Chuyên đề cực trị số phức thầy Phạm Minh Tuấn ôn thi THPT Quốc gia

Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức. Chia sẻ tài liệu tính nhanh cực trị số phức, chuyên đề cực trị số phức ôn thi thpt quốc gia 2018

, , , , Cho số phức z thỏa mãn Cho số phức Cho số phức thỏa mãn thỏa mãn : , Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  z  Tính giá trị M.n A 13 B 39 C 3 D 13  Cách 1: Re( z ) phần thực số phức z, Im(z) phần ảo số phức z, z   z.z   Đặt t  z  , ta có:  z   z   z    t  0;     t    z   z   z.z  z  z   Re( z)  Re( z)  t2  2  z  z   z  z  z.z  z z   z  t   Xét hàm số: f  t   t  t  , t  0;  Xét TH:  Maxf  t   13 13 ; Minf  t    M n  4  Cách 2:  z  r  cos x  i sin x   a  bi  z.z  z   Do z    r  a  b   P   2cos x  2cos x  , đặt t  cos x   1;1  f  t    2t  2t   TH1: t   1;   2 maxf  t   f 1   f 't   20 1  2t minf  t   f    2   TH2: t   ;1 2  f 't     13    t    maxf  t   f      2t  8  Maxf  t   13 13 ; Minf  t    M n  4 Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  i Tính module số phức w  M  mi 2 A w  314 B w  1258 D w  309 C w  137  Cách 1:  P  4x  y   y  P  4x   z   4i    x  3   y    P  4x      x  3    4   f  x   2  f '  x    x  3   P  x  11   x  0,2P  1,6  y  0,1P  1,7  P  33  P  13  Thay vào f  x  ta được:  0, P  1,6  3   0,1P  1,7       2  Cách 2:  z   4i    x  3   y    :  C  2  () : x  y   P   Tìm P cho đường thẳng  v| đường tròn  C  có điểm chung  d  I ;    R  23  P  10  13  P  33  Vậy MaxP  33 ; MinP  13  w  33  13i  w  1258 Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   z  A Pmax  B Pmax  10  Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:  P  z 1  z 1  1  22  z  C Pmax   z 1  x, y  R  thỏa mãn module số phức w  m   x  y  i Bài 4: Cho số phức z  x  yi A w   Cách 1:  z   4i  z  2i  x  y   z  x y   x  y 2    10  z  1  42 2 2 z   4i  z  2i m  z Tính C w  B w  2 D Pmax  D w  x  y  x    w  2  4i  w  x  y y   z  2 , Dấu “=” xảy  Chú ý: Với x, y số thực ta có: x  y  2  x  y 2 Dấu “=” xảy x  y  Cách 2:  z   4i  z  2i  y   x  z  x2  y  x2    x    x  2   2 2 x  y  x    w  2  4i  w  x  y   z  2 Dấu “=” xảy  Bài 5: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  i   z  2i Tìm môđun nhỏ z A z  C z  B z   Cách 1:  z  i   z  2i  x  y   x2  y   x  y 2  1  2  z  x2  y  Chú ý: Với x, y số thực ta có: x  y   x  y 2  Cách 2:  z  i   z  2i  y  x   z  x  y  x   x  1 2  Vậy z  2 2 1 1   2 x      2 2  D z  Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M m giá trị lớn nhỏ biểu thức P  z  3z  z  z  z Tính M  m A B 13 C 4 D 15 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn  Cách 1:  Ta có z   z.z      Đặt t  z  z  0;   t  z  z z  z  z  z.z  z   z  z 2  z  3z  z  z z   z  t   t   1 3  P  t  t   t      2 4  Vậy minP  ; maxP   Cách 2:  P z  3z  z z t 2 Mn  15       z  z  z2   z  z  z  z  z   z  z  z  z   z  z  Đến đ}y c{c bạn tự tìm max Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn  2i  2i z   2i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   3i Tính M.m A) M.n  25 B) M.n  20 C) M.n  24 D) M.n  30  Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r Tính Min, Max z  z3 Ta có Max  z2 z r r  z3  ; Min    z3 z1 z1 z1 z1  Áp dụng Công thức với z1  Max  6; Min  Bài tập áp dụng:  2i  2i ; z2   2i , z3   3i; r  ta 1) Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M.m A) M.n  B) M.n  2) Cho số phức z thỏa mãn C) M.n  D) M.n   2i z   Gọi M m giá trị lớn 1 i giá trị nhỏ z  i Tính M.m A) M.n  B) M.n  C) M.n  z  i n1  i n với n i2 3) Cho số phức z thỏa mãn 10 D) M.n  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z   i Tính M.m A) M.n  20 B) M.n  15 C) M.n  24 D) M.n  30 Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi m  z M  max z , M.n bằng: B A C 3  Giải:  Dạng Tổng quát: z1z  z2  z1z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi  Ta có: Min z  k  z2 2 z1 Max z  k z1  Chứng minh công thức:  Ta có: k  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z  Max z  k Suy z1 k z1  Mặc khác:  z1z  z2  z1z  z2  k   ax  by  c    ay  bx  d   Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2   ax  by  c    ay  bx  d  2 k k     ax  by  c    ay  bx  d  2   ax  by  c    ay  bx  d  2 1    ax  by  c    ay  bx  d    ax  by  c    ay  bx  d    a  b  x  y    c  d  2 2 2 2   a2  b2 2 k  c  d2  Suy z  x  y    k  z2 2 z1  42  m      ADCT ta có: z1  1; z2  1; k    M     Bài 9: Cho số phức z thỏa mãn iz  2  iz   Gọi m  z 1 i i 1 M  max z , M.n bằng: B 2 A  ADCT Câu 12 ta có: z1  i ; z2  C m  2 ;k    1 i  M  Bài 10: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3  2  i Tính giá trị nhỏ 2 biểu thức P  z1  z2  z3 A Pmin  C Pmin  3 D Pmin  B Pmin   Giải: 2  Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3 z1 z2 z3  Mặc Khác: z1 z2 z3  D  i  z1 z2 z3   z1 z2 z3  2  Suy P  Dấu “=” xảy z1  z2  z3  z3 1 z   2i Bài 11: Cho số phức z  x  yi với x, y số thực không âm thỏa mãn 2 biểu thức P  z  z  i  z  z   z   i   z   i  Giá trị lớn giá trị nhỏ    P là: A 1 C B 1 D  Giải:  z3   z   z   2i  x  y  z   2i  x y  P  16 x y  xy , Đặt t  xy   t       2  1  P  16t  8t , t  0;   MaxP  0; MinP  1  4 Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z  Tính giá trị nhỏ biểu thức P   z   z2   z3 A Pmin  C Pmin  B Pmin  D Pmin   Giải:  Ta có: z    z     P   z   z2   z3   z  z  z2   z3   z  z  z2   z3  Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn B max z  A max z   Giải: 6z  i  Tìm giá trị lớn z  3iz C max z  D max z  2 6z  i   z  i   3iz  z  i   3iz  3iz  z  i   z  i     3iz    3iz    z  i   z  i     3iz    3iz   z.z  1  z   z 9 Bài 14: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức z   i Tính môđun số phức w  M  mi A C B D Dạng Toán:  z  c  di    Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  r   max z  c  di    b  d  c  a b  d  c  a 2 r r Chứng minh công thức: z  a  bi  r  cos x  i sin x   z  r cos x  a   r sin x  b  i  z  r cos x  a   b  r sin x  i P  r cos x  a   b  r sin x  i  c  di   r cos x  a  c    b  r sin x  d     2br  2dr  sin x   2cr  2ar  cos x  P   a  c    b  d   r 2  Điều kiện có nghiệm:   2 2  2br  2dr    2cr  2ar    P   a  c    b  d   r    2 2  4r  b  d    a  c     P   a  c    b  d   r       b  d  a  c  2r   P   P    P   P     2  r  2r b  d   a  c   a  c   b  d   r  2r b  d   a  c  b  d  a  c  b  d  a  c  Bài 15: Cho số thức z   P   a  c    b  d   r  2r  a  c   b  d  2 2 2  min P   max P  r  r * thỏa mãn z  b  d   a  c  2 2 b  d   a  c  b  d   a  c  2 r r 1  M  max z  Khẳng định sau z z đ}y đúng? A 1  M  B  M  C  M  D M  M  M   Giải: 3    1 1  1 1   z    z3    z    z3    z     z   z z z z z z      z3      1 1 1 1   z    3 z     z    3 z    z z z z z     3  1  1 1 3 z  Mặt khác:  z     z    z  z z z z    Suy ra: 1 z  z   , đặt t  z   , ta được: z z z  t  3t     t   t  1   t   z  2 M 2 z dựa v|o điều kiện OAB tam giác vuông cân O có độ dài AB  Dựng tam gi{c ABC phía mặt phẳng không chứa O Áp dụng hệ BĐT Ptoleme: P  OM  MA  MB  OM  MC  OC Đẳng thức xảy O, M, C thẳng hàng  OC  AB AB  3 3 2 Cách 2: Chuẩn hóa: Chọn z1  , z2  6i , z  x  yi P  x2  y   x  6  y  x2   y    xy  x  y  Ta có:  2  2   x    y  x   y    P xy   x  y  12    x  y  2  x  y  12    x  y  , đặt t  x  y  f  t   t   t  12   t2 f '  t    x    minP   Bài 43: Cho số phức z thỏa mãn z  i  Tìm giá trị lớn M  z   z   2i 13 5 A C B D  Giải: Ta có: P  Mặt khác:  x  2  y   x  2   y  2 2 bunhiacopxki  x   y  1  x2   y  1   x   y  1    P   2 2 Bài 44: Cho số phức z1 thỏa mãn z1   z1  i  số phức z2 thỏa mãn z2   i  Tìm giá trị nhỏ z1  z2 A C 5 5 D B  Giải: z1   z1  i    d  : x  y   2 z2   i    C  :  x     y  1   Tâm I  4;1 , bán kính R  z1  z2  d  I; d  R  4.2  1.1   5 Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn z  5  3 Gọi M  max z m  z , tính z môđun số phức w  M  mi C w  37 C w  10 D w  56 D w  62  Giải: Dạng: Cho số phức z thỏa mãn z  Min z  k  k  z1 , Max z  z1  k suy ra: z k  k  z1 Chứng minh: k  k  z1 k  k  z1 z1 z1 z k z   z  k z  z1    z z 2 z 47  3 3  47  w  37 , Max z  2 Áp dụng CT ta có: Min z  Bài tập áp dụng: 1) Cho số phức z thỏa mãn z  2  Gọi M  max z m  z , tính z môđun số phức w  M  mi A w  22 C w  10 B w  56 D w  62 2) Cho số phức z thỏa mãn z  4i  Gọi M m giá trị lớn z giá trị nhỏ z Tính M  n  ? A B C D 13 Bài 46: Cho số phức z thỏa mãn 2z   3i  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   z   2i A C  B D 2   Giải: Đặt w  2z   3i  w   a2  b2  2T  z   z   4i  w  3i   w   i   a  3   b  3 2 3  a  1   b   2  20  a  6b  3   a  2b  với a  b   1   20  6a  6b    2a  2b    1 , Suy T  Chú ý: Ở dòng  1 ta xét hàm với ẩn t  a  b Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z   z   i P  z   i  z   i đạt giá trị nhỏ nhất, tính môđun z A 34 C B D 10  Giải: z 1  z  i  x  y  P  z3i  z4i   x  3   y  1 2   x     y  1 2  x  x   x  14 x  25 với y   x Xét hàm số f  x   x  x   x  14 x  25 f '  x    x  Dựa vào biến thiên ta thấy minf  x   f   đạt z   i Suy z  10 Bài 48: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z  2i P  z  2i  z   2i đạt giá trị nhỏ Giả xử z  a  bi tính gi{ trị biểu thức T  a  b C A B 25 D C  Giải: z   2i  z  2i  x  y  P  z  i  z   2i  x   y     x  1    y    5y  y   y  12 y  với x  y  Xét hàm số f  y   y  y   y  12 y  50 f ' y   y  z 26  26  Dựa vào biến thiên ta thấy minf  y   f   đạt 25  25  27 26  i , Suy T  25 25 25 Bài 49: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   z2  3i  Gọi z số phức thỏa mãn z  z1  z  z2  Môđun nhỏ số phức z là: A B C 2 D 17 Bài 50: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2i  1, z2  4i  Gọi z số phức thỏa mãn z  z1  z  z2  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức z   i Tính M  m  ? 2 A C B D  Bài 51: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   i  2, z2   i  , z1  z2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z  z1  z  z2 A C B D Bài 52: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  và z1  z2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   z  z1  z  z2   z  z  z1   z  z  z2  A 36 C 36 B 50 D 50 Chuẩn hóa: z1  6, z2  6i , z  a  bi P a  6 2   b2 a2   b    a2  b2   a  6 2   b2  a2   b     Bài 53: Cho hai số phức z1 , z2 hai nghiệm phương trình  3i  iz  z   9i thỏa mãn z1  z2  Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z1  z2 Tính M  n  ? A 25 C 20 B 30 D 17  Giải Cách 1:  3i  iz  z   9i   x     y     Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z1 , z2 2 l| đường tròn tâm I  3;  , bán kính R  Gọi A, B l| điểm biểu diễn z1 , z2  z1  z2  OA  OB  AB Gọi M trung điểm AB  AB   IM  OA    Ta có z1  z2  OA  OB  OM  2OM     z z    z z   max   OI  IM   44  M  m  20 56   OI  IM   Cách 2:  3i  iz  z   9i   x     y     z   4i  2 Đặt w1  z1   4i , w2  z2   4i  w1  w2  2 2 Ta có: w1  w2  w1  w2  w1  w2   w1  w2  6 56   z1  z2   8i  z1  z2  6  8i  z1  z2   M  m  20  44   z  z   8i  6  8i  z  z  z  z  2  5 Bài 54: Cho số phức z thỏa mãn z   z  z  2i  Tìm giá trị nhỏ z  i A C  Giải: B D  z  2i  z   z  z  2i    z  2i  z  2i   z  z  2i     z  2i  z  b  Với z  2i   z  2i  z  i  Với b   z  i  x   Vậy z  i  Bài 55: Cho số phức z thỏa mãn z  z  25  z   4i Tìm giá trị nhỏ z A C B D  Giải: z  z  25  z   4i   z   4i  z   4i   z   4i  z   4i   z   4i  z    z   4i  Với z   4i   Min z  z r  4i   z3   0   z1 z1 Vậy z  Bài 56: Cho số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  biểu thức P  z   z   z   2017 đạt giá trị nhỏ Tính a  b  ? A C B D  Giải Đặt t  z   z       t   z  1 z    z  1 z   z  z    z   z   t   P  t  4t  2013   t    2009  2009   z 1  z 1  Dấu “=” xảy   z  1 z    Bài 57: Cho số phức z thỏa mãn z  8i z i  z  2i Tìm giá trị nhỏ z  i A 13 20  Giải: B z  8i z i  z  2i   z  2i   z   i z i z i C 2 D 1   z  2i  z  2i   z  2i  z  i    z i   Với z   i   Min z  i  z r   z3   z1 z1 i i  2  1  z  i   Bài 58: Cho số phức z thỏa mãn z   z giá trị lớn z   2i ab  a, b   Tính a  b  ? A C B D  Giải:   z   z   x    y  x  y   x  1  y   z   2 z   2i max  z2 r 1  z3      2i     2  a  b  z1 1 z1 Bài 59: Cho số phức z thỏa mãn z  biểu thức  a, b   với  4i a giá trị nhỏ z5 b a phân số tối giản Tính a  b  ? b A C 15 B 16 D  Giải Ta có z   z   4i 5     a  b  16 z5 z  z  11 Bài 60: Cho số phức z thỏa mãn z.z  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z  z  z  1 Tính môđun số phức w  M  mi z A 43 C 17 B 17 D 73 Ta có: z   z.z  Đặt t    z   t  z   t  0; 2 z  z  1 z  1 z  z  z   z  z t    z  z  t2       z  z  z z3  z  z 2  z  z.z.z  3z  z z  z   t    t   1 3 P  t  t   t      2 4 P  đạt t  , maxP  đạt t  3 17 Vậy  i  4 Bài 61: Cho số phức z1 z2 thỏa mãn z1   iz2   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z1  z2 A  C  B  D  Bài 62: Cho số phức z thỏa mãn z số thực w  giá trị lớn biểu thức P  z   i C 2 A 2 B z số thực Tìm  z2 D Bài 63: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z  4i z5 A 41 410 C 41 41 B 41 41 D 41 410 Bài 64: Cho số phức z thỏa mãn z  3i  zi   10 Hai số phức z1 , z2 có môđun nhỏ Tính z1z2 A 25 C 16 B 16 D 25 z  3i  zi   10  x   y     y  3 2  x  10 2  x2 y    y    x   10  x   y      1 16 25   Quỹ tích biễn diễn z  E  : x2 y   có hai đỉnh thuộc trục nhỏ A  4;  16 25 A '  4;  Vì  E   C  tâm O nên OMmin  M thuộc trục nhỏ hay M trùng A, M trùng A’ suy z1  4 , z2   z1z2  16 Bài 65: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Tìm giá trị nhỏ z  2i A B C D 2 Dạng toán: z  z1  Tìm giá trị nhỏ z  z12  z  z12   z1 2 Chứng minh: z  r1  cos t1  i sin t1  , z2  r2  cos t2  i sin t2  z  z1    r1 cos t1  r2 cos t2    r1 sin t1  r2 sin t2    cos t1  t2   z  z12  r12  cos 2t1  i sin 2t1   r22  cos 2t  i sin 2t   r12  r22 2r1r2  r cos 2t1  r22 cos 2t2   r 2 sin 2t1  r22 sin 2t2   r14  r24  2r12 r22 2 cos  t1  t2   1   2r     r  r 2  4 2 4 2  r1  r2  2r1 r2     1  2r1  2r2   2r1  2r2    2r1r2     Áp dụng CT ta z  2i  2   z1 2 2 Bài 66: Cho số phức z thỏa mãn z.z  Tìm giá trị lớn P  z  z  z  z  z A 37 C 38 B 21 D 39 z 2   z.z   z    x  y   x     2;   z  z    4;    2           z  z  z  z  z.z.z  z  z z  z   z  z  3zz z  z   z  z  24 z  z       P  z  z  23 z  z  2, t  z  z  f  t   2t  23t   maxf  t   f    38 Bài 67: Cho số phức z thỏa mãn z.z  25 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P    2i  z  z Tính M  m A 250 C 250 B 6250 D 625 Bài 68: Cho hai số phức z1 , z2 nghiệm phương trình z  kz  k   (k tham số) Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2  Tính môđun số phức w  M  mi z  z22   z1 z2  1 A 3 C B D 5  Giải: z  z  k 2k  P Theo viet:  k 2  z1 z2  k  2  k    k  1 k  1  P   1 1  k2  k 2 Cách 1:  1 k  2  k2   k  2   1 2    P  2 k 2 k 2   Cách 2: P     2k   Pk  k  P   k 2 Đề PT có nghiệm  '    P  P  1     P1   z1  z2  z3  Câu 69: Cho hai số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn  Tính giá trị lớn z  z  z    biểu thức P  z1  z2  z2  z3  z3  z1 A P  C P  D P  B P  Câu 70: Cho hai số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  Tính giá trị lớn biểu thức P  z1  z2 z2  z3  z3  z1 z1  z2  z2  z3 z3  z1 C P  A P  D P  16 B P   Giải: Đặt a  z1  z2 , b  z2  z3 , c  z3  z1  2 Ta có: a2  b2  c  z1  z2  z3  z  z  z 2   z1  z2  z3 2 Lại có: P  ab  bc  ca  a  b  c   z1  z2  z3   z  z2  z3  Dấu “=” xảy   z1  z2  z3  Bài 71: Cho số phức z thỏa mãn z.z  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z  z  z  z  A 17 B 13  t  z Tính môđun số phức w  M  mi z C 17 D  t  0;  z   1 1 1  t   z   z     z  z    z   z   t  z  z z z z z   z  z  3z  z  z.z  3z  z   P  t2  t   z  3z  z z    t  z z  Vậy max P  , P  Bài 72: Cho số phức u, v, w, z thỏa mãn u  , v  w  v u  z  u.z  tìm giá trị lớn z A B C  Giải Ta có: D Biết w  , w 1 v u  z  u.z  2  2     u  u z  z 1  z 1 u 1       u  z  u.z    u  z  u  z  u.z  u.z  Vì u  nên z    z   ... M m giá trị lớn nhỏ biểu thức P  z  3z  z  z  z Tính M  m A B 13 C 4 D 15 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn  Cách 1:  Ta có z   z.z      Đặt t  z  z  0;   t  z  z z  z  z ...  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi  Ta có: Min z  k  z2 2 z1 Max z  k z1  Chứng minh công thức:  Ta có: k  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z  Max z  k Suy... mãn z  a  bi  r   max z  c  di    b  d  c  a b  d  c  a 2 r r Chứng minh công thức: z  a  bi  r  cos x  i sin x   z  r cos x  a   r sin x  b  i  z  r