Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Hải Dương là tài liệu tham khảo cũng như rèn luyện kỹ năng, hoàn thiện kiến thức.
TUYỂN TẬP ĐỀ THI MƠN TỐN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG hieuchuoi@ Tháng 7.2006 GIỚI THIỆU Tuyển tập đề thi gồm tất 10 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi – Tỉnh Hải Dương (môn Toán chuyên) 10 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Hải Dương Phần cuối tuyển tập 30 toán chọn từ đề thi khác Cấu trúc tuyển tập sau: Phần I: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phần II: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Phần III: Một số toán từ đề thi khác Xin thích thêm vể tốn Phần III, tốn chọn từ đề thi Tốn khơng giới thiệu tồn tuyển tập Có nhiều tốn khó, đề phân loại học sinh thi, toán cải biên cho hay hơn, khó Tuyển tập khơng có lời giải, vấn đề hỏi đáp, yêu cầu, góp ý xin Toán cho học sinh THCS Đề thi-Đáp án xem http://mathnfriend.net Tuyển tập đề thi Tỉnh Hải Dương Tuyển tập chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong bạn thông cảm hieuchuoi@ Tháng 7.2006 PHẦN I ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI MÔN THI: TOÁN CHUYÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 1997-1998 MƠN THI: TỐN CHUN – THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: 1) Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn: ab = (a − 1) + (b + 1) 2) Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: x − y − z = Câu II: 1) Tính tổng S = 1+ 1 1 1 + + 1+ + + + + + 2 2 2 3 1997 19982 2) Tính giá trị biểu thức A: A = x + x + x + với x = 2+ 1 − 8 Câu III: Ba đường phân giác góc A, B, C cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A1 , B1 , C1 Chứng minh rằng: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + CA Câu IV: Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác BAD cắt cạnh BC CD M N 1) Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD 2) Gọi K giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD Chứng minh AKC = 900 Câu V: Chứng minh bất đẳng thức: a−b b−c c−a 1 + + ≤ − c a b 1998 1997 Trong 1997 ≤ a, b, c ≤ 1998 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 1998-1999 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: xy − y = Giải hệ phương trình yz − z = zx − x = Câu II: Dãy số a1, a2 , , an cho theo quy luật sau: 1 a1 = 1; a2 = a1 + ; ; an = an−1 + a1 an−1 Chứng minh 17 < a145 < 21 Câu III: Cho tam giác ABC không cân, BD CE hai đường phân giác góc B góc C cắt I cho ID=IE 1) Tính độ lớn góc BAC 2) Chứng minh đẳng thức 1 = + AB + BC + CA AB + BC BC + CA Câu IV: Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB P, Q, R Tìm giá trị nhỏ biểu thức: AM BM CM + + MP MQ MR ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: x + xy + y − x + y − = Giải hệ phương trình 2 x + xy − y + x + 10 x + 12 = Câu II: Tìm số nguyên k, m, n đôi khác đồng thời khác để đa thức x ( x − k )( x − m )( x − n ) + phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên Câu III: Cho đường tròn tâm O điểm M nằm ngồi hình trịn Qua M kẻ cát tuyến cắt đường tròn B, C (MC > MB) tiếp tuyến MA (A tiếp điểm) 1) Gọi E, F chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B, C Chứng minh EF song song với đường thẳng cố định cát tuyến MBC thay đổi 2) Gọi H hình chiếu vng góc A MO Chứng minh tứ giác BHOC tứ giác nội tiếp 3) Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC cát tuyến MBC thay đổi Câu IV: Cho đa giác lồi A1 A2 A3 A4 A5 A A7 A8 có góc đỉnh độ dài cạnh số nguyên Người ta tô cạnh hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn cách tô màu cho tổng độ dài cạnh màu xanh tổng độ dài cạnh màu đỏ Câu V: Chứng minh bất đẳng thức: m − ≥ n n ( 3+ ) với m, n ∈ N * ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2000-2001 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: Tính giá trị biểu thức: 1995.1997.1998.1999.2000.2001 + 36 Câu II: 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x − y + + y − 4x − + x + y + + 2x + 3y + = 2) Giải phương trình theo tham số m: m− m− m−x = x 3) Cho tứ giác lồi có diện tích Tìm giá trị nhỏ tổng cạnh hai đường chéo Câu III: Chứng minh với hai số a b ln tìm số x, y ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ Thỏa mãn bất đẳng thức: xy − ax − by ≥ 1 Có thể thay số bất đẳng thức số c khác với c > 3 không? Câu IV: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC BD cắt I Gọi O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI 1) Chứng minh tứ giác O1OO2 I hình bình hành 2) Một đường thẳng qua I cắt đường tròn tâm O M, N, cắt đường tròn tâm O1 tâm O2 thứ tự P, Q Chứng minh PM=QN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2001-2002 MƠN THI: TỐN CHUN -THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: Chứng minh biểu thức: x+ y A = xy + − x + Không phụ thuộc vào x y xy − x+ y − y Câu II: 1) Giải phương trình (x − 1) − ( x − 1) = 12 ( x + 1) 2 2) Xác định giá trị m để phương trình: x − 4mx + 4m + + x2 − x + = x − 2m Có nghiệm Câu III: 1) Cho hai đường tròn tâm O1 O2 tiếp xúc M (đường tròn tâm O2 nằm trong), N điểm nằm ( O2 ) (N khác M), qua N kẻ tiếp tuyến với ( O2 ) cắt ( O1 ) A B Đường thẳng MN cắt ( O1 ) E Gọi I tiếp điểm tiếp tuyến với ( O2 ) kẻ từ E Đường thẳng EI cắt đường tròn ( O1 ) C Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 2) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác r, R độ dài bán kính đường trịn nội, ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC là: 1 + + = a b c Rr Câu IV: Cho n số tự nhiên lẻ n biểu diễn khơng hai cách tổng hai số phương Chứng minh n hợp số ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2002-2003 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Bài I: Cho đa thức f(x) có bậc 2000 thỏa mãn điều kiện f (n) = với n n = 1, 2,3, ,2001 Tính giá trị f(2002) Bài II: 1) Giải phương trình x3 + = ( x − x ) 1 + + 0; y > 0} 2ab ab thuộc tập hợp T Chứng minh số a+b Câu II: Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB AC, đường phân giác góc B cắt đường thẳng DE H Chứng minh tam giác BHC tam giác vuông Câu III: 1) Giải hệ phương trình; ( x + y ) ( x − y ) = 45 2 ( x − y ) ( x + y ) = 85 2) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho số 1 a + ; b + ; c + số nguyên dương b c a Câu IV: Tìm đa thức f ( x ) g ( x ) hệ số nguyên cho: ( g( f )= 7) 2+ 2+ Câu V: Tìm số nguyên tố p để p + p + số nguyên tố Câu VI: Cho phương trình x + ax + b = có hai nghiệm x1 x2 ( x1 ≠ x2 ) Đặt x1n − x2n (n số tự nhiên) Tìm giá trị a b cho đẳng thức un = x1 − x2 10 un +1un +2 − unun+3 = ( −1) un + un+1 = un+ n với số tự nhiên n, từ suy 11 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2004-2005 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: Tìm giá trị a đề phương trình: ( ) ( ) ( a x − a3 + − a + + a = 3x − ) Có vơ số nghiệm Câu II: Tìm số tự nhiên a, b, c ( a ≤ b ≤ c ) thỏa mãn đẳng thức: 1 + 1 + 1 + = a b c Câu III: Cho a, b, c số nguyên dương cho a−b số hữu tỉ b−c 1) Chứng minh b = ac 2) Với b ≠ Chứng minh a + b + c hợp số Câu IV: Cho hình bình hành ABCD, M điểm nằm hình bình hành cho AMB + CMD = 1800 Chứng minh MAD = MCD Câu V: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , đường phân giác kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC D thỏa mãn BC = BD + DA 1) Tính góc tam giác ABC 2) Chứng minh a + b3 = 3ab ( AB = AC = b; BC = a ) 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2005-2006 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: Cho phương trình x − x + = Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 Tính giá trị biểu thức: A = x1 − − x2 + Câu II: 1) Giải hệ phương trình: x + 10 + y − = x − + y + 10 = 2) Cho phương trình ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) = ( m − 1) x (ẩn x) Giả sử phương trình có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Chứng minh giá trị 1 1 biểu thức + + + không phụ thuộc vào m x1 x2 x3 x4 Câu III: ( Cho tam giác ABC BAC ≠ 900 ) nội tiếp đường tròn tâm O, đường thẳng AB, AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC tâm I M N Gọi J điểm đối xứng I qua MN Chứng minh rằng: 1) Tam giác AMC tam giác cân 2) AJ vng góc với BC Câu IV: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi M, H, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A đến CD, DB, BC Chứng minh HM=HK đường phân giác góc BAD , BCD BD đồng quy Câu V: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c; abc = a + b + c > Chứng minh a + b > ab + 1 1 + + a b c 13 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2006-2007 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: Rút gọn biểu thức: + 2 2 1+ + + 1+ 2005 2006 Câu II: 1) Cho hai đa thức f ( x ) = x5 − x + x3 − x + x − 2; g ( x ) = x − x + a Xác định giá trị a để tồn đa thức p ( x ) thỏa mãn: f ( x ) = g ( x ) p ( x ) với giá trị x 2) Gọi α nghiệm đa thức f ( x ) = x3 − x − Tìm đa thức h ( x ) có hệ số nguyên nhận α + làm nghiệm Câu III: Cho phương trình x − x + = , gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x1n − x2n ; n = 1;2;3 Chứng minh an số nguyên với n = 1;2;3 Đặt an = Câu IV: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1) Chứng minh AH=AO BAC = 600 2) BD, CE hai đường phân giác góc B, C ( D ∈ AC , E ∈ AB ) M điểm BC cho tam giác MDE tam giác Chứng minh AH=AO Câu V: Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện: a < b < c; a + b + c = 6; ab + bc + ca = Chứng minh < a < < b < < c < 14 PHẦN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN 15 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 1996-1997 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: 2x 2x2 1) Cho = − Hãy tính P = x + 2x + x + x2 + 5 ( x + y ) + xy = −19 2) Giải hệ phương trình: xy + x + y = −35 Câu II: Cho f ( x ) = ax + bx + c 1) Giả sử f ( x ) có nghiệm x1 , x2 Kí hiệu P ( k ) = x1k + x2k Chứng minh aP ( k + ) + bP ( k + 1) + cP ( k ) = Áp dụng để tính ( R = 0,5 + 1, 25 ) + ( 0,5 − ) 1,25 2) Cho ≤ f ( m ) ≤ với m ∈ {0;1;2} Chứng minh f ( x ) ≤ 1,125 với x thỏa mãn ≤ x ≤ 3) Cho a = , b c số ngun Chứng minh tìm số tự nhiên n cho: f ( n + 1) ; f ( n + ) ; ; f ( n + 1996 ) hợp số Câu III: Cho số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: abc = a b c b3 a c 3+ 3+ 3= + + a c b b c a Chứng minh ba số a ; b ; c có số số hữu tỉ Câu IV: Trên cạnh AB, BC, CA theo thứ tự lấy F, D, E dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác ACK cho ACK = DFE; CAK = FDE Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt AC M (nằm C E) Chứng minh rằng: 1) FM song song AK 2) Tứ giác DBFK tam giác ABC có diện tích (cịn tiếp trang sau) 16 ...GIỚI THI? ??U Tuyển tập đề thi gồm tất 10 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi – Tỉnh Hải Dương (mơn Tốn chun) 10 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Hải Dương Phần cuối tuyển tập 30... học sinh THCS Đề thi- Đáp án xem http://mathnfriend.net Tuyển tập đề thi Tỉnh Hải Dương Tuyển tập chắn không tránh khỏi thi? ??u sót, mong bạn thơng cảm hieuchuoi@ Tháng 7.2006 PHẦN I ĐỀ THI TUYỂN SINH. .. tuyển tập 30 toán chọn từ đề thi khác Cấu trúc tuyển tập sau: Phần I: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phần II: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Phần III: Một số toán từ đề thi khác Xin thích thêm vể