[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái cÊp hun líp
Năm học 2008-2008 Môn : Toán
Thời gian làm : 150 phút (không kể thi gian giao )
Câu 1:(1,5 điểm)
Cho aZ , chøng minh r»ng a5 - a chia hÕt cho 30.
C©u : (2 ®iÓm) Cho P = 1 2
1
2
x x x
x x x
x x x
a Rót gän P
b.Tìm giá trị lớn P c Tìm x để biểu thức Q =
P x
2 nhận giá trị số nguyên
Câu 3:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có cạnh a , b , c Kẻ đờng cao AD Kẻ DE , DF tơng ứng vng góc với AB AC Đặt BE = m; CF = n ; AD = h Chứng minh :
a)
3
m c
n b
b) 3h2 + m2 + n2 = a2
Câu 4(3 điểm): Giải phơng trình :
a x x1 x2 7 b 7 x x 5 x212x38
c x14 x1 x 1 x19 1
Câu 5(2 điểm) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn đẳng thức sau : a xy3x 2y 7= b.2y2xxy1x22y2xy
Câu 6:(1,5 điểm) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác
Chøng minh r»ng : a b c a c b
b c a c b a
Câu (1,5 điểm) Cho đờng thẳng (d1): y = m2 1xm2 5 với m1
(d2): y = x1
(d3): y = x3
a Chứng minh m thay đổi d1 ln qua điểm cố định
b Chøng minh r»ng (d1) // (d3) th× (d1) (d2)
c Xác định m để đ ờng thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy
Câu 8(3 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O,) tiếp xúc A Gọi AB đờng kính
của đờng trịn (O), AC đờng kính đờng trịn (O,) , DE tiếp tuyến chung
hai đờng tròn D thuộc (O), E thuộc (O,), K giao điểm BD CE
a) Tø gi¸c ADKE hình ? ?
b) CMR: AK tiếp tuyến chung hai đ ờng tròn (O) (O, ).
c) Gọi M trung điểm BC CMR: MK DE
Câu (2 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4 12
x x x x
b) T×m giá trị lớn biểu thức P =
4
2
2
x
(2)Câu 11 (1,5 điểm) Cho đờng trịn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC CMR: IA+IB+IC 6r
** *
Hớng dẫn chấm môn toán năm học 2008-2009 L u ý : học sinh có cách giải khác cho im ti a
Câu 1: (1,5 điểm)
a 5 -a = a(a4 -1) = a(a2 -1)(a +1) = a(a-1)(a+1)(a2 2 -4+5)
= a(a-1)(a+1)a 2a25= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5đ) Hạng tử thứ chia hết cho tích năm số ngun liên tiếp Hạng tử thứ hai chia hết cho : a -a 5
(0.25®)
Ta thÊy: a5 -a = a(a-1)(a+1)(a2 +1)
Do (a-1)a(a+1) lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho , tức chia hết cho (2,3) = (0.5®) a 5 -a võa chia hÕt cho , võa chia hÕt cho mµ (5,6) =1 nªn a5 -a
30 (0.25đ)
Câu (2 điểm) Câu a ,c câu 0,75 điểm, câu b 0,5 điểm
(3)P = 1 2 1 x x x x x x x x x x x x (0,25®)
= x x1 x12 x2x x1 (0,25®) b) P = x- x +1=
4 2 x
P đạt GTNN
4 x= (0,5®)
c)Q = M
x x x x x P x 1 2
(0,25®)
Với x > x 1 p dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số d ơng M = 11 0Q2
x
x (0,25đ) Tìm đ ợc Q nguyên vµ chØ Q =
2
x (0,25đ)
Câu (2 điểm) Mỗi câu điểm a)
3 2
2
6 2
2 2
3
c c c BD a c BD c
b b b DC a b DC b
c BD c m c c m c
b DC b n b b n b
c m b n
b) a = (BD + DC)2 2 = BD2 + BD.DC + DC2 = m.c +2h2 + n.b
= m(EA + m) + n(AF + n) +2h2 = m + n2 +2h2 + m.EA +n.AF 2
= m2 + n2 + 2h2 + ED2 + FD2 = m 2 + n2 +2h2 + AF2 + FD 2
= m2 + n2 + 2h2 + h2 = m2 + n2 + 3h2 (đpcm)
Câu (3 điểm) câu điểm
a) Đặt x x1 x2 7 (1) XÐt tr êng hỵp :
x > : (1) x =
3
-1 x 0: (1) x = Loại (0,25đ)
-2 x < -1: (1) x=-6 Loại (0,25đ)
x < - 2: (1) x=
3 10
(0,25đ)
Vậy nghiệm ph ơng trình : x =
3 ; x= 10 (0,25đ) b) Điều kiện x
(0,25đ)
á
p dụng BĐT CôSi cho hai số không âm ta có
2
7 x x x x
(4)Đẳng thức xảy 1 5 1 7 x x
x= (0,25đ) Mặt khác : x2 -12x +38 = 62 2 2
x Đẳng thức xảy x= (0,25đ) Vậy ph ơng trình có nghiệm x= (0,25®) c) x1 22 x1 32 1
x 1 + x1 = (1)
(0,25®)
NÕu x < x = loại (0,25đ)
5 x 10 tõ (1) 0x=0 ph ơng trình vô số nghiệm
x >10 từ (1) x = 10 loại (0,25đ) Vậy ph ơng trình có nghiệm x 10
(0,25đ)
Câu (2 điểm) câu ®iĨm
a) xy+3x-2y-7= (x-2)(y+3)= (0,25®) 1 3 1 2 y x hc 1 3 1 2 y x (0,25®)
Do :
2 3 y x hc 4 1 y x (0.25đ) Hai cặp số cần tìm : (1;-4) (3;-2) (0,25đ) b) 2y2 x +x+y+1 = x2 +2y2 +xy (1)
2y 2 (x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0 (0,25®)
Vì x= nghiệm nên chia c¶ hai vÕ cho x-1 ta cã
2y - x-y+
1
x = (2)
(0,25®) Để (1) nguyên
1
x phải nguyên Nên x-1 =
x x (0,25đ)
Thay x = x= vào (2) ta có y nguyên y=
Vậy ph ơng trình cho có hai nghiệm ngun (2;1) (0;1) (0,25đ) Câu (1,5 điểm) Đặt
2 2 2
2 2 2
1
a b c a c b a b b c c a
M
b c a c b a b a c b a c
a b b c c a
c a b a b c b c a
ab bc ac abc
(5)Vì a ,b,c độ dài cạnh tam giác nên
a c b b c a b a c
1 M abc abc (0,75®)
VËy M < (®pcm) (0,25đ) Câu (1,5 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm
a) y= (m2 -1)x+(m2 -5) = m (x+1)-x-5 (0,25đ)2
Với m x=-1 y = -4
Vậy (d1) qua điểm cố định (-1;-4) (0,25đ)
b) V× (d1) // (d3)
3 5 1 1 2 m m
m = (d1): y = -x+5 (0,25®)
Hai đ ờng thẳng (d1) (d2) có (-1).1 = -1 nên (d1) (d2) (0,25đ)
c) Hai đ ờng thẳng (d2),(d3) có hệ số góc khác nên chúng cắt M Tìm toạ
độ M : x+1 = -x +3 x = Vậy M(1;2) (0,25đ) Để (d1),(d2),(d3) đồng quy M d1 phải qua M m =
(0,25đ)
Câu 8(2,5 điểm) câu 0.5 điểm
a)Theo tính chất góc tam giác ta có
01 = 2B
O1'= 2C
Mµ 01 + 0ˆ1= 180o
B +C = 90o
K = 90 Trong o BDA cã OD =
2
AB
BDA vu«ng D = 90o
T
¬ng tù : E = 90o
Tø gi¸c ADKE cã K = D = E = 90 o ADKE lµ hình chữ nhật
b) Có A1 +A2 =D1+D2 = 90o AK BC
VËy AK lµ tiÕp tuyến chung hai đ ờng tròn c) MKC cân M K1 = C
EKD = KEA E1 = EKA
Mà C + EKA = 90o Từ : K1 + E 1= 90o MK DE
Câu 9(2 điểm ) câu ®iĨm
a) 4 12 2
x x x x x x (0,25®)
x x 2
1
12x3 2x = (0,5đ)
Vậy GTNN
0 3 2 0 2 1 x x
x (0,25®)
b) P= 1 2 2 x x x x x x x (0,5®) C B K D
O A M O
’
E
O A ’
(6)GTLN cđa P lµ
5
khi x = (0,5đ)
Câu 11(1,5 điểm)
Học sinh không vẽ hình không chấm điểm Đặt BC = a , AC = b, AB = c
Kẻ BB ,CC vuông góc với AI
Ta cã : IMA BB’ A
AI IM'
AB BB c.r = IA.BB ’
T
¬ng tù b.r = IA.CC’
Nªn: (b+c)r = IA(BB’ + CC’ ) IA a
c
b a r IC b
c a r IB a
c b r
IA
; ;
6
a c c a b c c b b a a b r
IC IB IA
IA+IB+IC 6r
** *
C
A
B
M
B ’ C ’
I
(7)(8)(9)