5.1 HDG MAX-MIN KHỐI CHÓP_Phần 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 SA   ABC  Câu 51: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA  a M điểm thuộc cạnh AB Kẻ SH  CM H Giá trị lớn thể tích tứ diện S AHC a3 A a3 B a3 C 12 Hướng dẫn giải a3 D 12 Chọn D VS AHC  SA.SAHC Ta có V S Do SA  a không đổi nên S AHC lớn AHC lớn S Mà AHC lớn � AHC vuông cân H � VMax a a3  a  12 Câu 52: Cho tứ diện ABCD có AB  2a , CD  2b cạnh lại có độ dài Giá trị lớn diện tích tồn phần tứ diện ABCD  ab  A 12  ab  B C Hướng dẫn giải D Chọn C Gọi I , J trung điểm AB CD Ta có Hai tam giác cân ACD BCD Hai tam giác cân ABC ABD CI  AB DI  AB IC  ID   a JA  CD JB  CD JA  JB   b File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a   a b2   b2 Stp  2SABC  SBCD  a  a  b  b �  1 2 Khi � ab Dấu  xảy � Câu 53: Cho hình thoi ABCD có BAD  60 , AB  a Gọi H trung điểm AB , đường thẳng d  ABCD  H lấy điểm S thay đổi khác H Biết góc SC vng góc với mặt phẳng m m SH  a SAD   n ( với m, n số tự nhiên n phân số tối có số đo lớn giản) Khi tổng m  n bằng: A B 25 C 23 D Hướng dẫn giải Chọn B  SAD   góc SC  SAD  Gọi M hình chiếu C lên CM d  C ;  SAD   sin    SC SC Ta có Vì BC / /  SAD  � d  C ;  SAD    d  B;  SAD    2d  H;  SAD   Gọi E hình chiếu H AD , Gọi F hình chiếu H SE ta có d  H;  SAD    HF HF sin   SC Đặt SH  x ( x  0) tam giác SHC vng H nên Khi �  x  7a SC  SH  CH  SH  BC  BH  BC.BH cos CBH HE a � HE  AH Do HF đường cao tam giác Tam giác vng EHA có 1 ax     � HF  2 HE HS 3a x 3a  x Khi vng HSE nên HF HF 3ax 3ax sin     SC (4 x  3a )( x  a ) (4 x  21a )  31a x �  sin HAE File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A sin  3ax  21.a x  31.a x sin  Khối Đa Diện - Hình Học 12 12 21  31 x Dấu đẳng thức xảy 21 SH  a � m  21, n  4 Vậy  lớn sin  lớn Khi m  n  21   25 21 a Câu 54: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD=4a, cạnh bên hình chóp a Cosin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) thể tích chóp S.ABCD lớn bằng: A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O hình chiếu S (ABCD) ABCD hình chữ nhật Do SA=SB=SC=SD nên OA=OB=OC=OD � � DC  x (x  0) � AC  x  16a � OA  x  16a 2 Đặt � SO  6a  x2 2 x  16a  2a    4 2 2a  x2 x2  4  8a x x x � VS.ABCD  2a  4a.x  8a 2a  � 8a 4 x2 x2  2a  � x  4a � x  2a Vậy thể tích S.ABCD đạt giá trị lớn Gọi H,K hình chiếu O,D (SBC) Do SO=OM nên H trung điểm SM Do OD=OB nên H trung điểm KB � SKC hình chiếu SDC (SBC) SO  a � 1 x  2a � � � SM  a � SSKC  SSBC  a 2.4a  a 2 OM  a � � SN  6a  a  a � SSCD  a 5.2a  a Gọi N trung điểm DC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Theo cơng thức hình chiếu ta có Khối Đa Diện - Hình Học 12 � SSKC  SSDC cos  � cos = Câu 55: Cho hình chóp S ABCD tích V , ABCD hình bình hành có tâm O Gọi I trung  P  mặt phẳng qua I cho  P  cắt cạnh SA, SB, SC , SD điểm SO , điểm M , N , P, Q Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp S MNPQ V A V B V C 12 Hướng dẫn giải V D Chọn D a Đặt SA SB SC SD ,b  ,c  ,d  SM SN SP SQ VSABD  VSBCD  V0  V VSMNQ  V1 VSNPQ  V2 , ac bd  Ta có kết quả: V0 V0  a.b.d  c.b.d V1 ; V2 SO 4 SI V0 V0   b.d  a  c   4b   b  V1 V2 �16 với  b �3 V0 V0 V V V 2V 2V  �2  �  V V2 V1 V2 V1.V2 V1  V2 VS MNPQ Mặt khác: 2V V �16 VS MNPQ  VS MNPQ Do đó: � Câu 56: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi S diện tích hình chiếu tứ diện lên mặt phẳng khác Khi S lớn bằng? a2 a2 a2 S  S  S  2 A S  a B C D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Chọn B S B ' C ' D ' �S BCD  a2 Nếu hình chiếu tam giác, giả sử tam giác B ' C ' D ' , Nếu hình chiếu tứ giác, giả sử A ' B ' C ' D ' Gọi M , N , P, Q , M ', N ', P ', Q ' trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA, A ' B ', B ' C ', C ' D ', D ' A ' , S A ' B ' C ' D '  2S M ' N ' P 'Q ' �2SMNPQ Vậy S a2  a2 Câu 57: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a đường cao SA  2a MNPQ thiết diện song song với đáy, M �SA AM  x Xét hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tứ giác MNPQ đường sinh MA Giá trị x để thể tích khối trụ lớn a 2a a 3a x x x x 3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có MNPQ thiết diện song song với đáy MNPQ đồng dạng với đáy Suy MNPQ hình vng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 MN SM 2a  x 2a  x   � MN  SA 2a Theo định lý talét ta có: AB Đường trịn đáy trụ (T) đường tròn (C ) ngoại tiếp hình vng MNPQ nên ta có bán kính đáy MN 2a  x R  2 trụ 2 �2a  x � V   R2h   � �x    2a  x  x �2 � Khi ta tích khối trụ là: Theo bất đẳng thức cauchy ta có 1 �2a  x  2a  x  x � 4 a3 V    2a  x  x   (2a  x )(2a  x)2 x �  � � 16 16 � � 27 V 4 a  27 �x � 0; 2a  4 a 2a V �� � x 27 2a  x  x � Vậy VMax  4 a 2a � x 27 Câu 58: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD M điểm thay đổi không gian Đặt P = MA + MB + MC + MD, giá trị nhỏ P là: A Pmin  R B Pmin  R Pmin  3R C Hướng dẫn giải D Pmin  16 R Chọn B Gọi G trọng tâm tứ diện; E, F, K, L trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên AF  BF suy EF  AB , tương tự ta chứng minh EF  CD đường thẳng PQ vng góc với hai đường thẳng BC, AD Từ suy GA  GB  GC  GD  R MA.GA  MB.GB  MC.GC  MD.GD MA  MB  MC  MD  GA Ta có uuur uuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur MA.GA  MB.GB  MC.GC  MD.GD � GA File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Khối Đa Diện - Hình Học 12 uuuu r uuu r uuu r uuur uuur MG GA  GB  GC  GD  4.GA2    4GA  R GA Dấu xảy M trùng với điểm G Vậy Câu 59: Pmin  R AB đường vuông góc chung hai đường thẳng x , y chéo nhau, A thuộc x , B thuộc y y Đặt Đặt độ dài AB  d M điểm thay đổi thuộc x , N điểm thay đổi thuộc AM  m , BN  n  m �0, n �0  Giả sử có: m  n  k  , k không đổi Với giá trị m , n độ dài MN nhỏ nhất? A m  n  k B m k k ,n  k mn 2 C D m  k ,n  k Hướng dẫn giải Chọn C ' MH / / AB Kẻ Bx / / Ax � MH   Byx '  � MH   Byx  ' x y 2 2 2 Ta có : MN  MH  HN  d  n  m  2m.n cos   d  k  2m.n cos  2 Vì d , k ,  không đổi k  m  n �2m.n nên MN nhỏ Gọi  góc � m.n lớn � mn k Câu 60: Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân B, BA=BC=2a, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm E AB, SE=2a Gọi I,J trung điểm EC, SC, �     900 ECM điểm M di động tia đối tia BA cho H hình chiếu vng góc S MC Khi thể tích khối tứ diện EHIJ đạt giá trị lớn Thì thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện EHIJ là?   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A V 11 a 11 48 B V Khối Đa Diện - Hình Học 12  a3 10 3 a3 10 V 16 C Hướng dẫn giải D V 11 a3 11 24 Chọn A Có I, J trung điểm EC, SC Nên IJ đường trung bình SCE SE IJ  a SE  ABC I J   ABC  Suy IJ//SE, Suy , SH  MC Có , mà EH hình chiếu SH Suy EH  MC     2 I Có CE  CB  EB  a không đổi Suy H thuộc đường trịn đường kính CE Gọi V1 thể tích khối tứ diện J.EIH Tứ diện J.EIH có chiều cao IJ V1  I J dt EIH  Có , IJ khơng đổi  ECH Có vng H, I trung điểm CE Suy IH  IC  IE dt EIH   dt CEH  Nên dt CEH   d  H ;CE  CE Có , có CE khơng đổi V1  IJ CE.d  H;CE  đạt GTLN File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 � d  H;CE  đạt GTLN, mà H thuộc đường trịn  I  đường kính CE � H điểm cung CE đường trịn  I  �   450 Gọi V2 thể tích khối cầu ngọai tiếp khối chóp J.EHI Khối chóp J IEH có IJ, IE,IH đơi vng góc Nên 2 �I J � �EH � a 11 CE a 10 EH   V2   R3 R  �2 � � �  � � � � , , a311 11 11 a3 11 V3    48 43 Câu 61: Người ta cần trang trí kim tự tháp hình chóp tứ giác S ABCD cạnh bên 200 m , � góc ASB  15�bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong điểm L cố định LS  40 m (tham khảo hình vẽ) Hỏi cần dung mét dây đèn led để trang trí? A 40 67  40 mét B 20 111  40 mét C 40 31  40 mét D 40 111  40 mét Hướng dẫn giải Chọn C Ta sử dụng phương pháp trải đa diện Cắt hình chóp theo cạnh bên SA trải mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Từ suy chiều dài dây đèn led ngắn AL  LS � Từ giả thiết hình chóp S ABCD ta có ASL  120� 2 2 � Ta có AL  SA  SL  SA.SL.cos ASL  200  40  2.200.40.cos120� 49600 Nên AL  49600  40 31 Vậy, chiều dài dây đèn led cần 40 31  40 mét Câu 62: Cho tứ diện ABCD cạnh a Một mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt ( BCD) cắt cạnh AB, AC , AD thứ tự M , N , P Gọi G trọng tâm tam giác BCD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPG nhỏ là: a A B 1 a 3 2 a C Hướng dẫn giải D 6 a Chọn C Gọi K tâm tam giác MNP Đặt KG  x, AG  h Khi AK  h  x MK h  x h x ( h  x) a  � MK  BG  h h 3h Suy BG Ta có MG  GK  MK  x  (h  x) a 3h File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a4 A 521 a4 B 576 Khối Đa Diện - Hình Học 12 a4 C 81 Hướng dẫn giải a4 D 324 r r r r Gọi , , , khoảng cánh từ điểm M đến bốn mặt tứ diện Gọi S diện tích mặt tứ diện Thể tích tứ diện 1 V  S h  S  r1  r2  r3  r4  � r1  r2  r3  r4  h 3 �a � a h  a � �3 � � � � Đường cao tứ diện a  � r1 r2 r3 r4 4 r1.r2 r3 r4 r1.r2 r3 r4 Suy r1  r2  r3  r4  a4 576 h a  12 Dáu “=” xảy Khi M trọng tâm tứ diện   0a Câu 98: Cho hình chóp S ABC có SA  a , cạnh cịn lại hình chóp Khi VS ABC đạt giá trị lớn giá trị biểu thức P  4a  a  thuộc khoảng sau đây? �33 35 � � 37 � � 33� 15 � � 9; � 8; � � ; � � � � ;8 � A �2 � B �4 � C � � D � � Hướng dẫn giải Chọn B Gọi I , J trung điểm SA BC SAC cân C � SA  IC SAB cân B � SA  IB � SA  ( IBC ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a  a2 SA  , AB  � IB  AB  IA2  2 IAB vuông I ,  a2 JB  � IJ  IB  BJ  IJB vuông J , 2 IA  S IBC   a2 IJ.BC  1 1 a  a2 VS ABC  VS IBC  VA IBC  SI.SIBC  AI.SIBC  (SI  AI).SIBC  SA.SIBC  3 3 12 2 1 a 3a  a (3  a ) �  12 12 17 a2   a2 � a  �P 2 Chọn đáp án Dấu "  " xảy B Câu 99: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  BD  CD  Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn khoảng cách hai đường thẳng AD BC 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D x, y   - Đặt BC  x , AD  y  H , K - Gọi trung điểm BC AD Do tam giác ABC DBC cân A AH  BC , DH  BC � BC   ADH  � BC  HK D nên ABC DBC Lại tam giác nên AH  DH � HK  AD hay HK  d  AD, BC  - Ta có : x2  x2  x2  y 2  � HK  AH  AK  2 1 1  BC.S HAD  BC .HK AD  x y  x  y 3 12 AH  AB  BH   HK AD � VABCD Áp dụng BĐT Cơsi ta có : � S HAD  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 �x  y   x  y � VABCD  xy  x  y  x y   x2  y  � � � 12 12 12 � � 27 � x2  y   x2  y2 � x  y  Dấu ”=” xảy  x2  y 2 HK   � x y 27 3 Khi : Do d  AD, BC   Vậy Vmax  Câu 100: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có SA  SB  SC  Tính thể thích lớn V max khối chóp cho 1 Vmax  Vmax  Vmax  Vmax  12 12 12 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B SH   ABC  - Gọi H trọng tâm tam giác ABC , theo giả thiết suy x 3x  3x x2 � AH  � SH    SABC  - Đặt AB  x ; 1  3x x � VS ABC  SH S ABC   x  x 3 12 Áp dụng BĐT Côsi ta được: VS ABC �x  x   x � 1  x x   x  � � � 12 12 � � Dấu ”=” xảy � x  Vmax  � AB  Vậy Câu 101: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi S diện tích hình chiếu tứ diện lên mặt phẳng khác Khi S lớn bằng? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A S  a B S a2 Khối Đa Diện - Hình Học 12 a2 C Hướng dẫn giải S D S a2 Chọn B a2 S B 'C ' D ' �S BCD  Nếu hình chiếu tam giác, giả sử tam giác B ' C ' D ' , Nếu hình chiếu tứ giác, giả sử A ' B ' C ' D ' Gọi M , N , P, Q , M ', N ', P ', Q ' trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA, A ' B ', B ' C ', C ' D ', D ' A ' , a2 S A ' B 'C ' D '  S M ' N ' P ' Q ' �2S MNPQ  a2 S Vậy Câu 102: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có góc tạo mặt bên mặt đáy  Biết khoảng cách hai đường thẳng AD SC a thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị nhỏ Khi giá trị cos  bằng: cos   cos   cos   cos   3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Do AD / / BC mà BC �( SBC ) � AD / /( SBC ) � d ( AD; SC )  d ( AD;( SBC ))  d ( M ;( SBC )) Trong tam giác SMN kẻ MH  SN , H �SN , ta có: �MH  BC (do BC  (SBN )) � MH  ( SBC ) � �MH  SN � d ( M ;  SBC  )  MH  a Tam giác vng HMN có MN  a a2  AB � S ABCD  AB  sin  sin  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A SO  ON tan   Khối Đa Diện - Hình Học 12 a MN tan   tan  2sin  Tam giác vng SON có 1 a a2 a3 VS ABCD  SO.S ABCD  tan   3 2sin  sin  sin  cos  Khi VS ABCD  a3 , 0 t 1 t (1  t ) Đặt t  cos  với  t  Ta có : 0;1 VS ABCD nhỏ � f (t )  t (1  t )  t  t lớn khoảng   f ' (t )   3t ; f ' (t )  � t  Ta có 1 �t � cos   3 Lập BBT ta có f (t ) lớn Câu 103: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên a , góc hợp đường cao SH hình chóp mặt bên  Tìm  để thể tích S ABCD lớn 0 0 A 30 B 45 C 60 D 75 Hướng dẫn giải Chọn B Do hình chóp S ABCD hình chóp nên H giao điểm AC BD CD   SHM   SHM    SCD  mà  SHM  � SCD   SM Gọi M trung điểm CD ta có nên HK   SCD  nên từ H dựng HK  SM K � SH , SK   HSK  SCD  suy  SH ,  SCD    � Hay SK hình chiếu SH lên mặt phẳng tam  0  � giác SHK vuông K theo giả thiết ta có HSM   với 2 Đặt SH  h � HC  a  h � HM  a2  h2 2 BC  2(a  h ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tam giác SHM vuông H : � h (1  tan  )  a � h  tan   Khối Đa Diện - Hình Học 12 HM a2  h2  � 2h tan   a  h2 SH 2h a  tan  4a tan  � VS ABCD  BC SH  4a tan  BC  2(a  h )  4h tan   3 (1  tan  )3  tan  2 2 Đặt t   tan  Với Xét hàm số f (t )  t � 1; � � tan   t 1 2a t  t t D   1; � � � t t t (t  1) � � a � a   t  f ' t   � 3 t 2t t f ' t   � t  Bảng biến thiên 4a    t  � tan   hay   450 Vậy Câu 104: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt ABCD  đáy  SA  a Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng max f  t   góc S lên đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD, thể tích khối chóp S ABH có giá trị lớn a3 A a3 B 12 a3 C Hướng dẫn giải a3 D Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Cách CM  x    �a  Đặt , ta có SABH  S ABCD  S ADM  SBCM Mặt khác � AH  1 a2  a  a  a  x   ax  2 AH BM 2 , với BM  x  a a2 � BH  AB  BH   2 x a SABH  2S ABH BM ax x2  a2 a4 x VS ABH  SABH SA   x2  a2  Do Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có a4 a4 a3 VS ABH  �  12 � a2 � �x  � 6.2 x a x � x � � max VS ABH  a3 a2 x �xa 12 , đạt x M D Cách Trong tam giác SBM kẻ đường cao SH, ta có �BM  SH � BM   SAH  � BM  AH � �BM  SA � ABM    450 �  900  Đặt , ta có AH  AB.sin   a sin  , BH  AB.cos   a cos  Thể tích khối chóp S.ABH là: 1 a3 VS ABH  S ABH SA  AH BH SA  a sin  a cos  a  sin 2 6 12 a3 a3 VS ABH � � max VS ABH  12 12 , đạt sin 2  �   45 hay M �D Ta có Cách VS ABH  SABH SA Ta có V S Mà SA  a không đổi nên S ABH lớn ABH lớn Cauchy 2 2 Lại có a  AB  AH  BH � AH BH File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A � S ABH  a2 AH BH � � max VS ABH  VS ABH Khối Đa Diện - Hình Học 12 a3  12 a3 � ABH 12 , đạt AH  BH  � 450 M D Câu 105: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên a, mặt bên tạo với đáy góc    0 thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn Chọn khẳng định Biết  � 400 ;550  � 00 ;390  � 580 ;790  � 720 ;900 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A  Gọi        O  AC �BD � SO   ABCD  � OM  BC � � �� �  SMO �SM  BC �ABCD � SBC  BC     Gọi M trung điểm BC, ta có: � Đặt BC  x , ta có OM  x , Trong tam giác vng SOM có SO  OM tan   x tan  2 2 Trong tam giác vng SOB có: SO  SB  OB  a  x a a  x  x tan  � x   tan  Do ta có phương trình: 2a a tan  �� � BC  ; SO  2  tan   tan  1 a tan  4a 4a tan  4a VS ABCD  SO.S ABCD    3  tan   tan    tan    tan  tan    tan   Ta có: tan    tan   CAUCHY � � � tan  1 � tan  1  �   � � � �  tan   tan   tan  �2  tan   tan   tan  � � � 27 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A VS ABCD Nên 4a  tan    tan   4a � Khối Đa Diện - Hình Học 12 tan   � tan   �   450 2  tan   tan  Đẳng thức xảy Câu 106: Cho hình tứ diện SABC có độ dài cạnh SA  BC  x , SB  AC  y , SC  AB  z thỏa mãn x  y  z  27 Tính giá trị lớn thể tích khối tứ diện SABC A C Hướng dẫn giải B D Chọn C Thể tích khối tứ diện V 12 2 Mà x  y  z  27 nên y V 2 12  z  x2   z  x2  y   x2  y  z   27  x   27  y   27  z  2  27  2x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương  ,  27  y  ,  27  2z  �  27  x2    27  y    27  z  � � � � 27  x   27  y   27  z  � � � � ta có ۳ 729 Vậy  27  x   27  y   27  z  Vmax  2 V  729 ۣ V 12 , đạt x  y  z  tức tứ diện cho tứ diện cạnh Câu 107: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh , SA  SA vng góc  ABCD  Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho với mặt phẳng đáy 1 T   SMC SNC   vng góc với mặt phẳng   Tính tổng AN AM thể tích mặt phẳng khối chóp S AMCN đạt giá trị lớn File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A T  B T Khối Đa Diện - Hình Học 12 2 C Hướng dẫn giải T D T 13 Chọn B A  0;0;  B  2; 0;  D  0; 2;0  S  0; 0;  Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , , , C  2; 2;  x, y � 0; 2 M  x; 0;0  N  0; y;  Suy Đặt AM  x , AN  y , , suy , uuur uuu r uuu r SM   x;0; 2  SC   2; 2; 2  SN   0; y; 2  , , ur uuur uuu r uu r uuu r uuu r � � n1  � SM , SC � SN , SC � � �  4; x  4; x  , n2  � �   y; 4; 2 y  ur uu r n1.n2  �   y    x    xy  � xy   x  y   SMC    SNC   Do nên  2x  2x � y �۳ x x  , y �2 nên x  S AMCN  S ABCD  S BMC  S DNC     x     y   x  y VS AMCD  SA.S AMCN Do 2 �  x � x2    x  y   �x  � 3� x2 � x2 x2  4x  x2  � f x    f  x   x  2 x � 1; 2 x  Xét với , f�  x   � x  x   � x  2  ; x  2  (loại) max f  x   f  1  f    Lập BBT ta suy  0;2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 � �x  � � 1 1 �y  � max VS AMCN  � �T    2  2 � AM AN x y �x  � � � �y  Vậy AN  y AM  x O  AC � DB E  BD � CM Cách 2: Đặt , Gọi ; ; F  BD �CN H hình chiếu vng góc O SC , đó: �SC  OH �SC  HE � SC   HBD  � � � �SC  HF Ta có: �SC  BD Do góc  SCM   SCN  HO  góc HE HF Suy HE  HF VS AMCN  SA.S AMCN   x  y  3 Mặt khác Tính OE , OF : Ta có: x  , y  x �2 , y �2 gọi K trung điểm AM , đó: OE KM x OE EB OB x   �   � OE  EB MB  x x  2x  x 4x Tương tự: OF  y 2  y Mà OE.OF  OH �  x    y    12 OE.OF  OH �  x    y    12 Nếu x  y  ta có  x    y    12 Tóm lại: 2 2� 12 � VS AMCN  SA.S AMCN   x  y   �  �  4�  x     y    4�  x  2  � � 3 3� x2 � Suy ra: � �x  � � 1 1 �y  � max VS AMCN  � �T    2  2 � AM AN x y �x  � � �y  � Do Câu 108: Cho tam giác ABC cạnh a ,trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ABC ) A lấy điểm M khác A Gọi H trực tâm tam giác MBC , biết đường thẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng MBC H ln cắt đường thẳng d N Tìm giá trị nhỏ diện tích tồn phần tứ diện MNBC a (2  5) a (2  2) a (2  5) a (5  2) 2 2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 �BC  mp( MAI ) � ( ) �mp ( MAI ) Gọi I trung điểm BC ta dễ dàng chứng minh � Gọi O  ( ) �AI , ta có O trực tâm tam giác MNI suy AM AN  AO AI (do AMO : AIN ) 2 AO AI (BĐT cauchy) Ta dễ dàng chứng minh O trọng tâm tam giác ABC a a AO  ; AI  MN a tam giác ABC cạnh a Rõ ràng MN  AB; MI  BC; NI  BC nên MN Stp  Ta có 1 ( MN AB  MI BC  MN AC  NI BC ) a(2MN  MI  NI ) =2 ABC cạnh a MI  AM  AI  AM  3a a AM  MI � Nên theo BĐT Bunhia ta có a AN  NI � Tương tự ta có 3a Stp � a(2 MN  MN  ) 5 Do a (2  5) Stp � Mà MN �a (cmt) nên Dấu xảy AM  AN  a 2 Câu 109: Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SA  BC  x , SB  AC  y , SC  AB  z thỏa mãn x  y  z  12 Giá trị lớn thể tích khối chóp S ABC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A V 2 B V 3 C Khối Đa Diện - Hình Học 12 V D V 2 Hướng dẫn giải Chọn A Cách S z y x y A z D E C x F B  ABC  Trong mặt phẳng dựng D , E , F cho A , B , C trung điểm DE , DF , EF Khi ta có DE  SA  x ; DF  2SB  y ;  SC  z Suy SD , SE , SF đơi vng góc 1 VS ABC  VS DEF  SD.SE.SF 4 Ta có �SD   z �SD   x  y  z  �SD  SE  x � � � � 2 2 � 2 �� SE   x  z  y  � �SE   y �SD  SF  y � � �SE  SF  z 2 2 SF   x SF  y  z  x �   � � � � Mặt khác Khi VS ABCD VS ABC Vậy Cách  24  6 x   6 y   6 z  2 �6  x   y   z � 2 � � � � � 2 đạt giá trị lớn S M C A N B N M Gọi trung điểm SA BC Lúc MN đường vng góc chung SA BC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 y  z  x2 SMN ta có 2 y  z  x2  cos  SA, BC  V  SA.BC MN sin  SA, BC   x 6 MN  SN  SM  y2  z2   y2  z  x2  x 1 x4  12   12  z   12  x   12  y  2 2 12  x  y2  z   y  z  x2   z  x2  y    z    x2    y2  12   6 z   6 x   6 y  2 �6  z   y   x � 2 � � � � 3 � �x  y  z  12 � x yz2 � x yz � Dấu xẩy 2 V Lúc Câu 110 Cho hình chóp S ABC có SA  1, SB  2, SC  Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mặt    qua trung điểm I SG cắt cạnh SA, SB, SC M , N , P Tính phẳng 1 T    2 T SM SN SP giá trị nhỏ biểu thức A Tmin  B Tmin  C Tmin  18 D Tmin  Hướng dẫn giải Chọn C uuu r uur uur uuu r ABC �� � SG  SA  SB  SC Do G trọng tâm  �� �  r SC uur � uur �SA uuur SB uuu r SC uur � SG uur �SA uuur SB uuu SI  � SM  SN  SP �� SI  � SM  SN  SP � SI �SM SN SP �SM SN SP � � �SA SB SC � SA SB SC   1�    � � SM SN SP Do I , M , N , P đồng phẳng nên �SM SN SP � Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có 1 � �1 �SA SB SC �  2� SA  SB  SC  ��    � 2 � SN SP � �SM �SM SN SP � 36 18 T�  2 SA  SB  SC Suy File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Cách trắc nghiệm Do với hình chóp nên ta chọn trường hợp đặc biệt SA, SB, SC đôi vng góc tọa độ hóa sau: S �O  0; 0;0  A  1;0;0  B  0; 2;0  C  0;0;3  , , Suy �1 � �1 1 � G � ; ;1��� �I � ; ; � �3 � �6 � Khi mặt phẳng �� �   :   M  a;0;0  , N  0; b;  , P  0;0; c  cắt SA, SB, SC x y z 1   1 T    a b c a b c 1 �1 1 � I�; ; � ξ��        : a Vì �6 � 1 b 1 c 18 �1 1 1 � �1 1 ��1 1 �  �   ���   � �   ��� �T � �6 a b c � �6 ��a b c � Ta có File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 57 ...  x   27  y   27  z  2  27  2x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương  ,  27  y  ,  27  2z  �  27  x2    27  y    27  z  � � � � 27  x   27  y   27  z ...  x  16a � OA  x  16a 2 Đặt � SO  6a  x2 2 x  16a  2a    4 2 2a  x2 x2  4  8a x x x � VS.ABCD  2a  4a.x  8a 2a  � 8a 4 x2 x2  2a  � x  4a � x  2a Vậy thể tích S.ABCD đạt... có đường cao OH suy 1 1 = = + = + OH SO2 OA2 h2 x2 Lại có 1 =+=++�۳ h2 x2 h2 x2 1 33 x2 AM{- GM h2 x4 hx2 27 1 VABCD  SO.S ABCD  hx �9 � V  3 Vậy Cho khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân