Dang 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần(TH)

Câu �x  � I � ln xdx � � x � � [2D3-1.3-2] (Trần Đại Nghĩa) Giá trị 2 x x x2 x2 2 I  ln x  ln x   c I   ln x  ln x   c 4 A B C I  ln x  x2 x2 ln x   c D I ln x x x2  ln x   c 2 Lời giải Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh Chọn B �x  � ln x I � ln x dx  � x ln x dx  � dx � � x � x � Ta có +) � x ln x dx  x2 x2 x2 x2 ln x  � dx  ln x   c1 2 x ln x ln x � dx  � ln x d  ln x    c2 +) x Vậy Câu I   ln x  x2 x2 ln x   c [2D3-1.3-2] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Họ nguyên hàm f  x   x   sin x  hàm số x x2  x sin x  cos x  C  x cos x  sin x  C A B x2  x cos x  sin x  C C x2  x sin x  cos x  C D Lời giải Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm Chọn B Ta có: = Câu f  x  dx  � x   sin x  dx  � xdx  � x.sin xdx  � xdx  � xd  cos x  �   x2 x2  x cos x  � cos xdx =  x cos x  sin x  C 2 [2D3-1.3-2] (Lý Nhân Tông) Một nguyên ( x  a ) cos x ( x  2) sin 3xdx    sin x  2017 � b c tổng S  a  b  c A S  B S  15 C S  10 D S  14 Lời giải Chọn D � du = dx � � u = x � � �� � � � dv = sin 3x dx v =- cos 3x � � � Đặt: hàm 1 1 cos x dx    x   cos 3x  sin x  C  x   sin 3xdx    x   cos 3x  � � 3 Do  x   sin 3xdx   �  x  a  cos 3x  sin 3x  2017 b c Theo Do ta suy ra: a  2, b  3, c  Suy : S  a  b  c  14 Câu f ( x)  x  x  cos x  [2D3-1.3-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Họ nguyên hàm hàm số : cos x cos x x3  x sin 3x  C x3  x sin 3x  C 3 A B C x  x sin 3x  cos x  C D Lời giải x3  x sin 3x  cos x C Chọn B I � x( x  cos 3x) dx  � x dx  � 3x cos 3xdx  3x  3x cos 3x  dx  � I1  � x dx  x  C1 Tính I2  � x cos xdx du  3dx � u  3x � � �� � dv  cos xdx � v  sin x � � Đặt I  x sin 3x  � sin xdx  x sin x  cos x  C2 Vậy Câu I � 3x ( x  cos 3x )dx x  x sin 3x  cos 3x C [2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần F  x   mx3   3m  n  x  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  10 x  Tính mn A mn  B mn  C mn  1) Biết hàm số D mn  Lời giải Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886 Chọn B Vì F  x nguyên hàm hàm số f  x nên F�  x   f  x  , x �� � 3m  m 1 � �� ��  3m  n   10 � 3mx   3m  n  x   x  10 x  4, x �� � �n  Vậy m.n  Câu [2D3-1.3-2] (Hải Hậu Lần1) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x   2sin x  là: A x   x   s inx  C B x  x cos x  2sin x  C x  x cos x  2sin x  C D Lời giải Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ x  x cos x  2sin x  C C Chọn D x   2sin x  dx  � x dx  � x sin x dx � x dx  � Có: x C   I � x sin x dx   � x d  cos x    x cos x  � cos x dx  2 x cos x  2sin x  C x   2sin x  dx  x � Vậy  x cos x  2sin x  C Câu [2D3-1.3-2] (Sở Quảng NamT) Biết hữu tỉ Tính P  a  b  c A P  B P  x ln  x �  1 dx  a ln  b ln  c với a , b , c số C P  D P  Lời giải Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga Chọn B t  x  � dt  xdx � xdx  dt Đặt Đổi cận: x  � t  ; x  � t  �I � x ln  x  1 dx  Đặt � u  ln t du  dt � � �� t � dv  dt � � vt � �I  ln tdt 2� 5 � 1� dt �  t ln t   � � 2 � 2�  5ln  2ln  3  ln  ln  2 � a  ; b  1; c   2 Vậy P  hoansp@gmail.com buivandacc3yp1@bacninh.edu.vn  Câu [2D3-1.3-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Nguyên hàm hàm số x2  f  x  ln x x A C ln x  ln x  x2 x2 ln x   C x2 x2 ln x   C 2 B ln x  x2 x2 ln x   C ln x x x2  ln x   C D Lời giải Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai Chọn B x2  2 I � ln x dx  � x ln x dx  �ln x dx x x Đặt � du  dx � u  ln x � � x �� � dv  x dx � x � v I1  � x ln x dx �  Đặt x2 x2 x2 x2 I1  ln x  � dx  ln x   C1 2 x Khi I  �ln x dx t  ln x � dt  dx � I  t dt  t  C  ln x  C 2 � x x  Đặt x2 x2 I  I1  I  ln x  ln x   C Vậy Câu [2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam f  x   x  xe x Định Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số x   x  1 e x  C x   x  1 e x  C 5 A B x  xe x  C C D x   x  1 e x  C Lời giải Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Minh Thúy Chọn B x Ta có: �  xe x  dx  � x dx  � xe x dx x dx= x � +) +) Đặt  C1 ux du  dx � � �� x � x dv  e dx � ve � xe dx  xe  � e dx  xe Suy ra: � x x � Vậy x  xe x  dx  x x  e x  C2   x  1 e x  C2 x   x  1 e x  C Câu 10 [2D3-1.3-2] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm nguyên hàm F    A F  x  2x 2 ln ln F  x  1 B x C D F  x F  x   2x  F  x  hàm số 2x 2 ln ln f  x   2x , biết Lời giải Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung Chọn D 2x F  x  C C  2 F    ln ln Ta có: Từ suy Vậy F  x  2x 2 ln ln Câu 11 [2D3-1.3-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Họ nguyên hàm f  x    x  1 e x hàm số x  x  3 e  C  x  3 e x  C A B  x  1 e x  C  x  1 e x  C C D Lời giải Tác giả: Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu Chọn A Gọi I �  x  1 e x dx u  2x  � du  2dx � � � � dv  e x dx � v  ex Đặt � � I   x  1 e x  2� e x dx   x  1 e x  2e x  C   x  3 e x  C Câu 12 [2D3-1.3-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG x   e2 x  d x nguyên hàm � x2 x x  x.e  e  C A 2 HƯNG YÊN NĂM 2019) Tìm họ x2  x.e x  e x  C B x2 x x  x.e  e  C C 2 x2  x.e x  e x  C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thủy Chi ; Fb:Nguyen Chi Chọn C Đặt du  dx � ux � � � �� � dv    e x  dx � v  x  e2 x � � Suy ra: � � 2x � � dx � �x  e � � � � 2x � �x e  x �x  e x �  C � � � x   e  dx  x �x  e � � 2x  2x x x x e2 x  e   C 2 Câu 13 [2D3-1.3-2] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   e2 x 1 f  x  dx  e � A C f  x  dx  2e � x 1 x 1 C C f  x  dx  e B � D x 1 f  x  dx  e � C x2  x C Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin Chọn A f  x  dx  � e � Ta có x 1 dx  x 1 e d  x  1  e x 1  C � 2 Câu 14 [2D3-1.3-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho hàm số x � f  0, f x      f  x x  Họ nguyên hàm hàm số g  x   x f  x  thỏa mãn x ln  x  1  x  x2  1 ln  x2   x2  C A B C x  1 ln  x  1  x  C D Lời giải x  1 ln  x  1  x Tác giả: Lê hữu Đức; Fb: Le Huu Duc Chọn C x f  x   �2 dx  ln  x  1  C � x 1 Ta có Vì f  0  nên C�  � f  x  ln  x  1 �� g  x  dx  � x.ln  x  1 dx 2x � � du  dx u  ln  x  1 � � �� x 1 � dv  x.dx � � v  x2  � Đặt Nên g  x  dx   x �  1 ln  x  1  � xdx   x  1 ln  x  1  x  C f  x   x.e x Câu 15 [2D3-1.3-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Họ nguyên hàm hàm số � 1� F  x   e x �x  � C F  x   e2 x  x    C � 2� A B C F  x   2e 2x  x  2  C � 1� F  x   2e2 x �x  � C � 2� D Lời giải Chọn A �du  dx � ux � � � 2x � 2x v e �dv  e dx � � Đặt F  x   x.e2 x  2x 1 � 1� e dx  x.e x  e x  C  e x �x  � C � 2 � 2� Câu 16 [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 14) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x ln x x  ln x  ln x  1  C A B x  ln x  ln x  1  C x  ln x  ln x  1  C C D x  ln x  ln x  1  C Lời giải Tác giả: Hồ Liên Phượng; Fb: Ho Lien Phuong Chọn B � du  ln x dx � � u  ln x � x �� � dv  xdx x � � v � Đặt: x2 I� x ln xdx  ln x  � x ln x dx Ta có: � du1  dx � u  ln x �1 � x �� � dv1  xdx x x2 x2 x2 � � v  � J  ln x  xdx  ln x   C� J � x ln x dx �1 2 2� Xét , đặt �I  x2 x2 x2 x2 ln x  ln x   C   ln x  ln x  1  C 2 4 f  x   x  e3 x  1 Câu 17 [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Họ nguyên hàm hàm số là: 2 x x  3x  1 e3 x   C  3x  1 e3 x   C 2 A B x2 3x  3x  1 e   C C x2 3x  3x  1 e   C D Lời giải Tác giả: ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc Chọn C du  dx � ux � � � � � 3x � 3x d v  e  d x v e x   � � � Đặt �1 x � x  e3 x  1 dx  xe3 x  x  � dx � e  x� � �3 � Khi  1 x2 x2 3x 3x xe  x  � e dx  � xdx  xe3 x  x  e3 x   C   x  1 e3 x   C 3 9 Câu 18 [2D3-1.3-2] (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x  1 x  x  cos x   C A x  x cos x  sin x  C B C x  x cos x  sin x  C D x  x cos x  sin x  C Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Nguyễn Lan Chọn A u  2x � du  2dx � �� � dv   sin x  1 dx � v   cos x  x Đặt � Ta có x  sin x  1 dx 2 x   cos x  x   �   cos x  x  dx  2 x.cos x  x �  2sin x  x  C  x  x.cos x  sin x  C (C số) Câu 19 [2D3-1.3-2] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Họ nguyên hàm f  x   x e x  sin x hàm số x  x  1 e  x cos x  sin x  C  x  1 e x  x cos x  sin x  C A B  x  1 e x  x cos x  sin x  C  x  1 e x  x cos x  sin x  C C D   Lời giải Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu Chọn A ux � du  dx � � � x � dv   e  sin x  dx v  e x  cos x �� Đặt � f  x  dx  x e x  cos x  � e x  cos x dx  x e x  cos x  e x  sin x  C �      x  1 e x  x cos x  sin x  C   Câu 20 [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho biết x f ( x)   a  F ( x)  x  2x  x nguyên hàm Tìm nguyên hàm g ( x)  x cos ax 1 x sin x  cos x  C A x sin x  cos x  C B 1 x sin x  cos x  C C x sin x  cos x  C D x2 Lời giải Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb: Nhung trần thị Kim Chọn C  x2  a f ( x)  F ( x)  x  x  x2 x nguyên hàm Do: Với x �0 ta có:  nên x  1 x2  a     x  a F '( x)  f ( x) � x    �  , x �0 x x2 x2 x2 � a  � g  x   x.cos x Ta có: A g ( x )dx  � x cos xdx  � xd(sin x)  x sin x  � sin x dx  x sin x  cos x  C � Câu 21 [2D3-1.3-2] (Hàm Rồng ) Biết tỉ Tính ab ? ab   B ab  x cos x dx  ax sin x  b cos x  C � C ab  với a , b số hữu D ab   Lời giải Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai Chọn B du  d x � � ux � �� � v  sin x � dv  cos x dx � Đặt � �� x cos x dx  1 1 x sin x  � sin xdx  x sin x  cos x  C 2 1 � a  ; b  � ab  f  x Câu 22 [2D3-1.3-2] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f�  x   xe x  f    Khi f  1 A e + B C e + , biết D Lời giải Tác giả: Võ Hữu Thường Kiệt; Fb: Kiệt Võ Chọn D Ta có Đặt f  x  � f� x.e x dx  � dx  I1  x  C  x  dx  �  x.e x  1 dx  � với I1  � x.e xdx ux du  dx � � � � x � I1  xe x  � e xdx  xe x  e x  C � x dv  e d x � ve � � f  x   I1  x  C  xe x  e x  x  C f    � C  � f  x   xe x  e x  x  � f  1  Câu 23 [2D3-1.3-2] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x là: 1 x  cos x  C x  cos x  C 2 2 A B x  cos x  C C D x  cos x  C Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Ngọc; Fb: Van Ngoc Nguyen Chọn C (2 x  sin x) dx  x �  cos2 x  C Có Câu 24 [2D3-1.3-2] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Tính x F  x  � xe dx A C Chọn kết x F  x    x  3 e  C F  x  x F  x    x  3 e  C B x x 3 e C F  x  D x x3 e C Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang Chọn A x x Đặt u  x � du  dx dv  e dx � v  3e x Ta có x x x x F  x   xe  � 3e dx  3xe  9e  C   x  3 e  C Câu 25 [2D3-1.3-2] ( Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm hàm số y  3x( x  cos x) là: 3 A x  3( x sin x  cos x)  c B x  3( x sin x  cos x)  c C x  3( x sin x  cos x)  c D x  3( x sin x  cos x)  c Lời giải Tác giả: Phan Văn Trình ; Fb: Tốn Vitamin Chọn A I � x( x  cos x) dx  � (3 x  x cos x) dx  � x dx  3� x cos xdx Đặt I1  � 3x dx  x  C1 ux � �du  dx �� � v  sin x �dv  cos xdx � ; I2  � x cos x dx I2  � x cos xdx  x sin x  � sin x d x  x sin x  cos x  C2 I  I1  3I  x  x sin x  3cos x  C  x  3( x sin x  cos x)  C 3 F  x  x ln x x  a b Câu 26 [2D3-1.3-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho f  x   x ln x nguyên hàm hàm số , a, b số thực Giá trị 3a  b A B C D Lời giải Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân Chọn C Ta có: F  x  � f  x  dx  � x ln x dx � u  ln x � du  dx � � x � x � dv  x dx � v  Đặt � F  x  Khi đó: x2 x x2 x2 ln x  �dx  ln x   C 2 � a  2; b  Vậy 3a  b  Câu 27 [2D3-1.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x   e3 x  1 x  e3 x  3x  1  C x  e x  x  1  C 9 A B 1 x  e x  x  1  C x  e3 x  x  1  C C D Lời giải Tác giả:Đặng Quang; Fb: Dang Quang Chọn D f  x  dx  � x   e  dx  � xdx  � xe � 3x 3x dx  x  K với K � xe3 x dx du  dx � ux � � � � 3x � 1 1 v  e � K  xe3 x  �e3 x dx  xe3 x  e3 x  C dv  e3 x dx � � � 3 3 Đặt f  x  dx  x � Vậy  e3 x  3x  1  C F  x  �  x2  x  1 e x dx Câu 28 [2D3-1.3-2] (THTT số 3) Tìm họ nguyên hàm x F  x  x  e  C F  x  x  x  ex  C A B  F  x   x C   3x   e x  C  F  x   x D   3x   e x  C Lời giải Tác giả: Nguyễn Đức Quy ; Fb: Nguyễn Đức Quy Chọn D Ta có: f  x  F ' x  � '   x  3 e x   x  3x   e x   x  x  1 e x  x  3x   e x � � � F ( x)   Câu 29 [2D3-1.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho f ( x) x Tìm nguyên hàm hàm số f '( x) ln x ln x f '( x) ln xdx    C � x 5x A B x nguyên hàm hàm số f '( x) ln xdx   � ln x  C x3 3x �f '( x) ln xdx  C ln x  C x3 3x3 ln x  C x3 x5 f '( x) ln xdx  � D Lời giải Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc Phản biện: Nguyễn HoàngĐiệp; Fb:Điệp Nguyễn Chọn C � f  x 1 �  F�  x  � � � � f  x   x Do �3 x � x Ta có x � u  ln x d u  dx � � � � x � 3 � � d v  dx � � v x4 � � x Đặt 3 3 f '( x ) ln xdx  � ln xdx � x ln x ln x  �4 dx   C x x x 3x � ln xdx  Suy x Câu 30 [2D3-1.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) y  e x sin x Họ nguyên hàm hàm số x e cos x  e x sin x  C A x e cos x  e x sin x  C C Cho hàm số 1  e x cos x  e x sin x  C B 1  e x cos x  e x sin x  C D Lời giải Chọn D Phương pháp: Áp dụng phương pháp nguyên hàm phần Đặt I � e x sin x dx � � u  ex du  e x d x �� � x e x cos x dx dv  sin x dx v   cos x � I  e cos x  � � � Đặt � � u1  e x du1  e x dx � � � dv1  cos x dx v1  sin x � Đặt � � I  e x cos x  e x sin x  � e x sin x dx  e x cos x  e x sin x  C1  I x x C  C1 � I  e x cos x  e x sin x  C1 � I   e cos x  e sin x  C ) (với f  x    x  3 ln x Câu 31 [2D3-1.3-2] (Sở Hà Nam) Họ nguyên hàm hàm số 2  x2  3x  ln x  x2  3x  C  x2  3x  ln x  x2  3x  C A B C  x2  3x  ln x  x2  3x  C D  x  3x  ln x  x2  3x  C Lời giải Tác giả: Lê Ngọc Hùng; Fb: Hung Le Chọn B � u  ln x du  dx � � �� x � dv  x  dx   � � I �  x  3 ln xdx Đặt v  x  3x � Ta có: Khi I   x  3x  ln x  �  x  3 dx   x  3x  ln x  x2  3x  C f ( x) = Câu 32 [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất nguyên hàm hàm số ( 0;p)  x cot x  ln  sin x   C x cot x  ln sin x  C A B x cot x  ln sin x  C  x cot x  ln  sin x   C C D Lời giải x sin x khoảng Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu Chọn A � u=x � du = dx � � � �� � x � v =- cot x dv = dx � F ( x ) = � dx � � sin x � sin x Gọi Đặt x cos x F ( x) = � dx =- x cot x + � dx sin x sin x Khi đó: d ( sin x ) =- x cot x + � =- x cot x + ln sin x + C sin x Vì x �( 0; p) Vậy: ln sin x = ln ( sin x ) nên sin x > , suy F ( x ) =- x cot x + ln ( sin x ) + C Phân tích bình luận: Bài tốn sử dụng nguyên hàm phần dạng đặc biệt kết hợp đa thức lượng giác: x x 2 �sin x dx; �cos2 xdx; �x tan xdx; �x cot xdx xét dấu hàm lượng giác Câu 33 [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất nguyên hàm hàm số � p� � � 0; � � � � � �là A F ( x) = x tan x + ln ( cos x ) + C C F ( x ) = x tan x - ln ( cos x ) + C B f ( x) = x cos x khoảng F ( x ) =- x tan x + ln ( cos x ) + C F ( x) = x tan x - ln cos x + C D Lời giải Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu Chọn A u=x � � � du = dx � � � � � x � v = tan x dv = dx � F ( x ) = � dx � � � cos x cos x Gọi Đặt x F ( x) = � dx = x tan x cos x Khi đó: sin x �cos xdx d ( cos x) = x tan x + � = x tan x + ln cos x + C cos x � p� x �� 0; � � � � � ln cos x = ln ( cos x ) � � Vì nên cos x > , suy Vậy: F ( x) = x tan x + ln ( cos x ) + C  ... x  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  10 x  Tính mn A mn  B mn  C mn  1) Biết hàm số D mn  Lời giải Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886 Chọn B Vì F  x nguyên hàm hàm số f... nguyên hàm hàm số x e cos x  e x sin x  C A x e cos x  e x sin x  C C Cho hàm số 1  e x cos x  e x sin x  C B 1  e x cos x  e x sin x  C D Lời giải Chọn D Phương pháp: Áp dụng phương. .. [2D3-1.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho f ( x) x Tìm nguyên hàm hàm số f ''( x) ln x ln x f ''( x) ln xdx    C � x 5x A B x nguyên hàm hàm số f ''( x) ln xdx   � ln x  C x3 3x �f ''( x)