Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 15 môn: Toán

Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 15 môn: Toán phục vụ cho các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức môn Toán trung học phổ thông, luyện thi tốt nghiệp trung học phổ thông và giúp các thầy cô giáo trau dồi kinh nghiệm ôn tập cho kỳ thi này. Hy vọng đề thi phục vụ hữu ích cho các bạn.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 15 CỦA BOXMATH.VN Mơn: Tốn Câu I (2 điểm) Cho hàm số y  x  (m  1) x3  (3m  1) x  3(m  1) x  (Cm ) Tìm tất giá trị thực tham số m để (Cm ) có ba cực trị với hồnh độ ba điểm cực trị 1 127 x1 , x2 , x3 thỏa mãn    x1 x2 x3 27 Lời giải Ta có y '  x   m  1 x   3m  1 x   m  1   x  1  x   3m  1 x  3m  3 Ham số có cực trị  98  m  98 2 m    3m  1  48  m  1       8    8 m  4   3m  1  3m   m      8  Khi (Cm ) có cực trị x3  x1 , x2 nghiệm phương trình x   3m  1 x  3m   3m  3m  ; x1 x2  4 1 127 1 100 Ta có     3 3 x1 x2 x3 27 x1 x2 27 Theo định lý Viét ta có: x1  x2  x  x    3x1 x2  x1  x2  100  x13 x23 27 3m  3m   3m      100  4    27  3m        73m3  435m  363m  65    m    73m  70m  13    m  5  35  69   m  73  35  69   m  73 So với điều kiện ta nhận m  5 Vậy m  5 thỏa mãn yêu cầu toán Câu II (2 điểm) Giải phương trình: cos3 x  cos x   sin x cos x  cos x   Lời giải k Điều kiện: sin x cos x   sin x   x  ,k Z Khi phương trình tương đương với cos3 x  cos2 x   sin x cos2 x  sin x cos x     cos x cos x  sin x  cos2 x   cos x  sin x       cos x cos  x    cos2 x   cos  x    3 3    x    cos x cos     cos2  x    6 2 6    3x     x      cos     cos      4cos  x    6      6   3x     3x   x   x 5  cos     cos     cos     cos                cos  x     cos  x            6 6   x  x 5  2       k 2   x   k 2   2  3x  x 5     k 2 , k  Z     k 2    x    k  x          2  k  x    k x    2 Vậy phương trình có nghiệm x   k 2 , k  Z Câu II (2 điểm) Giải phương trình: 162 x   27 x  x   Lời giải Đặt y  162 x   y  162 x3  Ta có: y  y  27 x  x  y  12 y  162 x  54 x Cộng lại ta được: y  y  12 y   162 x3  162 x  54 x  3   y     27 x  27 x  x  1   y     3x  1  y    x  1 Thay ngược lại ta có:  x  1   x  1    x  x  1    3x  1    x     3  12 36  36 36 x  36   x  x    36  3 3 12  3 3 Vậy phương trình có nghiệm x    Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I   36 x sin x cos3 x  2sin x cos x  sin x Lời giải dx ux    du  dx Đặt  sin x cos xdx   v   sin x dv   sin x  Do I  x  sin x     2sin x      sin x  dx  H  cos2 x  sin x      2sin x Với H     sin x  dx cos x  sin x    4  sin x cos x  sin x   cos x  sin x   sin x tan x.sin x.cos x  )dx cos x  sin x  sin xd (tan x )  tan x.d  sin x  tan x  sin x  Vậy I   dx   (    6  Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A ( AD / / BC ) , AB  BC  2a , AD  3a Gọi M trung điểm AD, N trung điểm CM Biết ( SNA) , a ( SNB) vng góc với mặt phẳng đáy khoảng cách hai đường thẳng SB, CD Tính thể tích khối chóp cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD ) theo a Lời giải - Tính thể tích Từ giả thiết dễ thấy SN vuông ( ABCD) Kẻ BI / / CD ( I  AD) , kẻ CH vuông BI H , EF / / CH ( N  EF , E  BI , F  CD ), NO / / BC (O  BI ) Kéo dài BI cắt CM K Trong ( SNE ) kẻ NH ' vng góc với SE H ' d ( N , (SBI ))  NH  KN ON IM  BC EN Ta có      KC BC BC EF 2S 4a a EF  CH  IBC   EN  EF  BI 8 a d ( SB, CD)  d (CD, (SBI ))  d ( F , ( SBI ))  d ( N , (SBI ))  5a 5a 1  SN  Áp dụng   2 16 SN EN H N 236 25a  236 Suy d ( N , (SBI ))  H N   VS ABCD  SN S ABCD - Tính khoảng cách Trong ( SNF ) kẻ NP vng SF P ,thì d ( N , ( SCD ))  NP Vì N trung điểm MC nên d ( M , ( SCD )  2d ( N , ( SCD))  NP 15a 1  NP  Áp dụng   2 SN NF NP 41 15a Vậy d ( M , ( SCD )  41 Câu V (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2 1   9    a b c a b c abc Lời giải Cách 1: 1 Đặt x  , y  , z  a b c 1 Khi ta có    tương đương xy  yz  zx  xyz ta cần chứng minh x y z 2( x  y  z )  9x  y  z  xyz  x  y  z  2( xy  yz  zx) Bây giả sử thằng z bé ba số x, y, z Và ý 2( x  y  z  xy  yz  zx)  2( x  y )2  2( x  z )( y  z ),  xy  yz  zx  x  y  z   x y z9  xyz    xy  yz  zx  x  y  z    xy  yz  zx  xyz  xy  yz  zx  x  y  z   xyz xyz  z  x  y    x  y  x  z  y  z  xyz Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh viết dạng M ( x  y )2  N ( x  z )( y  z )0 x y Trong M   , N   xy xyz Vì z bé nên ta cần chứng minh M , N0 Thật vậy, ta có 1 •1        xy9 x y z xy xy xy xy  16   xy xy 1 1 •1      z  x y z z M  xyz  x  y xyz  xy  yz  zx  x  y xyz  xy   z  1 x  y     xyz xyz xyz Bài toán chứng minh xong N Đẳng thức xảy x  y  z  hay a  b  c  Cách 2: Từ điều kiện ta có:  a, b, c  1 ( a  b)    a b ab ab Thật bất đẳng thức tương đương với (a  b) (1  ab)  (đúng theo điều kiện) Tương tự ta có: 1 (b  c)    b c bc bc 1 (c  a )    c a ca ca Cộng bất đẳng thức ta được: 2 2 2 c ( a  b )  a (b  c )  b (c  a )       a b c ab bc ca abc 2 2(a  b  c ) (a  b  c )(ab  bc  ca )  9abc  2 2 2  a b c abc abc 2 1    9     a b c a b c abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy a  b  c  Ta chứng minh Câu VI.a (2 điểm) 2 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) :  x  1   y    25 có tâm I Tìm điểm M thuộc đường thẳng y  cho từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) đến đường 25 tròn (C ) khoảng cách từ I đến AB Biết điểm M có hồnh độ dương 842 Lời giải Đường trịn (C ) có tâm I (1;5) , bán kính R  Gọi tọa độ điểm M M (m; 4) Gọi A có tọa độ: A( x1; y1 ) , ta có A  C  ( x1  1)2  ( y1  5)2  25 Phương trình đường thẳng MA ( x1  1)( x  1)  ( y1  5)( y  5)  25 Do M  MA nên ta có: (m  1)( x1  1)  ( y1  5)  25  (m  1) x1  y1  m  19  (1) Hoàn toàn tương tự, gọi B( x2 ; y2 ) ta có: (m  1) x2  y2  m  19  (2) Từ (1) (2) ta có phương trình đường thẳng AB (m  1) x  y  m  19  25 Khoảng cách từ I đến AB 842  m  30 | (m  1).1   m  19 | 25    (m  1)  841    m  30 (do m  ) 842 (m  1)   m  28 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ M (30; 4) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x  y  z hai điểm A(0;0;3), B(0;3;3) Tìm tọa độ điểm C nằm đường thẳng d cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Lời giải x  t  Phương trình tham số đường thẳng d :  y  t z  t  Ta có C  d  C  t; t ; t  AB  AC  t  t   t  3  3t  6t  2 BC  t   t  3   t  3  3t  12t  18   AB  BC  CA   3t  6t   3t  12t  18         Xét vectơ u  t  1; , v   t ;  u  v  1; 2       Ta có u  v  u  v    t  1   2   2  t    2  t  1   2   12  2   2  t    2    3   Dấu xảy u  v   t  1    t    t  3 3 Do AB  BC  CA nhỏ  3 C  ; ;  2 2 Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình tập số phức: z  z  9iz   Lời giải Phương trình tương đương với z   3i   z  9iz    z  3i  z  3i   3z  z  3i     z  3i  z  z  3i    z  3i   z  z  3i  3 - Với z  3i  z  2i  z  1  i   z   1  i  2 2 - Với z  z  3i  , ta có    12i    i       i   z  Vậy phương trình có nghiệm phức: z    2  i  2  i 1  i  , z  2 Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD cố định, biết A  0;1 , I  2;  ( I giao điểm AC BD ) Một đường thẳng d qua C cắt tia AB, AD M N Viết phương trình đường thẳng d cho độ dài MN nhỏ Lời giải Xét hệ trục tọa độ gốc A , tia AB, AD tia dương trục hoành trục tung, điểm C nằm tia phân giác góc phần tư thứ nên C   a; a  , a  Đường thẳng d giả sử có phương trình đoạn chắn là: Điểm C thuộc d  x y   1,  M (m; 0), N (0; n), m  0, n   m n a a 1  1   m n m n a 2 a2  m  n  a2  1 Độ dài MN  m  n  (m  n)2    (m  n)2     8a  2  a  m n Dấu xảy  m  n hay MN nhỏ d vng góc với AC 2  Dễ dàng tính C  (4;3), AI  (2;1) suy d : x  y  11  Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x   y   z  điểm A(2;5; 4) Lập phương trình mặt phẳng ( P) chứa d cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( P) Lời giải Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng ( P) : ax  by  cz  d   Đường thẳng d qua M 1; 2;3  có vectơ phương u d  1;1;1   n P u d  a  b  c  c    a  b  Do d  ( P) nên    d  2a  b M  ( P) a  2b  3c  d   ( P ) : ax  by   a  b  z  2a  b  Ta có d  A, ( P )    2b a  b2   a  b  2a  5b   a  b   2a  b 2 a  b  a  b  a    2b  a  b   a  b   a  a  b     b   a c   - Với a  , chọn b     ( P) : y  z   d  b    - Với b   a , chọn a   c   ( P ) : x  y   d   Vậy ( P) : x  y   ( P) : y  z   Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình tập số thực: Lời giải Điều kiện: 1  x   x   Phương trình tương đương: x   x 1   16.4 x  x  1 x x2 2 x 3 5   16.4   x  x 1 x  x  1 x (1)   x2 2 x 1 4  16.4 x  x  1 x  25 3 2 - Với x  x    x  x   x ,  5  x 2 x 1  25   phương trình (1) vơ nghiệm   x2 2 x 1 4  16.4 x  x  1 x  25 3 2 - Với x  x    x  x   x ,  5  x 2 x 1  25   phương trình (1) vơ nghiệm - Với x  x    x   phương trình (1) thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm: x   2, x   5 5 x  x2 ... NP 15a 1  NP  Áp dụng   2 SN NF NP 41 15a Vậy d ( M , ( SCD )  41 Câu V (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2 1   9    a b c a b c abc Lời giải. .. t  3 3 Do AB  BC  CA nhỏ  3 C  ; ;  2 2 Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình tập số phức: z  z  9iz   Lời giải Phương trình tương đương với z   3i   z  9iz    z  3i ... ) : x  y   d   Vậy ( P) : x  y   ( P) : y  z   Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình tập số thực: Lời giải Điều kiện: 1  x   x   Phương trình tương đương: x   x 1   16.4