ĐẠI SỐ LỚP 10 – CƠ BẢN Công thức lượng giác I Mục tiêu: Về kiến thức: - Hiểu cơng thức tính sin, cơsin, tang, cơtang tổng, hiệu hai góc - Từ cơng thức cộng suy cơng thức góc nhân đơi - Hiểu cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức biến đổi tổng thành tích Về kĩ năng: - Vận dụng cơng thức cộng, cơng thức góc nhân đơi để giải tốn tính giá trị lượng giác góc, rút gọn biểu thức lượng giác đơn giản chứng minh số bất đẳng thức - Vận dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng, cơng thức biến đổi tổng thành tích vào số toán biến đổi, rút gọn biểu thức Về tư duy, thái độ: Biết quy lạ quen; cẩn thận, xác II Chuẩn bị phương tiện dạy học: Thực tiễn: Hs biết công thức về: Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt, Phương tiện: + GV: Chuẩn bị bảng phụ kết hoạt động, SGK, thước, compa, + HS: Xem trước nhà, SGK, III Gợi ý PPDH: Cơ dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua HĐ điều khiển tư IV Tiến trình học hoạt động: Ổn định lớp: Kiểm tra cũ: * Tiết 58: Viết gtlg cung có liên quan đặc biệt: cung đối cung phụ 9p ? Khơng sử dụng máy tính: tính sin(), cos(-6900 ) ( Đs: , ) 2 7p 6+ * Tiết 59: Viết công thức cộng cơng thức nhân đơi ? Tính sin ( Đs: ) 12 Bài mới: Nội dung, mục đích Hoạt động GV Hoạt động HS Tiết 58: π * Tính cos( ) ? HĐ1: Giới thiệu cơng thức 12 cộng: π π π π * = * Phân tích thành tổng I Cơng thức cộng: 12 12 cos( a - b) = cosacosb + (hiệu) góc đặc biệt ? sinasinb * Hs quan sát Þ Dán bảng phụ công cos( a + b) = cosacosb – * Hs trả lời câu hỏi mà thức sinasinb GV đặt trình * Ta thừa nhận công thức sin( a - b) = sinacosb – cm cosasinb * Nêu cách cm đẳng thức sin( a + b) = sinacosb + ? cosasinb tana- tanb + Ta cm công thức thứ hai: tan( a - b) = 1+ tanatanb Áp dụng ct thứ tan( a + b) = tana+ tanb 1- tanatanb Với điều kiện biểu thức + Áp dụng ct cung phụ có nghĩa * Ta cm ct thứ cos( a + b) = cos[a-(-b)] * Học sinh trả lời: = cosacos(-b) + sin( a + b) = sin[a - (-b)] sinasin(-b) = sinacos(-b) - cosasin(* HĐ1SGK: Hãy cm = cosacosb – b) c.thức: sinasinb ĐẠI SỐ LỚP 10 – CƠ BẢN * Ta cm ct thứ π sin( a - b) = cos [( -a) +b] π = cos( - a)cosb π sin( -a)sinb = sinacosb + cosasinb HĐ2: Rèn luyện kĩ sử dụng cơng thức cộng tính giá trị lượng giác chứng minh đẳng thức lượng giác: 13π VD1: Tính tan 12 Giải: 13π π Ta có: tan = tan( +π) 12 12 π = tan 12 π π = tan ( - ) = π π tan − tan π π + tan tan −1 = 1+ VD2: Chứng minh rằng: sin( a + b) tan a + tan b = sin( a − b) tan a − tan b Giải: Ta có: sin( a + b) = sin( a − b) sin a cos b + cos a sin b sin a cos b − cos a sin b = sin a cos b − cos a sin b cos a cos b sin a cos b − cos a sin b cos a cos b tan a + tan b = tan a − tan b (ñpcm) HĐ3: Giới thiệu công thức nhân đôi: II Công thức nhân đôi: Cho a = b công thức cộng ta công thức nhân đôi sin( a + b) = sinacosb + cosasinb ? + Ta áp ct thứ + Ta áp dụng ct cung phụ ct thứ = sinacosb + cosasinb (đpcm) * Gv đưa vd1 * tan( a + k2p ) = ? 13π * Phân tích dạng 12 α + kπ ? π tan( + π)=? 12 π * Phân tích tổng, 12 hiệu hai cung đặc biệt? * Có dạng ct ? * Hs tìm hiểu đề * = tan a π * +π 12 * Gv đưa vd1 * Cách cm đẳng thức ? * Hs tìm hiểu đề * Hs phát biểu π 12 π π π * = - 12 = tan * Ct thứ * Hs tính sin( a + b) =? sin( a − b) Chia hai vế cho cosacosb ta được? * Tính nhanh p p p p p p * A = sin( + ) = sin A = sin cos + cos sin 6 =1 p * Thế b = a cơng thức cộng ta gì? * sin2a + cos2a = Tìm * Học sinh trả lời ĐẠI SỐ LỚP 10 – CƠ BẢN cos2a theo cos2a ( sin2a)? sau: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a-1 = – 2sin2 a tan a tan2a = − tan a Từ công thức nhân đôi ta suy công thức hạ bậc sau: + cos 2a cos2a = − cos 2a sin2a = − cos 2a tan2a = + cos 2a HĐ4: Rèn luyện kĩ sử dụng công thức nhân đôi cơng thức hạ bậc tính giá trị lượng giác: VD1: Biết sina + cosa = , tính sin2a Giải: Ta có: = sin2a + cos2a = (sina + cosa)2 – 2sinacosa = ( )2 - sin2a ⇒ sin2a = -1 + = - 4 π VD2: Tính cos Giải π π + cos Ta có: cos2 = = π + cos 2 1+ = = 2+ π π π Vì < < nên cos > 8 * sin3 p = ? * sin3a = 3sinacosa ? * cos3a = cos3a – sin3a ? Từ : cos2a = 2cos2a-1 , cos2a = – 2sin2 a Tìm cos2a, sin2a theo cos2a? Từ cơng thức vừa tìm tìm tan2a? * sin3 p = sin 3p cos 3p * Không * Không + cos 2a − cos 2a sin2a = cos2a = sin a cos a − cos 2a = + cos 2a * Hs tìm hiểu đề tan2a = * Gv đưa vd * Tìm mối quan hệ sina + cosa sin2a? sin2a + cos2a = ? Tìm sin2a? π cung đặc biệt để ta sử dụng công thức trên? * sin2a + cos2a = (sina + cosa)2 – 2sinacosa = ( )2 - sin2a sin2a + cos2a = ⇒ sin2a = - * Cung π =? π π Vì < < π nên cos > ⇒ ? cos2 π π , ta sử dụng công thức hạ bậc π π + cos cos = 2+ = π ⇒ cos = + 2 ĐẠI SỐ LỚP 10 – CƠ BẢN ⇒ cos π = 2+ 2 Tiết 59: III Cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích: HĐ1: Giới thiệu cơng thức biến đổi tích thành tổng: Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cosacosb = [cos(a - b) + cos(a+b)] sinasinb = [cos(a - b) cos(a+b)] sinacosb = [sin(a - b) + sin(a+b)] Các cơng thức gọi cơng thức biến đổi tích thành tổng HĐ2: Rèn luyện kĩ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng tính giá trị biểu thức: VD: Tính giá trị biểu thức: π 3π 13π A = sin cos , B = sin 8 24 5π sin 24 Giải: * Ta có: π 3π π A = [sin( ) + sin( + 8 3π )] π π = [sin(- ) + sin ] π π = [-sin + sin ] 2 = [+ 1] 2 = (1 ) 2 * Ta có: * Viết ct cộng ? HĐ2 SGK: Từ công thức cộng suy công thức * Gv hướng dẫn hs cm công thức cos(a - b) + cos(a+b) = ? cos(a - b) - cos(a+b) = ? sin(a - b) + sin(a+b) = ? * Gv cho vd * Biểu thức A có dạng ? Xđ a b ? * Gọi hs thực π π - cung ? 4 * Biểu thức B có dạng ? Xđ a b ? 3π π cung ? 4 * Hs lên bảng * Hs trả lời: * cos(a - b) + cos(a+b) = cosacosb + sinasinb + cosacosb – sinasinb = 2cosacosb ⇒ cosacosb = [cos(a - b) + cos(a+b)] Tương tự: cos(a - b) - cos(a+b) = 2sinasinb ⇒ sinasinb = [cos(a - b) cos(a+b)] Và : sin(a - b) + sin(a+b) = 2sinacosb ⇒ sinacosb = [sin(a - b) + sin(a+b)] * Tìm hiểu đề * Có dạng sinacosb π 3π với a = , b = 8 * Hs giải cột nd + Áp dụng ct + Thu gọn + Cung đối * Có dạng sinasinb 13π 5p với a = ,b= 24 24 * Hs giải cột nd + Áp dụng ct + Thu gọn + Cung bù ĐẠI SỐ LỚP 10 – CƠ BẢN 13π 5π [cos( ) - cos( 24 24 13π 5π + )] 24 24 8π 18π = [cos - cos ] 24 24 π 3π = (cos - cos ) π π = [cos + cos ] 1 = [ + ] 2 HĐ3: Giới thiệu công thức biến đổi tổng thành tích: Cơng thức biến đổi tổng thành tích: u+v cosu + cosv = 2cos u−v cos u+v cosu - cosv = -2sin sin u −v u+v sinu + sinv = 2sin cos u −v u+v sinu - sinv = 2cos sin u −v B= HĐ4: Rèn luyện kĩ sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích tính giá trị biểu thức chứng minh hệ thức lượng giác: π 5π VD: Tính A = cos + cos 9 7π + cos Giải: 7p p Ta có: A = (cos + cos )+ 9 * VD(HĐ3): Bằng cách đặt * Hs trả lời: u = a- b, v = a+b, biến u = a- b, v = a+b đổi: cosu + cosv, sinu + sin u+v u −v ⇒a = ,b=v thành tích 2 * Từ u = a - b, v = a + b * cosacosb = [cos(a tìm a, b theo u v? b) + cos(a+b)] u+v u−v Thế vào công thức biến đổi ⇔ 2cos cos = 2 tích thành tổng sd cung cosu + cosv đối * sinasinb = [cos(a - b) - cos(a+b)] u+v u−v ⇔ -2sin sin = 2 * Gv hd cm ct lại cosu - cosv * sinacosb = [sin(a - b) - * Hs GV cm sin(a+b)] u+v u −v ⇔ 2sin cos = 2 * sinu - sinv = sinu + sinu + sinv * Áp dụng ct thứ cm sin(-v) u- v u+ v ct thứ = 2sin cos 2 u+v u−v + 2cos sin 2 * Gom hai số hạng thứ * Tìm hiểu đề nghe hd 3, sử dụng công thức biến tổng thành tích? * Gọi hs tính * Hs áp dụng ct cột nd + 5π 4π , góc ? 9 + Cơng thức hai góc bù ĐẠI SỐ LỚP 10 – CƠ BẢN cos 5π = 2cos cos 4π 4π 3p cos 9 * Cách cm đẳng thức ? * Tổng góc tam giác bao nhiêu? * Hs phát biểu *A+ B +C = π A+ B C , hai góc? 2 Suy ra? * Phụ A+ B C sin = cos , 2 A+ B C cos = sin 2 * Sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích công thức nhân đôi? * Hs áp dụng cột nd * = 2.cos 4π = p 4π cos - cos 4π 4π cos - cos 9 = VD: Cmr tam giác ABC ta có: A sinA + sinB + sinC = cos B C cos cos 2 Giải: Ta có: A + B + C = π ⇒ A+ B π C = − 2 A+ B C Nên sin = cos , cos 2 A+ B C = sin 2 Ta có: sinA + sinB + sinC A+ B A− B = 2sin cos + sin 2 C C cos 2 C A− B C = 2cos cos + sin 2 C cos C A− B C = 2cos (cos + sin ) 2 C A− B = 2cos (cos + cos 2 A+ B ) A B C = cos cos cos (đpcm) 2 Củng cố: - Nắm vững cơng thức tính sin, cơsin, tang, cơtang tổng, hiệu hai góc, cơng thức góc nhân đơi để giải tốn tính giá trị lượng giác góc, rút gọn biểu thức lượng giác đơn giản chứng minh số bất đẳng thức ĐẠI SỐ LỚP 10 – CƠ BẢN - Nắm vững cơng thức biến đổi tích thành tổng, cơng thức biến đổi tổng thành tích vào số toán biến đổi, rút gọn biểu thức Dặn dò: + Làm tập đến SGK tr 153 đến 155 + Làm tập SGK tr 159 đến 162 + Đọc đọc thêm tr 158 SGK + Ôn tập từ bài: Bất pt hệ bpt ẩn đến ... Từ công thức nhân đôi ta suy công thức hạ bậc sau: + cos 2a cos2a = − cos 2a sin2a = − cos 2a tan2a = + cos 2a HĐ4: Rèn luyện kĩ sử dụng công thức nhân đôi công thức hạ bậc tính giá trị lượng giác: ... cơng thức tính sin, cơsin, tang, cơtang tổng, hiệu hai góc, cơng thức góc nhân đơi để giải tốn tính giá trị lượng giác góc, rút gọn biểu thức lượng giác đơn giản chứng minh số bất đẳng thức ĐẠI... b) + sin(a+b)] Các công thức gọi cơng thức biến đổi tích thành tổng HĐ2: Rèn luyện kĩ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng tính giá trị biểu thức: VD: Tính giá trị biểu thức: π 3π 13π A =