Dang 3. Phương pháp tích phân từng phần(VDT

Câu [2D3-2.3-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định sau e 3e a  x ln x d x  � b ? kết A a b  64 B a b  46 C a  b  12 D a  b  Lời giải Tác giả: Bình Yên; Fb: Bình Yên Chọn A � du  dx � u  ln x � � x �� � dv  x dx � � v x � Đặt Áp dụng tích phân phần ta tính được: e e e e e4 3e  x ln x d x  x ln x  x d x   x  � � 4 16 16 1 a4 � �� � a b  64 b  16 � Nguyenhotu@gmail.com Câu [2D3-2.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) (THPT Nam Tiền Hảif  x 0; 2 Thái Bình-Lần 2-2018)Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  thoả mãn f  x  dx  f    16, � A I  12 Tính tích phân B I  I � x f �  x  dx I  13 C D I  20 Lời giải Chọn B Đặt t  x � dt  2dx Đổi cận: x  � t  x  � t  2 u t du  dt � � � � I � tf  t  dt 4I  � tf  t  � f  t  dt � � � �0  � dv  f � t  dt v  f  t  40 � � Vậy Đặt ,  f  2  � f  x  dx Câu  32   28 � I  [2D3-2.3-3] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Tính tích phân ae  b a e 1 I  �x ln  x  1 dx c , a, b, c �� b phân số ta kết có dạng tối giản Tính T  a  2b  3c A 17 B 10 C 17 D 18 Lời giải Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình Chọn C e 1 Xét I  �x ln  x  1 dx � du  dx � � x 1 � u  ln  x  1 � x2 1 � � v  dv  xdx Đặt � , ta chọn � e 1 Suy  I  �x ln  x  1 dx  x2  ln  x  1 e 1 e 1 � x 1 e  2e x  x dx   2 e 1 e  2e e  4e  e    4 T  a  2b  3c  12   3  3.4  17 a  1, b   3, c  Do Vậy ta có  Câu [2D3-2.3-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Biết a , b số nguyên dương Tính giá trị biểu thức T  a2  b ? A T  B T  13 x I  � dx    ln b a cos x C T  , với D T  11 Lờigiải Tácgiả:TrầnĐứcKhải; Fb: facebook.com/duckhai93 Chọn D  x I  � dx cos x Ta giải: u=x � � du = dx � � � �� � d x � � v = tan x dv = � � � cos x Đặt p I = x tan x - p �tan xdx = x tan x p p d ( cos x) p +� = x tan x + ln cos x ( ) cos x 0 Suy ra: � p p p� 3 =� tan + ln cos � - ( 0.tan + ln cos ) = p - ln = p - ln b � � � � 3� a �3 a =3 � �� � a + b = 11 � � b=2 � Câu [2D3-2.3-3] (Chuyên Hùng Vương Gia A�  x  1 f �  x  dx  A I  12 Lai) Cho hàm số f  x thỏa mãn f    f  0  B I  12 I � f  x  dx Tính C I  6 Lời giải D I  Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp, FB: Nguyễn Ngọc Diệp Chọn C Đặt u  x 1 du  d x � � �� � dv  f �  x  dx �v  f  x  � Ta có: A�  x  1 f �  x  dx   x  1 f  x  2 � f  x  dx  f    f    � f  x  dx 0 f  2  f  0  Với A  nên I � f  x  dx  6  Câu x I  � dx    ln b cos x a [2D3-2.3-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết a  b A 11 B C 13 Lời giải Khi đó, giá trị D Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu Chọn A ux � du  dx � � �� � v  tan x dv  dx � � cos x Đặt �   I  x tan x  � tan xdx   Câu   ln cos x      sin xdx  d(cos x) 3�  � cos x cos x 0    ln  ln1   ln � a  3; b  Vậy a  b  11 3 [2D3-2.3-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương a phương trình a  x  1 ln xdx   a � A  1;3   a ln a  thuộc khoảng sau đây?  3;5  5;7  B C Lời giải D  7;10  Tác giả: lê huệ; Fb: lê huệ Chọn C Đặt u  ln x dv   x  1 dx , ta có a Khi đó, đặt  du   dx x v  x  x a  I �  x  1 ln xdx  x  x ln x  �x  x a  1x dx a �x �  a  a ln a    a  a ln a  �  x  1 dx  �  x� �2 � 1   a �a � �a 1�   a  a  ln a  �   a  1�  a  a  ln a  �  a  � 2� �2 � �2 Theo giả thiết: � a  1 a2 �  a   � a  a  17  � � 2 I   a  a  ln a  a  1 � Do a  nên a   Câu [2D3-2.3-3] (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Biết e x cos 3xdx  e x  a cos x  b sin x   c � , a , b , c số, tổng a  b có giá trị 5   A 13 B 13 C 13 D 13 Lời giải Tác giả: Cao Hữu Trường ; Fb: Cao Hữu Trường Chọn C � du  2e2 x dx � u  e2 x � �� � dv  cos 3xdx v  sin x � � � Đặt 2x 2x  e x sin x  � e sin x e cos x d x 3 Ta có � � du  2e x dx � u  e2 x � �� � dv  sin 3xdx v   cos 3x � � � Đặt e cos 3xdx  e Ta có � 2x � 2x 2x sin x  e2 x cos x  � e cos xdx 9 13 x e cos xdx  e x sin x  e x cos x  C1 � 9 �2 � �� e x cos xdx  e x � cos x  sin x � C 13 13 � � Suy Vậy a b 13 13 ab  13 Cách khác: Ta có �e2 x cos 3xdx � � e x a cos 3x  b sin 3x   c � � � � � �  � e x cos 3x  2e x  a cos 3x  b sin 3x   e x  3a sin 3x  3b cos x  � e x cos x  e x �  2a  3b  cos 3x   3a  2b  sin x � � � � a � 2a  3b  � � 13 �� � 3a  2b  � � b � 13 Đồng biểu thức ta có Vậy Câu ab  13 f ( x) [2D3-2.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số xác định liên tục � Gọi x y= x + f ( x) g ( x) nguyên hàm hàm số x2 �x + f ( x) dx g ( 2) - g ( 1) = Tích phân 1,5 A B C Biết �g ( x) dx =1 D Lời giải Tácgiả:Kim Liên; Fb: Kim Liên Chọn B Vì y= g ( x) Đặt nguyên hàm hàm số 2 x2 I =� dx � I = �xg � ( x) dx x + f ( x) 1 Đặt � u=x du = dx � � �� � � � dv = g � v = g ( x) ( x) dx � � � Khi I = xg ( x ) x x + f ( x) g� ( x) = nên x x + f ( x) �g ( x) dx = g ( 2) - g ( 1) - = 1 Câu 10 [2D3-2.3-3] (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x f    f  1  với Biết 2019 2019 biểu thức a  b 2018 A  B e � d x  ae  b  x � �f  x   f � � � x , a , b �� Giá trị 2018 D  C Lời giải Tác giả: Hải Thương; Fb: Hải Thương Chọn C Cách 1: Ta có � � ex � dx  � ex f  x  � ex f  x  �  x � �f  x   f � � � � �dx  � � �0  e f  1  f    e  0 e � dx  ae  b  x � �f  x   f � � � x Theo đề a 2019  b 2019  12019   1 Do Cách 2: 2019 0 , a , b �� suy a  , b  1 e � dx  � e f  x  dx  � e f�  x �  x  dx �f  x   f � � � x x x 0 Ta có u  f  x  dv  e x d x du  f �  x  dx , v  e x Đặt , ; ta có Khi đó, 1 1 0 0 1 e x f  x  dx  � ex f  x  � ex f � e x f  x  dx  � ex f � ex f  x �  x  dx � �  x  dx  � � � �0  � � �0 1 �� ex � dx  � ex f  x  �  x � �f  x   f � � � �0  e f  1  f    e  e � dx  ae  b  x � �f  x   f � � � x Theo đề a 2019  b 2019  12019   1 Do 2019 0 , a , b �� suy a  , b  1 Câu 11 [2D3-2.3-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho   I � x  x  15 dx  a  b ln  c ln 5 B A với a, b, c �� Tính tổng a  b  c 1 C D Lời giải Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; Fb: Nguyễn My Chọn B � � � x � 1 � �dx u  x  x  15 �du  � � � � x  15 � � dv  dx � � vx � Đặt 1 � � x I  x x  x  15  � x� 1 dx � x  15 � � Ta có: � 15 �  5 � dx �x  x  15  � x  15 � 0� 1 15  5 � x  x  15 dx  � dx   I  J x  15 0    Suy ra:  I J  2 15  J � dx  15ln x  x  15 x  15 Tính  15ln  15ln 15 15 15  15 ln  ln  ln 2 15 15   ln  ln 2 15 15 I   ln  ln 4 Vậy 15 15 a  ;b   ; c  4 Do a bc  Vậy  12 �x  1x a dc �  x  e dx  e � � � x� b � Câu 12 [2D3-2.3-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Biết 12 a c , số nguyên dương phân số b d tối giản Tính bc  ad A 12 B C 24 a, b, c, d D 64 Lời giải Tác giả:Đặng Văn Long ; Fb:Đặng Long Chọn C I Ta có: 12 � � � �x  x x   e � � � � � dx  �� x � � 12 12 12 12 12 1 x � �x  x x x  e dx  e dx � 2� � � x � � 1 ux � �du  dx � � � x  � � � x � x dv   e dx x � � � � �v  e x � Đặt: � � 12 Khi đó: 12   12e 12 12 12 12 1 x x � �x  x x I� x� 1 � e dx  � e dx  x.e x x � � 1 12 12  12 x x 12 x x � e dx  � e dx 12 12 12121 143 145 e  e 12 12 12 Vậy : a  143; b  12; c  145; d  12 Dó đó: bc  ad  12.145  143.12  24 y = f ( x)  0;1 Câu 13 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn 1 x 3 � f x d x  f x cos d x  f  x  dx     � � � f  0  2 0 thỏa mãn Biết Tích phân A  B  C  D  Lời giải Chọn A 1    f ( x ) sin xdx   f ( x ).cos x  f '( x).cos xdx  � �   2 Ta có: 1 1    ( f ( x )  3sin x ) dx  f ( x ) dx  f ( x )sin xdx  sin xdx  � � � � 2 0 0 f ( x)  3sin 1   x�� f  x  dx  � 3sin xdx  2  0 Từ ta suy PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN CÂU 42  0;1 Câu 14 [2D3-2.3-3] (Đoàn Thượng) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn 1 1  � f ( x)dx  f ( x)cos( x) dx  f ( x)dx � � � f (0)  f (1)  Biết 0 , Tính 3 A  B C  D  Lời giải Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb: Hoàng Điệp Phạm Chọn C  I1  � f� ( x) cos ( x)dx  Ta có ( x)dx chọn v  f ( x) Đặt u  cos( x) � du   sin( x) , dv  f � 1 0  � I1  f ( x )cos ( x)|  �  f ( x)sin( x)dx   f (1)  f (0)   � f ( x)sin( x) dx  �� f ( x)sin( x)dx  1 I2  � f ( x)dx  � I1  I � � f ( x)sin( x) dx  � f ( x)dx 0 Ta có 2 � �� �f ( x)  sin   x  � � �f ( x)  f ( x) sin( x) � �dx  � f ( x)  f ( x)sin( x)  � f ( x) � � f ( x )  f ( x )  sin   x   Vì I1 �0 I �0 nên f ( x )  loại � f ( x )  sin   x   � f ( x)  sin   x  1 0 �� f ( x) dx  � sin( x)dx   cos( x) |0    Câu 15 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số �  x � �f � �dx  f  1  � thỏa mãn , A B f  x x f  x  dx  � có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 Tích phân C Lời giải f  x  dx � D Chọn A  Nhận xét - Ý tưởng sáng tác toán giống câu 50 đề minh họa BGD năm 2018 Vì thầy Nguyễn Việt Hải phân tích q hay nên tơi trích dẫn lại nguyên văn nhận xét ý tưởng Từ giả thiết: x f  x  dx  � 1 �� x f  x  dx  Tính: I � 3x f  x  dx � u  f  x � du  f �  x  dx � � � � � dv  3x dx � v  x3 Đặt: � Ta có: 1 1 0 I � 3x f  x  dx  x f  x   � x3 f � x3 f � x3 f �  x  dx  f  1  f    �  x  dx  �  x  dx Mà: 1 0 3x f  x  dx  �  � x3 f �  x  dx � 1 1 �� x f � x f � 7x f � �  x  dx  1 � �  x  dx  7 � �  x  dx  �  x � �f � �dx 3 0 �  x � �f � �dx  � 0 , (theo giả thiết:  )  �� 7x f � f� x3 + f � dx   x + �  x �  x �  x � �f � � dx  � � � � � f  x   x C � � � x + f  x   � f  x   7 x Với 7 f  1  �   C  � C  7 f  x    x4  4 Khi đó: � 7 �   �x  x � f x d x   x  d x � � � � �  � �5 4� �0 0� Vậy: 1  PHÂN TÍCH 1 1 x3 x3 x3 x f ( x )d x  f x d  f ( x ) |  df ( x )   � x f '( x)dx   � � � 3 30 0  f '(x) Từ đây, quan sát giả thiết toán: Ta thấy xuất   x3 f '(x) �f '(x)  ax3 � �, số a  ? tương ứng với toán? Nghĩ đến đẳng thức � +  f '(x) � dx  2ax f '(x)dx  2a � + +   �ax dx  a2 a2 � � f '( x )  ax dx   a   0� a � � � Do số a chọn tương ứng 7x4 f '(x)  7x � f (x)   4 Suy  Vậy đáp chọn: A  NHẬN XÉT:  Vì trắc nghiệm cần ĐS ta sử dụng kỷ thuật đồng suy đáp số dễ dàng 1  f '(x) � dx   7x  f '(x)dx  � Vì trắc nghiệm nên đồng hai biểu thức dấu 7x4 f '(x)  7x3 � f (x)   �A 4 tích phân Suy  Hướng tiếp cận khác theo đường BĐT 1 ff(1)  0, �  '(x) dx  x f (x)dx  � + Ta nghĩ đến đánh giá BĐT: Thật sử dụng kiến thức dấu tam thức bậc hai Chúng ta có kết BĐT Cauchy – Schawz + Quan sát giả thiêt toán: b b b b � t2 � f  x dx  2t� f  x g x dx  � g2  x dx  � t f  x  g x � � �dx �0, t �� a a a a Suy ra: BĐT Cauchy – Schawz 2 b b � � b 2 f x g x dx � f x dx g x dx     � �  � � � a a � � a Do ta có hướng giải tốn trên: 1 1 x3 x3 x  x f (x)dx  � f  x d  f (x) |0  � df (x)   � x f '(x)dx � 3 30 0 Ta suy ra: � 11 2 �1 � � x f ' x dx�� � x dx� f ' x  dx   �3 � 90   f ' x  k.x Tương đương  Ý TƯỞNG SÁNG TẠO ĐỀ a Tạo tích phân có dạng đẳng thức:  A  B � a dx  Hoặc a Chọn a, A, B thích hợp tương ứng ta có tốn  MỘT SỐ BÀI TỐN TƯƠNG TỰ  A  B  C � a � 1;0  C b B a  b  4 Lời giải Chọn C Đặt x  t � x  t � dx  2tdt x t 0 2  … a a a 0 0 � A dx  � 2A.Bdx  � B2dx  A  B dx  � Câu 16 [2D3-2.3-3] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân  a, b �� , Mệnh đề sau đúng? dx  0 I a  3 A b 2 �x sin x dx  a  b D a  b   I � 2t sin tdt Ta có: du  4tdt � u  2t � �� � v   cos t dv  sin tdt � Đặt � Suy Đặt   I  2t cos t  � 4t cos tdt 0 u1  4t du1  4dt � � �� � dv1  cos tdt � v1  sin t �    I  2t cos t  4t sin t  � 4sin tdt Vậy Do a  2; b  8 �  2     cos t  2   a � 1;  b Câu 17 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số �  x � �f � �dx  36 f  1  � thỏa mãn , A B f  x x f  x  dx  � có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 Tích phân f  x  dx � D C Lời giải Chọn B Từ giả thiết: x f  x  dx  � 1 �� x f  x  dx  I � x f  x  dx Tính: � du  f �  x  dx � u  f  x � �� � dv  xdx � v x � � Đặt: Ta có: I � x f  x  dx  51 x f  x  � x f �  x  dx 2 0 1 5  f  1  � x f � x f �  x  dx  10  �  x  dx 20 20 Mà: I � x f  x  dx  �  10  , (vì f  1  ) 18 x f � x2 f �  x  dx � �  x  dx  � 20 1 0 � 10� x2 f � x2 f � �  x  dx  36 � 10�  x  dx  �  x � �f � �dx , (theo giả thiết: �  x � �f � �dx  36 � ) 1 � � �� 10 x f � x  � f� x � dx  � � f� 10 x  f �    x �  x � � � � �dx  � � 0 10 x � f x  C   � 10 x  f �  x  � f �  x   10 x 2 10.1 f  1  �   C � C  Với Khi đó: f  x  10 x  3 � 10 x � �5 x �   x� f x d x   d x   � � � � � �0 3 � �6 � 0 Vậy: 1 Câu 18 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn 2 2 � � x f  x  dx  f  x  dx �f  x  � �dx  � � f  2  � 0 thỏa mãn , Tích phân 297 562 266 A 115 B 115 C 115 D 115 Lời giải Chọn C Từ giả thiết: x f  x  dx  � �� x f  x  dx  Tính: I � 3x f  x  dx � u  f  x � du  f �  x  dx � � � � � dv  3x dx � v  x3 Đặt: � 2 0 I � x f  x  dx  x f  x   � x3 f � x3 f �  x  dx  24  �  x  dx Ta có: 2 I � 3x f  x  dx  �  24  � x3 f �  x  dx Mà: 2 �� x f � x3 f �  x  dx  23 � �  x  dx  23 0 � 2 � x f x d x  � f� dx    x � � � � � 23 0 �  x � �f � �dx  � , (theo giả thiết: ) 2� �4 � �� x f  x  � f� dx  � � f� x  f� dx   x �  x �  x � � � � � � � 23 23 � � � � � 4 x  f�  x  � f �  x   x3 � f  x   x4  C 23 23 23 , (vì f  2  )  0; 2 16 53 �   C � C  f  2  23 23 Với Khi đó: f  x  53 x  23 23 2 �1 53 � �1 53 � 562 f  x  dx  � dx  x  x� � x  � � 23 23 � � 115 23 �0 115 � � 0 Vậy Câu 19 [2D3-2.3-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Cho tích phân a, b số nguyên dương Tổng a  b A B 16 I �  x   ln  x  1 dx  a ln  C 12 b D 20 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hương; Fb: Hương Nguyễn GV phản biện: Hoàng Vũ; Fb: Hoàng Vũ Chọn D � du  dx � � x 1 � u  ln  x  1 � � � x2 � � v   2x dv   x   dx � Đặt � Ta có 1 �x � �x �1 dx I�  x   ln  x  1 dx  �2  x �ln  x  1  � �  2x � � � �x  0� 0 1 �x �  x  3  x  1   �  2x � ln  x  1  � dx 20 x 1 �2 � 1 1 �x �  �  2x � ln  x  1   x  3  ln  x  1  ln  �2 � 0 a4 � � b4 Suy � 2 Vậy a  b    20 Câu 20 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn 1 � � f x � d x  x f x d x   f  x  dx   �  � � � f  1  � thỏa mãn , Tích phân 17 15 15 17 A 19 B C 18 D Lời giải Chọn D � du  f �  x  dx � u  f  x � �� � I � x f  x  dx dv  xdx v x � � � Tính: Đặt:  0;1 11 2 11 I  x f  x  � x f� x f�  x  dx   �  x  dx 20 20 Ta có: Mà: f  1  ) 1 1 x f  x  dx   �    � x f�  x  dx � 2 20 1 �� x f�  x  dx   1 � x2 f � �  x �  x  dx  �  x � �f � �dx  � � �f � �dx � 0 , (theo giả thiết: ) , (vì  2 �� x f� f� x2  f � dx   x  �  x �  x �  x � �f � � dx  � � � � 2 f x  x C   � � � x  f  x  � f  x  x � 11 f  1  � C  Với 11 f  x   x3  3 Khi đó: 1 �1 11 � �1 11 �1 15 f x d x  dx  � x  x �    �x  � � � 3� � 12 �0 � 0 Vậy Câu 21 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  2  thỏa mãn A �  x � �f � �dx  � B có đạo hàm liên tục đoạn 2 f  x 17 x f  x  dx  � 2 Tích phân C Lời giải f  x  dx � D Chọn A Tính: I � x f  x  dx du  f � �  x  dx � u  f  x � �� � dv  xdx v x � � � Đặt: I Ta có: 12 2 12 x f  x  � x f� x f�  x  dx  12  �  x  dx 20 20 Theo giả thiết: 17 17 x f  x  dx  �  12  � x f�  x  dx � 2 20 �� x2 f �  x  dx  � 2 0 x2 f � �  x  dx  �  x � �f � �dx � , (vì f  2  )  0; 2  x f � x   ��f � x  �� dx  � 2 � f� x  x � � �  f� dx   x � � � 2 � f  x  x C � � x  f x  � f x  x     � Với f  2  � Khi đó: f  x  10 10 x  3 Vậy C �1 10 � �1 10 �2 f x d x  dx  � x  x �    �x  � � � 3� � 12 �0 0�  Câu 22 [2D3-2.3-3] (Sở Phú Thọ) Cho hữu tỉ Giá trị abc 15 A B ln  sin x  cos x  dx  a ln  b ln  c cos x � C Lời giải với a, b, c số 17 D Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm Chọn A    ln  sin x  cos x  cos x  2sin x dx  tan x ln  sin x  cos x   � tan x dx � cos x sin x  cos x 0   4�  �  ln �  d x  ln   dx � � 2 � cos x tan x    � sin x cos x  cos x �  ln     2� dt an x  ln    ln tan x  tan x  2 4    ln  ln   ln  3ln  ln   15 a  3, b   , c   � abc  Do  Câu 23 Cho A ln  sin x  cos x  dx  a ln  b ln  c � sin x  B 16 với a, b, c số hữu tỉ Giá trị abc C D  Câu 24 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn 3 154 � � x f  x  dx  f  x  dx �f  x  � �dx  � � f  3  � 0 thỏa mãn Tích phân 117 13 53 153 A B 20 C D Lời giải  0;3 Chọn B I � x f  x  dx Tính du  f � �  x  dx � u  f  x � � �� � v x dv  x dx � � � Đặt Ta có 3 13 1 I  x3 f  x   � x f� x f�  x  dx  54  �  x  dx 30 30 Theo giả thiết: x f  x  dx  � , (vì f  3  ) 154 154 13 �  54  � x f�  x  dx 3 30 3 0   �� x3 f � x3 f � � x3 f �  x  dx  � �  x  dx  �  x �  x  �  x � �f � �dx � � �f � � dx  2 �� f� x3  f � dx   x �  x � � � x3 x4 � � f x  � f x  C     � x 4f �  x  16 Với 15 f  3  � C  16 x 15 f  x   16 16 Khi đó: Vậy �1 15 � �1 15 �3 117 f x d x  dx  � x  x �    � x  � � � 16 16 16 �0 20 � � �80 0 Câu 25 [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số �  x � �f � �dx  f  1  � thỏa mãn , 194  A 285 B 95 Chọn C f  x có đạo hàm liên tục đoạn x f  x  dx  10 � 116 C 57 Lời giải Tích phân f  x  dx � 584 D 285  0;1 I � x f  x  dx Tính: � du  f �  x  dx � u  f  x � � �� � v x dv  x 3dx � � � Đặt: Ta có: 1 11 4 1 I  x f  x  � x f� x f�  x  dx   �  x  dx 40 40 f  1  ) x f  x  dx  10 x f�  x  dx  38 � � � Theo giả thiết: , (vì 0 1 � 8.� x f� x4 f � �  x  dx  38.8 � 8.�  x  dx  38.�  x � �f � �dx   �� 8x4 f � f� x  38 f � dx   x   38 �  x �  x �  x � �f � � dx  � � � � 4 f� f  x    x5  C  x    x4 � x  38 f x    � � � 19 95 194 f  1  � C  95 Với Khi đó: f  x   194 x  95 95 1 � 194 � � 194 �1 116 f x d x   x  dx  �  x  x�    � � � � 95 95 285 95 � � � �0 57 Vậy Câu 26 [2D3-2.3-3] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) e ln x a dx   b ln c � e+1 e+1  1 x với a, b, c �� Tính a  b  c A 1 B C D Biết Lời giải Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng Chọn B � du  dx u  ln x � � � x � �� � 1 dv  dx � v �  1 x � 1 x Đặt � e e ln x e dx   � dx � 1 x 1 x  1 x  1 x ln x  = e  = 1 � �1 � dx � � e +1 �x x  � e 1   ln x  ln  x  1     ln  e  1  ln1  ln = e +1 e +1  = a  ln 1  b ln c e +1 e 1 � a  1; b  1; c  � a  b  c  e+1 = e+1 ln  s in x  cos x  a  dx  ln  cos x b c  Câu 27 [2D3-2.3-3] (HSG Bắc Ninh) Biết bc nguyên Khi đó, a A 6 B � C với a, b, c số D  Lời giải Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb:Nhung tran thi kim Chọn D � u  ln  sin x  cos x  cos x  s in x � du  dx � � �� s in x  cos x � dv  dx � � v  tan x cos x � � Ta có:  Khi đó: ln  s in x  cos x  I� dx  tan x.ln  sin x  cos x  cos x  Đặt J � tan x    � tan x cos x  sin x dx sin x  cos x cos x  sin x tan x  tan x dx  � dx sin x  cos x tan x  dt  x  �t 1  t Với x  � t  Đặt 1 1  t  1   t t  t2 dt dt  J � dt= dt=    ln 2 � � � 2 1 t t 1  t  1 t   1 t  1 t 0 Ta có :   bc I  ln   ln  ln  �  4 a Vậy tan x  t � dt    tan x  dx � dx   Câu 28 [2D3-2.3-3]   (Nguyễn   Du  Dak-Lak 2019) Cho tích phân  sin x  x sin x  2 1 dx   ln  c ln 2 cos x a b  (với a, b, c số nguyên) Khi a  b  c A B C 1 D Lời giải � Tác giả: Lê Văn Nguyên; Fb: Lê Văn Nguyên Chọn C  Ta có:    sin x  x sin x 2sin x x sin x dx  � dx  � dx cos x cos x cos x 0 �  2 � d  cos x   I  ln cos x cos x 0   I  2 ln  I  ln  I  Tính x sin x I  � dx cos x u  x Đặt:  Khi đó: dv  sin x dx v cos x , ta có du  dx cos x    4 x  cos x  I  � dx  2� d x   d  sin x  2 � cos x 0 cos x  sin x sin x  0  sin x    ln sin x   1    ln  1 1   ln 2 1  sin x  x sin x  1 d x  ln  I    ln  ln 2 � cos x 2  Vậy a  4 � � b2 � � c  � a  b  c  1 Suy ra: � x Câu 29 [2D3-2.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho e � eln x � f ( x) � I � dx �f ( x) ln x  � f  e  x � 1� 2e , tính tích phân nguyên hàm hàm số x Biết 1 I e I e+ I  e 2 A B C I  e D F ( x)  Lời giải Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Thom Tran Chọn A e � elnx � I � f x ln x    � x 1� Xét e e lnx � e d x �  f x ln x d x  dx   � � � x � 1 e e e f  x � f x ln x  d x  e lnx d  ln x  � �  �1 �x � 1 e 1 � �  �f  x  ln x   elnx �  f  e    e +   e  2x 2e � �1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hình thang cong dựng trục hồnh �y  f ( x) b � D : �y  �S � f  x  dx a �x  a, x  b � Hình vẽ a ; b ( f ( x) hàm số liên tục  ) Miền D tạo hai đường cong f  x g  x �y  f ( x ) b � D : �y  g ( x ) � S D  � f  x   g  x  dx a �x  a, x  b � Hình vẽ: ... liên tục đoạn  0;1 Tích phân C Lời giải f  x  dx � D Chọn A  Nhận xét - Ý tưởng sáng tác toán giống câu 50 đề minh họa BGD năm 2018 Vì thầy Nguyễn Việt Hải phân tích q hay nên tơi trích... � �  �f  x  ln x   elnx �  f  e    e +   e  2x 2e � �1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hình thang cong dựng trục hoành �y  f ( x) b... liên tục � Gọi x y= x + f ( x) g ( x) nguyên hàm hàm số x2 �x + f ( x) dx g ( 2) - g ( 1) = Tích phân 1,5 A B C Biết �g ( x) dx =1 D Lời giải Tácgiả:Kim Liên; Fb: Kim Liên Chọn B Vì y=