Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 3 phan văn tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mơ Khí tượng 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Kết ngẫu nhiên phép thử đặc trưng định tính kiện ngẫu nhiên o • • Mơ tả lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp } Để đặc trưng định lượng cho kết ngẫu nhiên phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên Các định nghĩa: o o Một đại lượng nhận giá trị với xác suất tương ứng gọi đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên đại lượng mà tiến hành loạt phép thử điều kiện lần nhận giá trị giá trị khác hồn tồn khơng biết trước 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Cách gọi: o • Nhiều đại lượng ngẫu nhiên cịn gọi biến ngẫu nhiên Ỵ Hai cách gọi tương đương Ký hiệu: o o Thông thường đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) ký hiệu chữ Latinh in hoa: X, Y, Z,…, ký tự Hylạp: ξ, η, ζ,… Các giá trị đại lượng ngẫu nhiên (các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên nhận) ký hiệu chữ Latinh in thường tương ứng: x, y, z,… 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Phân loại: o Căn vào tập giá trị đại lượng ngẫu nhiên người ta phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp giá trị có hữu hạn vơ hạn đếm • o Ví dụ: Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số điểm nhận gieo xúc xắc Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,…, x6=6 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp giá trị lấp đầy khoảng trục số trục số, tức tập hợp vơ hạn khơng đếm • Ví dụ: Gọi Y đại lượng ngẫu nhiên nhiệt độ khơng khí (oC) đo Hà Nội Vậy Y={y, y∈[-10; 50]} 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X mà giá trị tập {x1, x2,…, xn,…} với P(X=xi) = pi, i=1,2,… o o • Để mơ tả biến ngẫu nhiên rời rạc X ta sử dụng bảng phân bố xác suất sau X x1 x2 xi … xn P p1 p2 pi … pn Trong Σpi = 1, pi ≥ ∀i=1,2,… Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền giống hệt Gọi X biến ngẫu nhiên số lần xuất mặt sấp Hãy lập bảng phân bố X o o o o Giải: Số lần xuất mặt sấp 0, 2, X={0,1,2} Gọi Ai đồng tiền thứ i xuất mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5 Sự kiện X=0: A1 A2 X=1: A1 A2 A1 A2 Sự kiện X=2: A1 A2 Vì Ai độc lập nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x0.5), P(X=2)=0.25 Î X P 0.25 0.5 0.25 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 2: Một xạ thủ có viên đạn Anh ta bắn phát trúng mục tiêu hết viên thơi Hãy lập bảng phân bố xác suất số đạn chi phí, biết xác suất trúng đích phát 0.8 o o o o Giải: Gọi X biến ngẫu nhiên số đạn chi phí Vậy X={ 1, 2, } Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ trúng đích (do khơng bắn tiếp nữa), Ỵ P(X=1) = p1= 0.8 Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ trượt phát thứ hai trúng, P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16 Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ thứ hai trượt (do cần bắn phát thứ ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8)2 = 0,04 X P 0.8 0.16 0.04 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất kiện A phép thử không đổi p Gọi X biến ngẫu nhiên số lần xuất kiện A n phép thử Hãy lập bảng phân bố xác suất X o o o Giải: Ta có X={ 0, 1, 2, 3,…, n } Xác suất kiện X=k (0 ≤ k ≤ n) tính theo cơng thức Bernoulli pk = P ( X = k ) = Pn ( k ) = Cnk p k (1 − p ) n −k , k = 0,1, , n Từ X … k … n P Cn0 p q n −0 Cn1 p1q n −1 … Cnk p k q n −k (q = 1-p) n Để ý đến hệ thức n ( a + b) = ∑ Cnk a k bn −k nhị thức Newton k =0 … Cnn p n q n −n ta có đẳng thức n n ∑ p = ∑C k =0 k k =0 k n p k q n −k = ( p + q)n = 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Xét đại lượng ngẫu nhiên X mà giá trị lấp đầy khoảng trục số Khi X đại lượng ngẫu nhiên liên tục o o Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sử dụng khái niệm hàm mật độ (hay hàm mật độ xác suất) Hàm f(x) gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) f ( x ) ≥ , ∀ x ∈ ( −∞ , + ∞ ) +∞ 2) ∫ f ( x ) dx = −∞ o Khi đó, xác suất để X nhận giá trị khoảng (a,b) xác định b P (a < X < b) = ∫ f ( x ) dx a 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X có dạng a ≤ x ≤ b x < a, x > b ⎧c f ( x) = ⎨ ⎩0 Hãy xác định giá trị c +∞ o ∫ Giải: Theo định nghĩa, f ( x ) dx = −∞ o o Ta có: Vậy, +∞ b b −∞ a a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ∫ cdx = c(b − a ) = c= b−a 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Định nghĩa: Hàm phân bố biến ngẫu nhiên X hàm biến x xác định F(x) = P(X < x) o Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng F ( x) = ∑ P( X = x ) = ∑ p i xi < x o xi < x i Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) xem xác suất để gieo điểm ngẫu nhiên điểm rơi vào nửa bên trái trục số x (hình vẽ) x 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các tính chất: N ếu gx(λ) hàm đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên X, hàm đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên Y=aX+b gy (λ) = eibλ gx (aλ) • Chứng minh: Ta có gy (λ) = M[eiλY ] = M[eiλ(aX+b) ] = M[eiλbeiλaX ] = = eiλbM[ei(aλ) X ] = eiλbgx (aλ) 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các tính chất: Hàm đặc trưng tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập tích hàm đặc trưng hạng tử • Chứng minh: • N ếu X1, X2, , Xn đại lượng ngẫu nhiên độc lập có hàm n đặc trưng g (λ ), g (λ ), , g (λ ) x1 x2 xn Giả sử X = ∑ X k Khi đó: k =1 ⎡ iλ ∑ X k ⎤ n n n ⎡ ⎤ λ λ i X i X g x (λ ) = M ⎢e k =1 ⎥ = M ⎢∏ e k ⎥ = ∏ M e k = ∏ g xk (λ ) ⎥ ⎢ k =1 ⎣ k =1 ⎦ k =1 ⎣ ⎦ n [ ] 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các tính chất: Giá trị hàm đặc trưng đơn vị λ=0 • Chứng minh: Ta có g (0) = +∞ ∫ f ( x)dx = −∞ Hàm đặc trưng xác định hàm mật độ • Ta có +∞ g(λ) = ∫ eiλx f ( x)dx −∞ +∞ −iλx f ( x) = e g(λ)dλ ∫ 2π −∞ 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các ví dụ 1) Tìm hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X có phân bố cho X p 1–p p • Giải: Ta có g(λ) = M[eiλX ] = ∑eiλxk pk = eiλ×0(1− p) + eiλ×1 p = k = 1− p + peiλ = peiλ − p +1 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các ví dụ 2) Cho biến ngẫu nhiên Xk độc lập có phân bố: Xk p 1–p p n Tìm hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X = ∑Xk k =1 • Giải: Theo tính chất 2, hàm đặc trưng tổng biến ngẫu nhiên độc lập tích hàm đặc trưng thành phần, gk (λ) = M[eiλXk ] = peiλ − p +1, k = 1,2, ⇒ g(λ) = Πgk = ( peiλ − p +1)n k 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các ví dụ 3) Cho X biến ngẫu nhiên có phân bố chuNn chuNn hóa Tìm hàm đặc trưng X −12 x2 e • Giải: Vì X∈N (0,1) nên f (x) = 2π +∞ +∞ +∞ 1 − ( x2 −iλx)−λ2 +λ2 − ( x2 −iλx) − x2 1 iλx 2 ⇒ g(λ) = M[eiλX ] = e e dx = e dx = e dx ∫ ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ [ ] 1 −2 = e dx = e ∫e ∫ 2π −∞ 2π −∞ Trong đó: u=x–iλ, dx=du +∞ λ2 +∞ − ( x−iλ )2 +λ2 +∞ Vì − u2 ∫e −∞ du = 2π − ( x−iλ )2 λ2 +∞ − −12u2 dx = e ∫ e du 2π −∞ λ2 nên λ2 − −2 g(λ) = e 2π = e 2π 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.8 Liên hệ hàm đặc trưng mơmen • Từ hệ thức định nghĩa hàm đặc trưng, g(λ) = M[eiλX ] Lần lượt lấy đạo hàm hai vế cách hình thức theo λ đến bậc k: g′(λ) = M[iXeiλX ] g′(0) = M[iX] = im1 g′′(λ) = M[(iX)2 eiλX ] g′′(0) = M[(iX)2 ] = −m2 Cho λ=0 ta (k ) g(k) (λ) = M[(iX)k eiλX ] m = g (0) , k = 1,2, g(k ) (0) = M[(iX)k ] = ikmk k ik N hân hai vế biểu thức g(λ) với e−iλmx lấy đạo hàm (k ) theo λ, sau đặt λ=0, ta −iλmx e g(λ) = ik μk , k = 1,2, [ [ ] (k ) −iλmx ⇒ μk = k e g(λ) , k = 1,2, λ=0 i ] λ=0 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.8 Liên hệ hàm đặc trưng mơmen • Ví dụ: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuNn, ta có: f ( x) = ( x − m x )2 − 2π σ x Ký hiệu e 2σ x2 g (λ ) = 2π σ x +∞ ∫e iλx − e ( x −mx )2 2σ x2 dx = −∞ 2π σ x 2 + ∞ − x +iλx + xmx − mx 2σ x2 σ x2 2σ x2 ∫e −∞ iλσ x2 + mx m x2 ,B = ,C = A= 2σ x2 2σ x2 2σ x2 ⇒ g (λ ) = 1 2π σ x +∞ ∫e − Ax + Bx −C dx = −∞ 1 π 2σ π x A e AC − B − A =e AC − B − A AC − B B2 mx2 (iλσ x2 + mx ) 2iλσ x2 mx − λ2σ x4 λ2σ x2 − = −C + =− + = = iλmx − 2 2σ x 2σ x 2σ x A A ⇒ g (λ ) = e iλmx − λ2σ x2 10:10:14 dx Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.8 Liên hệ hàm đặc trưng mơmen • Ví dụ: g (λ ) = e iλmx − λ2σ x2 Mômen gốc bậc 1: m = g ′(λ ) = imx e0 = m x λ =0 i i (k ) −iλmx , k = 1,2, Mômen trung tâm: μk = k [e g (λ )] λ =0 i e −iλm x g (λ ) = e −iλm x e iλm x − λ2σ x2 =e − λ2σ x2 Khai triển thành chuỗi Macloren: 2k ∞ ∞ 2k 2k i σ k σx −iλm 2k e g (λ ) = ∑ (− 1) k λ = ∑ k x λ2 k x ⇒ μ2 k −1 = k =0 k! k =0 k! ( 2k )! k i 2k i kσ x2 k μ2 k = k ⇒ μ2 k = k σ x , k = 1,2, ( 2k )! k! k! μ2 = σ x2 , μ4 = 3σ x4 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn Bất đẳng thức Tchebychev: N ếu đại lượng ngẫu nhiên X có kỳ vọng phương sai hữu hạn với số ε>0 cho trước ta có mx=M[X] D[ X ] P( X − mx < ε ) ≥ 1− ε • Chứng minh: Giả sử X liên tục có f(x) ⇒ P( X − mx ≥ ε ) = ∫ f ( x)dx x − mx ≥ ε ⇒(x − mx )2 ≥ ε ⇒ (x − mx ) ε |x−mx |≥ε ≥1 ⇒ P( X − mx ≥ ε ) ≤ ∫ε |x−mx |≥ ≤ ⇒ P( X − mx < ε ) ≤ 1− P( X − mx ≥ ε ) ≥ 1− D[ X ] ε ( x − mx )2 ε +∞ ∫ (x − m ) x f ( x)dx = −∞ ε2 10:10:14 f ( x)dx D[ X ] ε2 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn Định lý Tchebychev: N ếu X1, X2,…, Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai bị chặn số C với số ε>0 cho trước ta có ⎞ ⎛1 n n limP⎜⎜ ∑Xi − ∑M[ Xi ] < ε ⎟⎟ = n→∞ n i=1 ⎠ ⎝ n i=1 n n n X = ∑Xi ⇒ M[ X ] = ∑M[ Xi ] D[ X ] = ∑D[ Xi ] n i=1 n i=1 n i=1 C Áp dụng bất đẳng thức Tchebychev: Vì D[ Xi ] ≤ C, ∀i ⇒ D[ X ] ≤ nC = n n D[ X ] C P(| X − M[ X ] |< ε ) ≥ 1− ≥ 1− ε nε ⇒ limP(| X − M[ X ] |< ε ) ≥ n→∞ ⎛1 n ⎞ n ⎜ P⎜ ∑Xi − ∑M[ Xi ] < ε ⎟⎟ = Hay nlim →∞ n i=1 ⎝ n i=1 ⎠ • Chứng minh: Đặt 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn Định lý Bernoulli: N ếu phép thử n phép thử Bernoulli, kiện A xuất với xác suất p không đổi xác suất để trị số tuyệt đối độ lệch tần suất xác suất số lần xuất A n phép thử bé số dương tùy ý ε cho trước dần tới n→∞, tức ⎛m ⎞ limP⎜ − p < ε ⎟ = n→∞ ⎝n ⎠ • Chứng minh: Gọi Xi biến ngẫu nhiên số lần xuất kiện A lần thử thứ i (Xi={0,1}) Khi Xi có phân bố Xi p 1–p p N ếu n phép thử A xuất m lần n ∑X = m i=1 i 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn Định lý Bernoulli: ⇒ M[ Xi ] = × (1− p) +1× p = p D[ Xi ] = M[ Xi2 ] − (M[ Xi ]) = 02 × (1− p) +12 × p − p2 = p(1− p) < ≡ C Ỵ Các Xi độc lập, có kỳ vọng có phương sai hữu hạn Ỵ Áp dụng định lý Tchebychev: ⎛m ⎞ limP⎜ − p < ε ⎟ = n→∞ ⎝n ⎠ Người ta gọi “hội tụ theo xác suất”, ký hiệu: m X S ⎯⎯→ ⎯ p n (n→∞) Định lý Bernoulli gọi luật số lớn dạng Borel 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn Định lý Markov: N ếu X1, X2,…, Xn dãy đại lượng ngẫu nhiên có ∑D[ Xi ] n → n → ∞ ⎛1 n ⎞ n ⎜ limP⎜ ∑Xi − ∑M[ Xi ] < ε ⎟⎟ = n→∞ n i=1 ⎝ n i=1 ⎠ n n 1 • Chứng minh: Gọi X = Xi ⇒ D[ X ] = ∑D[ Xi ] ∑ n i=1 n i=1 Theo bất đẳng thức Tchebychev D[ X ] ∑D[ Xi ] P(| X − M[ X ] |> ε ) ≤ = 2 → n → ∞ nε ε 1 Do limP( ∑Xi − ∑M[ Xi ] < ε ) = n→∞ n i n i 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ HẾT CHƯƠN G 10:10:14 ... x1=0, x2=1, x3=2, x4 =3 Khi đó: p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C30(0.4)0(1-0.4 )3= 0.216 p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C31(0.4)1(1-0.4)2= 0. 432 X 2 p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C3 (0.4) (1-0.4) = 0.288 P 0.216 0. 432 0.288... P(X=x4)=P(X =3) = C 33( 0.4 )3( 1-0.4)0= 0.064 F ( x ) = ∑ pi xi < x ⎧0 ⎪0.216 ⎪⎪ F ( x) = ⎨0.216 + 0. 432 ⎪0.216 + 0. 432 + 0.288 ⎪ ⎪⎩0.216 + 0. 432 + 0.288 + 0.064 = x ≤ < x ≤ khi1 < x ≤ < x ≤ x > 10:10:14 Chương. .. mật độ xác suất X 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3. 6 Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên Kỳ vọng tốn học • Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố xác suất cho