5.1 HDG MAX-MIN KHỐI CHÓP_Phần 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 DẠNG 1: CỰC TRỊ KHỐI CHĨP V Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SA  a , SB  a , SC  a Tính thể tích lớn max khối chóp cho A Vmax  a B Vmax a3  C Vmax a3  D Vmax a3  Hướng dẫn giải A B S H C  SBC  � AH   SBC  Gọi H hình chiếu A mặt phẳng Ta có AH �AS AS   SBC  Dấu ''  '' xảy � S SBC  � �1 SB.SC SB.SC.sin BSC 2 Dấu ''  '' xảy SB  SC 1 �1 � V  SSBC AH � � SB � SC �AS  SA.SB.SC 3 �2 � Khi Dấu ''  '' xảy SA, SB, SC đơi vng góc với a3 Vmax  SA.SB.SC  6 Vậy thể tích lớn khối chóp Chọn D Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài đường chéo AC '  18 Gọi S diện tích S tồn phần hình hộp cho Tìm giá trị lớn max S A Smax  36 B S max  18 C Smax  18 D S max  36 Hướng dẫn giải S   ab  bc  ca  Gọi a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật Khi 2 2 Theo giả thiết ta có a  b  c  AC '  18 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 2 S   ab  bc  ca  �2.18  36 Từ bất đẳng thức a  b  c �ab  bc  ca , suy Dấu ''  '' xảy � a  b  c  Chọn D Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  , cạnh bên SA vng góc với  ABCD  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho mặt phẳng đáy A Vmax  40 B Vmax  80 C Vmax  20 D Vmax  24 Hướng dẫn giải S A B x C D 2 Đặt cạnh BC  x  Tam giác vng ABC , có AC  16  x 2 Tam giác vng SAC , có SA  SC  AC  20  x Diện tích hình chữ nhật S ABCD  AB.BC  x VS ABCD  S ABCD SA  x 20  x 3 Thể tích khối chóp Áp dụng BĐT Cơsi, ta có x2  x 20  x �  20  x Dấu "  " xảy � x  20  x � x  10 Vậy Cách Xét hàm số  10 2 f  x   Vmax  40 VS ABCD � 10  3 Suy 40 x 20  x 0;   Chọn A Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có SA  SB  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho Vmax  A B Vmax  12 C Vmax  12 D Vmax  12 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 S A C O M B � SO   ABC  Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S ABC hình chóp Đặt AB  x  Diện tích tam giác Gọi M trung điểm Khi VS ABC Xét hàm x2 x x � OA  AM  3 BC � AM  Tam giác vng SOA, có S ABC  SO  SA2  OA2   x2 1 x2 3  x2  S ABC SO   x  x 3 12 f  x  max f  x   f x  x 0; 0; 12 , ta        16 x Cách Ta có 1 �x  x   x � 3 x  x x   x  � � �  2 � � Chọn A Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD  Các cạnh bên V Tìm thể tích lớn max khối chóp cho A Vmax  130 B Vmax  128 C Vmax  125 D Vmax  250 Hướng dẫn giải S x B O C A D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Gọi O  AC �BD Vì SA  SB  SC  SD suy hình chiếu S mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy � SO   ABCD  Đặt AB  x  Tam giác vuông ABC , có AC  AB  BC  x  16 Tam giác vng SOA, có Khi VS ABCD SO  SA2  AO  SA2  AC 128  x    1 128  x 1 128  S ABCD SO  x  x 128  x �  x  128  x   3 3 128 VS ABCD � Dấu ''  '' xảy x  128  x � x  Suy Chọn B Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh 1; SO vng góc với mặt  ABCD  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho phẳng đáy A Vmax  B Vmax  C Vmax  27 D Vmax  27 Hướng dẫn giải S A B O C x D Đặt OA  OC  x 2 2 Tam giác vng AOD, có OD  AD  OA   x Suy BD   x Diện tích hình thoi S ABCD  OA.BD  x  x 2 Tam giác vuông SOC , có SO  SC  OC   x 1 VS ABCD  S ABCD SO  x  x  x  x   x  3 Thể tích khối chóp Xét hàm f  x  x  1 x  �1 � max f  x   f � �  0;1 0;1  3 � � , ta File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy Vmax  Khối Đa Diện - Hình Học 12 27 Cách Áp dụng BDT Cơsi, ta có x   x2   2 x2   x2    x2  3 �2 x   x   x � � � � � 27 � Chọn D Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AD  4a Các cạnh bên hình V chóp a Tính thể tích lớn max khối chóp cho A Vmax  8a B Vmax  a 3 C Vmax  8a D Vmax  a Hướng dẫn giải S D A H B C  ABCD  trùng với tâm Do SA  SB  SC  SD  a nên hình chiếu vng góc S mặt phẳng đường tròn ngoại tiếp đáy, tứ giác ABCD hình chữ nhật Gọi H  AC �BD , suy SH   ABCD  2 2 Đặt AB  x  Ta có AC  AD  AB  x  16a Tam giác vng SHA, có SH  SA2  AC 8a  x  1 VS ABCD  S ABCD SH  AB AD.SH 3 Khi   8a  x a a 8a 2 2  x.4a  x 8a  x �  x  8a  x   3 3 Chọn A Câu 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C , AB  Cạnh bên SA  vng  ABC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho góc với mặt phẳng đáy Vmax  A Vmax  B C Vmax  12 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Vmax  D Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải S B A C 2 Đặt AC  x  Suy CB  AB  CA   x Diện tích tam giác Khi VS ABC S ABC  x  x2 AC.CB  2 �x   x � 1 � � �  SABC SA  x  x 6� � 3   Chọn A Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vng góc với mặt  ABC  Biết SC  1, tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho phẳng đáy A Vmax  12 B Vmax  12 C Vmax  27 D Vmax  27 Hướng dẫn giải S A B x x C 2 Giả sử CA  CB  x  Suy SA  SC  AC   x 1 SABC  CA.CB  x 2 Diện tích tam giác 1 VS ABC  SABC SA  x  x Khi �2� 2 max f x  f   � f  x  x 1 x �3� � 27  0;1 0;1  � � Xét hàm , ta x Cách Ta có 1 �x  x   x � 1 x  x x   x  � � � 2 � � File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Chọn D Câu 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A AB  Các cạnh bên SA  SB  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho Vmax  A Vmax  B Vmax  C Vmax  D Hướng dẫn giải S C B I A Gọi I trung điểm BC Suy IA  IB  IC � I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SA  SB  SC suy I hình chiếu S mặt phẳng  ABC  � SI   ABC  2 Đặt AC  x  Suy BC  AB  AC  x  Tam giác vng SBI , có Diện tích tam giác vng SI  SB  BI  S ABC  15  x x AB AC  2   1 x 15  x 1 x  15  x VS ABC  SABC SI   x 15  x �  3 2 12 12 Khi Chọn A  y   Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  y  ABCD  Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM  x   x  a  Tính vng góc với mặt đáy 2 V thể tích lớn max khối chóp S ABCM , biết x  y  a A Vmax  a3 B Vmax  a3 C Vmax  a3 D Vmax  a3 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 S y A x a B a M C D 2 2 Từ x  y  a � y  a  x �BC  AM S ABCM  � � Diện tích mặt đáy � �a  x � AB  � a � � � �2 � �a  x � 2 a a � a  x   a  x  a  x VS ABCM  S ABCM SA  � �2 � Thể tích khối chóp Xét hàm Suy f  x   a  x Vmax  �a � 3a max f x  f    �� a2  x2  0; a  , ta  0;a  �2 � a3 Chọn B  SAD  Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  4, SC  mặt bên V tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích lớn max khối chóp cho A Vmax  40 B Vmax  40 C Vmax  80 D Vmax  80 Hướng dẫn giải S A B H C D  SAD    ABCD  � SH   ABCD  Gọi H trung điểm AD � SH  AD Mà Giả sử AD  x  Suy Tam giác vng SHC , có HC  HD  CD  x2  16 SH  SC  HC  20  x2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 VS ABCD  S ABCD SH  AB AD.SH 3 Khi   x2 1 80  4.x 20   x 80  x �  x  80  x   3 Chọn D   0 x Câu 13: Cho hình chóp S ABC có SA  x , tất cạnh cịn lại Tính thể tích V lớn max khối chóp cho Vmax  A Vmax  B C Vmax  12 D Vmax  16 Hướng dẫn giải S x C A H N B Ta có tam giác ABC SBC tam giác cạnh  1 Gọi N trung điểm BC Trong tam giác SAN , kẻ SH  AN Ta có ● SN đường cao tam giác SBC � SN  �BC  AN � BC   SAN  � BC  SH �  2 ● �BC  SN  1   , suy Từ SH   ABC  Diện tích tam giác ABC S ABC  1 3 1  VS ABC  SABC SH � SABC SN  3 Khi Dấu ''  '' xảy H N Chọn B Câu 14: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x cạnh lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A x  B x  Khối Đa Diện - Hình Học 12 C x  D x  14 Hướng dẫn giải Hình vẽ A x C B H N D Cách làm tương tự Tam giác BCD cạnh � BN  VABCD lớn H � N Khi ANB vng Trong tam giác vng cân ANB , có AB  BN  Chọn A Câu 15: Trên ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi, lấy điểm A, B, C cho OA  a, OB  b, OC  c Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi ln ln thỏa OA  OB  OC Tính thể tích lớn Vmax khối tứ diện OABC A Vmax  a3 B Vmax  a3 C Vmax  a3 24 D Vmax  a3 32 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có a  b  c Do OA, OB, OC vuông góc đơi nên VOABC  1 �b  c � a abc  a  bc  � a � � 6 � � 24 a �bc Dấu ''  '' xảy Chọn C Câu 16: Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đơi vng góc với nhau, độ dài cạnh BC  a, SB  b, SC  c Tính thể tích lớn Vmax khối tứ diện cho A Vmax  abc B Vmax  abc C Vmax  abc 12 D Vmax  abc 24 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Do ACD BCD hai tam giác cạnh Khối Đa Diện - Hình Học 12 � AM  BM  3 3 x2 MN  AM  AN   Tam giác AMN vng N , có: Mặt khác ta lại có: S BCD  3   1 x 36  x AH S BCD  3  x 36  x 3 6 3 x  36  x VABCD  AH S BCD  x 36  x � 3 3 6 Ta có: VABCD  Dấu xảy x  36  x � x  V Vậy ABCD lớn 3 x  Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  BD  CD  Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn khoảng cách hai đường thẳng AD BC 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H , K trung điểm BC AD Theo giả thiết: ABC cân A DBC cân D BC  AH , BC  DH � BC   ADH  � BC  HK d  AD; BC   HK Và AH  DH � AD  HK Do đó:   x  2 Đặt BC  x AH  DH  �x � DC  HC   � �  �2 � 2 Gọi I hình chiếu A lên HD VABCD   x2 � AI  ( BCD ) 1 S BCD AI � BC.DH AH;  AI �AH  3 VABCD 1 x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay x2  Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Xét hàm số � Vmax f ( x )  x   x    x  x  0;  Khối Đa Diện - Hình Học 12 f '( x )  � x  ; f '( x )  3x  ; 2 3 I �H �AH  ( BCD) � � � � � ��  x2 x  DH   � � � � ΔAHD vuông cân H � HK  DH  Câu 39: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM  x; AN  y Tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ x y xy x y 3 A B C Hướng dẫn giải Chọn A + Ta có S AMN  S AHM  S AHN � xy  3xy �۳ x y AD AM sin 60�  AD AN sin 60� S AND + Ta có xy Vậy xy 3x 3y DH  AD  AH  Stp  ;y x y  �x �1 + Theo bất đẳng thức cô si xy S AMN  AN AM sin 60� + Ta có SAMD  D x 2 ; MN  x  y  xy  3 xy   x  y  4  x  y  3xy  3xy   x  y  3xy  xy   3xy File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 4 �t  xy � t  xy  Ta thu giá trị nhỏ diện tích tồn phần đạt 9, Đặt x y tức    cho đường trịn  T  đường kính AB  R Gọi C điểm di động Câu 40: Trong mặt phẳng  T  Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng    lấy điểm S cho SA  R Hạ AH  SB AK  SC Tìm giá trị lớn Vmax thể tích tứ diện SAHK R3 R3 R3 R3 Vmax  Vmax  Vmax  Vmax  75 25 27 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A SH   AHK  V nên tứ diện SAHK có chiều cao SH khơng đổi Do thể tích SAHK đạt giá S trị lớn diện tích AHK đạt giá trị lớn BC   SAC  � BC  AK AK  SC � AK   SBC  � AK  KH Ta có: Mà Do điểm K ln nhìn đoạn thẳng AH cố định góc vng nên AHK có diện tích lớn K điểm nửa cung trịn đường kính AH (có hai vị trí K ) 2 2 2 Ta có: SB  SA  AB  R  R  R � SB  R Do Xét SAB vng A có: SA2  SH SB � SH  SA2 R2 R   SB R 5 SA AB R R 5R   SB R Và: AH AH R Smax  AH   2 Diện tích lớn AHK là: 1 R R R3 Vmax  SH Smax   3 5 75 Vậy: AH SB  SA AB � AH  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 41: Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  đơi vng góc với Điểm M thay đổi tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song DA, DB , DC theo thứ tự cắt mặt phẳng  DBC  ,  DCA  ,  DAB  MA1B1C M thay đổi A B A1; B1;C Tìm thể tích lớn khối tự diện C Hướng dẫn giải D Chọn D Ta có VMBCD d  M ,  BCD   MA1 MA1    V ABCD d  A,  BCD   AD VMADC MB1 V MABD MC  ;  V V ABCD Tương tự ABCD MA1  MB1  MC  Mặt khác MA1; MB1; MC đôi vng góc nên 1 �MA1  MB1  MC � VMA1B1C1  MA1.MB1.MC � � � 6� � Dấu "  " xảy M trọng tâm tam giác ABC Suy Bình luận: Bài hồn tồn làm mạnh giá thiết cách cần cho tứ diện ABCD tích 36 Kết tốn khơng thay đổi Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy M N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC DC cho � = 450 MAN Tính tỉ số giá trị lớn với giá trị nhỏ thể tích khối chóp S AMN A 2  2 1 B 1 C Hướng dẫn giải D 2  Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a VS AMN = SA.S AMN = S AMN 3 Ta có M , N Do điểm di động SA cố định nên thể tích khối chóp SAMN phụ thuộc vào diện tích tam giác AMN Ta có cách tính diện tích tam giác AMN sau: Cách BM = x, DN = y; x, y �[ 0; a ] Đặt CMN C Tam giác vuông nên 2 MN = CM + CN hay MN = ( a - x ) +( a - y ) Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác AMN ta có 2 2 � � MN = 2a + x + y MN = AM + AN - AM AN cos MAN Suy 2( a + x2 ) ( a2 + y ) ( a - x ) +( a - y ) = 2a + x + y 2 � ( ax + ay ) = ( a - xy) � ax + ay = a - xy � y = 2 ( a + x )( a + y ) a - ax a+x Diện tích tam giác AMN S AMN = S ABCD - S ABM - S ADN - SCMN = a a2 + x2 a xy = ( ) x +a x2 + a2 f ( x) = x + a đoạn [ 0; a ] Xét hàm số x + 2ax - a f '( x) = f '( x) = � x = x + a) ( Ta có ; Ta lại có Suy f ( 0) = f ( a) = a; f (( max f ( x ) = a; f ( x ) = [ 0; a ] [ 0; a ] ) ) 2- a =2 ( ) ( ( ) 2- a ) 2- a - a � a (  1) �SVAMN a � 2 1 Vậy tỉ số giá trị lớn với giá trị nhỏ thể tích khối chóp S AMN File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Cách 2: o � � Đặt DAN   �      Ta có: AM  a a , AN  cos(45   ) cos  � SVAMN  1 a2 AM AN sin 450  2 cos  cos(45   ) 2 2a 2 a2   cos 450  cos(450  2 ) 2  cos(450  2 ) 2 a2 a �cos(450  2 ) �1 �  a (  1) �SVAMN � 2 2 Mặt khác: Cách 3: 2 �BM  x � �AM  x  a �� � MN  (a  x )  (a  y ) � 2 BN  y �AN  y  a Đặt � Theo định lý cosin ta có : MN  AM  AN  AM AN cos 450 � a  xy  a ( x  y ) a  xy AM AN sin 450  2 2 xy  t �0 � a  t �2at � t �� 0; (  1)a � � � � SVAMN  Đặt : � SVAMN  a2  t 2 a2  �t0  a (  1) � t  a (  1) � �SVAMN max �� �S �VAMN Cách (Hình học túy) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Dựng đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng DC P , ta chứng minh AMN  ANP � MN  NP BM  CN  MN � MN  NC  CM  2a Vì MN  MC  CN �  MC  CN  2  a �MN �a MN �MC  CN từ suy   Câu 43: Gọi V thể tích nhỏ khối chóp tứ giác số khối chóp tứ giác có khoảng cách hai đường thẳng chéo gồm đường thẳng chứa đường chéo đáy đường thẳng chứa cạnh bên hình chóp Khi V bao nhiêu? A V = C V = Hướng dẫn giải B V = D V = 27 Chọn B Xét hình chóp tứ giác S.ABCD , đặt AB = x , SO = h Với O tâm hình vng ABCD � SO ^ ( ABCD ) Qua O kẻ đường thẳng OH vng góc với SA với H �SA BD ^ AC � � � BD ^ ( SAC ) � BD ^ OH � � BD ^ SO � Ta có Suy OH đoạn vng góc chung SA BD d = d( SA, BD ) = OH �� �OH = Theo ra, ta có SAO O OH Tam giác vng , có đường cao suy 1 1 = = + = + OH SO2 OA2 h2 x2 Lại có Vậy 1 =+=++�۳ h2 x2 h2 VABCD x2 x2 { AM - GM 33 1 h2 x4 hx2 27 1  SO.S ABCD  hx �9 � V  3 Câu 44: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Điểm P trung    qua AP cắt hai cạnh SB SD M N Gọi V1 điểm SC Mặt phẳng V1 thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỷ số V ? 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Cách Đặt a SM SN b SB , SD ,   a; b �1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 V1 VS AMP  VS ANP  VS AMP  VS ANP  �SM SP  SN SP �  �  a  b 2VS ABC 2VS ADC � �SB SC SD SC �= V Ta có V (1) V1 VS AMN  VS PMN  VS AMN  VS PMN  �SM SN  SM SN SP �  � ab 2VS ABD 2VS CBD � �SB SD SB SD SC �= V Lại có V (2) a a �1  a  b   ab � a  b  3ab � b   b �   3a  Từ điều kiện Suy , ta có 3a  , hay a� V1 a  Thay vào (2) ta tỉ số thể tích V 3a  � a  0 L 3a  2a � f ' a   �   a � � �a  f  a  ; a �� ;1� (3a  1) � 3a  �, ta có � Đặt V �2 � �2 � �1 � Min  Min f  a   f � � f � � f  1  ; f � � � V a�� �3 � ;1 � �3 � , � �2 � � � Cách : Từ giả thiết cách dựng thiết diện ta có : SA SB SC SD a  1; b  ;c   2; d  �ac bd 3 SA SM SP SN V1 a  b  c  d 3 V1  � V 4a.b.c.d 4.1.2.bd 4b.d �b  d � V 4� � �2 � Khi V � Min  V Câu 45: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M , N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng  DMN  vng góc với mặt phẳng  ABC  Gọi S diện tích tồn DAMN Tìm giá trị nhỏ S ? phần tứ diện � 3(4  2) 32 3 3(1  2) 4 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12  DMN    ABC  suy DH   ABC  Kẻ DH  MN , Mà ABCD tứ diện đều, nên suy H trọng tâm tam giác ABC Diện tích tồn phần tứ diện DAMN : 1 S  SAMD  SAND  SDMN  SAMN �  AD.AM sin600  AD.AN.sin600 1 3xy + 3xy ( xy - 1) + DH MN + AM.AN.sin60 = xy S  AM AN.sin60 = Mặt khác: AMN ; 1 0 SAMN  SAMH  SANH = AM.AH sin30  AN.AH sin30 �   x  y 3 xy ( x + y) � � x  y  3xy ; �x, y �1 Suy =4 S = 3xy + 3xy ( 3xy - 1) x + y = xy, ( �x; y �1) Tìm giá trị nhỏ ; 3xy  x� y xy xy xy Từ � xy - �3 - = � S = 3xy + 3(4  2) S  , x y Suy ( 4+ 6 3xy ( 3xy - 1) � + = 9 )  Q  mặt phẳng chứa BC vuông Câu 46: Cho tam giác ABC vng A có AB  3a, AC  a Gọi  ABC  Điểm D di động  Q  cho tam giác DBC nhọn hai mặt góc với mặt phẳng  DAB   DAC  hợp với mặt phẳng  ABC  hai góc phụ Thể tích lớn phẳng khối chóp D ABC 3a 3a3 a3 3a A B C 10 D 13 Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 DH   ABC  Kẻ DH  BC với H �BC Suy Vì diện tích tam giác ABC khơng đổi nên thể tích khối chóp D ABC lớn DH lớn Kẻ HM  AB với M �AB, HN  AC với N �AC �  �  90�  DAB  ,  ABC   DMH DAC  ,  ABC   DNH � � Khi theo giả thiết, ta có 1 3a � DH cot  90    a  DH cot  3a  S  S AHB  S ABC 2 Ta có AHC 3a � DH  tan   3cot  3ax � DH  x 3 Đặt tan   x Xét f  x  Khi x max f  x   f x   0; � ,  0;� DH max  3  a a3  Vmax  Câu 47: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ; SA  SB  SC  a Khi thể tích khối chóp S ABCD lớn a3 3a3 a3 3a A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Cách File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Gọi O giao điểm AC BD Theo giả thiết suy SAC tam giác cân S nên SO  AC , đáy ABCD hình thoi nên AC  BD � � Xét tam giác SOC BOA ta thấy SC  BA  a; OC  OA; SOC  BOA  90 Suy SOC  BOA � SO  BO � BSD vuông S 1 OB  BD  a  x2 2 SD  x ,  x   BD  a  x 2 Đặt , suy ; ; AO  AB  OB  a  a  x2   3a  x  AO  SO � �� AO  (SBD) AO  BD � Ta có: 1 VS ABCD  2.VS ABD  AO.SSBD  3a  x a.x  ax 3a  x 3 2 2 a b ab � ; a, b �� Áp dụng bất đẳng thức , dấu xảy a  b ta có: 2 a a x   3a  x  a x VS ABCD �  ; dấu xảy a3 a x VS ABCD Vậy GTLN Cách File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Đặt BO  x, ( x  0) , dựng SH  ( ABCD) � H �BD VS ABCD  SH S ABCD S  2x a2  x2 Ta có ABCD Kẻ OK  SB K , SO  BO  a Khi SH BO  OK SB � SH  a x2  x a2 a 2a VS ABCD  a a  x x  � Suy Dấu đẳng thức xảy Vậy GTLN VS ABCD a2  x2  x2  a2  x2  x2  a2 a a2 5a a 10 � x2  �x a3 a 10 x Câu 48: Cho tứ diện OABC vuông O, gọi  ,  ,  góc tạo mặt phẳng (OAB ), (OBC ), (OAC ) với mặt phẳng ( ABC ) Tính giá trị nhỏ biểu thức M  tan   tan   tan   cot   cot   cot  15 A B C 10 Hướng dẫn giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 27 D Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 O C F A H D E B Gọi H hình chiếu O lên (ABC) ta có OH  ( ABC ) H trực tâm tam giác ABC Gọi AE , BF , CD đường cao tam giác ABC � � � Ta có ODC   , OEA   , OFB   2 Ta có : cos   cos   cos   2 Đặt cos   a, cos   b, cos   c � a  b  c  1 1 a b c tan    1, tan    1, tan    1; cot   ; cot   , cot   a b c 1 a 1 b 1 c 1 a b c 1 1 1 M  (   ) 3    (   )(   )  a b c 1 a 1 b 1 c a b c 1 a 1 b 1 c 9 15 M�  6  a  b  c  ( a  b  c) Hay Dấu xảy abc 1 cos   cos   cos   3 hay Câu 49: Cho tứ diện ABCD tích V Điểm M di động tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với DA, BD, DC cắt mặt (DBC ), ( DCA), ( DAB) A ', B ', C ' Giá trị lớn thể tích tứ diện MA ' B ' C ' V V V V A 27 B C 18 D Hướng dẫn giải Chọn A A  AM �BC , B1  BM �CA, C1  CM �AB Gọi MA ' MB ' MC ' MA1 MB1 MC1      1 DA DB DC AA1 BB1 CC1 uuuu r Phép tịnh tiến theo véc tơ MD biến M � D, A ' � A ", B ' � B ", C ' � C " , biến tứ diện MA ' B ' C ' thành tứ diện DA " B " C " File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 A " � A2 , B " � B2 , C " � C2 Phép đối xứng tâm D biến , biến tứ diện DA " B " C " thành tứ diện DA2 B2C2 MA '  DA2 , MB '  DB2 , MC '  DC2 Do 1 Ta có  V  DA2 B2C2  MA ' MB ' MC ' DA2 DB2 DC2 DA2 DB2 DC2      �3 � �  33 DA DB DC DA DB DC DA DB DC V  DABC  V 27 DA2 DB2 DC2 MA1 MB1 MC1 V    �    MaxV  MA ' B ' C '   DB DC AA1 BB1 CC1 � M trọng 27 DA tâm tam giác ABC V  DA2 B2C2  V  27 V  MA ' B ' C '  Câu 50: Cho hình chóp S ABCD AB  AD  DC  a ,  a   BD Biết SD vng góc với    qua điểm Mặt phẳng có đáy ABCD hình thang cân  AD / / BC  , BC  2a , Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC AC M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O D ) song song với    biết đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng MD  x Tìm x để diện tích thiết diện lớn A x a B x a a C Hướng dẫn giải x D x  a Chọn A S Q P E I B C O N M A G D Gọi I trung điểm BC nên tứ giác ADCI hình thoi cạnh a nên IA = IB = IC = a tam giác ABC vng A, suy AC vng góc DI AC  ID  ID //AB  , AC  SD � AC   SID  � AC  SI AC  SI , BC  SI � SI   ABCD  � ( ABCD )   SBC  Do 2 Ta có: SD  SI  ID  2a Từ M kẻ hai đường thẳng song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB Q AB G, AC N Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC P Ta thiết diện ngũ giác GNPQE File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Khối Đa Diện - Hình Học 12  � x � EG  NP  a  x , QM  � a � �, GN  x BD  a � Ta có nên tính Tứ giác EGMQ MNPQ hai hình thang vng đường cao GM NM nên S MNPQE  x 3a  x  Max S MNPQE   3 a a x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ...  1 1 a b c tan    1, tan    1, tan    1; cot   ; cot   , cot   a b c 1? ?? a 1? ?? b 1? ?? c 1 a b c 1 1 1 M  (   ) 3    (   )(   )  a b c 1? ?? a 1? ?? b 1? ?? c a b c 1? ?? a 1? ?? b 1? ??... T    a b c a b c 1 1 1 ? ?1 1 � I�; ; � �   �    :    a b c Vì �6 � ? ?1 1 1  � � a b � Ta có 2 1 � ? ?1 � � c � �6 32 �? ?1 � � 22 ��a b2 1? ?? � T c2 � 18 Câu 25: Cho hình... VMADC MB1 V MABD MC  ;  V V ABCD Tương tự ABCD MA1  MB1  MC  Mặt khác MA1; MB1; MC đơi vng góc nên 1 �MA1  MB1  MC � VMA1B1C1  MA1.MB1.MC � � � 6� � Dấu "  " xảy M trọng tâm tam giác