Chuyên đề: Về bất đẳng thức AM-GM

Chứng minh rằng: DẠY BẤT ĐẲNG THỨC “CÔ SI” MÀ HỌC SINH KHÔNG LÀM ĐƯỢC NGHĨA LÀ “THẦY SI”.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =.[r]

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Bài Chứng minh rằng: DẠY BẤT ĐẲNG THỨC “CÔ SI” MÀ HỌC SINH KHÔNG LÀM ĐƯỢC NGHĨA LÀ “THẦY SI” Bài Cho a  0; b  Tìm GTNN biểu thức S  a b  b a x  6x  đó x > 2x x  x  17 Bài Cho x  , tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = 2x  1 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Bài Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức N = Bài Tìm GTNN f(x)  x  x  2000 x , x > x3 Bài Cho x > ; y > và x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 12 16 P  5x  y   x y 25 x 1 Bài Cho  x  , tìm giá trị nhỏ biểu thức B =  1 x x Bài 10 Cho  x  4;  y  Tìm GTLN A    y   x  y  x  Bài Cho x > 1, tìm giá trị lớn biểu thức A = x  Bài 11 Cho a  Tìm GTNN biểu thức S  a  a Bài 12 Cho a  Tìm GTNN biểu thức S  a  a2  a, b  Tìm GTNN biểu thức S  ab  ab a  b  Bài 13 Cho   a, b, c  1  Bài 14 Cho  Tìm GTNN biểu thức S  a  b  c    a b c  a  b  c   a, b, c  Bài 15 Cho  Tìm GTNN biểu thức S  a  b  c  2 abc a  b  c  Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu  a, b, c  Tìm GTLN biểu thức S  a  b  b  c  c  a a  b  c  Bài 16 Cho   a, b, c  Tìm GTLN: S  a(b  2c)  b(c  2a)  c(a  2b) a b c     Bài 17 Cho   a, b, c  Bài 18 Cho  2 Tìm GTLN : S  a b  c  b c  a  c a  b a  b  c   a, b, c  a3 b3 c3 Bài 19 Cho  Chứng minh:    ( a  b)(b  c ) (b  c )(c  a ) (c  a )(a  b ) a  b  c   a, b, c  a3 b3 c3 Chứng minh:   1 b(2c  a ) c(2a  b ) a (2b  c ) a  b  c  Bài 20 Cho   a, b, c  Bài 21 Cho  Chứng minh: 2 a  b  c   a, b, c  Bài 22 Cho  CMR:  ab  bc  ca  a3 b3 c3    b  2c c  2a a  2b a  b  c   a2  b2  c2  a, b, c  1 Bài 23 Cho     CMR: a ( a  b ) b (b  c ) c (c  a )  ab  bc  ca   a, b, c  a b c    CMR: 2 b  c   c  a   a  b a  b  c  Bài 24 Cho   a, b, c  Bài 25 Cho  2 CMR: ab bc ca   3 c a b a  b  c   a, b, c  bc ca ab    Bài 26 Cho  CMR S  a  bc b  ca c  ab a  b  c   a, b, c  1    CMR: a (b  c ) b ( c  a ) c ( a  b )  abc  Bài 27 Cho   a, b, c  1 1    Tìm GTNN S  2 a b c ab(a  b) bc(b  c) ca (c  a ) a  b  c  Bài 28 Cho   a, b, c  1 1 1  2 Bài 29 Cho  Tìm GTNN S  a    b    c   b c c a a b  a  b  c  Bài 30 Với hai số dương x và y ta có: 1 1  (  ) §¼ng thøc x¶y x=y x y x y Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước Bài 31 Cho ba số dương a, b, c, ta có: GV: Nguyễn Hữu Hiếu 1 1 1    (   ) §¼ng thøc x¶y ab bc ca a b c a = b = c Bài 32 Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1    (   ) §¼ng thøc x¶y vµ a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  b b  c c  a chØ a=b=c Bài 33 Với a, b, c là các số dương: thøc x¶y a = b = c 1 1 1    (   ) §¼ng a  2b  c b  2c  a c  2a  b a b c 1 Chó ý: NÕu thªm gi¶ thiÕt    th× bµi a b c toán là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005 Bài 34 Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1      §¼ng thøc x¶y vµ a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a chØ : a=b=c Bài 35 Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 0,x + 1>0, y + > 0, z + x y z   x 1 y 1 z  x t t  y y  z z  x    Bài 36 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A  Víi x, y, z, t lµ t  y y z z  x xt H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña Q  > các số dương Bài 37 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức: 1 1 1       1/  2a  3(b  c) 2b  3(c  a ) 2c  3(a  b)  a  b b  c c  a  2/ 1 1 1         a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b  a  2c b  2a c  2b  Bài 38 Chứng minh a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + 1 17 bc + ca th×:    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 96 Bài 39 Cho x > 0, y > tháa m·n x + y  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A   xy xy x y Bài 40 Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b,c là độ dài cạnh) Chứng minh r»ng: 1  1 1    2    pa pb pc a b c Bài 41 Cho x, y, z  thoûa maõn ñieàu kieän x  y  z  a Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy  yz  zx b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x  y  z Bài 42 Cho x, y, z laø caùc soá döông thoûa maõn ñieàu kieän x  y  z  12 Tìm giaù trò nhoû nhaát x biểu thức P = y  y z  z x Bài 43 Cho x, y, z laø caùc soá döông thoûa maõn ñieàu kieän x  y  z  a Tìm giaù trò nhoû nhaát  a  a  a  biểu thức Q = 1  1  1    x  y  z Bài 44 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị nhỏ 1  a 1  b 1  c  biểu thức A = 1  a 1  b 1  c  Bài 45 Cho x, y thỏa mãn điều kiện x  y  và x > Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x2 y3 a b c    với a, b, c > bc ca a b a2 b2 c2 abc    b) bc ca a b Bài 47 Cho a, b, c > Chứnng minh: 1 1 1 1 a)  a  b      b)  a  b  c       a b a b c Bài 46 Chứng minh: a)  c) a  b2  c  ab  bc  ca bc ca ab    a bc a b c a b c 1      g) bc ca ab a b c e) f) 4    a  2b  c 2a  b  c a  b  2c a  b  c x2 y z x y z      y z x2 y z x Bài 49 Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 Chứng minh:  x  y  y  z  z  x  xyz  729 Bài 50 Cho a > 0, b > 0, c > thoả a + b + c = Chứng minh: ab  bc  ca  Bài 48 Cho x, y, z > Chứng minh  d)  a  b  c  a  b  c  abc Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu Bài 51 Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là số nguyên dương Chứng minh n n n 1 x  1 y  1 z        3       Bài 52 Cho x, y, z là số dương Chứng minh 3x  y  z  xy  yz  zx Bài 53 Cho a, b, c là số thực thoả a+b+c = Chứng minh 8a  8b  8c  2a  2b  2c a2 b2 c2 d 1 1 Bài 54 Cho a, b, c, d > Chứng minh        b c d a a b c d 1 Bài 55 Cho x, y, z tuỳ ý khác không Chứng minh    x y z x  y2  z2 Bài 56 Chứng minh với x, y là số không âm tuỳ ý, ta luôn có: x  17 y  18 xy  a   b   c  3 d   với a  5, b  4, c  3, d  a bc d 1   Bài 58 Cho a, b, c > Chứng minh a  b  c      a  b  c  a b bc ca   x  y  z  Bài 59 Cho x, y, z > Chứng minh 1  1  1    y  z  x   x y z Bài 60 Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm GTLN P  (ĐHNT  x 1 y 1 z 1 1999) Bài 61 Cho số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN biểu bc ca ab   thức: P  (ĐHNN – 2000) 2 a b  a c b c  b a c a  c 2b Bài 62 Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết a, b, c  : Bài 57 Chứng minh    a b5 c a b5 c 3    a  b  c b/    a3  b3  c3 2 bc ca ab b c a 5 3 a b c a b c a4 b4 c4   d/    a  b  c c/    b c a b c a bc ca ab 3 3 a b3 c3 a b c    ( a  b  c ) f/    (a  b  c ) e/ 2 a  2b b  2c c  2a (b  c ) (c  a ) ( a  b) a/ a3 b3 c3    ( a  b  c) ( a  b)(b  c) (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b ) Bài 63 Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz  g/ Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước Chứng minh GV: Nguyễn Hữu Hiếu x2 y2 z2    (ĐH 2005) 1 y 1 z 1 x Bài 64 Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm GTNN 4  (ĐH 2002) x 4y Bài 65 Cho x, y, z là các số dương và x  y  z  Chứng minh rằng: biểu thức S  1  y   z   82 (ĐH 2003) x y z 1 Bài 66 Cho x, y , z là các số dương thỏa mãn    Chứng minh rằng: x y z 1    (ĐH 2005) 2x  y  z x  y  z x  y  2z x2  x x x  12   15   20  Bài 67 Chứng minh với x   thì          3x  x  x (ĐH 2005) 5 4   Bài 68 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz  Chứng minh rằng:  x3  y  y3  z3  z  x3    3 (ĐH 2005) xy yz zx y    Bài 69 Chứng minh với x, y  thì (1  x) 1   1    256 (ĐH 2005) x   y   Bài 70 Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh  x   y   z  (ĐH 2005) Bài 71 Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  3b  b  3c  c  3a  (ĐH 2005) Bài 72 Cho x, y, z thỏa mãn 3 x  3 y  3 z  Chứng minh 9x 9y 9z 3x  y  z    (ĐH 2006) 3x  y  z y  3x  z 3z  3x  y Bài 73 Cho x , y là hai số dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm GTNN biểu thức A 3x   y  (ĐH 2006) 4x y2 Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 1    Chứng minh rằng: a b c (1  a )(1  b)(1  c )  (ĐH 2001) Bài 75 Giả sử x và y là hai số dương và x  y  Tìm GTNN x y (ĐH 2001) P  1 x 1 y Bài 74 Ba số dương a, b, c thỏa mãn Bài 76 Cho hai số thực x  0, y  thỏa mãn ( x  y ) xy  x  y  xy Tìm GTLN biểu thức A  1  (ĐH 2006) x y Bài 77 Chứng minh  y  x  thì x y  y x  (ĐH 2006)  a, b  1  , tìm GTNN P  2 2ab a b a  b   a, b  1  Bài 79 Cho  , tìm GTNN P  2 2ab 1 a  b a  b  Bài 78 Cho   a, b  1   4ab , tìm GTNN biểu thức P  2 ab a b a  b  Bài 80 Cho   a, b  1   , tìm GTNN biểu thức S  3 a b a b ab a  b   a, b, c  Bài 82 Cho  Chứng minh rằng: a  2b  b  2c  c  a  3 a  b  c  Bài 81 Cho   x, y , z  x2 y2 z2 Bài 83 Cho  , chứng minh rằng:    1 y 1 z 1 x  xyz  Bài 84 Chứng minh rằng: a  3b  b  c  c  3a  (ĐTK 2005)  a, b, c  Bài 85 Cho  , tìm GTNN các a  b  c  1 1 P    a  b2  c2 ab bc ca 1 1 1  2    biểu: S  2 ab bc ca a b b c c a 1 1 1 Q      a  bc b  ca c  ab ab bc ca Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xoài-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 2    25  Bài 86 Cho u  v  , chứng minh rằng:  u     v    u   v   Bài 87 Cho a , b, c dương thỏa abc  , tìm GTNN biểu thức: bc ca ab Q   (ĐH 2000 – 2001) a (b  c ) b ( c  a ) c ( a  b )  x, y, z.0 1  Bài 88 Cho  1 , tìm GTLN P    2x  y  z x  y  z x  y  2z x  y  z 1  2  a, b, c  1 ,chứng minh    a (b  c ) b ( c  a ) c ( a  b )  abc   a, b, c  a3 b3 c3 Bài 90 Cho  , tìm GTNN P    (1  b)(1  c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b)  abc  Bài 91 Cho a, b, c, d  , tìm GTNN a b c d    P b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c Bài 89 Cho  Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! Lop12.net