5.2 HDG MAX-MIN KHỐI LĂNG TRỤ

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 DẠNG 2: CỰC TRỊ KHỐI LĂNG TRỤ Câu 1: B C D có AB  x, AD  3, góc đường thẳng A� C mặt Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� phẳng A x A�  ABB�  300 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật tích lớn 15 B x C x 3 D x Hướng dẫn giải D' C' B' A' h C D A x B A�  B C D hình hộp chữ nhật suy BC   ABB� Vì ABCD A���� A�  C mặt phẳng  ABB� B hình chiếu A� Khi A� Suy Đặt �� 300  � A� C ,  ABB� A� A� C , A� B   CA B   � BB�  h  h  0 B B , có A� B  A�� B  BB�  x  h2 Tam giác vng A�� BC , có Tam giác vng A� �� tan CA B BC � tan 300  A� B x h 2 � x  h  27 .S ABCD  3xh B C D V  BB� Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A���� �x  h � 27 81 81 3xh �3 � �  � Vmax  2 � � Áp dụng BĐT Cơsi, ta có Dấu "  " xảy �x  h  27 � �2 � x2  �x 2 �x  h  27 Chọn B Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo Tính thể V tích lớn max khối hộp chữ nhật cho A Vmax  16 B Vmax  12 C Vmax  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D Vmax  6 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Giả sử a, b, c kích thước hình hộp chữ nhật a2  b2  c2 Độ dài đường chéo hình chữ nhật Tổng diện tích mặt Theo giả thiết ta có  ab  bc  ca  �  ab  bc  ca   36 �ab  bc  ca  18 � � �2 2 � 2 a  b  c  36 � �a b c  Ta cần tìm giá trị lớn V  abc  a  b  c  Ta có  a  b  c   ab  bc  ca   72 � a  b  c  c  4� bc  b - ��  Ta có Khi   - � a    4� 18 a a � � �  a  � V  abc  a � 18  a  b  c  � 18  a  a � a  2a  18a � � a � � Xét hàm số f  a   a  2a  18a max f  x   f  0;4 � �  2  f  2  với  a � 0; � , � ta Chọn C �a  b  c � V  abc �� � 16 � � Nhận xét Nếu sử dụng sai dấu ''  '' khơng xảy Câu hỏi tương tự Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất ác cạnh 32 độ dài đường V V  16 chéo Tính thể tích lớn max khối hộp chữ nhật cho ĐS: max Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Dựng hình lập phương có cạnh tổng ba kích thước hình hộp chữ nhật Biết thể tích hình lập phương ln gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật Gọi S tỉ số diện tích tồn phần hình lập phương diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Tìm giá trị lớn A S max  10 B S max  16 Smax C S S max  32 D Smax  48 Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có cạnh hình lập phương a  b  c S   ab  ac  bc  ● Hình hộp chữ nhật có: V  abc File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ● Hình lập phương có: V '   a  b  c Khối Đa Diện - Hình Học 12 S 'tp   a  b  c   a  b  c S S   S2 ab  bc  ca Suy Ta có  a  b  c  a  b  c  32abc � a3 3  32 bc �b c � �b c � � �   1� 32 � � a �a a � �a a � �b x � x  y  1  �a �  x  y  1  32 xy � xy  � 32 �c  y Đặt �a  x  y  1 S   x  y  1  3  x  y  1 x y 2 x  y  xy 32 Khi Ta có  x  y  1  32 xy �8  x  y  � �� t 3  8 t � 1  Xét hàm t2 ����� S  96 t  32t  32 t  x  y 11 f  t  t 8t 16t t t2 max f  t   f    � � 2;3  � � 10 �, ta �2;3 � t  32t  32 đoạn � Chọn D Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng tích V có đáy tam giác Khi diện tích tồn phần hình lăng trụ nhỏ độ dài cạnh đáy bao nhiêu? A 4V B V C 2V D 6V Hướng dẫn giải Gọi h  chiều cao lăng trụ; a  độ dài cạnh đáy Theo giả thiết ta có V  Sday h  a2 4V h � h  a Diện tích tồn phần lăng trụ: Áp dụng BĐT Cơsi, ta có S toan phan S  S day  S xung quanh  a2 4V  3a 2 a a 3V   a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a 3V 3V a 2 3V 3V    �3  3 2V 2 a a a a Dấu ''  '' xảy � a 3V 3V   � a  4V a a Chọn A Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' với độ dài tất cạnh a Xét tất đoạn thẳng song song với mặt bên ABB ' A ' có đầu E nằm đường chéo A ' C mặt bên AA ' C ' C , đầu F nằm đường chéo BC ' mặt bên BB ' C ' C Hãy tìm độ dài ngắn đoạn thẳng a 2a 2a a A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Dựng mp  P  mp  AA ' B ' B  chứa EF song song cắt AC BC D L mp  P  Tromg từ L kẻ đường thẳng song song với EF , cắt DE K CL  x,   x  a  Đặt EK  FL ; CL  LD  CD  x BL  a – x Khi ta có: BB ' C ' C hình vng, suy FLB vng cân L nên EK  FL  LB  a  x (1) AA ' C ' C hình vng, suy DEC vuông cân D nên ED  DC  x (2) Từ (1) (2) có: KD  ED – EK  x   a  x   x – a 2a a x  (2 x  a)  ( x  )  5 KD  DL2 = Suy độ dài EF  KL  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a 2a Suy EF ngắn x  , tức CL  BC Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình vng Biết tổng diện tích V tất mặt khối hộp 32 Tính thể tích lớn max khối hộp cho A Vmax  56 B Vmax  80 C Vmax  70 D Vmax  64 Hướng dẫn giải Đặt a độ dài cạnh hình vuông đáy, b chiều cao khối hộp với a, b  1� 16 � 2a  4ab  32 � 2a  a  2b   32 � a  a  2b   16 � b  �  a � �a � Theo giả thiết ta có Do b0� 16  a  � a  a 1� 16 � V  a �  a �  a  8a �a � Khi thể tích khối hộp �4 � 64 max f  a   f � � f  a    a  8a  0;  , ta  0;4 �3� Xét hàm Chọn D Câu 7: Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Điểm M N thay đổi  MAC    NAC  BM  x , DN  y Tìm giá trị nhỏ cạnh BB ' D D ' cho thể tích khối tứ diện ACMN a3 a3 a3 a3 A B C 2 D Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A V ACMN  V AMNI  VCMNI  Khối Đa Diện - Hình Học 12 AC S IMN  a 2.( S BDD ' B '  S MND ' B '  S BIM  S IDN ) � (2b  x  y )a x.a y.a �  a � ab    � 4 � � �x.a y.a �  a �  � a ( x  y ) 4 � � mp(MAC)  mp(NAC) 2 �  1v � IM  IN  MN � x  a  y  a  2a  ( x  y ) � xy  a � MIN 2 1 a V ACMN  a ( x  y ) � a xy  3 Từ đó, Cách Tính trực tiếp cao) Câu 8: VACMN  1 AC IM IN VACMN  AC.S BDNM 12 (Đều coi AC đường 1   2 IN IB số, từ dùng bất đẳng thức suy giá trị Cách Chứng minh IM VACMN  AC IM IN nhỏ B C D có tồng diện tích tất mặt 36 , độ dài đường Cho khối hộp chữ nhật ABCD A���� chéo AC �bằng Tìm giá trị lớn thể tích khối hộp ? A B D 24 C 16 Hướng dẫn giải Chọn B �a  b2  c  36 (1) � 2(ab  bc  ac )  36 a , b , c � Đặt kích thước khối hộp ta có hệ 2 � � � (a  b  c)  2( a  b  c)  36 (a  b  c)  72 abc  (1) � � �� �� 2(ab  bc  ac)  36 ab  bc  ca  18 ab  bc  ca  18 � � � V  abc Cần tìm GTLN Cách � � bc 6 2a bc 6 a � � �� � bc  18  a  b  c  bc  18  a(6  a) � Ta có � 2 18  a  a �  b  c  �4bc nên suy  a �4 � � � Do � 3a  12 2a �0 �  a �4     File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Khối Đa Diện - Hình Học 12  V  abc  a � 18  a  a � a  2a  18a � � Do Lập bảng biến thiên hàm số  � f (a)  a  a  18a 0; � ta tìm GTLN V đạt a  2, b  c  hoán vị Cách Đk tạm thời a, b, c �(0;6 2) Ta thấy a,b,c nghiệm phương trình x  x  18 x  V  0(2) (2) � x  x  18 x  V Lập bảng biến thiên hàm số f ( x)  x  x  18 x tìm V lớn để phương trình có nghiệm(khơng thiết phân biệt) thuộc khoảng (0; 2) đáp số tương tự cách Sai lầm mắc phải học sinh dùng bđt Cơsi tìm GTLN V dấu ‘=’ không xảy 2 2 � Ta có AC  a  b  c  36; S  2ab  2bc  2ca  36 � (a  b  c)  72 � a  b  c  Câu 9: 3 abc � abc �6 � � �3 � � 16 � � Vậy VMax  16 �a  b  c � abc � � � � Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, ABCD hình vng cạnh 1, A 'A  Gọi (P) mặt phẳng chứa CD’, tạo với mặt phẳng (BDD’B’) góc 30 cắt cạnh BB’ K (P) chia khối lăng trụ ACD.A’C’D’ thành hai phần, tỉ số phần nhỏ phần lớn a  a �N, b �N,  a; b   1 b Tổng a  b A B 10 C 11 D Hướng dẫn giải Chọn D B' C A' B' A' 2 N O' C' B D' K B' H A O A B O D' D Gọi K C' D' O C M B D D O  AC �BD � CO   B 'D 'DB  C � Gọi H hình chiếu O D’K, suy góc (P) (B’D’DB) CHO  30 CO  � OH  CO.co s 300  2 Gọi I trung điểm BB’, ta có   CD ' I   P  H K I Xác định thiết diện (P) lăng trụ ACD.A’C’D’ tam giác CD’N hình vẽ 1 1 2 MO '  B ' K  BB '  MO � NO '  OC  A 'C ' � C ' N  A 'C ' � SNC 'D '  SA 'C 'D ' 3 3  BB' � 2, D ' I OI, OI File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 2 VC.C 'ND '  CC '.SNC'D'  CC '.SA 'C'D '  VACD.A 'C'D ' � a  b  9 P B C D cạnh a G trung điểm BD� Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A���� , mặt phẳng   thay đổi ; CD� ; D�� B tương ứng H , I , K Khi giá trị lớn biểu thức qua G cắt AD� 1 T   D� H D� I D� I D� K D� K D� H 16a 8a 16 2 A 3a B C 3a D Hướng dẫn giải Chọn A ACB� Vì G trung điểm BD�nên G trọng tâm tứ diện D� Xét toán phụ: Trong tam giác ABC , O trung điểm BC ; đường thẳng cắt AB AC AO  2 AB, AO, AC E , I , F Khi ta có: AE AF AI Từ B, C kẻ đường song song với EF cắt AO M , N Suy OM  ON theo Talet ta có: AB AC AM AN AO  OM  AO  ON AO     2 AE AF AI AI AI AI Áp dụng kết vào toán ta được: D� B � D� C D� A D� M D� F D� O D� O   2 2  3 D� I D� K D� H D� N D� T D� G D� G File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a a a (ab  bc  ca ) � (a  b  c)   1 Hay ta có: D ' I D ' K D ' H Ta chứng minh nên 1 1 1 T   � (   )  D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H D ' I D ' H D ' K 3a Dấu xảy (P) qua G song song với mp(ABC) Câu 11: Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' Lấy điểm E , F đoạn AB, DA ' thỏa DA DA '   mãn DE 27 DF Gọi V , V ' thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' V' khối tứ diện BDEF Khi GTNN tỉ số V A 81 B 468 C 486 Hướng dẫn giải D Chọn C Ta có: V' DE DF 6V ' DE DF V ' DE DF  �  �  VD ABA' DA DA ' V DA DA ' V DA DA ' Theo : DA DA ' DA DA ' 6  �2 DE 27 DF 27 DE DF DE DF  DA DA ' 81 DA DA '  Dấu "  " DE 27 DF V ' DE DF 1  �  Suy ra: V DA DA ' 81 486 Câu 12: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A’B’C’D’ cạnh đáy 1, chiều cao x Tìm x để góc tạo B’D (B’D’C) đạt giá trị lớn A x = B x = 0,5 C x = File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D x  Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Chọn A B' C' A' D' B A C D sin( B ' D, ( B ' D ' C ))  DH  B'D DH  x2 Gọi H hình chiếu D lên mặt phẳng (B’D’C) suy x DH  d (C ';( B ' D ' C ))  x  (Sử dụng đường cao tam diện vuông Mặt khác C’B’D’C) DH DH x x2 sin( B ' D, ( B ' D ' C ))     B'D x  5x   x2 ( x  2)(2 x  1) sin( B ' D, ( B ' D ' C )) lớn lớn t 2t  f (t )  � f '(t )  2t  5t  (2t  5t  1) f(t) lớn t = suy x = Góc Câu 13: Cho hình hộp đứng Xét hàm số ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh bên AA '  a , đáy hình thoi cạnh �  600 a, BAD Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi (P) mặt phẳng qua M song ( ACD ') song với mặt phẳng Khi thiết diện hình hộp mặt phẳng (P) có diện tích lớn diện tích  ACD ' : 3a 39 3a 39 3a 39 a 13 8 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 I D' R Q C' F A' P D B' S C K O A M J N E B Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC E, N Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ F Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ R, Q Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ S Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ P Thiết diện lục giác MNPQRSDo mặt đối diên hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diên MNPQRS song song cặp cạnh song song với cạnh tam giác ACD’  Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI        MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP  MJ=NK PK=QI  Các tam giác RQI, JMS, NKP (gọi diện tích chúng S1 gọi diện tích tam giác JKI, ACD’ S2, S) AM  k; Đặt AB ta có điều kiện  k  có: 2 S1 �JM � �AM � �AM �  � � � � � � k S �AC � �DC � �AB �  S1 = k2S 2 S2 �JK � �JM  MK � �JM MK �  � � � � �  �   k  1 S �AC � � AC � �AC AC �  S2 =( k2 + 2k +1)S  Diện tích thiết diện: Std  S2  3S1 � � �� 3S Std  S (k  k  )  S �  � k  ��� � �� � (dấu xảy  k 2)  M trung điểm AB S lớn  a 39 D ', AD'  2a � S ACD '  , Ta có : ACD ' cân k File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12  a Gọi G trung điểm B C D có AB  a, AD  a 2, AA� Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� P , CD� , D�� B tương ứng ba điểm phân biệt BD� , mặt phẳng   qua G cắt tia AD� 1 T   2 H , I , K Tìm giá trị nhỏ biểu thức D'H D'K D'I2 A T 3a B T a2 C T 3a D T 12a Hướng dẫn giải Chọn C Đặt D� H D� I D� K  x,  y, z D� A D� C D� B� uuuur uuuu r uuur uuuu r uuuur D� G  D� B  D� A  D� C  D� D 2 2 ta có uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur H  D� D  D� A D� H  xD� A  x D� D  D� A � D� x Ta có   uur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur � u � D I  D� D  D�� C D� I  yD� C  y D� D  D�� C y   uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur � D� K  D� A�  D�� C D� K  zD� A  z D� A�  D�� C z   uuuur uuuur uuur uuuur � D� G D� H D� I  D� K 4x 4y 4z 1 uuur uuuu r uuu r uuur   1 DG , DH , DI , DK x y z Do không đồng phẳng nên File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A � Khối Đa Diện - Hình Học 12 D� A D� C D� B   4 D� H D� I D� K A D� C D� B� � 1 � �D� � 42  �   ��   D� A  D� C  D�� B 2  � 2 � � � � � � � DI DK � �D H D I D K � �D H T 16 16 2 D� A  D� C  D� B� 12a 2 3a Câu 15: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Trên AB, CC ', C ' D ' lấy MNP  điểm M , N , P cho AM  C ' N  C ' P  a Thiết diện tạo mặt phẳng  với hình lập phương có chu vi bé 1 a 3a A 4a B C D 3a Hướng dẫn giải Chọn B *) Dựng thiết diện: Kẻ NP �DD '  S ; NP �CD  T ; MT �BC  H ; MT �AD  R; SR giao với AA ' A ' D ' Q, K Khi thiết diện lục giác MHNPKQ    x  a Đặt C ' N  C ' P  x ,  ta có tam giác C ' NP vng cân; suy góc � '  CNT �  450 PNC suy NCT vuông cân C ta NC  CT  a  x, ta lại có a BH  CH  BM  a  x BM / / CT nên H trung điểm BC từ có a A' K  D ' K  Chứng minh tương tự ta có Ta tính MQ  NP  x  x  x ; 5a �a � MH  HN  PK  KQ   a  x   � �  x  2ax  �2 � Chu vi thiết diện CMHNPKQ  x  x  2ax  5a  f  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 � a x � f�  x  2  f�  x  � � 2 3a 5a � x  � 0; a  x  2ax  � ; cho , ta có bảng biến thiên: 4 x  a Kết chu vi nhỏ CMHNPKQ  3a ( P) Câu 16: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng ( ABCD) cắt đoạn SA , SB , SC , SD tương ứng M , N , E , F ( M , N , song song với E , F khác S không nằm ( ABCD ) ) Các điểm H , K , P , Q tương ứng hình chiếu ( ABCD ) Thể tích lớn khối đa diện MNEFHKPQ vng góc M , N , E , F lên 2 V V V V A B C D 27 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt k= SM SA , ( < k