Nhöng ñeå mong muoán ñoù thaønh hieän thöïc thì trong töøng tieát daïy ta caàn höôùng cho hoïc sinh neâu ra nhöõng vaán ñeà cao hôn (hoaëc laø giaùo vieân ñaët vaán ñeà) ñeå hoïc sinh s[r]
(1)PHÁT TRIỂN DẠNG TOÁN CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC TÍCH TRONG HÌNH HỌC VÀ CÁCH GIẢI I LÝ DO CHỌN ĐỀ TAØI :
1) Đặt vấn đề a) Cơ sở lí luận:
Góp phần vào việc phát huy tính tích cực học sinh học tập sự hướng dẫn giáo viên, nhằm bước giúp cho học sinh tự học tự phát kiến thức làm chủ kiến thức mình, đồng thời giúp cho thân định hướng cho học sinh, tìm tịi phát triển kiến thức, cho động lực giúp đến đề tài
b) Cơ sở thực tiễn:
Là giáo viên trình giảng dạy muốn học trị ngày tiến hơn, giỏi Nhưng để mong muốn thành thực tiết dạy ta cần hướng cho học sinh nêu vấn đề cao (hoặc giáo viên đặt vấn đề) để học sinh suy nghỉ giải từ học sinh phát triển tư toán học, nắm kiến thức hơn, từ có ứng xử nhanh gọn xác tình cụ thể, giúp cho học sinh ngày tiến học tập Đề tài “ Phát triển dạng toán chứng minh đẳng thức tích cách gải” một kinh nghiệm thân tơi q trình giảng dạy
2) Mục đích đề tài :
Nhằm phát huy trí lực học sinh trình học tập, biết suy nghĩ xử lí trước tình đặt ra, thơng qua hình thành cho học sinh cách giải lớp tập, từ giúp học sinh nắm giải nhanh chóng gặp dạng
3) Lịch sử đề tài :
Hình thành trình giảng dạy thân 4) Phạm vi đề tài :
Giúp cho học sinh lớp 8, nắm việc giải lớp toán hình học có liên quan đến đẳng thức tích
Giúp cho giáo viên có thêm hướng phát triển mối liên kết tập dễ khó với nhau, để tiết, ta có hướng phát triển vấn đề nhằm giúp học sinh nắm kiến thức ngày học tốt
II NỘI DUNG ĐỀ TAØI: A THỰC TRẠNG ĐỀ TAØI:
(2)1
E
H
D
B C
A
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL TL SL TL SL TL SL TL
8A2 39 5.1 17.9 25 64.1 12.8
9A2 39 5.1 15.4 27 69.2 10.3
Trước tình hình tơi thấy cần giúp cho học sinh cách suy nghĩ trình bày làm tốn hình học, số chun đề giảng dạy, có chuyên đề “ Phát triển dạng toán chứng minh đẳng thức tích cách giải” Nhằm hình thành cho học sinh cách suy nghĩ cách giải gặp loại tốn
B NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
1) Hướng phát triển tốn chứng minh đẳng thức tích, cách suy nghĩ , cách giải toán.
2) Cách suy nghĩ chuyển từ toán lạ thành quen. C BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT:
1) Hướng phát triển tốn chứng minh đẳng thức tích: Trước hết ta xét toán lớp 8
Bài 1: Cho tam giác ABC cân A ( A 90), đường cao AD trực tâm H Chứng
minh hệ thức: CD2 = DH.DA (1)
Để chứng minh đẳng thức ta thường phân tích sau: CD2 = DH.DA ?
(Vì BD = CD) CDAD DHCD
BDAD DHCD
Rõ ràng ABD va CHD vuông D có A1C1 (Cùng phụ với góc ABC )
Nên hai tam giác đồng dạng Từ ta có cách giải
+ Nếu tốn khơng u cầu chứng minh đẳng thức (1) trên, mà yêu cầu tính tích DH.DA = ? lúc ta xử lí nào?
Trang Tào Quang Sơn – Trường THCS Tây Vinh
ABD CHD
(3)2
1
1
M
B C
A
D
E
1
E
H
D
B C
A
- Ta khôi phục biểu thức cịn thiếu có đẳng thức là: DH DA Và có phân tích
nhö sau:
DH DA ?
DH DA
DH D A
Dựa vào phân tích Ta tìm xem DH cạnh tam giác (Trên hình vẽ ta thấy DH cạnh DCH vng H) Vậy ta phải tìm tam giác vng
nhận DA làm cạnh mà đồng dạng với DCH (Rõ ràng DAB Vì C1A1)
Từ ta giải tập sau:
Bài 2: Cho ABC cân A Có BC = 2a M trung điểm đoạn BC Lấy điểm
D, E theo thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho DME B Chứng minh BD.CE
không đổi
+ Bằng cách phân tích ta đến chứng minh BDM CME
Rõ ràng Vì
1
B C (Do ABC cân A) (a)
Mặt khác:
1 180
M M M (Do ba điểm B, M, C thẳng hàng)
Mà
1
M B (gt)
=>
1 180
B M M
Maø
1 180
B M D (Ba góc BDM )
=>
1
D M (b)
Từ (a) (b) ta suy BDM CME
=> CMBD BMCE => BD.CE = BM.CM =
2
2
BC
= a
2 không đổi.
Vậy: BD.CE = a2 không đổi.
+ Từ kết BD.CE = a2 không đổi Nếu cho thêm giả thiết BD khơng đổi Thì
lúc ta suy điều ? ( Ta suy đoạn CE có độ dài khơng đổi Vì lúc suy CE = a2
BD không đổi)
- Từ nhận xét ta giải tốn sau:
Bài 3: Cho hình thang ABCD vng A B, có AB = BC = a, cạnh bên CD tổng độ dài hai đáy Gọi M trung điểm đoạn AB
a) Chứng minh CMD 90
b) Chứng minh AD có độ dài khơng đổi
Giải:
a)Chứng minh CMD 90
(4)x
y
K I C
B
H O
A
2
1 a
a
N M
B C
A D
bình hình thang ABCD => MN = AD BC2 CD2
Suy CDM có MN trung tuyến ứng với cạnh CD nửa cạnh
Vậy CDM vuông M
==> CMD 90
b) Chứng minh AD có độ dài không đổi:
Xét ADM BMC vuông A B
Ta coù:
1
M C ( Vì phụ với góc M 2)
Suy ra: AMDBCM
==> AMBC BMAD ==> AD.BC = AM.BM =
2 2
2
AB a a
Vaäy AD.BC =
a ==> AD = 2
4 4
a a a
BC a không đổi
==> AD có độ dài khơng đổi
+ Nhận xét: Nếu để ý AB cho trước xem cố định đường thẳng AD vng góc với AB cố định Thì từ AD = 4a khơng đổi ta có điểm D cố định -Vậy để chứng minh điểm cố định ta chứng minh điểm nằm đường thẳng cố định cách điểm cố định đường thẳng khoảng khơng đổi
Từ nhận xét ta giải tốn sau: Bài 4:
Cho đường trịn tâm (O; 3cm) đường thẳng xy cho khoảng cách từ O đến đường thẳng xy 4,5 cm Trên đường thẳng xy lấy điểm A Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Dây BC cắt OA K cắt OH I Chứng minh A di động đường thẳng xy dây BC ln qua điểm cố định
Giải:
Chứng minh dây BC qua điểm cố định
(Bằng cách vẽ hình với vị trí A khác Ta dự đoán BC qua điểm I cố định)
Xét AOH IOK vuông H K
(Do AB, AC hai tiếp tuyến (O) AO BC)
Ta có: AOH chung
Vaäy: AOH IOK
==> AOIO OHOK
IO.OH = AO.OK (1)
Xét ABO vng B có BK đường cao ( Vì KB OA)
==> AO.OK = OB2 (Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) (2)
Từ (1) (2) ==> IO.OH = OB2 ==> IO = 32 2
4,5
OB
OH
Vì O cố định, IO khơng đổi Suy I cố định
(5)1
I F H
B C
A
D
E
1
1
1 A
D
B
C
Baøi 5: ( Thi HSG tỉnh Bình Định 2004 -2005)
Cho ABC cân A cạnh AB lấy D cạnh BC lấy điểm E
cho hình chiếu DE lên BC nửa BC Chứng minh đường vng góc với DE E ln qua điểm cố định
Giải: (Bằng cách vẽ hình với vị trí D khác Ta dự đốn đường vng góc với DE E ln qua điểm cố định I nằm đường thẳng AH)
Xét DEF EIH vuông F H
Ta coù:
1
D E ( Cùng phụ DEF)
Suy ra: DEFEIH
DF EF
EH IH
Maø EH = BF (Vì EH + FH = BF + FH = BH = 12BC)
==> DFBF EFIH (1)
Mặt khác: ABH Có DF // AH (Cùng vng góc với BC)
==> ABH DBF
Vậy DFBF AHBH (2) Từ (1) (2) ==> EFIH BHAH
==> HI = BH EFAH EF = BH (Vì = 12BC)
==> HI = BH BHAH =
BC
AH (Khơng đổi)
Vì I nằm đường AH cố định cách H cố định khoảng không đổi Vậy I cố định
+ Bằng cách đưa đẳng thức tích trên, giúp ta giải tập sau: Bài 6: ( Định lý Ptôlêmê)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh: AC BD = ABCD + ADBC
Phân tích:
AC BD = ABCD + ADBC ?
?
(Ta biến đổi vế trái thành tổng hai tích Như sau)
(6)1 1 A D B C 1 A D B C M
= ABCD + ADBC ? AB CD AD BC + Trước hết ta chứng minh (1) :
= ABCD
AB CD
Từ tỉ số AB ta tìm xem AB cạnh tam giác nào? Ta chọn tam giác chẳng hạn ABD Từ tỉ số CD
ta chọn số tam giác nhận CD làm cạnh, mà đồng dạng với ABD?
Nhận xét: Đã có
1
B C ( Chắn cung AD) Vậy để có tam giác nhận CD làm
cạnh mà đồng dạng với ABD Thì tam giác nhận CD làm cạnh phải có thêm điều
gì ?
- Tam giác nhận CD làm cạnh phải có thêm hai điều kiện sau: -a) Hai cạnh kề góc
1
C tam giác nhận CD làm cạnh tỉ lệ với hai cạnh kề góc
1
B ABD
-b) Tam giác nhận CD làm cạnh phải có thêm góc góc tam giác
ABD
Ở ta chọn điều kiện b) Tại điểm D ta vẽ tia (cắt đoạn thẳng AC) tạo với CD góc góc
1
D ,
3
D =
1
D cắt đoạn AC M
+ Lúc ta có ABDMCD (g-g) ==> MC CD
AB BD
==> Đẳng thức (1) viết: MCBD = ABCD (1’)
+ Ta chứng minh đẳng thức (2):
AD BC
AD BC
?
Ta chứng minh tam giác nhận AD làm cạnh đồng dạng vơi tam giác nhận BC làm cạnh
- Nhận xét: ADM BDC có DAC DBC (Chắn cung CD)
và ADM CDB ( Vì có D 1 = D3)
==> ADM BDC (g-g) ==> BD BC
ADAM
==> Đẳng thức (2) viết: BD AM= ADBC (2’)
Cộng (1’) (2’) vế theo vế ta coù:
MCBD + BDAM = ABCD + BCAD
(7)1 1 M C B A 1 D A B C M 1 x y M B D A C
==> ACBD = ABCD + BCAD
+ Trên sở ta dễ dàng phân tích giải ( Bất dẳng thức Ptơlêmê) sau:
Bài 7: ( Bất dẳng thức Ptôlêmê)
Cho tứ giác ABCD Chứng minh: ACBD ABCD + BCAD
Giaûi:
- Nhận xét: tứ giác ABCD giả thiết nội tiếp so với trước Tức là giả thiết
1
B C
Vaäy ta phải tạo
1
C mà C1B1 Rồi giải
Từ C vẽ tia Cx tạo với CD góc
1
C maø
1
C B , từ D vẽ tia Dy
tạo với DC góc
3
D D Hai tia Cx, Dy cắt M
( Như hình vẽ)
Ta có: ABDMCD (g-g)
==> ABCD = MCBD (3)
Xét hai tam giác ADM, BDC
Có ADM BDC (Vì có
1
D D )
AD MD
BD CD (do ABDMCD, (cmt) )
==> ADM BDC (c-g-c)
==> BDADAMBC
==> ADBC = BDAM (4)
Cộng (3) (4) vế theo vế Ta coù:
ABCD + ADBC = MCBD + BDAM = BD (MC + AM)
Maø MA + M C AC ( Qui tắc ba điểm A, M, C)
==> ABCD + ADBC BDAC
2) Cách suy nghĩ chuyển từ toán lạ thành quen Bài 8:
Cho ABC cân A (A 90) Từ B kẽ BM AC Chứng minh rằng: 2 AM AB MC BC Phân tích:
Ta cần chứng minh: AM AB
MC BC
?
AM AB
MC BC 2 AC AB MC BC
(8)1 1 N M C B A B C A M N 1 F E B C A M N 1 M C B A
AB AB
MC BC
2 AB MC BC
BC 2AB MC BC
( Từ 2ABBC Để chuyển 2AB thành đoạn thẳng Ta gấp đơi đoạn AB, chia đôi đoạn BC Chẳng hạn ta gấp đôi đoạn AB (Như hình vẽ)
BC BN MC BC
BCN CMB
(Nhận xét: CMB vuông M Vậy ta phải chứng minh BCN vuông C Thật
vậy BCN có CA trung tyến ứng với cạnh BN nửa cạnh Nên BCN
vuông C Rõ ràng BCN CMB Vì có B1C1)
- Đến tốn hồn tồn giải Bài 9:
Cho ABC cạnh BC lấy hai điểm M N cho MAB NAC Chứng minh:
2
MB NB AB
MC NC AC
Phân tích:
Ta phải chứng minh
2
MB NB AB
MC NC AC
? 2
MB NB AB AB
MC NC AC AC
?
?
( Ta phải biến đổi vế vế Ta thấy với giả thiết cho
chưa tìm thấy: ACAB = ? ; AB2 = ? ;
AC2 = ? Vậy ta tìm: MB
MC = ? ; NB NC = ?
- Từ B kẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AM, AN E, F
(9)1 1 2 R Q P E D O B C A 1 F E B C A M N
Ta coù MCMB BEAC ; NB BF
NC AC )
2
BE BF AB
AC AC AC
2
BE BF AB
AC AC
22
BE BF AB
AC AC
BE BF AB2
BEAB BFAB
ABEABF
( Ta coù:
1
A F ( Vì A2))
Mặt khác
1
E EAC (So le trong) EAC BAF ( Vì có A1A2 ) ==> E1BAF
Vậy ABEABF rõ ràng)
Bài 10:
Cho đường trịn (O), dây cung BC cố định, A điểm thay đổi cung lớn BC Sao cho AC > AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC
Các tiếp tuyến đường tròn (O) D C cắt E Gọi P, Q, R giao điểm cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE; BC với AD Chứng minh :
a) PQ//BC
b) 2
1 1
DE PQ RC PQ RC Phân tích:
a) Chứng minh: PQ//BC?
(Vì
1
BD CD C A ) C1P1
?
2
A P
?
(C/m:
2
(10)Hình C
A
M Q
N
P B
Hình
2
H M
C A
O
D
B
G
1
1
2
1
R
Q P
E D
O
B C
A
b) Chứng minh: 2
1 1
DE PQ RC PQ RC ?
2
1
DE PQ PQ RC RC
2
1 1
DE PQ RC
(Vì 0; 1
DE PQ RC
)
DE1 PQ RC1
DE DE
PQ RC
?
DE ? DE ?
RC PQ
(C/m:
1
C D => BC//DE
=> DERC QCQE
Vì: BC//PQ => DE//PQ
=> DEPQ QCCE )
QE CE
QC QC
Là điều hiển nhiên đúng 3) Các tập luyện tập:
Bài 1:
Cho hình bình hành MNPQ , đường thẳng qua M cắt đường thẳng NP, PQ, QN theo thứ tự A, B, C Chứng minh ANBC khơng đổi (Hình 1)
(11)Hình K
I
D Q P
O
A B C
Hình
H E
D
B C
A
Hinh H S
N
A O B
M
F I
A
E
Bài 2:
Cho hình vng ABCD có tâm O Gọi M trung điểm đoạn AB Trên cạnh BC CD lấy điểm G H cho đường thẳng MG//AH Chứng minh GBHD =
2
2
a
(Hình 2) Bài 3:
Cho nửa đường trịn đường kính AB, lấy điểm M nửa đường tròn
( MA MB ) Qua M kẽ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn điểm thứ
hai N AM BN cắt S, AN BM cắt H a) Chứng minh S, H, O thẳng hàng
b) Chứng minh SOOH khơng đổi (Hình 3)
Bài 4:
Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm đường trịn Từ điểm P cung lớn AB Kẽ đường kính PQ, cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I, dây AB QI cắt K a) Chứng minh CI CP = CK.CD
b) Cố định điểm A, B, C Chứng minh đường tròn (O) thay đổi qua điểm A, B đường thẳng QI ln qua điểm cố định (Hình 4) Bài 5: Cho tam giác ABC cân A (A 90), đường cao AD trực tâm H Chứng
minh hệ thức: AB AH
AD AD
(Hình 5)
Bài 6: Cho ABC điểm I nằm tam giác, tia AI, BI, CI cắt cạnh BC,
AC, AB theo thứ tự D, E, F Chứng minh: AF ID AE ID AI FB AI EC
(12)D KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC (KẾT QUẢ CHUYỂN BIẾN):
Thông qua việc áp dụng đề tài “ Phát triển dạng tốn chứng minh đẳng thức tích cách giải” giảng dạy học tập ba năm học từ : 2006 -2007 đến 2008 – 2009, thấy học sinh khơng cịn lúng túng việc giải tốn đẳng thức tích nói riêng, bài tốn hình học nói chung Các em có phần hứng thú học tập hơn, em biết suy nghĩ phân tích tốn để tìm lời giải, từ q trình phân tích gây động lực cho em vẽ đường phu,ï để giải toán cần thiết, tránh vẽ hình thiếu suy nghĩ học sinh dẫn đến bế tắc giải toán
Từ áp dụng đề tài giảng dạy học tập Kết học tập em ngày tốt qua năm học bảng thống kê sau:
Năm học 2006-2007:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL TL SL TL SL TL SL TL
8A1 33 15.2 11 33.3 17 51.5 0
8A2 33 12.1 10 30.3 19 57.6 0
8A3 32 12.5 28.1 19 59.4 0
8A4 31 6.5 29.0 20 64.5 0
Caû khoái
129 15 11.6 39 30.2 75 58.1 0
Năm học 2007-2008:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL TL SL TL SL TL SL TL
9A1 33 24.2 12 36.4 13 39.4 0
9A2 33 18.2 13 39.4 14 42.4 0
9A3 32 15.6 11 34.4 16 50.0 0
9A4 31 12.9 12 38.7 15 48.4 0
Caû khoái
129 23 17.8 48 37.2 58 45.0 0
Năm học 2008-2009:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL TL SL TL SL TL SL TL
8A1 38 21.1 22 57.9 21.1 0
8A2 35 11.4 17 48.6 14 40.0 0
8A3 38 13.2 14 36.8 19 50.0 0
Cả khối
111 17 15.3 53 47.7 41 36.9 0
(13)III.KẾT LUẬN:
A.Tóm lược giải pháp:
* Tôi đưa nội dung đề tài vào tiết giảng, học sau:
- Đưa phần nhỏ đề tài vào tiết giảng có loại tốn này, theo nguyên tắc từ dễ đến khó Đối với trực quan học sinh phát được, phát huy cho học sinh giải ngay, đối học sinh chưa thấy hướng cho học sinh phân tích tìm lời giải Từ cho học sinh giải hình thành cách giải loại tốn - Cho tập với mức độ phù hợp sức học sinh, để em nhà phân tích tìm tịi, chuẩn bị cho tiết sau Phân nhóm học để em giỏi giúp đỡ em yếu
- Sau mõi toán giải xong Giáo viên đặt vấn đề phát triển toán thêm, để học sinh đề xuất hướng phát triển tốn
B Phạm vi áp dụng : 1 Về phía học sinh:
- Đề tài áp dụng học sinh lớp 8, lớp 9, tùy theo đối tượng học sinh: yếu kém, trung bình, khá, giỏi, ta vận dụng đề tài với mức độ phù hợp theo hướng khó dần Nhưng dù mức sau mõi ta phải hình thành phương pháp giải cho học sinh nắm
2 Về phía giáo viên:
- Đề tài giúp cho giáo viên có nhìn tổng quan hướng phát triển tốn chứng minh đẳng thức tích , số cách chuyển toán lạ quen, để tiết giảng vận dụng cách phù hợp, giúp cho học sinh học tốt
- Cũng thông qua đề tài ta thấy số hướng phát triển tốn theo chiều khó dần Điều giúp cho giáo viên trình giảng dạy tự phát triển từ tốn đó, phù hợp với trình độ học sinh
C Phần kiến nghị:
- Trong giảng dạy giáo viên cần trọng việc phát triển tư kỉ Cụ thể toán đơn giản học sinh phát phát huy Nhưng với toán mà học sinh chưa phát được, giáo viên cần hướng cho học sinh phân tích tìm lời giải, cho dù lời giải học sinh chưa hay chưa gọn tác giả, lúc giáo viên giúp học sinh cải thiện dần Tránh tình trạng giáo viên cung cấp giải cho học thân học sinh khơng biết lại có lời giải
- Ngồi tốn dù khó hay dễ giáo viên nhắc nhở học sinh khơng nên lịng với kết có mà tìm xem có hướng giải tốt khơng? Có thể phát triển theo hướng khơng?
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHAÛO:
- Sách giáo khoa, sách tập, sách giáo viên toán lớp 8, lớp
- Sách nâng cao phát triển toán lớp 8, lớp Của tác giả Vũ Hữu Bình
(14)MUÏC LUÏC :
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TAØI 1) Đặt vấn đề
2) Mục đích đề tài 3) Lịch sử đề tài
4) Phạm vi đề tài II NỘI DUNG ĐỀ TAØI a Thực trạng đề tài b Nội dung đề tài c Biện pháp giải quyết
1) Hướng phát triển tốn chứng minh đẳng thức tích 2) Cách suy nghĩ chuyển từ toán lạ thành quen 3) Các tập luyện tập
d Kết đạt được III.KẾT LUẬN
A.Tóm lược giải pháp B Phạm vi áp dụng C Phần kiến nghị.
Tây Vinh, ngày 18 tháng năm 2010. Người viết
Tào Quang Sơn. Xác nhận tổ chuyên môn. Xác nhận BGH.
Tổ trưởng. Hiệu trưởng.
Leâ Văn Dũng.
(15)PHỊNG GD – ĐT TÂY SƠN TRƯỜNG THCS TÂY VINH
-SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM PHÁT TRIỂN DẠNG TOÁN CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC TÍCH TRONG HÌNH HỌC VÀ CÁCH GIẢI
(16)