Dang 3. Phương pháp đặt ẩn phụ(VDT

Câu [2D2-5.3-3] (Đồn Thượng) Phương trình x1 + x2 = A 4x − m.2x+ + 2m = có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn m= B m = C m = D m = Lời giải Tác giả: Bùi Anh Dũng Facebook: Bùi Dũng Chọn A Ta có phương trình: x − m.2 x + + 2m = (1) Đặt: x = t > , phương trình trở thành: t − 2mt + 2m = (2) Để phương trình (1) có hai nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương ∆' >  m − 2m >  ⇔ S > ⇔  ⇔ m>2 m >  P >  Khi phương trình (2) có hai nghiệm t1 ,t2 thỏa mãn: t1 t2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m ⇔ = 2m ⇔ m = (thỏa mãn) m= Vậy Câu thỏa mãn yêu cầu tốn [2D2-5.3-3] (Chun Vinh Lần 2) Có giá trị nguyên ) ( m để phương trình 9.32 x − m 4 x + x + + 3m + 3x + = có nghiệm thực phân biệt B A Vô số Lời giải C D Tác giả Lời giải Lê Cảnh Dương ; FB: Cảnh Dương Lê Chọn C Ta có Đặt ) ( 9.32 x − m 4 x + x + + 3m + 3x + = ⇔ 3x + + t = x + , phương trình (1) thành 3t + ( x +1 ) − ( ) m x + + 3m + = ( 1) m − t + 3m + = 3t Bài tốn trở thành tìm số giá trị nguyên phân biệt m để phương trình ( 2) ( ) có nghiệm thực Nhận xét: Nếu t0 nghiệm phương trình ( 2) trình có nghiệm thực phân biệt phương ( ) Do điều kiện cần để phương trình ( ) trình ( ) có nghiệm t = Với t = Thử lại: +) Với m = − m2 − m + = ⇔  thay vào phương trình (2) ta có m = −2 m = − phương trình (2) thành 3t + ≥2 , 3t ( 3t + ) ( ) + t −3 = 3t ( ) 2 t − ≥ − 2, ∀ t ∈ ¡ 3t + t + t − ≥ 0, ∀ t ∈ ¡ suy 3 ∀t∈ ¡ Dấu xảy t = , hay phương trình ( ) Ta có − t0 nghiệm phương có nghiệm t = nên loại m = − +) Với m = phương trình ( ) ( 3) 3t + thành ( ) 1 − t +6 =0 3t ( 3) t = − 1, t = 0, t = Ta chứng minh phương trình ( 3) có nghiệm t = − 1, t = 0, t = Vì t Dễ thấy phương trình nghiệm phương trình có nghiệm ( 3) nên ta xét phương trình ( ) 1 f ( t ) = + − ( t + 6) Xét hàm [ 0;+∞ ) 3 Trên tập [ 0;+∞ ) (, 3) ⇔ 3t + 1 − t+6 =0 3t ( 3) nghiệm [ 0;+∞ ) −t t t f ' ( t ) = ln − ln − t Ta có f '' ( t ) = 3t ln + 3− t.ln + t, ( ) t > 0, ∀ t > ( 0; +∞ ) ⇒ f ' ( t ) = có tối đa nghiệm t > ⇒ f ( t ) = có tối đa nghiệm t ∈ [ 0; +∞ ) Suy [ 0;+∞ ) , phương trình ( 3) có nghiệm t = 0, t = Do tập ¡ , phương trình ( 3) có nghiệm t = − 1, t = 0, t = Vậy chọn m = Suy f '( t ) −t đồng biến Chú ý: Đối với toán trắc nghiệm này, sau loại đề khơng có phương án không tồn m Câu [2D2-5.3-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Phương trình có nghiệm phân biệt A T = 36 B T = 48 x − 2+ m = − ta kết luận đáp án C m− x + ( x3 − x + x + m ) x− = x+ + m ∈ ( a; b ) Tính giá trị biểu thức T = b − a C T Lời giải = 64 D T = 72 Tác giả: Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu Chọn B x − 2+ Ta có: ⇔2 m− 3x + ( x3 − x + x + m ) x − = x + + ⇔ f ( t ) = 2t + t ( 3 m− 3x + ( x − ) + + m − x = 23 + 2 − x 3 ¡ f ' ( t ) = 2t ln + 3t > 0, ∀ t ∈ ¡ Ta có: Mà m− 3x + m − x = 22 − x + ( − x ) Xét hàm số f Suy hàm số đồng biến ) m − 3x = f ( − x ) ⇔ m − x = − x ⇔ m − x = ( − x ) ¡ ⇔ m = − x3 + x − x + Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng y = m Xét hàm số g ( x ) = − x3 + x − x + ¡ x = g ' ( x ) = − 3x + 12 x − 9; g ' ( x ) = ⇔  Ta có: x = Bảng biến thiên hàm số g ( x) : y = − x3 + x2 − x + x −∞ +∞ g '( x) 0 +∞ g ( x) −∞ Dựa vào bảng biến thiên hàm số < m < Suy a = 4; b = Vậy Câu g ( x) phương trình có nghiệm phân biệt T = b − a = 48 [2D2-5.3-3] (Chuyên Hà Nội Lần1) Giả sử phương trình hai nghiệm thực phân biệt A x1 , x2 B thỏa mãn log 22 x − ( m + ) log x + 2m = x1 + x2 = Giá trị biểu thức x1 − x2 có C D Lời giải Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh Chọn C x > Đặt t = log x Điều kiện :  t =  log x =  x = t − ( m + ) t + 2m = ⇔  ⇔ ⇔ m t = m log x = m Khi phương trình cho có dạng :   x = Do x1 + x2 = ⇔ + 2m = ⇔ m = Vậy x1 − x2 = − = Thuylinh133c3@gmail.com Câu [2D2-5.3-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Có giá trị nguyên ( m + 1) 16 x − ( 2m − 3) x + 6m + = có hai nghiệm trái dấu? A B C D Lời giải Tác giả: Phạm Duy Nguyên; Fb: The Scarpe Chọn B Đặt t = x ( t > ) Khi phương trình trở thành: ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = Để phương trình có hai nghiệm trái dấu điều kiện Suy ra: < t1 < < t2 x1 , x2 hai nghiệm t1; t2 tương ứng phải thỏa mãn m + ≠   ∆ ' = −2 m − 23m + >  t1 − < t2 − > ( t1 − 1) ( t2 − 1) < Biểu thức tương đương với: Ta xét: ( m + 1) f ( 1) < ⇔ ( m + 1) ( m + − 4m + + 6m + 5) < ⇔ ( m + 1) ( m + ) < ⇔ − < m < − Từ ta hai giá trị nguyên m − 3; − m [2D2-5.3-3] (Sở Nam Định) Cho phương trình ( Thử lại điều kiện trên, ta nhận hai giá trị nguyên Câu − 3; − ) ( ) x 2− + x 2+ = Gọi x1 , x2 ( x1 < x2 ) hai nghiệm thực phương trình Khẳng định sau đúng? A x1 + x2 = x1 − x2 = B x1 − x2 = C D x1 + x2 = Lời giải Tác giả : Nguyễn Mạnh Dũng; FB: dungmanhnguyen Chọn A Xét phương trình : Đặt ( ) ( với )( ) x x 2− 2+ =1 t + = ⇔ t − 4t + = ⇔ t Với ( 3⇒ ( t = 2+ ⇒ t = 2− 2+ = t > Ta có: Do phương trình trở thành: Với ) 2− + x x 2− = t ( ) ( x Do ( 2+ = t t = +   t = − (tmđk) ) 3) = 2− x ( 2− = 2+ ⇔ 2+ 2− ) x x ( ) −x ) x = 2+ ⇔ ⇔ 2− = 2− ⇔ −x = ⇔ x = −2 x = 1⇔ x =  x1 = ⇒ x1 + x2 =  x = −  Vậy qle114@gmail.com Câu [2D2-5.3-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Tìm tất giá trị tham số log 22 x + log x + m = có nghiệm x ∈ ( 0;1) m để phương trình A m ≤ m>1 B C Lời giải m≤ D m≥ Tác giả: Lê Nguyễn Trọng Hiếu ; Fb: Lê Nguyễn Trọng Hiếu Chọn A Đặt t = log x Vì x ∈ ( 0;1) nên t ∈ ( −∞ ;0 ) Phương trình log 22 x + log x + m = trở thành t + 2t + m = ⇔ m = − t − 2t , t ∈ ( −∞ ;0 ) Đặt g ( t ) = − t − 2t , t ∈ ( −∞ ;0 ) Khi đó: g ′ ( t ) = − 2t − ⇒ g ′ ( t ) = ⇔ t = − Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm Câu m ≤ [2D2-5.3-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho phương trình ( ) ( x 2− + ) x 2+ = Gọi x1 , x2 ( x1 < x2 ) hai nghiệm thực phương trình Khẳng định sau đúng? A x1 + x2 = x1 − x2 = B x1 − x2 = C D x1 + x2 = Lời giải Tác giả : Nguyễn Mạnh Dũng; FB: dungmanhnguyen Chọn A Xét phương trình : Đặt ( ) ) ( )( với t > ) x x 2− 2+ =1 Ta có: Do phương trình trở thành: t + = ⇔ t − 4t + = ⇔ t Với ) x 2+ = x 2− = t ( ( x 2− + t = 2+ ⇒ ( ) Do ( ) x 2+ = t t = +   t = − (tmđk) x ( 2− = 2+ ⇔ 2+ ) −x = 2+ ⇔ −x = ⇔ x = −2 Với t = 2− ⇒ ( ) ( x ) x 2− = 2− ⇔ 2− = 2− ⇔ x = 1⇔ x =  x1 = ⇒ x1 + x2 =  x = − Vậy  Câu [2D2-5.3-3] (Lý Nhân Tông) Với giá trị tham số m x − m.2x +1 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = ? A m = B m = C m = D phương trình m = Lời giải Chọn B Ta có : Đặt x − m.2 x+ + 2m = ⇔ x − 2m.2 x + 2m = ( 1) t = 2x ( t > 0) Lúc ta có phương trình là: t − 2mt + 2m = ( ) Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phương trình ( ) có nghiệm t1 , t2 dương 1 ≠ a ≠ m > ∆ ≥   4m − 4.1.2m ≥  ⇔ ⇔ m ≥ ⇔ m ≥  S > m >   m ≤   P > 2m > −b  t + t = S = = 2m  a   t t = P = c = 2m Theo định lý Vi-et ta có:  a Ta có : t1.t2 = x1.2 x2 = x1 + x2 mà x1 + x2 = nên 2m = 23 ⇒ m = Câu 10 [2D2-5.3-3] (KHTN Hà Nội Lần 3) Có giá trị nguyên tham số trình A x − m2 x+ + − m = có hai nghiệm phân biệt? B C m để phương D Lời giải Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn Chọn C Đặt t = 2x ( t > 0) Phương trình cho trở thành: t − 2mt + − m = ( 1) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm dương phân biệt  −1 + 21 m >  m + m − >  −1 − 21 −1 + 21  m < ⇔  2m > ⇔  ⇔ ⇔ − m + > ⇔ m < ( i) Gọi x1 < x2 nghiệm phương trình t1 = log3 x1 ; t2 = log3 x2 Vì x1 < x2 Mặt khác, ( 1) phương trình ( 2) có nghiệm tương ứng t1 < t2 nên x2 − 81x1 < ⇔ < x2 < 81x1 ⇔ log x2 < + log x1 ⇔ t2 < + t1 ⇔ < t2 − t1 < ⇔ ( t2 − t1 ) < 16 ⇔ ( t2 + t1 ) − 4t1t2 < 16 2 ⇔ 42 − ( m − 3) < 16 ⇔ m > ( ii ) Từ ( i) ( ii ) suy < m < m∈ ¢ nên có số ngun thỏa mãn Câu 39 [2D2-5.3-3] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho phương trình nhiêu giá trị nguyên tham số thỏa mãn m log 32 x − 4log x + m − = Có bao để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 x2 − 81x1 < B A C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thương ; Fb:Nguyễn Thương Chọn C Xét phương trình: Đặt t = log3 x Phương trình log 32 x − 4log x + m − = phương trình ( 1) ( 1) trở thành: ( 1) Điều kiện: x > t − 4t + m − = ( ) có nghiệm phân biệt phương trình ⇔ ∆ ' > ⇔ − m + > ⇔ m < ( i) ( 2) có nghiệm phân biệt Gọi x1 < x2 nghiệm phương trình t1 = log3 x1 ; t2 = log3 x2 Vì x1 < x2 Mặt khác, nên ( 1) phương trình ( 2) có nghiệm tương ứng t1 < t2 x2 − 81x1 < ⇔ < x2 < 81x1 ⇔ log x2 < + log x1 ⇔ t2 < + t1 ⇔ < t2 − t1 < ⇔ ( t2 − t1 ) < 16 ⇔ ( t2 + t1 ) − 4t1t2 < 16 2 ⇔ 42 − ( m − 3) < 16 ⇔ m > ( ii ) Từ ( i) ( ii ) suy < m < m∈ ¢ nên có số ngun thỏa mãn x + − ( 8m + ) x + 2m + = ( m tham số) x1 x2 = − Khẳng định sau đúng? Câu 40 [2D2-5.3-3] (CổLoa Hà Nội) Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt A m∈ ( 1;3) x1 , x2 B thỏa mãn m∈ ( − 5; − 3) C m∈ Lời giải ( − 3;0 ) D m∈ ( 0;1) Tác giả: Thu Hà ; Fb: Thu Ha Chọn D x + − ( 8m + ) x + m + = ( * ) Đặt t = x , điều kiện t > , phương trình ( *) trở thành ( 4t − 1) ( t − 2m − 1) = ⇔   t1 =   t2 = 2m +  2m + >   m + ≠  Phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt   m > −   m ≠ −  4t − ( 8m + 5) t + 2m + = ⇔ Lại có x1 x2 = − ⇔ log t1 ×log t2 = − ⇔ ⇔ 2m + = ⇔ m= log ×log ( 2m + 1) = − ⇔ ⇔ ( **) log ( 2m + 1) = 2 −1 (thỏa mãn ( **) ) Câu 41 [2D2-5.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số hình vẽ y = f ( x) liên tục ¡ có đồ thị m Số giá trị nguyên tham số biệt A B f ( ex ) = m2 − để phương trình C có hai nghiệm thực phân D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang Chọn A Đặt t = ex ( t > 0) m −1 f t = ( ) f e = m − f t = m − () Phương trình trở thành hay (1) ( ) x Nhận thấy với giá trị t > cho giá trị x = ln t Để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt t > m2 − −1 < ( ( ) x 2− = ) x1 t ( Nhận xét: Với cách đặt + = t1 , + t1 x1 − x2 2+ = hay t = ⇔ t1 = 3t2 ( ) ) x2 = t2 nên từ x1 − x2 = log 2+ 3 , ta có t + ( − 2a ) − = ( *) Vậy toán cho tương đương với tốn tìm a để phương trình có t hai nghiệm dương Ta thấy : t1, t2 thỏa mãn nghiệm gấp lần nghiệm ( *) ⇔ t − 4t + − 2a =  −3 ∆′ > a>  4 − ( − 2a ) >  ** ⇔ ( ) P > ⇔  1 − 2a > S > a < Phương trình có nghiệm dương phân biệt   Cách 1: Nhận xét phương trình ẩn t có tổng hai nghiệm mà nghiệm gấp nghiệm nên phương trình phải có nghiệm băng nghiệm 3, từ − 2a = ⇔ a = − t1 + t2 =  Cách 2: Theo định lí Viet, ta có t1t2 = − 2a Phương trình ( *) có nghiệm gấp lần nghiệm  t1 = 3t2 2  t = 3t ⇔ ( t1 − 3t2 ) ( t2 − 3t1 ) = ⇔ − ( t1 + t2 ) + 10t1.t2 = 2 ⇔ − 3( t1 + t2 ) + 6t1t2 + 10t1.t2 = ⇔ − 48 + 16 ( − 2a ) = ⇔ a = − thỏa mãn điều kiện ( **) Giá trị a thuộc đáp án D Cách Dựa vào điều kiện có nghiệm dương loại đáp án A, suy luận a thuộc đáp án B, C thuộc đáp án D Vậy chọn đáp D Câu 43 [2D2-5.3-3] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Biết tập hợp giá trị x2 A để x2 1 1 − ( m + 1)  ÷ − 2m =    ÷ phương trình   có nghiệm  − a + b ;0  với  2 nguyên dương Tính m a, b số b− a B − 11 C − D 11 Lời giải Tác giả: Vũ Việt Tiến; Fb: Vũ Việt Tiến Chọn A x2 x2  1  1 − ( m + 1)  ÷ − 2m = ( 1)  ÷ + Xét phương trình    2 x2 x2 1  1 =t x ≥ ⇒ <  ÷ ≤ ⇒ t ∈ ( 0;1]  ÷ Đặt   ,  2 t2 − t ⇔ m = + Phương trình ( 1) trở thành t − ( m + 1) t − 2m = t + ( 2) + Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( 2) có nghiệm t ∈ ( 0;1] t2 − t f ( t) = + Xét hàm số t + , t ∈ ( 0;1] f ′( t) = t + 4t − ( t + 2) t = −2 − ∉ ( 0;1]  ⇔ ′ f t = ⇔ t + t − =  t = − + ∈ 0;1 ( ) ( ] ;  Bảng biến thiên: + Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình Suy ( 1) có nghiệm ⇔ m ∈  − + 6;0  − a + b = − + ⇒ a = 5, b = Vậy b − a = − = Câu 44 [2D2-5.3-3] (Sở Vĩnh Phúc) Có giá trị thực tham số m.3x − x+ + 34− x = 36− x + m ( 1) A B 2 m để phương trình có nghiệm phân biệt C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Trường Sơn ; Fb: Nguyễn Trường Sơn Chọn C Đặt − x2 6− x = v > 0, u u−v m + v = u + m ⇔ m ÷ = ( u − v) = u > phương trình trở thành v  v   6− x 4− x  v = u ⇔ 3 = ⇔ ⇔ ( u − v ) ( m − v ) =  v = m  34− x = m ( I) ( II ) x = 36− x = 34− x ⇔ x − 3x + = ⇔  Giải ( I ) : x = Để phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt phương trình ( II ) xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình ( II ) có nghiệm phân biệt nghiệm x ≠ Với x = ta có m = 34−1 = 27 Khi 34− x = 27 ⇔ − Vậy m = 27 giá trị cần tìm nghiệm Trường hợp 2: Phương trình nghiệm Vậy x = ⇔  x2 =  x = − ≠ có nghiệm phân biệt nghiệm x ≠ Với x = ta có m = 34− = Khi 34− x = ⇔ − 2 x = x = ⇔  x2 =  x = − ≠ m = giá trị cần tìm Trường hợp 3: Phương trình Từ ( II ) x = ( II ) có nghiệm 2 34− x = m ⇔ x = − log3 m ≥ ⇔ m = 81 , đồng thời x = Vậy có ba giá trị x khác 1;2 để có nghiệm nghiệm thỏa mãn khác 1;2 nên x = ⇒ − log3 m = m = 81 giá trị cần tìm m = ; m = 27 ; m = 81 thỏa mãn toán ... 2019;2019] phương trình để phương trình B A C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thương ; Fb:Nguyễn Thương Chọn C Xét phương trình: Đặt t = log3 x Phương trình log 32 x − 4log3 x + m − = phương. .. D phương trình m = Lời giải Chọn B Ta có : Đặt x − m.2 x+ + 2m = ⇔ x − 2m.2 x + 2m = ( 1) t = 2x ( t > 0) Lúc ta có phương trình là: t − 2mt + 2m = ( ) Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phương. .. Thương Chọn C Xét phương trình: Đặt t = log3 x Phương trình log 32 x − 4log x + m − = phương trình ( 1) ( 1) trở thành: ( 1) Điều kiện: x > t − 4t + m − = ( ) có nghiệm phân biệt phương trình ⇔