CHUYÊN đề cực TRỊ số PHỨC

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC 1. MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA Ví dụ 1: THPT Nguyễn Khuyến Xét số phức z thỏa mãn 2 1 3 2 2. z z i     Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z  2 . B.  1 2 z . C.   1 3 2 2 z . D.   3 2 2 z . HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1. Chọn z i  . Cách 2. 2 2 2 1 3 2 1           z z i z z i z i         2 1 z z i z i           2 1 2 2 2 2 i z i z i . Dấu  xảy ra khi z i   0 hay z i     z i 1. . PMT 2 Ví dụ 2: THPT Kim LiênHN 2017 Cho số phức z thỏa mãn z i    2 3 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z i  1 . A. 6 . B. 13 1  . C. 13 2  . D. 4 . HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt w z i   1 . Ta có z i z i z i            2 3 1 2 3 1 2 3 1       z i i 1 3 2 1 .     w i 3 2 1. Ta có: 1 3 2 3 2 1 13          w i w i w   .      Max z i 1 1 13 . Ví dụ 3: THPT Hùng VươngPT Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z    1 1  . Đặt m z  , tìm giá trị lớn nhất của m. A. 1. B. 2 . C. 2 1  . D. 2 1  . HƯỚNG DẪN GIẢI . Đặt z x iy   với x y,  . Ta có z i z z i z        1 1 1 1 .   .          2 2 2 2 x y x y 1 2      2 2 x y x2 1 0 .  tập các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I1;0 và bán kính R  2 . O x y 1 x M2 I PMT 3       2 Max z OM OI R 1 2 . Ví dụ 4: THPT chuyên Phan Bội Châu Cho số phức z thỏa mãn z i    2 3 1 . Giá trị lớn nhất của z i  1 là. A. 4 . B. 13 1  . C. 13 2  . D. 6 . HƯỚNG DẪN GIẢI . Gọi z x yi   ta có z i x yi i x y i           2 3 2 3 2 3   . Theo giả thiết         2 2 x y 2 3 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I 2; 3 bán kính R  1 . Ta có                     2 2 z i x yi i x y i x y 1 1 1 1 1 1 . Gọi M x y  ;  và H 1;1 thì         2 2 HM x y 1 1 . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. Phương trình        2 3 : 3 2 x t HI y t , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:      2 2 1 9 4 1 13 t t t nên                 3 2 3 2 2 ; 3 , 2 ; 3 13 13 13 13 M M . Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM   13 1. Ví dụ 5: TT Hiếu Học Minh Châu Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và   2 2 z w z là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z i   1 là. M1 I H M2 PMT 4 A. 2 2 . B. 2 2 . C. 8 . D. 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1. Xét z  0 suy ra   1 2 z w z . Gọi z a bi b    , 0 . Suy ra                     2 2 2 2 1 2 2 2 1 a z a b i w z a b a b . Vì  1 w nên                 2 2 2 2 2 0 1 0 2 b b a b a b . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy là đường tròn     2 2 C x y : 2 . Xét điểm A1;1 là điểm biểu diễn số phức    0 z i 1 suy ra P MA P OA r      max 2 2 . Với r là bán kính đường tròn     2 2 C x y : 2 . Cách 2.              2 2 2 1 2 2 0 2 z w w z z z z z w .  là phương trình bậc hai với hệ số thực        1 w . Vì z thỏa  nên z là nghiệm phương trình  . Gọi 1 2 z z, là hai nghiệm của  suy ra        1 2 1 2 1 2 z z z z z z z . 2 . 2 2 2 . Suy ra P z i z i          1 1 2 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi z i

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA Ví dụ 1: [THPT Nguyễn Khuyến] Xét số phức z thỏa mãn 2 z z i     Mệnh đề đúng? A z  B  z C  13 22 z D  2 z HƯỚNG DẪN GIẢI Cách Chọn zi Cách 2221321zzizzizi21zzizi 212222izizi Dấu ""  xảy zi0 hay z i     z i PMT Ví dụ 2: [THPT Kim Liên-HN - 2017] Cho số phức z thỏa mãn zi231 Tìm giá trị lớn z i  1 A B 13  C 13  D HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt w z i   1 Ta có zizizi231231231zii1321     w i Ta có: 3 13          w i w i w        Max z i 1 13 Ví dụ 3: [THPT Hùng Vương-PT ] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z    1  Đặt mz , tìm giá trị lớn m A B C  D 21 HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt z x iy   với x y,  Ta có zizziz1111.  2 2 x y x y      2 x y x2  tập điểm biểu diễn z đường tròn tâm I1;0 bán kính R2 Ox y x M2 I PMT       Max z OM OI R Ví dụ 4: [THPT chuyên Phan Bội Châu] Cho số phức z thỏa mãn zi231 Giá trị lớn z i  1 A B 13  C 13  D HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi z x yi   ta có z i x yi i x y i           3   Theo giả thiết  22 xy231 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I 2; 3 bán kính R1 Ta có  2 z i x yi i x y i x y 1 1 1 Gọi Mxy; H 1;1  2 HM x y 1 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn Phương trình   23 : 32 xt HI yt , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: 221 941 13 ttt nên   32322;3,2;3 13 13 13 13 MM Tính độ dài MH ta lấy kết HM   13 Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức z thỏa mãn z số thực   2 z w z số thực Giá trị lớn biểu thức P z i   1 M1 I H M2 PMT A 2 B 2 C D HƯỚNG DẪN GIẢI Cách Xét z0 suy  12 z wz Gọi z a bi b    , Suy  2222 12221 a zabi wzabab Vì  w nên    2222 20 10 b b abab Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy đường tròn 22Cxy:2 Xét điểm A1;1 điểm biểu diễn số phức 0 zi1 suy P MA P OA r      max 2 Với r bán kính đường tròn 22Cxy:2 Cách   22 220* z wwzzzz zw * phương trình bậc hai với hệ số thực   w Vì z thỏa * nên z nghiệm phương trình * Gọi z z, hai nghiệm * suy 121212zzzzzzz.2.222 Suy Pzizi112222 Dấu xảy zi ... Tính độ dài MH ta lấy kết HM   13 Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức z thỏa mãn z số thực   2 z w z số thực Giá trị lớn biểu thức P z i   1 M1 I H M2 PMT A 2 B 2 C D HƯỚNG DẪN... kính R2 Ox y x M2 I PMT       Max z OM OI R Ví dụ 4: [THPT chuyên Phan Bội Châu] Cho số phức z thỏa mãn zi231 Giá trị lớn z i  1 A B 13  C 13  D HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi z x yi ...  2222 20 10 b b abab Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy đường tròn 22Cxy:2 Xét điểm A1;1 điểm biểu diễn số phức 0 zi1 suy P MA P OA r      max 2 Với r bán