Nếu trong các số này có số lớn nhất và nhỏ nhất, ta có quyền sắp xếp sao cho ak là một trong các số nhỏ nhất và ak+1 là một trong các số lớn nhất.. Nếu chúng không có số lớn nhất và nhỏ [r]
(1)BẤT ĐẲNG THỨC – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bất đẳng thức Cauchy Với a1, a2, a3, , an là số dương, n ≥ 2, ta luôn có a1 + a + a + + a n ³ n n a1a 2a a n Đẳng thức xảy và a1 = a2 = a3 = = an Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: Có cách chứng minh sau Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp toán học a1 + a ³ Bước 1: Thử với n = thì a1a Û ( a1 - a )2 ³ (đúng) Dấu “=” xảy a1 = a2 Bước 2: Giả sử biểu thức (*) đúng n = k ta có a1 + a + + a k ³ k k a1a a k (1) Dấu “=” xảy a1 = a2 = = ak Bước 3: Ta cần chứng minh (*) sễ đúng với n = k + Xét (k + 1) số không âm a1, a2, , ak+1 Nếu các số này có số lớn và nhỏ nhất, ta có quyền xếp cho ak là các số nhỏ và ak+1 là các số lớn Nếu chúng không có số lớn và nhỏ thì chúng ta không cần xếp μ= a1 + a + + a k+1 k +1 (2) thì đó ak+1 ≥ μ ≥ ak (2’) Đặt Đặt bk = ak + ak+1 – μ suy ak + ak+1 = bk + μ (3) Từ (2) và (3) suy (k + 1)μ = a1 + a2 + + ak–1 + bk + μ hay kμ = a1 + a2 + + ak–1 + bk Þ μ= a1 + a + + a k- + b k k Áp dụng giả thuyết (1) ta μ³ k a1a a k- 1b k Û μ k ³ a1a a k- (a k + a k+1 - μ) Û μ k +1 ³ a1a a k- (a k + a k +1 - μ)μ (4) Bây ta thấy (ak + ak+1 – μ)μ – akak+1 = ak(μ – ak+1) + (ak+1 – μ)μ = (ak+1 – μ)(μ – ak) ≥ điều kiện (2’) Từ đó suy (ak + ak+1 – μ)μ ≥ akak+1 (5) Û μ³ k a a a k +1 (6) Thay (5) vào (4) ta μk+1 ≥ a1a2 ak+1 Từ (6) suy điều phải chứng minh bước Dấu “=” xảy a1 = a2 = = ak–1 = bk = μ và (ak+1 – μ)(μ – ak) = Nói cách khác dấu “=” xảy a1 = a2 = = ak–1 = ak = ak+1 Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp thì bất đẳng thức (*) luôn đúng với điều kiện đề bài Cách 2: Dùng tính đơn điệu hàm số Xét hàm số f(x) = ex–1 – x Đạo hàm f’(x) = ex–1 – f’(x) = và x = f’’(x) = ex–1 > nên f’’(1) > Hàm số này nghịch biến trên (–∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞) min[f(x)] = f(1) = nên f(x) ≥ f(1) = với x Hay ex–1 ≥ x (1) với x Xét dãy số thực không âm a1, a2, , an có trung bình cộng là μ Nếu μ = thì a1 = a2 = = an = dẫn đến (*) hiển nhiên đúng Nếu μ > ta có: (2) a1 a2 an a1 a2 an -1 -1 -1 - 1+ - 1+ + - a1 a a n μ μ × £ e μ e μ e μ = e μ μ μ μ (2) a1 a2 an a1 + a + + a n - + - + + - = - n =n- n =0 μ μ μ μ Mà (2) Û a1.a a n μ n £ e0 = Û μ ³ n a1.a a n (3) Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an = μ Cách 3: Chứng minh Cauchy a1 + a ³ Xét trường hợp n = thì a1a Û ( a1 - a )2 ³ (đúng) Dấu “=” xảy a1 = a2 Giả sử trường hợp n = 2k = b đúng Khi đó xét n = 2k+1 = 2b ta có a1 + a + + a 2b a1 + a + + a b a b+1 + a b+2 + a 2b b = + ³ ( a1a a b + b a b+1a b+2 a 2b ) 2b 2b 2b (2) b ( a1a a b + b a b+1a b+2 a 2b ) ³ b a1a a 2b = 2b a1a a 2b Áp dụng cho hai số ta (3) a1 + a + + a 2b 2b ³ a1a a 2b 2b Từ (2) và (3) suy Do đó bất đẳng thức luôn đúng với n = 2k, k là số nguyên dương Nếu n không phải là 2k, thì tồn giá trị k cho 2k > n Ta đặt m = 2k – n Xét n số không âm a1, a2, , an có trung bình cộng là μ Xét tiếp m số an+1, an+2, , an+m cho an+1 = an+2 = = an+m = μ Như ta áp dụng bất thức n + m = 2k số sau a1 + a + + a n + a n+1 + a n +2 + + a n+m ³ (n + m) n+m a1a a n a n+1a n+2 a n+m Û (n + m)μ ³ (n + m) n+m a1a aμn m Û μ n+m ³ a1a a n μ m Û μ n ³ a1a a n Từ đó suy điều phải chứng minh Bất đẳng thức Bunyakovsky – Cauchy – Schwarz (B.C.S) Với a1, a2, , an, b1, b2, , bn ta luôn có (a1b1 + a 2b + + a n b n )2 £ (a12 + a 22 + + a 2n )(b12 + b 22 + + b 2n ) a1 a a a = = = = n bn Đẳng thức xảy và b1 b b3 Đặc biệt: a1, a2, , an, b1, b2, , bn > b12 b 22 b (b + b + + b n ) + + + n ³ a1 a an a1 + a + + a n b1 b b3 b = = = = n an Đẳng thức xảy và a1 a a Chứng minh bất đẳng thức B.C.S 2 2 Xét n = 2: (a1b1 + a b ) £ (a1 + a )(b1 + b ) Û a12 b12 + 2a1a b1b + a 22 b 22 £ (a12 b12 + a12 b 22 + a 22 b12 + a 22b 22 ) Û £ a12 b22 - 2a1a b1b2 + a 22 b12 Û £ (a1b - a b1 ) (Đúng) (3) a1 a = b b2 Đẳng thức xảy và a1b2 = a2b1 hay 2 2 2 Giả sử n = k ta có (a1b1 + a b2 + + a k b k ) £ (a1 + a + + a k )(b1 + b + + b k ) a1 a a a = = = = k bk Đẳng thức xảy và b1 b b3 → a1b1 + a b2 + + a k bk £ a12 + a 22 + + a k2 b12 + b22 + + b 2k Mặt khác: a1b1 + a b + + a k b k + a k+1b k +1 £ a1b1 + a 2b + + a k b k + a k +1b k+1 a + a + + a b + b + + b 2k k và b = Đặt a = Áp dụng B.C.S cho bốn số a, b, |ak+1|, |bk+1|: ab + |ak+1||bk+1| ≤ → a + a 2k+1 b + b2k+1 = a12 + a 22 + + a 2k+1 b12 + b 22 + + b2k+1 a1b1 + a b2 + + a k bk + a k +1b k +1 £ a12 + a 22 + + a k2+1 b12 + b 22 + + b k2+1 a a1 a a a = = = = k = k+1 b1 b b3 b k b k +1 Đẳng thức xảy và Nên n = k + đúng Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đúng với n ≥ BÀI TẬP MINH HỌA A= a + b + c 1+ b 1+c 1+a Bài toán Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Nhận xét tính đối xứng (a; b; c) nên đẳng thức có thể xảy a = b = c = a =a- Ta có: + b mà + b² ≥ 2b a ³ a- ab + b2 ab → 1+ b Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế: A ≥ a + b + c – (ab + bc + ca) (1) Mặt khác 2ab ≤ a² + b²; 2bc ≤ b² + c²; 2ca ≤ c² + a² → 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a² + b² + c²) → ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² → 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² = → ab + bc + ca ≤ (2) Vậy từ (1) và (2) ta A ≥ Đẳng thức xảy và ïìï a = b = c í ïïî a + b + c = hay a = b = c = Bài toán Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải A= 1+ a + b2 + 1+ b + c2 + 1+ c 1+a (4) 1+a = (a +1) - b (a +1) b(a +1) ³ (a +1) - 1+ b Ta có + b Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta 3+ a + b + c ab + bc + ca 2 A≥ Mà 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² = → ab + bc + ca ≤ Từ đó suy A ≥ Đẳng thức xảy và a = b = c = Bài toán Chứng minh với số dương a, b, c , d ta luôn có a3 a +b + b3 b +c + c3 c +d + d3 d +a a +b +c +d ³ Hướng dẫn giải a3 2 Ta có a + b =ab3 Tương tự: b + c ab a + b2 ³ b- b ³ a- c3 c ; 2 c +d a 2 + ³ c- b 2 + d3 d ; 2 d +a c 2 + ³ d- d3 2 ³ b +c c +d d +a Cộng vế theo vế ta được: a + b Bài toán Chứng minh với số dương a, b, c ,ta luôn có a3 a + ab + b + b3 b + bc + c + c3 c + ca + a ³ a a +b +c +d a + b +c Hướng dẫn giải Ta có a3 a + ab + b =a- ab ( a + b) a + ab + b ³ a- ab ( a + b ) a +b =a3ab Chứng minh tương tự b3 b + bc + c ³ b- b +c ; c3 c + ca + a ³ c- c +a Cộng vế theo vế điều phải chứng minh Bài toán CHo a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác với chu vi 2p Chứng minh rằng: abc a (p – a)(p – b)(p – c) ≤ æ ö 1 1 1÷ + + ³ 2ç + + ÷ ç ÷ ç èa b c ø b p - a p - b p - c Hướng dẫn giải a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số dương p - a +p - b c = (1) 2 p - b +p - c a (p - b)(p - c) £ = (2) 2 p - c +p - a b (p - c)(p - a) £ = (3) 2 (p - a)(p - b) £ Nhân vế theo vế (1), (2), (3) ta đpcm b Áp dụng bất đẳng thức ta có (5) 1 4 + ³ = p- a p- b p- a +p- b c 1 4 + ³ = p- b p- c p- b +p- c a 1 4 + ³ = p- c p - a p - c +p - a b Cộng vế theo vế ta đpcm BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho a, b, c > và a + b + c = a2 Chứng minh + 2b + b2 c2 + ³ 1 + 2c3 + 2a 3 Bài Cho a, b, c > Chứng minh a + b + abc Bài Cho a, b, c, d > và a + b + c + d = a2 b2 + c2d + c2 + 3 b + c + abc + 3 c + a + abc +£ abc d2 ³ + d 2a + a b ab bc ca a +b +c + + £ Bài Cho a, b, c > Chứng minh a + b b + c c + a Chứng minh + b c + + Bài Cho ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Chứng minh (1 – x)(2 – y)(4x – y) ≤ Đẳng thức xảy nào 1 + + = 20 Bài Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1 + + £5 Chứng minh x + y + 2z y + z + 2x z + x + 2y Bài Cho x, y > và x² + y² = Tìm giá trị nhỏ A = x³ + y³ Bài Cho x, y, z > và x² + y² + z² = Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 Bài Cho x, y > 0; < a < b; a, b nguyên và xa + ya = Tìm giá trị nhỏ A = xb + yb Bài 10 Cho x, y, z > 0, và x4 + y4 + z4 = Tìm giá trị nhỏ A = x6 + y6 + z6 Bài 11 Cho x, y > và 3x² + 4y² = Tìm giá trị nhỏ A = 5x³ + 6y³ Bài 12 Cho x, y > và 7x² + 8y² = Tìm giá trị nhỏ A = 9x³ + 10y³ 1 + + ³ Bài 13 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + a + b + c Chứng minh abc ≤ 0,125 Gợi ý: 1/(1 + a) = b/(1 + b) + c/(1 + c) Bài 14 Cho ba số a, b, c > Chứng minh (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + Bài 15 Cho ba số a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca = abc b + 2a c2 + 2b2 a + 2c2 + + ³ ab bc ca abc )³ Chứng minh: Bài 16 Cho ba số a, b, c Chứng minh (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c) 1 1 + + + ³ Bài 17 Cho a, b, c, d là bốn số dương thỏa mãn điều kiện + a + b + c + d Chứng minh abc ≤ 1/81 1 x + y + + ³ 2( x + y) x y Bài 18 Chứng minh với x, y > ta có (6) Bài 19 Cho x, y là số dương thỏa mãn điều kiện x + y = Hãy tìm giá trị nhỏ P = xy + xy biểu thức Bài 20 Cho x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = tìm giá trị lớn nhất, và nhỏ P = x + y + z + xy + yz + zx Bài 21 Cho x, y > và x + y = Hãy tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức: P = 3x + 9y Bất đẳng thức vector Ví dụ Cho x, y, z > 2 2 2 Chứng minh x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ³ Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng Oxy gọi ba vectơ 3(x + y + z) y 3y z 3z x 3x a = (x + ; ) ; b = (y + ; ) ; c = (z + ; ) 2 2 2 3 Þ a + b + c = ( (x + y + z); (x + y + z)) 2 a + b + c ³ a +b +c Theo bất đẳng thức vectơ: Þ x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ³ 3(x + y + z) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho ba số x, y, z > thỏa mãn x + y + z ≤ x2 + Chứng minh rằng: Bài Chứng minh x + y2 + y + z2 + z2 ³ 82 2 2 2 a (a + b) + (b + d) £ a + b + c + d 2 2 2 b (a + c) + b + (a - c) + b ³ a + b Bài Cho ba số x, y, z > 0, chứng minh x + y + z £ x + y + z Bài Chứng minh với số thực x, y, z ta có xyz(x + y + z) ≤ x4 + y4 + z4 Định lí Lagrange Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn f '(c) f (b) f (a) b a điểm c thuộc (a; b) cho → Hệ số góc tiếp tuyến (c; f(c)) với hệ số góc cát tuyến AB Bài toán Tìm c công thức Lagrange với y = f(x) = x² – x trên đoạn [1; 5] Hướng dẫn giải Hàm số liên tục trên đoạn [1; 5] và có đạo hàm trên khoảng (1; 5) nên theo Lagrange ta có f '(c) = f (b) - f (a) b- a <=> 2c – = <=> c = a- b a a- b < ln < b b Bài toán Chứng minh < b < a thì a Hướng dẫn giải Xét hàm số f(x) = ln x trên đoạn [b; a] (7) Đạo hàm f’(x) = x xác định trên (b; a) ln a - ln b a a- b $c Î (a; b) : = f ¢(c) Þ ln = a- b b c Theo Lagrange ta có a- b a- b a- b < < c b Mà < b < c < a suy a a- b a a- b < ln < b b Vậy a n < ln < n- n- Bài toán Chứng minh số nguyên n > thì n 1 1 + + + < ln n <1 + + + n n- Suy ra: Hướng dẫn giải Xét hàm số f(x) = ln x trên đoạn [n – 1, n] Đạo hàm f’(x) = x xác định trên (n – 1, n) Theo Lagrange: ln n - ln(n- 1) n = f '(c) Þ ln = n - (n - 1) n- c 1 < < Mà < n – < c < n → n c n - 1 n < ln < n- n- → n $c Î (n - 1; n) : n = 2: 1/2 < ln < n = 3: 1/3 < ln – ln < 1/2 n = n: 1/n < ln n – ln (n – 1) < 1/(n – 1) 1 1 + + + < ln n <1 + + + n n- Cộng vế theo vế, ta Bài toán Cho phương trình: ax² + x + c = (a khác 0) Biết 6a + 3b + 2c = Chứng minh phương trình có ít nghiệm khoảng (0; 3) Hướng dẫn giải 1 f (x) = x + bx + cx Xét hàm số Đạo hàm f’(x) = ax² + bx + c Áp dung Lagrange trên đoạn [0; 3] $x Î (0;3) : f (3) - f (0) = f '(x) = 6a + 3b + 2c = (3 - 0) Vậy phương trình: ax² + bx + c = (a ≠ 0) có ít nghiệm (0; 3) (8)