Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 14 môn: Toán

Mời các bạn cùng tham khảo đề thi Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 14 môn: Toán dưới đây để có thêm tài liệu củng cố lại kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài thi. Hy vọng nội dung đề thi sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 14 CỦA BOXMATH.VN Mơn: Tốn x3 (H ) x2 Chứng minh với m đường thẳng y  x  m cắt đồ thị ( H ) hai điểm phân Câu I Cho hàm số y  biệt A B Gọi d1 , d tiếp tuyến với ( H ) A B Tìm m để I  2;1 cách d1 , d Lời giải Điều kiện: x  Phương trình hồnh độ giao điểm ( H ) d là: x3  x  m  x   m   x  2m   x2 Số giao điểm số nghiệm phương trình Phương trình có    m  3  40  ; f    5  Do phương trình ln có nghiệm phân biệt  x 3  x2   Ta có A  x1;  , B  x2 ;  ,  x1  x2  x2    x1    Phương trình tiếp tuyến A B là: x 3 d1 : y   x  x1    x1   x1   d2 : y    x2    x  x2   x2  x2  Do I  2;1 cách d1 , d nên 1 d  I , d1   d  I , d    x1   1 1  x 3  x1  x1  1 25 1  x1  x1  25  x1   x 3  x2  x2  1   x1   25 1   x2   1 x1   1  25   x2   x2  x2  25  x2   x2  1 25  x1    x2    x1    x2   4 4 x2    25 x1    25 x2    25  x1    25        4 2  x2    x1    x1    x2    x2    x1   2 2   x2    x1    25  x1     x1    x2    25  x2   2 2   x1    x2    25  x1     x2         x1    x2  2  25    x1     x2     2 - Với  x1    x2    25   x1 x2  x1  x2    2m   m    (vô nghiệm) m    m  3 Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m  3 2 - Với  x1     x2     x1  x2   Câu II Giải phương trình:  cos x  sin x  2sin x  1  4cos x   cos x  sin x  2sin x  1  Lời giải Cách 1:  cos x  sin x  2sin x  1  4cos x   cos x  sin x  2sin x  1    cos x  sin x   2sin x    4cos x   cos x  sin x  2sin x   1    cos x  sin x    cos x  sin x  cos x  sin x   4cos x    cos x  sin x  cos x  sin x    cos x  sin x     cos x  sin x    cos x  sin x  cos x  cos x   cos x  sin x  cos x   cos x  sin x     cos x  sin x    cos x  sin x     cos x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x  cos x    cos x  sin x    cos x  sin x     cos x   cos x  sin x    cos x  sin x           cos x    cos x  sin x    cos x  sin x   2    cos x      cos x  sin x    cos x  sin x    2    x    k 2  x    k 12 3   - Với  cos x  sin x    cos x  sin x    sin  x    cos  x    2 4 4         x     k 2 x    k 2      6  sin  x       6   x      3  k 2  x    k 2      Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 , x   k 2 , x    k 12 Cách 2: Điều kiện:  cos x  sin x  sin x  1   - Với cos x   a  b2 a  cos x  sin x sin x  Đặt:  (| a, b  |) , suy ra:   b  cos x  sin x  cos x  ab  a  b   Đồng thời ta có: a  b  , từ ta thu hệ phương trình:  a(a  b  1)  4ab  b(a  b  1)    Phương trình tương đương với: (a  3b)(a  b  1)  4ab  (a  b )   (a  3b)(a  b  1)  (a  3b)( 3a  b)   (a  3b)(a  b   3a  b)  - Với a  3b , suy ra:      cos x  sin x  3(cos x  sin x )  sin  x    sin   x   x   k 3 12  6  - Với a  b   3a  b   2a  3a   2b  2b  2a  3a  a  b  2b  2b  3a  b   ( 3a  1)  (b  1)2   3a  b  Với: 3a  b suy ra:      3(cos x  sin x)  (cos x  sin x)   sin  x    sin   x   x    k 3 12  6      Với: 3a  b  , ta thay vào suy ra: sin  x    cos  x    6 6       Mà ta lại có: sin  x    cos2  x    6 6       Nên suy ra: sin  x    hoặc: cos  x    6 6    x  y  x   2 Giải hệ phương trình:  2  x  y  xy  x  y   xy  y  2  x  y  1 Lời giải Cách 1: x   Điều kiện:  x  y   x  y  xy x  y     Hệ phương trình tương đương với:  x, y     x  y  x    2  x  y  xy  x  y   xy  y  2  x  y  1   x  y 3   x  y   x    x  y    x  y  xy  x  y   xy  y   x  y  1   x  y  x  y  xy  x  y      x  y  2     x y20  x  y   x  2  x2  y  x  y   x  y  xy  x  y  xy  y   x  y   2   x  y   x    xy  y  x  xy   x2  2 x 84  y  64 Vậy hệ phương trình có nghiệm x   2, y   Cách 2: PT (2)  PT (1)  x  y  xy ( x  y )  2( x  y )  xy  y  x   2( x  y  2) ( x  y  2)( x  y  xy ) ( x  y  2)( y  2)    2( x  y  2) x  y  xy ( x  y ) xy  y  x   x y2 Hoặc 2 (I ) x  y  xy x  y  xy ( x  y )  x  y  y2 xy  y  x  2 Giải ( I ) : (khá đơn giản)  x   2; y   Xét ( II ) Ta có từ đề dễ có x; y khơng âm x  y x  y  ( II ) Khi ta có: Nếu x  y  xy  ta có: y2 VT (2)  xy  y  x  Nếu x  y  xy  ta có:  y2 x2   2x  2x  x y x2   2x  y 2x  Tóm lại ta ln có (2) vô lý x2 1 2 xy x2   11  2 2 VT (2)  Vậy hệ có nghiệm: x   2; y   Câu III: Tính tích phân I   e x  ln x  ln x   ln x  dx Lời giải Cách 1: Ta có: 2 2 e x  ln x  ln x   e x  2ln x  5ln x    6ln x      dx I  dx   1 ln x  ln x  2 e x  ln x  1 2ln x   e x  ln x    dx   dx 1 ln x  ln x  e x  ln x  1 2ln x   - Tính I1   dx ln x  x ln x    Đặt t  x ln x   dt   ln x   dx  dx  x ln x   ln x    x  t  Đổi cận    x  e t  e Khi I1   e - Tính I   e 2 t dt  t 3  2e3    x  6ln x   e dx ln x  2 e x  ln x  1  x e  x3 I2   dx  2  x ln x    dx 1 ln x  x ln x     2 e  x  ' ln x   x  e    ln x  ' dx   x ln x  ' dx e  x3 ln x   2e3  Vậy I  I1  I  2 2e   e    e 3       Cách 2: et Đặt t  ln x   t  ln x   x  e dx  2t.dt   dx  t.et dt Đổi cận: x e I e3   2t  5t  1 e3t dt  e3  x  1 t   x  e  t   3t   2t e dt     5t   1 e3t dt    t3  u du  t dt Đặt   3t 2 t dv  6t.e dt  v  e  Đặt A   2t e 3t dt t 3t  A  e  I e 2 1 t e dt  e  e  2 e  e    3t  6t e dt  B  t.e3t  I  t e 3t dt  3t e dt  1  2 3t  6t e dt  2 2 ut  du  dt Đặt   3t 3t dv  6t.e dt  v  e Đặt B  3t 2 3t  e dt  2.e  e  3t  e dt  2 2 e  e  2.e  e3    e   e  3 3  Câu IV Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm DC , AD Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm AM BN Góc hai mặt phẳng ( ADD ' A ') ( ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách hai đường thẳng BN , B ' C theo a Lời giải B' H' D' A' N' K C B H A I N M E D - Tính thể tích VABCD A ' B ' C ' D '  AD  IA '  Vẽ HI  AD,  I  AD   AD   A ' HI     A ' IH  600 AD  IH  a2 a AN a a Ta có: AM  a   ; AH  AD  a  AM a 5 AH a a a a HI  MD    A ' H  HI tan 600  AM a 5  VABCD A' B 'C ' D '  A ' H S ABCD a3  M' - Tính khoảng cách d  BN , B ' C  Vẽ đường thẳng d qua C vng góc với AM , cắt AM E  BN  AM  BN / /CE  BN / /  B ' H ' EC   d  BN , B ' C   d  BN ,  B ' H ' EC    CE  AM Dựng HK  H ' E ,  K  H ' E  Ta có CE  AM  CE   A ' H ' EH   CE  HK  HK   B ' H ' EC   HK  d  BN ,  B ' H ' EC   Ta có: HE  HM  ME  AM  AH  HN  a a a 2a    10 2 H ' E  A ' H   HE  A ' H '  HK H ' E  A ' H HE  HK  3a  2a a  2a       25  5  A ' H HE a 2a 5 a 30   H 'E 5 2a 10 Câu V Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: ab  bc  ca   a 2b  b 2c  c a  3abc (1) Lời giải (1)  ab  bc  ca   ab   b  c   bc   c  a   ca   a  b   3abc  ab  bc  ca    ab  bc  ca    ab  bc  ca   ab  bc  ca    ab  bc  ca   ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca    Ta có ab2  a  2ab bc  b  2bc ca  c  2ca Cộng vế theo vế     1  đpcm Dấu đẳng thức xảy  a  b  c  Câu VI.a 2 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) :  x  3   y    hai điểm B  4;1 , C  8;3 Tìm tọa độ điểm A nằm đường tròn (C ) cho tam giác ABC vuông A Lời giải Gọi A(a; b)  AB(4  a;1  b)  AC (8  a;3  b) Tam giác ABC vuông A, nên AB  AC , nên (a  4)(a  8)  (b  1)(b  3)  (1) Do A  (C ) , nên (a  3)2  (b  4)2  (2) 3a  Trừ (1) cho (2) ta 3a  2b   b  , thay vào (2) Ta tìm a  5, b   A  5;  a 49 28 ,b   13 13  49 28  A ;   13 13   1 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A   ; 0;  vuông  2 2 góc với mặt phẳng ( P) : x  y  z   tiếp xúc với mặt cầu ( S ) :  x  1   y  1   z    Lời giải Gọi ( ) : ax  by  cz  d  1 A  ( )   a  c  d   2d  a  c 2 ( P)  ( )  2a  2b  c   2b  2a  c Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: 2ax   2a  c  y  2cz  a  c  Do ( ) tiếp xúc với mặt cầu tâm I 1;1; 2  bán kính R  nên d  I , ( )    a    a  c   4c  a  c 1 a    a  c   4c a  c  a  4c  8a  4ac  5c  7a  4ac  11c     a   11 c  - Với a  c , ta chọn c  a  Ta có: ( ) : x  y  z  11 - Với a   c , ta chọn c  7 a  11 Ta có: ( ) : 22 x  29 y  14 z  18  2 2 Câu VII.a Tìm số phức z cho | z  (3  4)i | biểu thức P | z  |2  | z  i |2 đạt giá trị lớn Lời giải Gọi z  a  bi số phức cần tìm 2 Ta có: | z  (3  4)i |   a  3   b    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2 P | z  |2  | z  i |2   a    b  a   b  1  4a  2b    a  3   b    23   a  3   b    23 2  20  a  3   b     23  33   4  a  3   b      a   a  a 3 Giá trị P lớn 43 khi:  b4   b   b   2  a     b     Vậy số phức z cần tìm z   5i Câu VI.b Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường trịn qua hai điểm A  5;  , B 1;  tiếp xúc với đường thẳng d : x  y   Lời giải Gọi I (a, b) Từ giả thuyết ta có:      (5  a)  (4  b)  (1  a)  (6  b) 2  a  3b   2    (5  a)  (4  b) 10   b  2a   a  2; b   Giải hệ trên, ta có:  a  10    a  10; b  19  a   2 - Với a  2; b  ta tìm (C ) :  x     y  3  10 2 - Với a  10; b  19 ta tìm (C ) :  x  10    y  19   250 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng () B  2;1;  , đồng thời cắt vng góc với x2 y z4   Đường thẳng d cắt () M , qua N  2; 2;  tiếp xúc với 1 mặt cầu ( S ) : x  y  z  Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d1 : Lời giải  x  2  t  Phương trình tham số d1 :  y  t  z  4  4t  Phương trình mặt phẳng qua B vng góc với d1 :  x     y  1   z     x  y  z   Tọa độ H giao điểm mặt phẳng với d1 :    H   ; ;2  2  x   t  Từ ta tìm phương trình  :  y   t z    Ta có: M    M   t ;1  t ;2   NM   t ; t  1;2     NM   t ; t  1;       NM , ON    4; 4;  ON   2; 2;0      NM , ON   t  1   Ta có d  O, d   R    NM   t   t  1      NM t  2  t  t   4t      t  - Với t  1  M 1; 0;  - Với t   M  4;3;  Câu VII.b Giải phương trình: ( 3) x 1  log  log ( x  x  1)  Lời giải Phương trình tương đương với Điều kiện: x  ( 3) x 1  log  log ( x  x  1)  3 3 3 3 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1  log (2 x  2 x  1)   log (2 x   2 x   1)   log ( x   1)   2log ( x   1)  2x 1 ,  t   Ta có: 3t  log  2t  1  Đặt tiếp y  log  2t  1  y  2t  Như ta có hệ phương trình: Đặt t  t 3  y   3t  y  y  2t  3t  2t  y  y  y 3  2t  Xét hàm số f (t )  3t  2t  f '(t )  3t ln   Do đó: f  t   f  y   t  y Ta có phương trình 3t  2t  Xét hàm số tiếp, ta thấy phương trình có nhiều nghiệm Mà f (0)  f (1)   t  0, t  nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x  , x  2 ... Ta có: ( ) : 22 x  29 y  14 z  18  2 2 Câu VII.a Tìm số phức z cho | z  (3  4)i | biểu thức P | z  |2  | z  i |2 đạt giá trị lớn Lời giải Gọi z  a  bi số phức cần tìm 2 Ta có: |...    hoặc: cos  x    6 6    x  y  x   2 Giải hệ phương trình:  2  x  y  xy  x  y   xy  y  2  x  y  1 Lời giải Cách 1: x   Điều kiện:  x  y   x  y  xy x... ) x  y  xy x  y  xy ( x  y )  x  y  y2 xy  y  x  2 Giải ( I ) : (khá đơn giản)  x   2; y   Xét ( II ) Ta có từ đề dễ có x; y khơng âm x  y x  y  ( II ) Khi ta có: Nếu x 