Dưới đây là tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán THCS của tỉnh Hải Dương này giúp các em học sinh ôn tập kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ, rèn luyện kỹ năng để các em nắm được toàn bộ kiến thức chương trình Toán THCS.
TUYỂN TẬP ĐỀ THI MƠN TỐN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG hieuchuoi@ Tháng 7.2006 GIỚI THIỆU Tuyển tập đề thi gồm tất 10 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi – Tỉnh Hải Dương (môn Toán chuyên) 10 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Hải Dương Phần cuối tuyển tập 30 toán chọn từ đề thi khác Cấu trúc tuyển tập sau: Phần I: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phần II: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Phần III: Một số toán từ đề thi khác Xin thích thêm vể tốn Phần III, tốn chọn từ đề thi Tốn khơng giới thiệu tồn tuyển tập Có nhiều tốn khó, đề phân loại học sinh thi, toán cải biên cho hay hơn, khó Tuyển tập khơng có lời giải, vấn đề hỏi đáp, yêu cầu, góp ý xin Toán cho học sinh THCS Đề thi-Đáp án xem http://mathnfriend.net Tuyển tập đề thi Tỉnh Hải Dương Tuyển tập chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong bạn thông cảm hieuchuoi@ Tháng 7.2006 PHẦN I ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI MÔN THI: TOÁN CHUYÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 1997-1998 MƠN THI: TỐN CHUN – THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: 1) Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn: ab = (a − 1) + (b + 1) 2) Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: x − y − z = Câu II: 1) Tính tổng S = 1+ 1 1 1 + + 1+ + + + + + 2 2 2 3 1997 19982 2) Tính giá trị biểu thức A: A = x + x + x + với x = 2+ 1 − 8 Câu III: Ba đường phân giác góc A, B, C cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A1 , B1 , C1 Chứng minh rằng: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + CA Câu IV: Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác BAD cắt cạnh BC CD M N 1) Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD 2) Gọi K giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD Chứng minh AKC = 900 Câu V: Chứng minh bất đẳng thức: a−b b−c c−a 1 + + ≤ − c a b 1998 1997 Trong 1997 ≤ a, b, c ≤ 1998 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 1998-1999 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: xy − y = Giải hệ phương trình yz − z = zx − x = Câu II: Dãy số a1, a2 , , an cho theo quy luật sau: 1 a1 = 1; a2 = a1 + ; ; an = an−1 + a1 an−1 Chứng minh 17 < a145 < 21 Câu III: Cho tam giác ABC không cân, BD CE hai đường phân giác góc B góc C cắt I cho ID=IE 1) Tính độ lớn góc BAC 2) Chứng minh đẳng thức 1 = + AB + BC + CA AB + BC BC + CA Câu IV: Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB P, Q, R Tìm giá trị nhỏ biểu thức: AM BM CM + + MP MQ MR ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: x + xy + y − x + y − = Giải hệ phương trình 2 x + xy − y + x + 10 x + 12 = Câu II: Tìm số nguyên k, m, n đôi khác đồng thời khác để đa thức x ( x − k )( x − m )( x − n ) + phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên Câu III: Cho đường tròn tâm O điểm M nằm ngồi hình trịn Qua M kẻ cát tuyến cắt đường tròn B, C (MC > MB) tiếp tuyến MA (A tiếp điểm) 1) Gọi E, F chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B, C Chứng minh EF song song với đường thẳng cố định cát tuyến MBC thay đổi 2) Gọi H hình chiếu vng góc A MO Chứng minh tứ giác BHOC tứ giác nội tiếp 3) Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC cát tuyến MBC thay đổi Câu IV: Cho đa giác lồi A1 A2 A3 A4 A5 A A7 A8 có góc đỉnh độ dài cạnh số nguyên Người ta tô cạnh hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn cách tô màu cho tổng độ dài cạnh màu xanh tổng độ dài cạnh màu đỏ Câu V: Chứng minh bất đẳng thức: m − ≥ n n ( 3+ ) với m, n ∈ N * ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2000-2001 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: Tính giá trị biểu thức: 1995.1997.1998.1999.2000.2001 + 36 Câu II: 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x − y + + y − 4x − + x + y + + 2x + 3y + = 2) Giải phương trình theo tham số m: m− m− m−x = x 3) Cho tứ giác lồi có diện tích Tìm giá trị nhỏ tổng cạnh hai đường chéo Câu III: Chứng minh với hai số a b ln tìm số x, y ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ Thỏa mãn bất đẳng thức: xy − ax − by ≥ 1 Có thể thay số bất đẳng thức số c khác với c > 3 không? Câu IV: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC BD cắt I Gọi O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI 1) Chứng minh tứ giác O1OO2 I hình bình hành 2) Một đường thẳng qua I cắt đường tròn tâm O M, N, cắt đường tròn tâm O1 tâm O2 thứ tự P, Q Chứng minh PM=QN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2001-2002 MƠN THI: TỐN CHUN -THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu I: Chứng minh biểu thức: x+ y A = xy + − x + Không phụ thuộc vào x y xy − x+ y − y Câu II: 1) Giải phương trình (x − 1) − ( x − 1) = 12 ( x + 1) 2 2) Xác định giá trị m để phương trình: x − 4mx + 4m + + x2 − x + = x − 2m Có nghiệm Câu III: 1) Cho hai đường tròn tâm O1 O2 tiếp xúc M (đường tròn tâm O2 nằm trong), N điểm nằm ( O2 ) (N khác M), qua N kẻ tiếp tuyến với ( O2 ) cắt ( O1 ) A B Đường thẳng MN cắt ( O1 ) E Gọi I tiếp điểm tiếp tuyến với ( O2 ) kẻ từ E Đường thẳng EI cắt đường tròn ( O1 ) C Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 2) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác r, R độ dài bán kính đường trịn nội, ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC là: 1 + + = a b c Rr Câu IV: Cho n số tự nhiên lẻ n biểu diễn khơng hai cách tổng hai số phương Chứng minh n hợp số ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2002-2003 MƠN THI: TỐN CHUN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Bài I: Cho đa thức f(x) có bậc 2000 thỏa mãn điều kiện f (n) = với n n = 1, 2,3, ,2001 Tính giá trị f(2002) Bài II: 1) Giải phương trình x3 + = ( x − x ) 1 + + 0; y > 0} 2ab ab thuộc tập hợp T Chứng minh số a+b Câu II: Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB AC, đường phân giác góc B cắt đường thẳng DE H Chứng minh tam giác BHC tam giác vuông Câu III: 1) Giải hệ phương trình; ( x + y ) ( x − y ) = 45 2 ( x − y ) ( x + y ) = 85 2) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho số 1 a + ; b + ; c + số nguyên dương b c a Câu IV: Tìm đa thức f ( x ) g ( x ) hệ số nguyên cho: ( g( f )= 7) 2+ 2+ Câu V: Tìm số nguyên tố p để p + p + số nguyên tố Câu VI: Cho phương trình x + ax + b = có hai nghiệm x1 x2 ( x1 ≠ x2 ) Đặt x1n − x2n (n số tự nhiên) Tìm giá trị a b cho đẳng thức un = x1 − x2 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 1997-1998 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: 1) Giải biện luận phương trình: 2m ( m − 1) m − 3m + (x ẩn, m tham số) + = x − m2 m−x x+m 2) Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: a = b3 + c + 3abc a = ( b + c ) Câu II: Cho a, b hai số dương a b + ≤ a + b b + a ab a+b ab 2) Tìm giá trị nhỏ + ab a + b 1) Chứng minh Câu III: 1) Cho tứ giác lồi ABCD, biết góc BAC = 300 ; ADB = 500 ; DCA = 400 ; CDB = 600 ; ABC + ADC < 1800 Tính góc tứ giác ABCD 2) Cho hình vng ABCD có cạnh a Một góc 450 quay xung quanh đỉnh A nằm bên hình vng cắt cạnh BC, CD M N a) Chứng minh ( BM + DN ) a + BM DN = a b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD E Chứng minh 1 + = AM AE a 18 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 1998-1999 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: 1) Rút gọn: − 48 + − 24 + − 2) Cho a, b hai số dương có tổng 2 1 1 Chứng minh bất đẳng thức a + + b + ≥ b a Câu II: Cho phương trình x − x + − 4a = (x ẩn số) 1) Giải phương trình a = 2) Tìm a để phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Khi tìm giá trị lớn biểu thức x12 + x22 + x32 + x42 Câu III: 1) Cho tứ giác ABCD, cho AB, CD kéo dài cắt M; AD, BC kéo dài cắt N, đường phân giác AMD CND cắt P Chứng minh rằng: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp tam giác MNP vng Điều ngược lại có khơng? 2) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) Trên đường cao AH lấy điểm D cạnh AC lấy điểm E cho EBC = ACD BEC = AED Tính EBC 19 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 1999-2000 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: + − a2 Rút gọn biểu thức A = ( (1 + a ) + − a2 − (1 − a ) ) với −1 ≤ a ≤ Câu II: Cho hai số a b nguyên Chứng minh phương trình x + 3ax − ( b + 1) = khơng có nghiệm ngun Câu III: Cho hai đường tròn tâm O1 tâm O2 cắt A B, qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn tâm O1 C đường tròn tâm O2 D 1) Đường thẳng AO2 cắt đường tròn tâm O1 P, đường thẳng AO1 cắt đường tròn tâm O2 Q Chứng minh PCA = QDA 2) Gọi M, N điểm cung CB BD (khơng chứa A), K trung điểm đoạn CD Chứng minh MK vuông góc với NK Câu IV: Cho 2− 2− m > (m, n số tự nhiên khác 0) Chứng minh n m > n 3mn 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 2000-2001– THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: ( 2) Cho ( x + )( y + + y )( y + 1) Cho x + + x 2 ) + x ) = Chứng minh x + y = + y = Tính x + y Câu II: 1) Tìm số nguyên x để x + 3x − 35 = p với p số nguyên tố x2 + y2 = 2) Giải hệ phương trình 3 x + y =1 Câu III: Cho hai điểm C D nằm nửa đường trịn tâm O đường kính AB (C nằm A D) Đường tròn qua điểm A, C, O cắt đường tròn qua điểm B, D, O N Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC I 1) Chứng minh bốn điểm A, B, I, N nằm đường tròn Và bốn điểm C, D, I, N nằm đường tròn 2) Chứng minh tam giác ONI vuông Câu IV: Cho hai số thực x y Chứng minh tồn số hữu tỉ xen hai số 21 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 2001-2002 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: Cho phương trình: x − ( 2m − 1) x + ( m − 2m − 1) = 1) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m 2) Tìm giá trị m để x13 + x23 = 36 Câu II: x + x + y − 0,75 + y + x + y − 0,75 + x + y = 4,5 Giải hệ phương trình 2 x + x + y − 0,75 + y + x + y − 0,75 − x − y = Câu III: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cai AH ( H ∈ BC ) Gọi D điểm đối xừng A qua H I điểm HD Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC M CD kéo dài N cho IM = IN Chứng minh tam giác BMN tam giác cân Câu IV: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca + abc = Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca 22 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 2002-2003 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: Tình giá trị biểu thức A = x + 2002 x − 2003 với x= ( 27 + 10 ) ( ( 27 − 10 − 27 − 10 13 − + ) 13 + : ) 27 + 10 13 + Câu II: 1) Cho phương trình x + ( a − ) x + a − 3a + = Gọi x1 , x2 hai nghiệm ax12 ax22 phương trình Tìm giá trị a để + =− − x1 − x2 y = ( x + 8) ( x2 + 2) 2) Giải hệ phương trình 2 y + 16 ( x + 1) = x + ( + x ) y Câu III: Cho đa giác ABCDE nội tiếp đường tròn Gọi M giao điểm AC BD, N giao điểm AD CE, tam giác ABM, AMN, AEN, CDM, CDN có diện tích Chứng minh rằng: 1) Tứ giác CMND hình thang cân 2) AB + AC AE = AD Câu IV: Cho a, b, c số thực không âm a + b + c = Chứng minh a + b + c ≤ 2abc + 23 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 2003-2004 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I : Giải phương trình: xy − x − y + a + x y + x y + xy − 4b = a= ( 57 + + 38 + )( 57 − − 38 + ) b = 17 − 12 + − 2 + + 2 Câu II: Hai phương trình x + ( a − 1) x + = 0; x + ( b + 1) x + c = có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình x + x + ( a − 1) = 0; x + cx + ( b + 1) = có nghiệm chung 2004a Tính giá trị biểu thức b+c Câu III: Cho hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) cắt A B Đường thẳng O1 A cắt ( O2 ) D Đường thẳng O2 A cắt ( O1 ) C Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt ( O1 ) M cắt ( O2 ) N Chứng minh rằng: 1) Năm điểm B, C , D, O1 , O2 nằm đường trịn 2) BC + BD = MN Câu IV: Tìm số thực x y thỏa mãn x + y = x + y số nguyên 24 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 2004-2005 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: 1) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x + 2004 x + = x3 , x4 nghiệm phương trình x + 2005 x + = Tính giá trị biểu thức ( x1 + x3 )( x2 + x3 ) ( x1 − x4 )( x2 − x4 ) 2) Cho a, b, c, d số thực a + b < Chứng minh phương trình ( a + b2 − 1) x − ( ac + bd − 1) x + c + d − = ln có nghiệm Câu II: m +1 n +1 số nguyên Chứng minh + n m ước chung lớn m n không lớn m + n Cho hai số tự nhiên m n thỏa mãn Câu III: Cho hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) cắt A B Tiếp tuyến chung hai đường trịn gần B có tiếp điểm C D; C ∈ ( O1 ) ; D ∈ ( O2 ) Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, cắt ( O1 ) M cắt ( O2 ) N Đường thẳng BC, BD cắt đường thẳng MN P, Q Đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh rằng: 1) Đường thẳng AE vng góc với đường thẳng CD 2) Tam giác EPQ tam giác cân Câu IV: x + y =1 Giải hệ phương trình 5 x + y = 11 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN NĂM HỌC 2005-2006 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I: Rút gọn biểu thức A= a − 5a + ( a − 1) a − + a + a − 5a + ( a − 1) a − − a − Câu II: Chứng minh cos 720 = −1 Câu III: 1) Cho phương trình 3x − ( p − 1) x + p − p + 11 = (p tham số) Tìm số hữu tỉ p để phương trình có nghiệm ngun 2) Giải hệ phương trình x − y 1 − =3 y x ( x + y ) 1 + xy = 25 ( ) Câu IV: Cho hai đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) cắt A B 1) Một điểm M ( O1 ) , Qua M kể tiếp tuyến MD với ( O2 ) (D tiếp MD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm) Chứng minh biểu thức MA.MB M ( O1 ) 2) Kéo dài AB phía B lấy điểm C Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với đường tròn ( O1 ) (E, F tiếp điểm F nằm phía với ( O2 ) bờ AB) Đường thẳng BE BF cắt đường tròn ( O2 ) P Q Gọi I trung điểm PQ Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng 26 PHẦN III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC ĐỀ THI KHÁC 27 Bài 1: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) M điểm chuyển động cạnh đáy BC Dựng đường tròn thứ qua M tiếp xúc với AB B, đường tròn thứ hai qua M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt D 1) Chứng minh đường thẳng DM qua điểm cố định 2) Chứng minh tổng độ dài hai đường trịn khơng phụ thuộc vào vị trí M (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN – Đã cải biên) Bài 2: Cho 1997 số thực a1 , a2 , , a1997 thỏa mãn a1 + a2 + a3 + + a1997 = 2 2 a1 + a2 + a3 + + a1997 = 1997 Chứng minh 1997 số tồn hai số có tích khơng vượt q −1 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN) Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC D điểm cạnh BC 1) Gọi O; O1; O2 thứ tự làm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; ABD; ADC Chứng minh OO1O2 tam giác cân AD phân giác BAC 2) Dựng điểm D cho S ABD = S ADC (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) Bài 4: Tìm cặp số tự nhiên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: x − xy − y + = (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN) Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M điểm chuyển động nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B C D Đường thẳng OC cắt AM E đường thẳng OD cắt BM F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp xác định vị trí M để đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD có chu vi nhỏ (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN- Đã cải biên) 28 Bài 6: Tìm số nguyên x, y, z với x < y < z thỏa mãn phương trình: x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) + x y z = 50 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN) Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y − z với x, y, z thỏa 2x + y − z = mãn: 4 x + y − z = 10 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Môn Toán cho lớp chuyên KHTN) Bài 8: Cho đường trịn ( O ) dây BC khơng qua tâm A điểm chuyển động đường tròn cho tam giác ABC nhọn BM CN đường cao tam giác ABC ( M ∈ AC ; N ∈ AB ) Chứng minh độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN khơng đổi (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN- Đã cải biên) Bài 9: Cho x, y, z số dương xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2001-2002 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN) Bài 10: Chứng minh a + b − a + c ≤ b − c với a, b, c ∈ R (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2002-2003 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN) Bài 11: Cho đường tròn ( O ) dây AB, M điểm chuyển động đường trịn Từ M kẻ MH vng góc AB ( H ∈ AB ) Gọi E F hình chiếu H MA MB Qua M kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt dây AB D 1) Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố dịnh M thay đổi đường tròn MA AH AD = 2) Chứng minh MB BD BH (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2003-2004 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN) 29 Bài 12: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab > c; a + b3 = c3 + Chứng minh a + b > c + (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 2004-2005 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN) Bài 13: Cho đường tròn ( O ) dây AB không qua tâm M điểm đường tròn cho tam giác ABM nhọn Phân giác MAB MBA cắt ( O ) P Q Gọi I giao điểm AP BQ 1) Chứng minh MI vng góc PQ 2) Chứng minh tiếp tuyến chung đường tròn tâm P tiếp xúc với MB, đường trịn tâm Q tiếp xúc với MA ln song song với đường thẳng cố định M thay đổi (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2004-2005 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN) Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn ( O ) Góc BAC = 600 H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng OH cắt AB AC M N Chứng minh BM + CN = MN (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2005-2006 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN – Đã cải biên) Bài 15: Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ax1 + bx +c = Tính giá trị biểu thức M = a c + ac + b3 − 3abc (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 2005-2006 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN) x5 − x3 − 3x + x với = x + 3x + 11 x2 + x + (Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2004-2005) Bài 16: Tính giá trị A = Bài 17: Tìm số nguyên m để m + m + 20 số hữu tỉ (Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2003-2004) ( Bài 18: Tìm số nguyên lớn không vượt + ) (Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2002-2003) 30 Bài 19: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: x + y = 3200 (Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2001-2002) Bài 20: Tam giác ABC có cạnh thỏa mãn điều kiện BC ≥ AC ( AB + AC ) Giả sử D điểm BC kéo dài cho CAD = ABC Chứng minh rằng: BD − AD AB ≥ AD BD − AD Bài 21: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương: bc ac ab + + ≤1 a + 2bc a + 2ac c + 2ab (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương – vòng – Năm học 19971998- biên) Bài 22: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H, K trực tâm tam giác BCD ACD Chứng minh AH, BK cắt trung điểm đoạn (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương - vòng – Năm học 19971998) Bài 23: 1) Tìm số có ba chữ số aba cho aba = ( a + b ) a+b = 2) Tìm số nguyên a, b thỏa mãn 2 a − ab + b (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương – vòng2 – Năm học 19971998) Bài 24: Cho a, b số thực dương a + b3 ≥ a + b Chứng minh a + b3 ≤ (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi) Bài 25: Giải phương trình x + x − + x − x + = x − x + (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Dự bị) (Còn tiếp trang sau) 31 toán từ 26 tới 30 toán Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm 1997 Bài 26: Tìm tất số tự nhiên k thỏa mãn: Tích chữ số k 44k − 86868 x − y = 2b Bài 27: Giải hệ phương trình 2 x y − xy = b Bài 28: Tìm mối liên hệ a, b, c biết tích nghiệm phương trình x + ax + = với nghiệm phương trình x + bx + = nghiệm phương trình x + cx + = Bài 29: Cho MN dây đường tròn ( O ) Vẽ tam giác ABC có AB đường kính đường tròn hai cạnh AC, BC qua M, N Chứng minh đường cao hạ từ C tam giác ABC qua điểm cố định Bài 30: Trong lục giác lồi ABCDEF độ dài đường chéo AD, BE, CF lớn Hỏi ln tìm lục giác cạnh có độ dài lớn hay khơng? _HẾT _ 32 ...GIỚI THI? ??U Tuyển tập đề thi gồm tất 10 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi – Tỉnh Hải Dương (mơn Tốn chun) 10 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Hải Dương Phần cuối tuyển tập 30 toán. .. học sinh THCS Đề thi- Đáp án xem http://mathnfriend.net Tuyển tập đề thi Tỉnh Hải Dương Tuyển tập chắn không tránh khỏi thi? ??u sót, mong bạn thơng cảm hieuchuoi@ Tháng 7.2006 PHẦN I ĐỀ THI TUYỂN SINH. .. tuyển tập 30 toán chọn từ đề thi khác Cấu trúc tuyển tập sau: Phần I: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phần II: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Phần III: Một số toán từ đề thi khác Xin thích thêm vể