 1 ab 1 b 1 ab 0 b a a b 0 1 ab 1 a2 1 b2 b a ab 1 0 1 ab 1 a2 1 b2 0 Vì a.b (đpcm) a3 b3 Ví dụ 4: Chứng minh: Nếu a + b thì (4) HDCG: Sử dụng cách biến kéo theo (bắt đầu từ GT BĐT đúng đã có) Lời giải: Từ giả thiết: a + b b – a b3 = (1 – a)3 = – a + a2 – a3 a3 + b3 = 1 1 3 a 2 4 (đpcm) VÝ dô : Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a + b3 + ab (5) HDCG: Ta cã : a3 + b3 + ab <=> a3 + b3 + ab - (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - a2 + b2 - V× a + b = 2 2a2 + 2b2 - 2a2 + 2(1-a)2 - ( v× b = a -1 ) 4a2 - 4a + ( 2a - )2 Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab BÀI TẬP VẬN DỤNG Chứng minh: a b a b2 2 (1) Cho a + b Chứng minh: a b a3 b3 2 (2) (12) a Cho a, b > Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: a a b (3) (4) a,b,cR a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e x2 y2 z2 xy yz zx a) b) a2 b2 c2 a b c 3 Chứng minh: b a2 b2 c2 a b c abc ab bc ca 3 Chứng minh: b a,b,c 0 (6) x,y,zR (a) a,b,cR (b) a2 b2 ab a b (8) a,bR x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz (5) a,b,c,d,eR (9) x,y,zR 10 Chứng minh: x y z 2x(xy x z 1) (10) x,y,zR 11 Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > (11) 12 Cho a,b,c[0;1] Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≤ + a2b + b2c + c2a III Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) AM_GM Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” BĐT Côsi và các quy tắc tính đồng thời dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến S a a Bài 1: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ (GTNN) Giải a1 S a a ≥ a =2 Sai lầm thường gặp học sinh: Dấu “ = ” xảy Cách làm đúng: a a a = vô lí vì giả thiết là a ≥ Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hạng tử a để cho áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy a = Có các hình thức tách sau: (13) 1 a; (1) a 1 a; (2) a 1 a, a a; (3) a a; (4) a Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): (sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm) 1 a 1 a 2 = a 3a a 3a 3.2 S 2 1 a 4a 4 Vậy ta có: Dấu “ = ” xảy a = S a 12 a Bài 2: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải a 1 a = a Sơ đồ chọn điểm rơi: Sai lầm thường gặp: = S a 12 a 12 7a 2 a 12 7a 7a 7.2 2 9 a 8 4 a 8 a 8a 8.2 MinS = Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù chọn điểm rơi a = và MinS = là đáp số đúng cách giải trên đã mắc 2 8.2 là đánh giá sai sai lầm việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ thì 8a Để thực lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S cho sau sử dụng BĐT Côsi khử hết biến số a mẫu số S a Lời giải đúng: a a 6a Côsi a a 6a 6a 6.2 2 8 a 8 a 8 a2 Với a = thì Min S = a, b, c a b c Tìm giá trị nhỏ Bài 3: Cho 1 S a b c a b c Giải Sai lầm thường gặp: 1 1 11 S a b c 6 a.b.c 6 a b c a b c Min S = Nguyên nhân sai lầm : a b c 1 1 1 1 a b c 3 a b c trái với giải thiết Min S = (14) Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt điểm rơi a b c 1 a b c 1 Sơ đồ điểm rơi: a b c 2 a b c 4 Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: a b c 1 a b c 1 1 2 a b c 2 4 4 Vậy ta có cách giải theo sơ đồ sau: 1 1 11 S 4a 4b 4c a b c 6 4a.4b.4c a b c a b c a b c 15 15 12 a b c 1 2 Với thì MinS = a, b, c a b c Tìm GTNN Bài 4: Cho S a2 1 2 b c b c a Giải Sai lầm thường gặp: S 33 a 12 b2 12 c 12 36 a 12 b2 12 c2 12 b c a b 36 a 12 b2 12 c 12 36 3 b c c a a MinS = Nguyên nhân sai lầm: a b c 1 1 1 1 a b c 3 a b c trái với giả thiết MinS = Phân tích và tìm tòi lời giải a b c 1 Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt 2 a b c 4 a b2 c2 16 Lời giải (15) S a2 1 1 b2 2 2 16 16 b 16 b c 16 c 16 1717 a 16 16 2a 2b 2c 2.17 16 a 17 b 17 c a 17 3 17 17 5 16 16 16 16 b 16 c 16 a 16 a b c 2.17 2a2b2c 17 16 a2 b2 c2 a b c 17 17 17 17 17 17 16 17 16 17 16 16 32 16 32 16 32 16 b 16 b 16 c 16 a 16 c 16 a 17 3 17 1 2 16 a 16 a 1 1 1 1717 b2 1717 c 2 2 16 16 16 b 16b c 16c a 16a 16 1717 c2 15 17 17 a b c 1 Min S = Dấu “ = ” xảy Bài 5: Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c d b c d c d a a b d a b c S b c d c d a a b d a b c a b c d Giải Sai lầm thường gặp: a b c d a b c d 2 2 a b c d a b c d b c d a b c d a 2 2 b cd a b c d a c a b d c a b d 2 a b d c a b d c d a b c d a b c 2 2 d a b c d a b c S≥2+2+2+2=8 Sai lầm thường gặp: Sử dụng BĐT Côsi cho số: a b c d b c d c d a a b d a b c 8 b c d c d a a b d a b c a b c d Nguyên nhân sai lầm: a b c d b c d a c d a b d a b c Min S = a + b + c + d = 3(a + b + c + d) = Vô lý Phân tích và tìm tòi lời giải Để tìm Min S ta cần chú ý S lá biểu thức đối xứng với a, b, c, d đó Min S có thường đạt “điểm rơi tự do” là : a = b = c = d > 0.(nói là điểm rơi tự vì a, b, c, d không mang giá trị cụ thể) Vậy ta cho trước a = b = c = d dự đoán S 8 (16) 40 12 3 Từ đó suy các đánh giá các BĐT phận phải có điều kiện dấu xảy là tập điều kiện dự đoán: a = b = c = d > Ta có sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > ta có: a b c d b c d c d a a b d a b c 3 9 b c d c d a a b d a b c a b c d Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có: a b c d b c d S 9a a,b,c,d 9a a ,b,c,d b c d Min S 8 a b c d b c d c d a a b d a b c b c d c d a a b d a b c 9a 9b 9c 9d 8 b c d c d a a b d a b c 9 a a a b b b c c c d d d ≥ b c d c d a a b d a b c 8 8 40 12.12 12 a a a b b b c c c d d d Với a = b = c = d > thì Min S = 40/3 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) Nếu đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu “ + ” dấu “ ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là thay dấu “ ” dấu “ + ” Và cần phải chú ý làm biến tích thành tổng, thì tổng phải triệt tiêu hết biến, còn lại số ab cd a c b d a, b, c, d Bài : CMR (1) Giải ab cd 1 a c b d a c b d (1) Theo BĐT Côsi ta có: 1 a b 1 c b a c bd VT 1 1 a c b c a c b d a c b c (đpcm) Bài 2: CMR a c c a c c b c ab b c (1) Giải c b c c a c 1 ab ab Ta có (1) tương đương với : Theo BĐT Côsi ta có: c b c c a c c b c a b c a c 1 ab ab b a a b a b Bài 3: CMR abc a b c a, b, c 0 Giải (đpcm) (1) (17) Ta có biến đổi sau, (1) tương đương: 1.1.1 abc 3 a b c 1.1.1 abc 3 1 a b c a b 1 c Theo BĐT Côsi ta có: 1 1 1 a b c a 1 b 1 c 1 VT 1 a b c a b c a b c Dấu “ = ” xảy a = b = c > Ta có bài toán tổng quát 1: CMR: n a1a2 .an n bb .bn n a1 b1 a2 b2 an bn , bi i 1, n a, b Bài : Chứng minh rằng: 16ab(a b) (a b) Giải 2 4ab (a b)2 (a b) 2 16ab(a b) 4.(4ab)(a b) 4 4 (a b) 2 Ta có: a, b, c abc a b b c c a a b c 729 Bài 5: Cho Chứng minh Giải Sơ đồ điểm rơi: Ta nhận thấy biểu thức có tính đối xứng đó dấu “ = ” BĐT xảy a b c Nhưng thực tế ta cần quan tâm là sau sử dụng BĐT Côsi ta cần suy điều kiện xảy dấu “ = ” là: a = b = c Do đó ta có lời giải sau: abc a b b c c a 3 3 a b b c c a 1 2 729 3 3 Côsi a b c Trong kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC ta thấy thường nhân thêm các số để cho sau biến tích thành tổng các tổng đó triệt tiêu các biến Đặc biệt là bài toán có thêm điều kiện ràng buộc ẩn số thì việc nhân thêm số các em học sinh dễ mắc sai lầm Sau đây ta lại nghiên cứu thêm phương pháp đó là phương pháp nhân thêm số, và chọn điểm rơi việc đánh giá từ TBN sang TBC Do đã trình bày phương pháp điểm rơi trên nên mục này ta trình bày gộp phần 3.Kỹ thuật nhân thêm số đánh giá từ TBN sang TBC Bài 1: Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab a, b 1 Giải Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia vế cho ab sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC phần trước đã trình bày, nhiên đây ta áp dụng phương pháp mới: phương pháp nhân thêm số (18) Ta có : a b Côsi b 1 a b 1 a b 1 1 ab 2 a 1 1 a 1 b a 1 b ab Côsi a b 1 b a 1 b 1 a 1 Dấu “ = ” xảy ab ab + ab 2 b 2 a 2 Nếu không nhận thức rõ vấn đề trên học sinh mắc sai lầm VD sau a, b, c a b c 1 Bài 2: Cho Tìm giá trị lớn nhất: S a b b c c a Giải Sai lầm thường gặp: Côsi a b 1 a b a b b c ca b c c a Côsi Côsi b c 1 c a 1 a b b c c a 2 a b c 3 2 Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy a + b = b + c = c + a = a + b + c = trái với giả thiết Phân tích và tìm tòi lời giải: Do vai trò a, b, c các biểu thức là đó điểm rơi BĐT là a b c từ đó ta dự đoán Max S = a + b = b + c = c + a = số cần nhân thêm là Vậy lời giải đúng là: a b C ôsi 3 a b a b 2 b c C ôsi 3 b c b c 2 c a C ôsi 3 c a ca 2 a b c 3 a b b c c a 2 (19) Bài toán trên cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh có định hướng tốt hơn: a, b, c a b c 1 Cho Chứng minh rằng: S a b b c c a Tuy nhiên nắm kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào có thể giải 0 x 3 y 4 Bài 3: Cho Tìm Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y) Giải A= Côsi 2x 12 y 2x+3y 36 x 12 y x y x 0 y 2 Dấu “ = ” xảy -2x = 12 - 3y = 2x + 3y = x y Bài 4: Cho x, y > Tìm Min f(x, y) = xy Giải 3 1 4x+2y+2y 4 xy 4x y y x y x y 16 16 16 27 Ta có: 3 x y x y Min f( x, y) = 4 27 xy x y 27 27 f(x,y) = Dấu “ = ” xảy 4x = 2y = 2y y = 2x > Đó là tập hợp tất các điểm thuộc đường thẳng y = 2x với x dương Thực việc để hệ số trên có thể tùy ý miễn là cho sau áp dụng BĐT Côsi ta biến tích thành tổng x + y ( Có thể nhân thêm hệ số sau: 2x.y.y) Bình luận: Trong bài toán trên yêu cầu là tìm Min nên ta có thể sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC cho phần mấu số vì đánh giá từ TNB sang TBC là đánh giá với dấu “ ≤ ” nên nghịch đảo nó là “ ≥ ” Ta có thể đánh giá tử số từ TBC sang TBN để có chiều “ ≥ ” Bài toán tổng quát 1: 12 3 n Cho x x x xn x1, x2 , x3 x4 Tìm Min f 32 x1.x2 x3 xnn n Bài 5: Chứng minh rằng: n 1 (1) n N (n 1) n Giải (20) Với n = 1, ta nhận thấy (1) đúng Với n ≥ ta có: n n 1 1 n n n n n n n n n n.1.1 1 n n n n n Bài toán tổng quát 2: m 1 1 Chứng minh rằng: m n n m n N (1) Giải n 1 Ta biến đổi (1) bất đẳng thức tương đương sau: 1 n 1 m Ta có: Côsi m m 1 1 m n 1 1 1 n 1.1 .1 m m n m m m m n m 1 1 1 1 1 1 m n m m m m m 1 n n n Bình luận Cần phải bình luận dấu “ = ”: bài toán trên ta coi 1/m = a thì đó dấu BĐT Côsi xảy và 1+ a = a = Nhưng thực tế thì điều trên tương đương với m tiến tới +∞, m là hữu hạn thì dấu “<” là hoàn toàn đúng Chúng ta nhận thấy m tiến + ∞ thì hai vế BĐT càng dần tới cùng giá trị là e (cơ số tự nhiên hàm logarit) Ta hiểu là quá trình này thì VP tiến nhanh VT sau này tung ∞ thì tốc độ dần và khoảng cách ngày thu hẹp.(Mục này xin bình luận cùng với các bạn đồng nghiệp) Tóm lại : Để sử dụng BĐT Côsi từ TBN sang TBC ta cần chú ý: Chỉ số thức là bao nhiêu thì số các số hạng là nhiều sốcác số hạng nhỏ số thì phải nhân thêm số để số các số hạng số a, b, c 3 a b c 1 Bài 6: Cho Tìm Max S a b b c c a Giải Sai lầm thường gặp: (21) a b 1 1 a b 3 a b 1.1 b c 1 1 b c 3 b c 1.1 c a 1 1 c a 3 c a 1.1 2 a b c 8 S 3 a b b c c a 3 Max S = Nguyên nhân sai lầm: a b 1 b c 1 a b c 3 3 Vô lý c a 1 Max S = Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S làmột biểu thức đối xứng với a, b, c nên Max S thường xảy điều kiện: a b 3 b c a, b, c 2 c a a b c a b c 1 Vậy số cần nhân thêm là 3 2 a b 22 3 a b 3 a b 33 2 b c 2 3 b c 3 b c 3 2 c a 2 3 c a 3 c a 3 Ta có lời giải: 2 a b c S 3 a b b c c a 3 18 4 a b 3 b c a b c c a 3 Vậy Max S = 18 Dấu “ = ” xảy (22) Tài liệu tham khảo: Tài liệu tập huấn này có tham khảo và sử dụng Các chuyên đề bồi dưỡng HSG các đồng nghiệp và khai thác tài liệu trên số trang Web toán học (23)