Chuyên đề cực trị số phức

toanthaycu.com CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC (TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM) A MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ Mơđun số phức:Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ  dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất   z  a  b  zz  OM  z  0, z   , z   z  z z  ,  z '  0  z  z '  z  z '  z  z ' z' z'  z z '  z z '   kz  k z , k   2  Chú ý: z  a  b  abi  (a  b )2  4a 2b  a  b  z  z  z.z Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z dấu xảy  z1  kz2  k    2  z1  z2  z1  z2  z1  z2  z  z z  z 2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax  by  c  (1) (1)Đường thẳng :ax  by  c  z  a  bi  z  c  di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a, b  , B  c, d    x  a    y  b 2  R Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R  R Hình trịn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R  x  a    y  b z  a  bi  R r   x  a    y  b   R 2 r  z  a  bi  R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm I  a; b  , bán kính r , R  y  ax  bx  c  c  0   x  ay  by  c Parabol  x  a 1 Elip   Elip  y  c   11 b2 d2 z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB 2a  AB  x  a   y  c Hypebol 1 b2 d2 B MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A  a; b  1   z Min  z0  a  b   z  a  b i  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a  b2  c2  d 2  a  c   b  d  2 Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi iz  a  bi  iz  c  di  z   a  bi c  di  z  z  b   z  d  ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R   z  z0  R  Tìm z Max , z Min Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  a; b  bán kính R z  OI  R  a  b  R  z0  R  Max   2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b   R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  c  di  z  a  bi  R  z  Hay viết gọn z0 z  z1  R  z  a  bi R R   c  di c  di c2  d z1 R (Chia hai vế cho z0 )  z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip Trang Toanthaycu.com TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z Elip: x2 y2  1 a2 a2  c2  z Max  a   2  z Min  a  c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  z1 , z2  c,  ci ) Tìm Max, Min P  z  z0  z1  z2  2c Đặt  2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0  PMax  a (dạng tắc)   PMin  b  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z    z1  z2  PMax  z0   a    P  z  z1  z2  a  Min  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z   Nếu z0  z1  z0  z2 PMax  z0  z1  z2 a PMin  z0  z1  z2 b C BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Cho số phức z thoả mãn z   3i  Tìm giá trị lớn z   i A 13  B 13  C 13  Lời giải D 13  Chọn C Ta có  z   3i   z   3i   z   3i    z   3i  z   3i     z   3i  z   3i   z   3i   z   i   2i  1(*) +Đặt w  z   i ,  w   2i  Trang Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z   i đường tròn  I ;1 w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường trịn Do giá trị lớn w đoạn OQ  w max   32  22   13 Nhận xét: Ở ta sử dụng kiến thức sau: z.z  z , z1 z2  z1 z2 Câu 2: (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   z   20 Gọi M , n môđun lớn nhỏ z Tính M  n C M  n  Lời giải Gọi z  x  yi ,  x, y    Theo giả thiết, ta có z   z   20 A M  n  B M  n   x   yi  x   yi  20   x  6  y2   x  6  y  20 D M  n  14  Gọi M  x; y  , F1  6;0  F2  6;0  Khi    MF1  MF2  20  F1 F2  12 nên tập hợp điểm E đường elip  E  có hai tiêu điểm F1 F2 Và độ dài trục lớn 20 Ta có c  ; 2a  20  a  10 b2  a  c2  64  b  x2 y2   100 64 Suy max z  OA  OA'  10 z  10 z  OB  OB '  z  8i Do đó, phương trình tắc  E  Vậy M  n  * Nhận xét: Ở ta sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng phưng trình elip Câu 3: (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z  a  bi  a, b  thỏa mãn z   3i  Tính P  a  b z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P  B P  10 C P  Lời giải D P  Chọn B Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z Theo giả thiết ta có: z   3i    a     b     Tập hợp điểm biểu diễn số 2 phức z đường tròn tâm I  4;3 bán kính R   A  1;3 Gọi:   Q  z   3i  z   i  MA  MB  B 1; 1 Trang Toanthaycu.com Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường trịn D Ta có: Q  MA  MB  MA.MB   Q  MA  MB  MA2  MB  MA  MB  Vì ME trung tuyến  MAB MA2  MB AB AB  ME    MA2  MB  2ME   AB  2  Q   2ME    4ME  AB Mặt khác ME  DE  EI  ID         Q2   20  200  MA  MB  Q  10  Qmax  10   M  D   4  2( xD  4)  xD   EI  ID     M  6;   P  a  b  10 2  2( yD  3)  yD  Cách 2:Đặt z  a  bi Theo giả thiết ta có:  a     b    2 a   sin t Đặt  Khi đó: b   cos t Q  z   3i  z   i      a  1   b  3 sin t   5cos t      sin t    a  1   b  1 cos t   2  30  10 sin t  30   3sin t  cos t  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:     Q  60   sin t  cos t   60  5  200  10  Q  10  Qmax  10  sin t  Dấu xảy  cos t   Câu 4: a    P  a  b  10 b  (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z   i Tính P  m  M A P   73 B P   73 C P   73 D P  13  73 Lời giải Chọn A Trang D A H E N Gọi A điểm biểu diễn số phức z , E  2;1 , F  4;7  N 1; 1 Từ AE  A F  z   i  z   7i  EF  nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF  73  3 Gọi H hình chiếu N lên EF , ta có H   ;  Suy P  NH  NF   2 Câu 5: (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Số phức z  i có mơđun nhỏ là: A 52 B 1 C  Lời giải D 2 Cách 1: Đặt w  z  i  z  w  i Gọi M  x; y  điểm biểu diễn hình học số phức w Từ giả thiết z   2i  ta được: w  i   2i   w   i    x     y  1 i    x     y  1  2 Suy tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức w đường tròn  C  có tâm I  2;1 bán kính R  Giả sử OI cắt đường tròn  C  hai điểm A, B với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w  OM Mà OM  MI  OI  OM  MI  OA  AI  OM  OA Trang Toanthaycu.com Nên w nhỏ OA  OI  IA   M  A Cách 2: Từ z   2i    a     b    với z  a  bi  a, b    2 a   sin x; b   cos x  a   sin x, b   cos x Khi đó: z  i   sin x    cos x  i  i    sin x   1  cos x  2    4sin x  cos x   6 4   2  sin x  cos x     Nên z  i nhỏ  1  1  sin x    cos x  2sin x   5    4sin x  cos x  2 cos x     5  5 Ta z        i     Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức z1  z  z1  z2  z1  z2 z  i   z   2i     i   z   2i   i   Câu 6: (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2z  i M P  với z số phức khác thỏa mãn z  Tính tỉ số z m A M  m B M  m C M  m D M  m Lời giải 2z  i 2z  i 2z  i 2z  i 1 Ta có P    P  2  P  2   P  z z z z z z 2 Vậy Câu 7: M  m Xét tất số phức z thỏa mãn z  3i   Giá trị nhỏ z   24i nằm khoảng nào? A  0;1009  B 1009; 2018 C  2018; 4036  D  4036;   Lời giải Chọn B Ta có  z  3i   z  3i   z   1  z     z  Đặt z0   3i  z0  5, z02   24i  Ta có A  z   24i  z  zo   z  zo  z  zo 2 2  z 4   zo  z zo  z o z   z.zo Trang   Mà  z  zo  z  zo   z.zo  zo z   z  zo 4  Suy A  z  zo   z  zo   z.z 2 o  z  z  1201 Hàm số y  2t  2t  1201 đồng biến  4;6 nên A  2.44  2.42  1201  1681  z  Dấu xảy   z   3i  Do z   24i nằm khoảng 1009; 2018  Câu 8: (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z   2i Đặt A  M  m Mệnh đề sau đúng? A A   34;6   B A 6; 42    C A 7; 33  D A 4;3 Lời giải Chọn A Giả sử: z  x  yi,  x, y     N  x; y  : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: • z  z  z  z   x  y   N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ) y I B E F C O -2 x D -2 • P  z   2i  P   x  2   y  2 2  P  d  I ; N  với I  2;2  Từ hình ta có: E 1;1 M  Pmax  ID  42  2  m  Pmin  IE  Vậy, A  M  m    Câu 9:    1    1 2   34; (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   4i  w  z   i Khi w có giá trị lớn Trang Toanthaycu.com A  74 B  130 C  130 Lời giải D 16  74 Chọn C Theo bất đẳng thức tam giác ta có w  z   i   z   8i     9i   z   8i   9i   130 Vậy giá trị lớn w  130 Câu 10: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M  Số phức z   3i  số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Biết M , M  , N , N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z  4i  A 34 B C D 13 Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi , x, y   Khi z  x  yi , M  x; y  , M   x;  y  Ta đặt w  z   3i    x  yi   3i    x  y    3x  y  i  N  x  y;3 x  y  Khi w  z   3i    x  y    x  y  i  N   x  y ;  x  y  M M  ; N N cặp đối xứng qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành hình chữ nhật yM  yN yM  yN Suy y  x  y y   x  y Vậy tập Ta có hợp điểm M hai đường thẳng: d1 : x  y  d2 :3x  y  Đặt P  z  4i    x  5   y   2 Ta có P  MA với A  5; 4  Pmin  MAmin  MA  d  A; d1  MA  d  A; d  Mà d  A; d1   Pmin  d  A; d1   , d  A; d2   , 34 Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn iz   z   i z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng: A B C  Lời giải D  Chọn D Trang Đặt z  x  yi ( x , y  ) Khi iz   z   i  x    y  3   x  2   y 1 2  x  y    x  2 y  1 2 Lại có z  x  y   Thay 1 vào   ta được: z  x2  y  2   2 y 1  y2  y2  y 1  5 y     5 5  5 Dấu đẳng thức xảy y    y   Thay y   vào 1 suy x   5 Vậy phần thực số phức z  Câu 12: (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét số phức z thỏa mãn z   3i  Số phức z mà z  nhỏ A z   5i B z   i C z   3i Lời giải D z   i Gọi z  x  yi , x, y   Khi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z Theo ta có z   3i    x  1   y    2 Suy tập hợp điểm M đường trịn tâm I 1; 3 bán kính R  Khi z    x  1  y  I M với I  1; 0 z  nhỏ I M ngắn hay I , M , I  thẳng hàng, M nằm I I  Trang 10 5   A  MA  MB   MA  MC  , C  1;  2      Ta có: IC   0;   IC   RC   2 Suy ra, điểm C nằm đường tròn  C  Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn  C  hai điểm Do đó, để A   MA  MC  đạt giá trị nhỏ M phải nằm hai điểm A C  A   MA  MC   AC , AC  13  A  13  a b Vậy, a  b  18 Câu 64: (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho z1 , z2 nghiệm phương trình  3i  iz  z   9i thỏa mãn z1  z2  A Giá trị lớn z1  z2 56 28 B C D Lời giải Chọn A Gọi z1  x1  y1i, z2  x2  y2i , với x1 , y1 , x2 , y2   Do z1  z2  8   x1  x2    y1  y2  i   5 Gọi M  x1 ; y1  , M  x2 ; y   M 1M   x1  x2    y1  y2   x1  x2    y1  y2  2  8  Mà z1 nghiệm phương trình  3i  iz  z   9i    y1    x1  3 i   x1     y1   i    y1    x1  3 2   x1     y1   2  x12  y12  x1  y1  24   M  x1 ; y1   đường tròn (C ) : x  y  x  y  24  Tương tự M  x2 ; y    C  Đường tròn (C ) có tâm I  3;  , bán kính R  Goị M trung điểm M M  IM  M M , IM  R  M M      , 5 z1  z2  2OM Mà OM  OI  IM , dấu xảy O , I , M thẳng hàng Khi OM  M M , OM  OI  IM  28 Trang 46 Toanthaycu.com  z1  z đạt giá trị lớn  OI  IM  , 56 Hoặc đánh giá chọn đáp án sau: Gọi N   x ;  y   NM   x1  x2    y1  y2  2  z1  z2 Và N đối xứng với M qua gốc tọa độ O , N  đường tròn (C1 ) : x  y  x  y  24  (C1 ) có tâm I1   3;   , bán kính R1  , (C1 ) đối xứng với  C  qua gốc tọa độ O Có I1 I  10  I1I  R  R1  Nhận xét: với điểm M   C  , N   C1  M1 N  I1I  R  R1 Loại đáp án B,C,D  z1  z  M N đạt giá trị lớn 56 Câu 65: Cho số phức z w thỏa mãn   i  z  z   i Tìm giá trị lớn T  w  i w 1 Trang 47 A B C D Lời giải Chọn B 3  i  z  z z z 1 i   z   1  z  i   w 1 w 1 w 1  z  1  1  z  2 Đặt t  z ; t  (vì z  khơng thỏa phương trình trên) (1) trở thành:  w 1  t  w 1  3t  1  1  t   w   t 10t  8t  2 1   ; t  2 1  10   2  2  t t2 t  Ta ln có: w  i  w    i    wi  2  t  z     z  i Dấu = xảy   w   k 1  i     w   i   wi  2  Vậy: Giá trị lớn T  2 Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z   i  z  3  2i  z  3i A 12 B C Lời giải D 10 Chọn A Trang 48 Toanthaycu.com    Gọi M  x; y  , F1  2; , F2  2,  2; , điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi , Có z   z    MF1  MF2  , có  F1F2  2 Suy M  x; y  chạy  E  có tiêu cự 2c  2 , độ dài trục lớn 2a  , độ dài trục nhỏ x2 y2   2b  phương trình tắc  E    x  Có M  x; y    E     1  y  Có P  z   i  z  3  2i  z  3i    x       x     y  1  3  x    y  2   y  3  3  x    y  3  y  1 (Bất đẳng thức tam giác) x2   y  1  2 2 2 x  3   y    x   y  3 2 2  y  12 y  84   y Đặt f  y   y  y  21   y , với 1  y  Có f   y   2y  y  3y  21 1 f   y    y  3y  21  y  1 ,  y   nhaän  Có 1  y   1  3y  y  12     y  4  loại  Có f  1   19 , f 1  12 Suy Min f  y   12  P  12 y 1;1  x  0, y   Đẳng thức 1 xảy  x  y   x  0, y     3  x y  Thử lại: Khi x  0, y  có P  12 Vậy MinP  12 x  0, y  Câu 67: Cho số phức z  x  yi , x , y  thỏa mãn z  y  16 Biểu thức P  z  i  z  đạt giá trị lớn  x0 ; y0  với x0  0, y0  Khi đó: x02  y02 A 20  B 20  C 20  D 20  Lời giải Trang 49 Chọn D Ta có: z  y  16  x  y  16 P  x   y  1   x   x Pmax  x  2  y2  x   y  1  2  x   y 2   y 1 y  x   y  x   y     x  y  1 x  y      2   y   y  16   x   x   x 2  x    y 1  y   y  1   y    x 2  x     5   2  x  y  16  x  y  16  y  1   y    x   x   x   y   y   y   x0    1 20  y   2     x0  y0  x  1  y0    Nhận xét: Bài ta dùng bất đẳng thức véc tơ sau     Cho a  a1 ; a2 , b   b1 ; b2   a  b   a1  b1 ; a2  b2  , ta có:     2 a  b  a  b   a1  b1    a2  b2   a12  a22  b12  b22   ab a b  2     a , b Dấu “ = ” xãy ngược hướng   a1b1  a b   2 Câu 68: Cho số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z   z   10 z  lớn Tính S  a  b A S  11 B S  5 C S  3 Lời giải D S  Chọn B Trong mp tọa độ Oxy , Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z  x  yi M  x ; y  ; z  4  0i F1  4;0  ; z   0i F2  4;0  Ta có: z   z   10  MF1  MF2  10 (1)  MF12   x  2  y 8x (2)  MF12  MF2  16 x  MF1  MF2   2  MF2   x    y 4x Từ (1) (2), suy MF1   4x  x2 y 2  Mặt khác MF12   x    y       x    y     25  Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z   z   10 Elip có phương trình  E  : x2 y   25 Trang 50 Toanthaycu.com Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc  E  sau cho z  lớn Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z   0i A  6;0 ; z  a  bi M  a ; b    E  ; z  5  0i C  5;0  Do đó, z  lớn MA lớn Dựa, vào hình vẽ ta thấy để MA lớn M  C  5;0   a  5; b   S  5 Câu 69: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z   z   10 z  lớn Tính S  a  b ? A S  3 B S  C S  5 D S  11 Lời giải Chọn C Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b    z   z   10   a    bi   a    bi  10  a  4  b2   a  4  b  10 * Xét F1  4;0  F2  4;0  Khi  *  MF1  MF2  10 c   b  a2  c2  Suy M thuộc Elip có  2a  10  a  Ta có: z   a  6  b  IM , I  6;  , suy max z   IA hay điểm M  A  5;0   z  5  0i  S  5 Câu 70: Cho số phức z thỏa mãn z  , M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A   z   z Giá trị biểu thức M  m A  B C  D Lời giải Trang 51 Chọn A Gọi z  x  yi với x , y  z   x  y   x  y   A  1 z  1 z   x  1  y  1  x   y   x  2  x Xét hàm số f  x    x  2  x với x   1;1 Hàm số f  x  liên tục đoạn  1;1 f   x   1 x  1 x    2x  2x 1  x  f   x     x   x   x     1;1  3 Khi f  1  ; f     ; f 1   5  3 Do M  max f  x   f     ; m  f  x   f 1  Suy M  m    1;1  1;1  5 Câu 71: Xét tập hợp S số phức z  x  yi  x, y   thỏa mãn điều kiện z  z  1  i   2i  Biểu thức Q  z  z   x  đạt giá trị lớn M đạt z0  x0  y0i ( z thay đổi tập S ) Tính giá trị T  M x0 y02 A T   B T  C T  D T   Lời giải Chọn D Ta có: z  z  1  i   2i   x  16 y  16  x  y   y   x Do đó, Q  z  z   x   y   x    x   x   f  x  ,  2  x   f  x  2x2  2x  ,  2  x    x2  x  1 f  x     x  1  x    2 ;  Mặt khác, f  2   0, f    0, f  1  3 Suy M  3 x0  1, y02  Vậy T  Câu 72: 9 (THPT Hậu Lộc 2019) Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn z   3i  z1  z2  Giá trị lớn z1  z2 A B C D  Trang 52 Toanthaycu.com Lời giải Chọn A Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1, z2  M , N  C : x   y   z1   3i  z2   3i       Do  nên   z1  z2   MN   2.2    22  Như MN đường kính đường trịn  C  với tâm I 3;  , bán kính R  , I trung điểm MN , OI  12 Ta có z1  z2  OM  ON  1  1  OM  ON    MN   2OI      Dấu "  " xảy OM  ON  MN đường kính  C  vng góc với OI Câu 73: (Chun Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   i  z1   7i  iz2   2i  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  z1  z2 A 2  B 1 C 2  Lời giải D 1 Chọn C Trên mặt phẳng Oxy , gọi M  a; b  điểm biểu diễn cho số phức z1 ; A  2;1 , B  4;7  điểm biểu cho số phức 2  i  7i  AB  Từ ta MA  MB   AB nên tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z1 đoạn thẳng AB nằm đường thẳng d : x  y   Đặt z3   z2 , Trang 53 iz2   2i   iz3   2i   z3   i  Gọi N  c; d  điểm biểu diễn cho z3 ; I  2;1 điểm biểu diễn cho số phức  i , IN  nên tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z3 đường tròn  C  :  x     y  1  2 z1  z2  z1  z3  MN Dễ thấy hình chiếu vng góc điểm I  2;1 đường thẳng  d  điểm K  0;3 thuộc đoạn AB suy MN  KH với H giao điểm IK với  C  thuộc đoạn IK Do MN  KH  d  I , AB   R  2  Vậy z1  z2  2  Câu 74: (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z, z1 , z2 thỏa mãn z1   5i  z2   z  4i  z   4i Tính z1  z2 A B P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ C 41 D Lời giải Chọn D Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 Suy A thuộc đường tròn  C1  tâm I1  4;5  , R  Gọi B điểm biểu diễn số phức z2 Suy B thuộc đường tròn  C2  tâm I 1;  , R  Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi Theo giả thiết z  4i  z   4i  x  y  Suy M thuộc đường thẳng  d  x  y   Gọi  C2 ' có tâm I '  4; 3 , R  đường tròn đối xứng với đường tròn  C2  tâm I 1;  , R2  qua đường thẳng d Gọi B ' điểm đối xứng với đối xứng với B qua đường thẳng d Ta có P  z  z1  z  z2  MA  MB  MA  MB '  AB '  I1 I ' R1  R2  Trang 54 Toanthaycu.com   Dấu = xảy A, B ', I1 , I ', M thẳng hàng Khi I1 A  I1I ' suy A  4;    I B '  I ' I1 suy B '  4; 2   B  2;0  AB  Vậy z1  z2  Câu 75: (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho số phức z  thỏa mãn   i  z  z    i Tìm giá trị lớn T     i A B C 2 D Lời giải Chọn A 2  i z  z   z  1 i  z     i  z   i   z  1   z  1 i  f t   z    z  1   z  1 2    z 2 z 2 z 2 t2 2t  4t t   f ' t   f ' t    t   t      2 5t  2t  t  t    Bảng biến thiên Ta có T     i  z   i   2 Câu 76: Cho số phức z gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z  8i  ( z1 có phần thực dương) Giá trị nhỏ biểu thức P  z  z1  z2  z  z  z1  z2 viết dạng m n  p q (trong n, p  ; m , q số nguyên tố) Tổng m  n  p  q A B C Lời giải D Chọn A z  8i   z1   2i z2  2  2i Trang 55 P  z  z1  z  z  z  z1  z2 z  z  z1  z  z2  z  z1   MA  MB  MC 2 Trong M , A  2; 2  , B  2;  , C  3; 3  điểm biểu diễn cho số phức z , z1 , z ,   2 z1  z2  3  3i Gọi H hình chiếu vng góc M OC Ta có MA  MB  HA  HB  MA  MB  MC  HA  HB  HC Do Pmin   MA  MB  MC   HA  HB  HC  M  H  M  OC : y  x Gỉa sử M  x; x   x   3;0    P  MA  MB  MC   x  3  2  x    P   2 Vậy Pmin x x 4  P   x     3;0   2      3       2     3        Suy m  , n  , p  , q   m  n  p  q  Câu 77: Trong số phức z thỏa mãn z   z gọi z1 z số phức có mơđun nhỏ lớn Giá trị biểu thức z1  z A B 2 C Lời giải D Chọn A Đặt z  a  bi ; a , b   z   a  b   abi  a  b  1  4a 2b ; z  a  b Ta có z   z   a  b  1  4a 2b   a  b    a  b   4a 2b   a  b     a  b     a  b   2a  6b   2   a  b    a  b    4 a Vì 4a  0, a   nên  a  b    a  b      2  a  b   2 Trang 56 Toanthaycu.com m   1  a2  b2      m  M   M   Suy a  a  M  1   2  a  b   2 b     a  a  m  1   2  a  b   2 b   Câu 78:    1 (Sở Nam Định - 2019) Xét số phức w , z thỏa mãn w  i  5w    i  z   Tìm giá trị lớn biểu thức P  z  2i  z   2i A B 53 D 13 C 58 Lời giải Chọn C Cách Ta có: 5w    i  z    5w  5i    i  z    5i  w  5i    i  z    5i  w  i  1  2i  z    2i   z   2i  z   2i  z   2i  Ta có:   2 z  z1  z  z1  z  z1 z  z1 z z    ; z, z (1) 2 ; z , z1 (2) Ta có: P  z  2i  z   2i  z   2i   z   2i  Áp dụng (1) (2), ta có: 2   z   2i   z   2i   z   2i  z   2i   z   2i   z   2i   z   2i    2  z  2i  z   2i   2 Vậy, ta có:  z  2i  z   2i     P   z   2i   Do  z   2i     z   2i  4i   nên P    z   2i    z  2i  z   2i   z   2i  2 2 2 2 4  z   2i  4i   9 Trang 57  P      232  P  58 Cách Ta có: 5w    i  z   thay w  i  5  z   2i  Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C  :  x     y    2 Gọi M   C  Ta có: P  z  2i  z   2i  AM  BM ; A  0;  , B  6; 2 Suy P   AM  BM  Gọi H trung điểm cạnh AB  AB  2 Ta có: P   AM  BM    2MH    MH  AB   Vậy, P  z  2i  z   2i đạt giá trị lớn MH đạt giá trị lớn Dựa vào hình vẽ sau Suy ra, MH đạt giá trị lớn M  M '  P  232  P  58 Câu 79: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  Tính giá trị lớn biểu thức 2 P  z1  z  z2  z3  z3  z1 A P  B P  10 C P  Lời giải D P  12 Chọn A Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  điểm biễu diễn số phức z1 ; z2 ; z3 Trang 58 Toanthaycu.com z1  z2  z3  suy A ; B ; C thuộc đường tròn tâm O bán kính Ta có z1  z2  AB ; z2  z3  BC z3  z1  AC 2 Suy P  z1  z  z2  z3  z3  z1  AB  BC  AC              AO  OB  BO  OC  AO  OC   OA.OB  OB.OC  OA.OC       OA  OB  OC   3OG   OG  ( với G trọng tâm tam giác ABC )             Dấu “ = “ xảy G  O , hay ABC Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  12 Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z   3i Giá trị M m bằng: B 24 A 28 C 26 D 20 Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi ; x; y   Xét z  z  z  z  12  x  y  Ta có: P  z   3i   x     y  3 Tập hợp điểm biểu diễn z  x  yi ; (1)  2 x; y   thỏa mãn (1) miền (tính biên) hình thoi ABCD với A  0;3 ; B  2;0  ; C  0; 3 ; D  2;0  tạo đường thẳng x  y  Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) đường tròn tâm I  4; 3 bán kính R  P  Trang 59 P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc cạnh CD: 3.4  2.3  x  y   tương ứng có m  2 2  12 Điểm giao xa đỉnh A  0;3 13 hình thoi Do M    13 2  M m  24 Trang 60 ...   9i   130 Vậy giá trị lớn w  130 Câu 10: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M  Số phức z   3i  số phức liên hợp có điểm biểu... điểm biểu diễn số phức z sau: Vậy phần ảo số phức z có mơ đun nhỏ  z   i  z   2i  z  1  i   z   1  2i   * Gọi M biểu diễn số phức z , điểm A 1;  1 biểu diễn số phức  i , điểm... diễn số phức z1 đoạn thẳng AB +) iz2   2i   iz2   2i i    z2   i  Gọi N điểm biểu diễn số phức  z I  2;1 điểm biểu diễn số phức  i Ta có IN  Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức