Hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN VẬT LÝ Đề tài: HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TRONG HỐ LƯỢNG TỬ Người hướng dẫn: Th.S Nguyễn Văn Hiếu Người thực hiện: Hà Thị Ry Đà Nẵng, tháng 5/2013 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo – Th.S Nguyễn Văn Hiếu – người bảo tận tình cho em thời gian làm luận văn Em xin cảm ơn tất thầy cô giáo Khoa Vật Lý – trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng cung cấp cho chúng em nhiều kiến thức lí thuyết thực hành suốt thời gian học tập trường, làm sở để em hoàn thành tốt đề tài Em xin cảm ơn đến gia đình bạn bè bên giúp đỡ, động viên em suốt thời gian vừa qua Bài luận văn em khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót, hạn chế Vì vậy, em mong nhận góp ý giúp đỡ thầy để hồn thiện làm Xin chân thành cảm ơn! Đà nẵng, tháng năm 2013 Sinh viên: Hà Thị Ry MỤC LỤC A MỞ ĐẦU: 1 Lý chọn đề tài: Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Cấu trúc nội dung đề tài: B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỐ LƯỢNG TỬ 1.1 Cấu trúc hố lương tử: 1.1.1 Hố lượng tử đơn: 1.1.2 Hố lượng tử kép: 1.1.3 Đa hố lượng tử: 1.2 Năng lượng hàm sóng điện tử hố lượng tử cao vô hạn: 1.2.1 Năng lượng hàm sóng điện tử hố lượng tử cao vơ hạn khơng có từ trường tác dụng: 1.2.2 Năng lượng hàm sóng điện tử hố lượng tử cao vơ hạn có từ trường tác dụng: 1.2.2.1 Từ trường vng góc với thành hố: 1.2.2.2 Từ trường song song với thành hố lượng tử: 11 1.2.3 Năng lượng hàm sóng điện tử hố parabol: 13 1.3 Mật độ trạng thái hố lượng tử: 15 CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC BOLTZMAN 17 2.1 Cơ sở lí thuyết: 17 2.2 Phương trình động học Boltzman: 17 CHƯƠNG III: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH DỊNG ÂM ĐIỆN TRONG HỚ LƯỢNG TỬ 21 3.1 Hố cao vô hạn: 22 3.2 Hố parabol: 26 CHƯƠNG IV: TÍNH TỐN SỚ VÀ VẼ ĐỒ THỊ LÝ THUYẾT CHO HỐ LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl 30 C KẾT LUẬN: 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 33 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu A MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài: Ngày nay, vật liệu bán dẫn trở nên phổ biến mang tính ứng dụng mạnh mẽ, khơng nghiên cứu khoa học mà lĩnh vực khác lĩnh vực vi xử lí , công nghệ thông tin Với việc nghiên cứu vật liệu bán dẫn cho đời nhiều thành tựu mang tính cách mạng lĩnh vực khoa học kĩ thuật Tuy nhiên, vật liệu bán dẫn vấn đề thú vị nhận quan tâm không nhà nghiên cứu khoa học, mà nhà kinh tế, trị Ta biết bán dẫn khối hạt mang điện (điện tử, lỗ trống) chuyển động tự theo chiều Ngày nay, với phát triển ngành khoa học kĩ thuật người ta nghĩ đến việc giảm kích thước hệ bán dẫn đến cỡ bước sóng Đơbroi để thu hệ bán dẫn thấp chiều Việc giảm kích thước hệ bán dẫn theo chiều, chiều, chiều dẫn đến thay đổi mật độ trạng thái, tính chất điện, tính chất cơ, tính chất từ so với bán dẫn khối giam giữ hạt mang điện Chính khác biệt tính chất hệ bán dẫn thấp chiều vật liệu hồn tồn với tính chất thú vị cho ngành công nghệ cao Hố lượng tử cấu trúc hệ hai chiều, hạt mang điện bị giam giữ theo chiều, chuyển động tự theo hai chiều lại Hố lượng tử tạo vật liệu bán dẫn có vùng cấm khác ghép xen kẽ lại với Hố lượng tử quan tâm gắn liền với cơng trình nghiên cứu có giá trị, hiệu ứng âm điện hố lượng tử cơng trình Khi sóng âm hấp thụ vật dẫn, truyền động lượng lượng từ sóng âm đến điện tử vật dẫn làm xuất hiệu ứng gọi hiệu ứng âm điện Hiệu ứng âm điện tạo dòng âm điện jac mạch kín tạo trường âm điện khơng đổi Eac mạch hở Biểu thức giải tích dịng âm điện jac tính tốn cách sử dụng phương pháp phương trình động Boltzmann cho điện tử tương tác với sóng âm trường hợp khí điện tử không suy biến Như vậy, hiệu ứng âm điện hố lượng tử tạo tính chất đặc biệt cấu trúc hố lượng tử, vấn đề mà nhiều người quan tâm Do chọn đề SVTH: Hà Thị Ry Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu tài: “ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TRONG HỐ LƯỢNG TỬ” để nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Dòng âm điện hố lượng tử - Phạm vi nghiên cứu: đặc điểm cấu trúc, phổ lượng hàm sóng, mật độ trạng thái, dịng âm điện hố lượng tử Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu đặc điểm cấu trúc, phổ lượng, mật độ trạng thái, tính chất hiệu ứng âm điện hố lượng tử Từ xây dựng tài liệu tổng quan dòng âm điện hố lượng tử Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu gồm nghiên cứu tổng quan lý thuyết, xây dựng cơng thức, tính tốn tổng hợp ý kiến chuyên gia Cấu trúc nội dung đề tài: A Mở đầu B Nội dung Chương I : Tổng quan hố lượng tử Chương II : Thiết lập phương trình động Boltzman Chương III : Hiệu ứng âm điện hố lượng tử Chương IV: Tính tốn số vẽ đồ thị lý thuyết cho hố lượng tử GaAs/GaAsAl C Kết luận Các tài liệu tham khảo SVTH: Hà Thị Ry Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỐ LƯỢNG TỬ 1.1 Cấu trúc hố lương tử: 1.1.1 Hố lượng tử đơn: Hố lượng tử đơn tạo phương pháp epitaxy, cho hai lớp chất bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác ghép lại với Ví dụ: Hệ InP/GaAs; AlGaAs/ GaAs; Si/ Ge E Ea AlGaAs GaAs Ea Eb Eb Hình 1.1: ECấu trúc hố lượng tử đơn 1.1.2 Hố lượng tử kép: b Là cấu trúc người ta ghép hai lớp bán dẫn có vùng cấm lớn kẹp lớp bán dẫn có vùng cấm nhỏ đan xen Ví dụ : Hệ AlGaAs/ GaAs/ AlGaAs E Ea AlGaAs Ea GaAs Eb AlGaAs Eb Ea E Cấu trúc hố lượng tử kép Hình 1.2: 1.1.3 Đa hố lượng tử: b Là cấu trúc lớp bán dẫn có độ rộng vùng cấm lớn nhỏ khác đặt xen kẽ cách tuần hồn Các lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm lớn tạo hàng rào để ngăn cản chuyển động điện tử từ hố qua hố khác SVTH: Hà Thị Ry Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu Ví dụ như: AlGaAs/ GaAs/ AlGaAs E Ea AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs AlGaAs Eb Ea Eb Ea Eb Ea Hình 1.3: Cấu trúc đa hố lượng tử 1.2 Năng lượng hàm sóng điện tử hố lượng tử cao vô hạn: 1.2.1 Năng lượng hàm sóng điện tử hố lượng tử cao vơ hạn khơng có từ trường tác dụng: Để tính tốn cấu trúc vùng lượng hố lượng tử, xét hố lượng tử hình chữ nhật đơn giản dạng: V(z) V(z) = { |z| ≤ L/2 ∞ |z| > 𝐿/2 Trong L độ rộng hố -L/2 L/ z Hình 1.4 Sử dụng phương trình Schrodinger tìm hàm sóng lượng: ĤΨ(x, y, z) = EΨ(x,y,z) ħ2 (− ∆ + V(z)) Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z) 2m Trong đó: ∆= (1.1) ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x ∂y ∂z  Khi |z| > L/2 hạt không tồn V(z) = ∞ nên hàm sóng Ψ(x, y, z) =  Khi |z| ≤ L/2 V(z) =0 nên ta có: SVTH: Hà Thị Ry Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu ħ2 − ∆Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z) 2m ⇔− ħ2 ∂2 ∂2 ∂2 ( + + ) Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z) 2m ∂x ∂y ∂z (1.2) Vì V(z) phụ thuộc vào z nên ta tách Ψ(x, y, z) thành thành phần độc lập nhau: Ψ(x, y, z) = Φ(x, y)φ(z) (1.3) Với hạt chuyển động tự theo phương Ox,Oy hàm mơ tả hàm sóng phẳng : Φ(x, y) = C exp(−iK x x − iK y y) (1.4) Từ (1.3), (1.4) ta (1.2): ħ2 ∂2 ∂2 ∂2 ( ) Φ(x, y)φ(z) = EΦ(x, y)φ(z) − + + 2m ∂x ∂y ∂z ħ2 ∂2 ∂2 ∂2 ( ) C exp(−iK x x − iK y y) φ(z) = EΦ(x, y)φ(z) ⇔ − + + 2m ∂x ∂y ∂z ⇔ − ħ2 ħ2 ∂2 φ(z) ( -K 2x - K 2y )φ(z) − ( ) = Eφ(z) 2m 2m ∂z d2 φ(z) 2m ħ2 ( K 2x + K 2y )] φ(z) = (1.5) ⇒ + [E − dz ħ 2m Đặt: γ2 = 2m ħ2 [E ( K 2x + K 2y )] > − ħ 2m Phương trình (1.5) trở thành: d2 φ(z) + γ2 φ(z) = (1.6) dz Phương trình (1.6) có nghiệm: φ(z) = A sin(γz) + Bcos(γz)  Xét lớp nghiệm chẵn: φ(z) = Bcos(γz) Điều kiện liên tục hàm sóng: z = L/2 φ(z) = ⇒ Bcos(γz) = L ⇒ cos (γ ) = (vì B≠ ) SVTH: Hà Thị Ry Trang Luận văn tốt nghiệp ⇒ γ= GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu π nπ (2n + 1) = (n = 1,3,5, … ) L L Do đó: 2m ħ2 ( K 2x + K 2y )] γ = [E − ħ 2m ⇒ n2 π2 2m ħ2 [E ( K 2x + K 2y )] = − 2 L ħ 2m ħ2 ( K 2x + K 2y ) n2 π2 ħ2 ⇒E= + 2m 2mL2 Vậy lượng điện tử hố: ħ2 ( K2x + K2y ) n2 π2 ħ2 E= + = EKxKy + En (n = 1,3,5 … ) 2m 2mL2 (1.7) Hàm sóng có dạng: Ψ(x, y, z) = Cexp(−iK x x − iK y y) cos( nπ z) L Chuẩn hóa hàm sóng: ∫ |Ψ|2 = toàn miền Lx L Ly ⇒ ∫ dx ∫ dy ∫ |Ψ|2 dz = 0 Lx − L L Ly ⇒ ∫ dx ∫ dy ∫ C2 cos2 ( 0 − L L + cos( L 2 ⇒ Lx Ly ∫ C2 ( − nπ z) dz = L 2nπ z) L ) dz = 1 ⇒ C Lx Ly L = ⇒C=√ Lx Ly L Trong đó: Lx, Ly độ dài chuẩn hóa; L độ rộng hố SVTH: Hà Thị Ry Trang Luận văn tốt nghiệp Ở đây: ħ ⃗ ⃗ dK dP ⃗ (r , t ) = =F dt dt GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu (2.8) lực tác dụng vào điện tử điểm r thời điểm t Biểu thức (2.7) thay đổi số lượng điện tử nhờ tác dụng lực bên gây từ trường điện từ Hàm phân bố thay đổi theo thời gian tán xạ hạt tải lên hạt khác, làm biến đổi trạng thái điện tử từ trạng thái (r, ⃗K) sang trạng thái (r⃗⃗′ , ⃗⃗⃗⃗ K ′ ) Khi va chạm tọa độ điện tử không thay đổi đáng kể, nên xác suất chuyển mức ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ đơn vị thời gian không phụ thuộc vào r ⃗⃗r ′ , W(K K ′ ) xác suất chuyển ⃗ sang K ⃗⃗⃗⃗′ trống hoàn toàn Như vậy, điện tử khoảng thời gian mức từ trạng thái K dt nhờ va chạm, chuyển từ trạng thái ⃗K sang ⃗⃗⃗⃗ K ′ , dẫn đến giảm bớt lượng điện tử thể tích ngun tố dG (q trình phức tạp, ta xét tán xạ đàn hồi) là: ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ −f(r, ⃗K, t)W(K K ′ )[1 − f(r, ⃗⃗⃗⃗ K ′ , t)] dτ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ K′ dτK 4π3 4π3 dτ⃗r dt (2.9) dτ⃗K⃗ ⃗ số hạt trạng thái K 4π3 dτ⃗⃗⃗ ′ [1 − f (r, ⃗⃗⃗ K ′ , t)] K3 số chỗ trạng thái ⃗⃗⃗ K′ 4π ⃗ , t) Ở đây, f(r, K Trong thời gian xảy q trình ngược, nghĩa hạt tải ⃗⃗⃗⃗′ , ⃗K) Như vậy, số lượng điện chuyển từ trạng thái ⃗⃗⃗ K ′ vào ⃗K tán xạ với xác suất W(K tử thực trình ngược dẫn đến làm tăng số lượng điện tử thể tích dG, có giá trị bằng: ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , t)] f(r, ⃗⃗⃗⃗⃗ K ′ , t)W(K K ′ )[1 − f(r, K dτ⃗⃗⃗⃗ ⃗ K′ dτ⃗K 4π3 4π3 dτ⃗r dt (2.10) Do vậy, nhờ va chạm số điện tử thể tích pha nguyên tố khoảng thời gian dt biến đổi lượng là: ⃗⃗⃗⃗′ )W(K ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ )]W(K ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗′ )] f(K K ′ )[1 − f(K K ′ )[1 − f(K dτ⃗⃗⃗⃗ ⃗ K′ dτ⃗K 4π3 4π3 dτ⃗r dt (2.11) ⃗ ) ≡ f(r, ⃗K, t), f(K ⃗⃗⃗⃗′ ) ≡ f(r, ⃗⃗⃗⃗⃗ Ở đây, f(K K ′ , t) SVTH: Hà Thị Ry Trang 19 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu ⃗⃗⃗ ′ ) hàm vecto sóng sau rút gọn ⃗ ), f (K f(K Để tính tồn số điện tử tán xạ nhờ va chạm cần phải lấy tích phân theo tồn trạng thái cuối ⃗⃗⃗ K ′ , nghĩa biểu thức cần phải lấy tích phân theo thể tích vùng Brillouin dτ⃗⃗⃗⃗ dτ⃗K⃗ K′ ′ )W(K ′ )[1 − f(K ′ )[1 − f(K ′ )]} ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫{f(K )]W(K dτ dt , K , K ⃗r 4π 4π3 (2.12) Như vậy, chuyển động electron tác dụng chúng ngoại lực, tồn trình tán xạ dẫn đến thay đổi số lượng điện tử thể tích ngun tố khơng gian pha Sự biến đổi khoảng thời gian từ t đến t +dt tạo nên giá trị : ⃗ , t + dt) f(r, K dτ⃗K⃗ dτ ∂f dτ⃗K⃗ ⃗ , t) ⃗K⃗ dτ⃗r = dτ − f(r , K dτ dt ⃗ r 4π3 4π3 ∂t 4π3 ⃗r (2.13) Do đó, biểu thức tổng biểu thức (2.6), (2.7) (2.11) Sau rút gọn biểu thức dτ⃗K⃗ dτ dt, nhận được: 4π3 ⃗r ∂f = − (v ⃗ ∇⃗r f) − (F ∇⃗K⃗ f) ∂t ħ ⃗⃗⃗⃗′ )W(K ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ )] − f(K ⃗ )W(K ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗′ )]} + ∫ {f(K K ′ )[1 − f(K K ′ )[1 − f(K V dτ⃗⃗⃗⃗ K′ 4π3 (2.14) Theo nguyên lí thuận nghịch qui mơ, xác suất cho q trình thuận nghịch nhau, nghĩa là: ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗′ , ⃗K) W(K K ′ ) = W(K (2.15) Như vậy, biểu thức (2.14) có dạng đơn giản hơn: dτK′ df ⃗⃗⃗⃗′ , ⃗K)[f(K ⃗⃗⃗⃗′ ) − f(K ⃗ )]} ⃗⃗⃗⃗ = − (v ⃗ ∇⃗r f) − (F ∇K⃗⃗ f) + ∫ {W(K dt ħ 4π3 (2.16) V Phương trình (2.14) gọi phương trình động học Boltzman Đây phương trình vi tích phân hàm cần tìm nằm dấu tích phân phương trình khơng có nghiệm tổng qt SVTH: Hà Thị Ry Trang 20 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu CHƯƠNG III: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH DỊNG ÂM ĐIỆN TRONG HỐ LƯỢNG TỬ Sau cân thiết lập, có mặt sóng âm hàm phân bố điện tử đạt điều kiện: ∂f =0 ∂t đạo hàm (3.1) ∂f tạo hai đóng góp: ∂t ∗ ∂f ( ) ∶ tốc độ thay đổi tương tác phonon − electron ∂t ac ∗ ∂f ( ) ∶ tốc độ thay đổi tương tác phonon − tạp chất, thứ khác ∂t th ⇒ ∂f ∂f ∂f = ( ) + ( ) ∂t ∂t ac ∂t th ⇒ ∂f ∂f = ( ) + ∂t ∂t th + ||2 K N(K) π ∑ {[f(p⊥ + K) − f(p)]δ(εn,p⊥+K − εn′,p⊥ − ħωK ) ħ2 ρ ω K ′ K,n,n − [f(p⊥ − K) − f(p)]δ(εn,p⊥−K − εn′,p⊥ + ħωK )} = (3.2) Với: ρ: mật độ tinh thể hố lượng tử : số biến dạng ωk: tần số sóng âm ⃗ sau: Hàm phân bố phonon không gian K ⃗)= N(K Trong đó: (2π)3 W δ(K − ħq) ħvs ωq (ħ = 1) (3.3) W: mật độ dòng âm vs: tốc độ sóng âm Trong điều kiện cân ta thay f(p) với fF(p⊥)+f1 Với fF(p⊥) hàm fecmi cân f1 ~ W Mặt khác: ∂f f1 ( ) =− ∂t th τp SVTH: Hà Thị Ry (3.4) Trang 21 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu Trong ∶ τp −1 = ∫ wpp′ dp′ wpp′ xác suất chuyển từ trạng thái p sang trạng thái p′ cho tất chế tán xạ Từ (3.2) (3.3) ta có: ||2 K (2π)3 W ∂f π ( ) = ∑ δ(K − ħq) × ∂t ac ħ ρ ħv ω ω s q K ′ K,n,n × {[fF (p⊥ + K) − fF (p⊥ )]δ(εn,p⊥+K − εn′,p⊥ − ħωK ) − [fF (p⊥ − K) − fF (p⊥ )]δ(εn,p⊥−K − εn′,p⊥ + ħωK )} = π(2π)3 ||2 q2 W ∑{[fF (p⊥ + ħq) − fF (p⊥ )]δ(εn,p⊥+ħq − εn′ ,p⊥ − ħωq ) ħρvs ωq ′ n,n − [fF (p⊥ − ħq) − fF (p⊥ )]δ(εn,p⊥−ħq − εn′,p⊥ + ħωq )} (3.5) Đến ta xét hai trường hợp tìm mật độ dịng âm điện hố cao vơ hạn hố parabol 3.1 Hố cao vô hạn: Thay (3.4), (3.5) vào (3.2) rút hàm f1: π(2π)3 ||2 W f1 = τp ∑{[fF (p⊥ + ħq) − fF (p⊥ )]δ(εn,p⊥+ħq − εn′,p⊥ − ħωq ) ħρ vs ′ n,n − [fF (p⊥ − ħq) − fF (p⊥ )]δ(εn,p⊥−ħq − εn′,p⊥ + ħωq )} (3.6) Dòng âm điện hố lượng tử: jac = j ac 2e ∫ Vp⊥ f1 d p⊥ (2πħ)2 2e π(2π)3 ||2 W ∂fF ∑ {∫ = τ ħq V δ(εn,p⊥+ħq − εn′,p⊥ − ħωq )dp⊥ p (2πħ)2 ħρ vs ∂p⊥ p⊥ ′ n,n − ∫ τp ħq Ta phân tích ∶ ∂fF V δ(ε − εn′,p⊥ + ħωq )dp⊥ } ∂p⊥ p⊥ n,p⊥−ħq (3.7) ∂fF ∂fF ∂ε = ∂p⊥ ∂ε ∂p⊥ SVTH: Hà Thị Ry Trang 22 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu Mặt khác phổ lượng hố lượng tử là: p⊥ n2 π2 ħ2 E= + 2m 2mL2 ∂ε p⊥ ⇒ Vp⊥ = = ∂p⊥ m Do phương trình tương đương (3.7) là: j ac (2π)4 e||2 W ∂fF p⊥ ∑ {∫ ( ) δ(εn,p⊥+ħq − εn′,p⊥ − ħωq )dp⊥ = τ ħq p (2πħ)2 ħρ vs ∂ε m ′ n,n ∂fF p⊥ ( ) δ(εn,p⊥−ħq − εn′,p⊥ + ħωq )dp⊥ } − ∫ τp ħq ∂ε m Với: fF = e − ε−εF KB T ⇒ (3.8) F ∂fF −ε−ε =− e KB T ∂ε KBT 2 2 n π ħ p⊥ εF ∂fF −2𝑚𝐾 − 𝐵 𝑇 e 2mL 𝐾𝐵 𝑇 e𝐾𝐵 𝑇 ⇒ =− e ∂ε KBT Thay vào phương trình trên: 2 jac n π ħ εF (2π)4 e||2 W ħq − 2𝐾 𝑇 𝐾 𝑇 2mL 𝐵 𝐵 × ∑ e = e (2πħ) ħρ vs K B T ′ n,n × {∫ τp e − p⊥ p 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 ( ⊥ ) m − ∫ τp e − (p⊥ − ħq)2 p⊥ δ( − + ħωq + ∆n,n′ ) dp⊥ 2m 2m p⊥ p 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 ( ⊥ ) m (p⊥ + ħq)2 p⊥ δ( − − ħωq + ∆n,n′ ) dp⊥ } 2m 2m π2 ħ2 2 Với ∆n,n′ = (n − n′ ) 2mL 2 jac n π ħ εF (2π)4 e||2 W ħq − 2𝐾 𝑇 𝐾 𝑇 2mL 𝐵 𝐵 × ∑ e = e (2πħ) ħρ vs K B T ′ n,n × {∫ τp e − p⊥ p 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 ( ⊥ ) m − ∫ τp e SVTH: Hà Thị Ry − p⊥ ħq (ħq)2 δ (− + + ħωq + ∆n,n′ ) dp⊥ m 2m p⊥ p 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 ( ⊥ ) m p⊥ ħq (ħq)2 δ( + − ħωq + ∆n,n′ ) dp⊥ } (9) m 2m Trang 23 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu Xét trường hợp: ⃗ // ⃗⃗⃗⃗⃗ q px ⇒p⊥ q = px q Ta suy ra: px ħq (ħq)2 m ħq mωq m δ (− + + ħωq + ∆n,n′ ) = δ (−px + + + ∆n,n′ ) (3.10 m 2m ħq q ħq Tương tự: ⇒ δ( px ħq (ħq)2 m ħq mωq m + − ħωq + ∆n,n′ ) = δ (px + − + ∆n,n′ ) (3.11) m 2m ħq q ħq Thay (3.10),(3.11) vào (3.9): 2 j ac n π ħ (2π)4 e||2 W ħq m εF − 𝐾𝐵 𝑇 ∑ e 2mL2 𝐾𝐵 𝑇 × = e (2πħ)2 ħρ vs K B T ħq ′ n,n × {∫ τp e − px +py 2mKB T (px + py ) ħq mωq m (−p δ + + + ∆n,n′ ) dpx dpy x m2 q ħq − ∫ τp e Đặặt: 𝐴± = − px +py (p x 2mKB T + py ) ħq mωq m (p δ + − + ∆n,n′ ) dpx dpy } x m2 q ħq ħq mωq m ± + ∆n,n′ q ħq ⇒j ac n2 π2 ħ εF (2π)4 e||2 Wτp m − = e𝐾𝐵 𝑇 ∑ e 2mL2𝐾𝐵 𝑇 × (2πħ)2 ħρ vs K B T ′ n,n +∞ × {∫ e − px +py 2mKB T −∞ (px + py ) δ(−px + A+ )dpx dpy m2 +∞ −∫ e −∞ − px +py (p x 2mKB T + py ) δ(px + A− )dpx dpy } (3.12) m2 Hàm denta-dirac: +∞ ∫ −∞ SVTH: Hà Thị Ry δ(px − A+ )dpx = { px = A+ px ≠ A+ Trang 24 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu ⇒j ac n2 π2 ħ εF (2π)4 e||2 Wτp m − 2𝐾 𝑇 𝐾 𝑇 2mL 𝐵 × = e 𝐵 ∑ e (2πħ)2 ħρ vs K B T ′ n,n +∞ × {∫ e − py A (A − + + 2mKB T e 2mKB T + py ) dpy m2 −∞ +∞ −∫ e − py A (A − − − 2mKB T e 2mKB T + py ) dpy } m2 −∞ ⇒j ac n2 π2 ħ εF (2π)4 e||2 Wτp − 2𝐾 𝑇 𝐾 𝑇 2mL 𝐵 × = e 𝐵 ∑ e (2πħ)2 ħρ vs mK B T ′ n,n +∞ (A+ + py )e × {∫ − py A − + 2mKB T dp e 2mKB T y −∞ +∞ (A− + −∫ py A− − − 2mK T 2mK B dp e BT } py )e y (3.13) −∞ Ta có: +∞ (A+ + py )e ∗ ∫ − py 2mKB T dp y +∞ = 2A+ ∫ −∞ (1 + +∞ = 2A+ ∫ 2py 2A+ )e − py 2mKB T dp y (1 + 2βpy )e−μpy dpy Vớới β = 2A+ +∞ ⇒∫ ,μ = 2 (A+ + py )e − 2mK B T py 2mKB T dp y = 2A+ −∞ = A+ ( 2A+ 2+ ) (2mK B T)2 √π = (mK B T + A+ )√π 2mK B T 2mK B T +∞ ∗ ∫ μ+β π √ μ (A− + py )e − py 2mKB T dp y +∞ = 2A− ∫ −∞ +∞ = 2A− ∫ (1 + 2py 2A− )e − (3.14) py 2mKB T dp y (1 + 2βpy )e−μpy dpy SVTH: Hà Thị Ry Trang 25 Luận văn tốt nghiệp Với β = +∞ ⇒∫ 2A− GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu ,μ = 2 (A− + py )e − 2mK B T py 2mKB T dp y = (mK B T + A− )√π 2mK B T (3.15) −∞ Thay (3.14), (3.15) vào (3.13) ta được: ⇒j ac n2 π2 ħ εF (2π)4 e||2 Wτp − 2𝐾 𝑇 𝐾 𝑇 2mL 𝐵 √π 2mK T × = e 𝐵 ∑ e B (2πħ)2 ħρ vs mK B T n,n′ − × {(mK B T + A+ )e A+ 2mKB T − (mK B T + A− )e ⇒j ac = (2π)2 e||2 Wτp (2πħ)2 ħρ vs × {mK B T (e − A+ 2mKB T ( −e mK B T)2 − A− 2mKB T ) εF e𝐾𝐵 𝑇 ∑ e − − A− 2mKB T } n2 π2 ħ2 2mL2 𝐾𝐵 𝑇 × n,n′ + A+ A+ 2 −2mKB T e − A− A− 2 −2mKB T } e (3.16) Đây phương trình mật độ dịng âm điện hố lượng tử cao vơ hạn 3.2 Hố parabol: Trong hố parabol điều kiện cân ta thay f(p) với fF(px), với fF(px) hàm fecmi cân Ta hàm f1 là: π(2π)3 ||2 W f1 = τp ∑{[fF (px + ħq) − fF (px )]δ(εN,px+ħq − εN′,px − ħωq ) ħρ vs ′ N,N − [fF (px − ħq) − fF (px )]δ(εN,px −ħq − εN′,px + ħωq )} (3.17) Dòng âm điện hố parabol: jac = ⇒j ac 2e ∫ Vpx f1 d p⊥ (2πħ)2 (2π)4 e||2 W ∂fF ∑ {∫ τp ħq = Vpx δ(εN,px +ħq − εN′,px − ħωq )dp⊥ (2πħ) ħρ vs ∂p x ′ N,N − ∫ τp ħq Ta phân tích ∶ ∂fF V δ(ε − εN′,px + ħωq )dp⊥ } ∂px px N,px −ħq (3.18) ∂fF ∂fF ∂ε = ∂px ∂ε ∂px SVTH: Hà Thị Ry Trang 26 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu Phổ lượng hố parabol: p2y ω0 p2x E = (N + ) ħΩc + + 2m 2m Ω2 ∂ε px ⇒ Vpx = = ∂px m Do phương trình (3.18) tương đương là: j ac (2π)4 e||2 W ∂fF px ∑ {∫ ( ) δ(εN,px +ħq − εN′,px − ħωq )dp⊥ = τ ħq p (2πħ)2 ħρ vs ∂ε m ′ N,N ∂fF px ( ) δ(εN,px −ħq − εN′,px + ħωq )dp⊥ } − ∫ τp ħq ∂ε m Với: fF = e − ε−εF KB T ⇒ (3.19) ∂fF −ε−εF =− e KB T ∂ε KBT (N+ )ħΩc py px ω εF ∂fF − − − KB T e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 e𝐾𝐵 𝑇 ⇒ =− e ∂ε KBT 2 Thay vào phương trình (3.19) ta có: ⇒ jac (N+ )ħΩc εF (2π)4 e||2 W ħq − 𝐾 𝑇 KB T 𝐵 ∑ = e e × (2πħ)2 ħρ vs K B T ′ N,N × {∫ τp e − py ω px p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) m − ∫ τp e − δ( (px − ħq)2 px − + ħωq + ∆N,N′ ) dp⊥ 2m 2m py ω px p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) m (px + ħq)2 px δ( − − ħωq 2m 2m + ∆N,N′ ) dp⊥ } π2 ħ2 2 Vớới ∆N,N′ = (N − N ′ ) 2mL2 SVTH: Hà Thị Ry Trang 27 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu ⇒ jac (N+ )ħΩc εF (2π)4 e||2 W ħq − 𝐾 𝑇 KB T 𝐵 ∑ e = e × (2πħ)2 ħρ vs K B T ′ N,N × {∫ τp e − py ω px p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) m − ∫ τp e − px ħq (ħq)2 δ (− + + ħωq + ∆N,N′ ) dp⊥ m 2m py ω px p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) m + ∆N,N′ ) dp⊥ } δ( px ħq (ħq)2 + − ħωq m 2m (3.20) Ta tính hàm δ: px ħq (ħq)2 m ħq mωq m δ (− + + ħωq + ∆N,N′ ) = δ (−px + + + ∆N,N′ ) (3.21 m 2m ħq q ħq px ħq (ħq)2 m ħq mωq m δ( + − ħωq + ∆N,N′ ) = δ (px + − + ∆N,N′ ) (3.22) m 2m ħq q ħq Thay (3.21), (3.22) vào (3.20) có: ⇒ jac (N+ )ħΩc (2π)4 e||2 W ħq m εF − 𝐾 𝑇 KB T 𝐵 ∑ e = e × (2πħ)2 ħρ vs K B T ħq ′ N,N × {∫ τp e − py ω px p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) δ (−p x m − ∫ τp e + Đặt: 𝐴± = − + ħq mωq m + + ∆N,N′ ) dp⊥ q ħq py ω px p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) m δ (px + ħq mωq − q m ∆ ′ ) dp⊥ } ħq N,N ħq mωq m ± + ∆N,N′ q ħq SVTH: Hà Thị Ry Trang 28 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu ⇒ jac (N+ )ħΩc εF (2π)4 e||2 W m − 𝐾𝐵 𝑇 ∑ e KB T = e × (2πħ)2 ħρ vs K B T ′ N,N +∞ × {∫ τp e − py px ω p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) δ(−px + 𝐴+ )dpx dpy m −∞ +∞ −∫ τp e − py ω px p − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 ( x ) m −∞ δ(px + 𝐴− )dpx dpy } Hàm denta-dirac: +∞ ∫ δ(px − 𝐴+ )dpx = { −∞ px = 𝐴+ px ≠ 𝐴+ Do đó: ⇒ jac (N+ )ħΩc εF (2π)4 e||2 Wτp m − 𝐾𝐵 𝑇 ∑ e KB T = e × (2πħ)2 ħρ vs K B T ′ N,N +∞ {∫ e − py ω A+ A − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 dp e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 ( + ) y m −∞ +∞ Ta tính tích phân: ∫ e − py ω0 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 dp y −∞ +∞ −∫ e − py ω A− A − 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 Ω2 dp e 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 ( − ) } y m −∞ = Ω √π2𝑚𝐾𝐵 𝑇 ω0 Thay vào phương trình trên: ⇒ jac (2π)2 e||2 Wτp (N+ )ħΩc Ω 𝐾εF𝑇 − KB T 𝐵 ∑ e = e × ω (2πħ) ħρ vs (mK B T)2 N,N′ × {A+ e − A+ 2𝑚𝐾𝐵 𝑇 − A− A− 2 −2𝑚𝐾𝐵 𝑇 } e (3.23) Đây phương trình mật độ dòng âm điện hố Parabol SVTH: Hà Thị Ry Trang 29 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu CHƯƠNG IV: TÍNH TỐN SỚ VÀ VẼ ĐỒ THỊ LÝ THUYẾT CHO HỐ LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl Để làm rõ kết vừa tính tốn trên, phần chúng tơi thực tính tốn dịng âm điện cho hố cao vô hạn với tham số sử dụng sau: vs= 5378 ms-1, L=50 nm, ρ= 5.32 gcm3, m=0.066m0 với m0 khối lượng điện tử tự do, KB=1.3807x1023 J/K, e=1.602196x10-19 C, W=104 Wm-2, ħ=1.05459x10-34 J.s Từ Hình 1, ta thấy phụ thuộc dòng âm điện jac vào tần số sóng âm khơng tuyến tính Dịng âm điện có đỉnh giá trị khác tần số sóng âm ωq= 1011 (s-1) ωq= 1012 (s-1) Khi thay đổi nhiệt độ ta thấy vị trí đỉnh khơng thay đổi điều kiện xuất đỉnh không phụ thuộc vào nhiệt độ 12 x 10 -4 jac(mA/cm2) 10 10 -1  q[s ] 15 x 10 11 Hình 1: Sự phụ thuộc dòng âm điện vào tần số sóng âm nhiệt độ khác nhau: Đường liền: T= 300K, đường nét đứt T=295K, đường chấm T=290K SVTH: Hà Thị Ry Trang 30 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu Hình cho ta thấy phụ thuộc dòng âm điện vào độ rộng hố khơng tuyến tính Trong khoảng L = 50nm-80nm giá trị dịng âm điện jac tăng, xuất đỉnh khoảng L = 80nm-90nm, từ L > 90nm giá trị jac giảm nhanh Từ đó, cho thấy giam giữ điện tử hố lượng tử có độ rộng khác có ảnh hưởng lớn đến hiệu ứng âm điện jac(mA/cm2) x 10 -4 40 50 60 70 L(nm) 80 90 100 Hình 2: Sự phụ thuộc dịng âm điện jac vào độ rộng hố L giá trị khác tần số âm đường nét liền ωq= 1011 (s-1) nét đứt ωq= 1012 (s-1): x 10 -4 ac j (mA/cm ) 0.05 400 0.04 200 0.03 EF(eV) 0.02 T(K) Hình 3: phụ thuộc dòng âm điện jac vào mức lượng Fermi EF nhiệt độ SVTH: Hà Thị Ry Trang 31 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu C KẾT LUẬN: Trong khóa luận phương pháp phương trình động Boltzman, thu được: Biểu thức giải tích dịng âm điện hố lượng tử trường hợp khí điện tử khơng suy biến thời gian hồi phục xung lượng xấp xỉ số cho hố lượng tử với hố cao vô hạn hố parabol Bằng tính tốn số chúng tơi dòng âm điện hố lượng tử phụ thuộc khơng tuyến tính vào tần số sóng âm, nhiệt độ hệ độ rộng hố lượng tử, tần số sóng âm tăng dịng âm điện xuất đỉnh hai vị trí ωq= 1011 (s-1) ωq= 1012 (s-1), điều khác với bán dẫn khối bán dẫn khối tuyến tính theo ωq, khác đặc trưng giam giữ điện tử bán dẫn thấp chiều SVTH: Hà Thị Ry Trang 32 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hiếu TÀI LIỆU THAM KHẢO: Johri G and Spector H.N “ Nonlinear AE effect in Semiconductor” phys Rev,15, 4955,1959 Eckstein S.G “AE effect in Cds Semiconductor”, J.appl Physic, 35,2702,1964 V.A Vyun, Yu.0 Kanter, S.M.Kikkarin, V.V Pnev, A.A Fedorov and I.B Yakovkin, “AE interaction of surface acoustic wave in GaAs-InGaAs SL”, Solid State Communication, 78, 823, 1991 Bau N Q, Dinh L, and Phong T.C, “ Absorption coefficient of a weak electromagnetic wave by confined electron in quantum wire” J Korean Phys Soc, 51, 1325, 2007 Johri J, Spector H.N, “the AE effect in semiconductor”, phys Rev , 15,4955, 1977 Hieu N.V, Bau N.Q, “the influence of the electromagnetic wave on AEM effect in a SL”, PIERS Proceeding 1081 (2012) Mori N and Ando T, “electronoptical- phonon interaction in single and double heterostructures” , phys Rev, 40,6175, 1989 SVTH: Hà Thị Ry Trang 33 ... trị, hiệu ứng âm điện hố lượng tử cơng trình Khi sóng âm hấp thụ vật dẫn, truyền động lượng lượng từ sóng âm đến điện tử vật dẫn làm xuất hiệu ứng gọi hiệu ứng âm điện Hiệu ứng âm điện tạo dòng âm. .. Khi sóng âm hấp thụ vật dẫn, truyền động lượng lượng từ sóng âm đến điện tử vật dẫn làm xuất hiệu ứng gọi hiệu ứng âm điện, hiệu ứng âm điện tạo dòng âm điện jac Sự tương tác sóng âm bề mặt... đa hố lượng tử 1.2 Năng lượng hàm sóng điện tử hố lượng tử cao vô hạn: 1.2.1 Năng lượng hàm sóng điện tử hố lượng tử cao vơ hạn khơng có từ trường tác dụng: Để tính tốn cấu trúc vùng lượng hố lượng