Đang tải... (xem toàn văn)
Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập Toán nhanh nhất để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi sắp tới. Mời các bạn tham khảo tài liệu Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8.
Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4x2 2 x x2 3x A ( ):( ) 2 x x 2 x x2 x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z 6y + 20 = b) Cho a b c x2 y z x y z Chứng minh : x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x 2) – (x 2) = (x 2)(3x 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x a) – (x a) = Gv: Nguyễn Văn Tú Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán = (x a)(ax 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Năm học: 2011-2012 0,5 5,0 3,0 2 x x x x 2 2 x x 3x x x x A( 1,0 x 4x2 2 x x 3x (2 x )2 x (2 x)2 x (2 x) ):( 3) x x x 2x x (2 x)(2 x) x( x 3) 1,0 x 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x( x 2) x(2 x) 4x2 (2 x )(2 x)( x 3) x 0,25 Vậy với x 0, x 2, x A 4x x 3 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A 4x 0 x 3 0,25 0,25 0,25 1,0 x 3 x 3(TMDKXD) Vậy với x > A > c x x7 x 4 x 11(TMDKXD ) x 3( KTMDKXD) Với x = 11 A = 0,25 0,5 0,25 121 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z 6y + 20 = 2 (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 2 9(x 1) + (y 3) + (z + 1) = (*) Do : ( x 1) 0; ( y 3) 0; ( z 1)2 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = 1 Vậy (x,y,z) = (1,3,1) b Từ : Gv: Nguyễn Văn Tú a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Ta có : Năm học: 2011-2012 x y z x y z ( )2 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y z 1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D K a 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD 0,5 b, 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC CF AH Mà : CD = AB AB AH CF AC AB AC 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) Gv: Nguyễn Văn Tú 0,25 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x x 3 x x 24 b Giải phương trình: x 30x 31x 30 a2 b2 c2 a b c 0 c Cho Chứng minh rằng: bc ca ab bc ca ab Câu2 10 x x A :x x x 4 2x x2 Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b 2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án a x4 + = x4 + 4x2 + 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + 2x) Điểm ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) 24 = (x2 + 7x + 11 1)( x2 + 7x + 11 + 1) 24 = [(x2 + 7x + 11)2 1] 24 = (x2 + 7x + 11)2 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x 30x (2 điểm) 31x 30 x x 1 x x (*) Vì x2 x + = (x ) + >0 x (*) (x 5)(x + 6) = x x x x Gv: Nguyễn Văn Tú (2 điểm) Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 a b c 1 bc ca ab với a + b + c; rút gọn đpcm 10 x x Biểu thức: A : x x2 x 4 2x x2 1 a Rút gọn kq: A x2 1 1 x x b x 2 c Nhân vế của: Câu (6 điểm) 4 A c A x 1 Z x 1;3 d A Z x2 A HV + GT + KL (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A (2 điểm) B (1 điểm) F M D Câu (6 điểm) C AE FM DF AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm a Chứng minh: (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ME MF a không đổi S AEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) Câu 4: (2 điểm) M trung điểm BD b c 1 a 1 a a a c 1 a Từ: a + b + c = b b b a b 1 c c c (1 điểm) (1 điểm) 1 a b a c b c a b c b a c a c b 32229 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Dấu xảy a = b = c = Năm học: 2011-2012 b (a2001 + b 2001).(a+ b) (a2000 + b2000).ab = a2002 + b 2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b 2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) §Ị thi SỐ Câu : (2 điểm) Cho P= a 4a a a 7a 14a a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : A= a b c 3 b c a a c b a b c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iĨm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lÇn lượt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a 1 a2 0,25 a23 ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, a2 a2 mà Ư(3)= 1;1;3;3 0,25 Từ tìm a 1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) ( a 2ab b ) 3ab = =(a+b) ( a b ) 3ab 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) ( a b ) 3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,5 0,25 Do ®ã Min P=-36 (x +5x) =0 Tõ ®ã ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2 +11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Phương trình trở thành : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; Gv: Nguyn Văn Tú 0,25 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 b) (1®) §Ỉt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ; 0,5 ;b ;c 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta A= ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 2) hay A 0,25 Câu : (3 đ) Từ suy a= a) (1đ) Trong tam giác BDM ta cã : Dˆ 120 Mˆ Vì M =600 nên ta có : M 120 Mˆ Suy Dˆ Mˆ y A x E Chøng minh BMD ∾ CEM (1) D BD CM Suy , tõ BD.CE=BM.CM BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta cã b) (1®) Tõ (1) suy BD.CE= 0,5 B C M BC 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ D , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 Gv: Nguyễn Văn Tú 0,25 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a a 15 Caâu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x 3x ax b chia hết cho đa thức B( x) x 3x Caâu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P Câu 2đ 1 1 1 2 1002 Đáp án biểu điểm Đáp án A a 1 a 3 a a 15 a a a 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ a 8a a 8a 15 15 8a 22 a 8a 120 8a 12 a a a a 2đ Biểu điểm 8a 11 2 8a 10 8a 10 Giả sử: x a x 10 x m x n ; (m, n Z ) x a 10 x 10a x m n x mn 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ m n a 10 m n 10 a 1 Khử a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + Gv: Nguyễn Văn Tú 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 0,25 đ 0,25 ñ mn 10m 10n 100 m(n 10) 10n 10) m,n nguyên ta có: 1đ m 10 1 n 10 1 v m 10 1 n 10 1 suy a = 12 hoaëc a =8 Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 3 Để A( x) B ( x) ba3400 ba 0,5 ñ 0,5 ñ 3ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 đ Tứ giác ADHE hình vuông 0,25 đ 0,25 đ AHB Hx phân giác góc ; Hy phân giác góc 0,5 đ AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc 0,5 đ Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH = 900 Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1) 0,25 đ 0,25 đ AHB 900 AHD 450 0,25 ñ 2 Do AHE 2ñ AHC 900 450 2 AHD AHE Hay HA laø phân giác DHE (2) Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 1 1 P 100 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 Gv: Nguyễn Văn Tú 10 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y 12 = y2 + 6y 2y 12 = (y + 6)(y 2) = y = 6; y = * x2 + x = vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x = x2 + 2x x = x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x 1) = x = 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x x x x x x 1 x 2 x 3 x4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ) (0,25đ) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ( x 2009)( 1 1 1 ) (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì Do : 2008 2007 2006 2005 2004 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = 2009 2003 E Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vng cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) Eˆ Fˆ Mà Eˆ Eˆ Fˆ1 = 900 Fˆ2 Eˆ Fˆ1 = 900 I 1 B C F O A 900 Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI = EF Tương tự BI = EF DI = BI I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng 1 2006 2003 D EDF = Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 a2 a2 a2 = 2(x – )2 + 2 a Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = Gv: Nguyễn Văn Tú 33 B D C A E (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 a (0,25đ) BD = AE = D, E trung điểm AB, AC b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB AB AB AB2 = – (AD2 – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ) 2 4 8 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi (0,25đ) 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25) S 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x 16 A x x2 Bµi 3: Cho ph©n thøc: 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x2 x x x ( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đà hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyÕn AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích AHM ? Biểu điểm - Đáp ¸n Gv: Nguyễn Văn Tú 34 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 ®iĨm) A= BiĨu ®iĨm x(4 x 16 x[(2 x) x(2 x 4)(2 x 4) x.2( x 2).2( x 2) 4( x ) x x ( x 2) x ( x 2) x 2x x2 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x vµ x + x vµ x -1 b) Rót gän: (1 ®iĨm) 5x 5( x 1) (0,5 ®iĨm) 2 x x x( x 1) x 5 (0,25 ®iĨm) 2x x 2x 5 Vì thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x 2 Bài 4: a) Điều kiện xác ®Þnh: x 0; x x(x 2) (x 2) - Gi¶i: x2 + 2x – x +2 = 2; x( x 2) x( x 2) (0,25 ®iĨm) 1® x= (loại) x = - Vậy S = 1 b) x2 – < x2 + 4x + x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - Bµi 5: – Gäi sè ngµy tỉ dù định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 x = 10 (tho¶ mÃn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung Gv: Nguyễn Văn Tú 35 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc) b) ¸p dơng pitago vuông ABC Nm hc: 2011-2012 1đ 1đ AB AC = 15 20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 ABC ~ HBA nên hay HB HA BA HB HA 15 20.05 AH = 12 (cm) 25 15.15 BH = (cm) 25 ta cã : BC = 1® 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 BH 3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM – BH = - VÏ ®óng hình: 1đ A B H M C 1đ S 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x 17 x 21 x 4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z 2xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) HA ' HB' HC ' Tính tổng AA ' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM Gv: Nguyễn Văn Tú 36 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán ( AB BC CA) c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 Năm học: 2011-2012 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = 3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = x x x x x (2 – 4) – 8(2 – 4) = (2 – 8)(2 – 4) = x x x x (2 – )(2 –2 ) = –2 = –2 = x x = = x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): xy yz xz 1 xy yz xz yz = –xy–xz 0 xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A yz xz xy ( x y)( x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a (0,25điểm) Ta có: abcd k (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m với k, m N, 31 k m 100 (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m đó: m2–k2 = 1353 Do (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (4 điểm): Gv: Nguyễn Văn Tú 37 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Vẽ hình HA '.BC S HBC HA ' a) ; S ABC AA ' AA '.BC Năm học: 2011-2012 (0,25điểm) A (0,25điểm) C’ H N SHAB HC' SHAC HB' Tương tự: ; SABC CC' S ABC BB' B HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC x B’ M I A’ C (0,25điểm) D (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) 2 BAD vuông A nên: AB +AD = BD 2 (0,25điểm) AB + AD (BC+CD) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA) 4 (0,25điểm) AA'2 BB' CC' (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC u) Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = n 3n 2n 6n Có giá trị số nguyên n2 D= n5-n+2 số phương Chứng minh : c, Câu 2: (5điểm) (n 2) a, a b c biÕt abc=1 ab a bc b ac c b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 Gv: Nguyễn Văn Tú 38 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 2 Năm học: 2011-2012 a b c c b a b a c b c a c, Câu 3: (5điểm) Giải phương trình sau: x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 a, b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dương Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đường chéo.Qua kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1 AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 A=5 n B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 ước tự nhiên Câu n2+2=1 giá trị thoả mÃn (5điểm) Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 VËy D chia d Do số D có tận 7nên D số phương Vậy giá trị n để D số phương a, (1®iĨm) b, (2®iĨm) B=n2+3n- a b c ac abc c ab a bc b ac c abc ac c abc abc ac ac c ac abc c abc ac 1 = ac c c ac ac c abc ac Gv: Nguyễn Văn Tú 39 §iĨm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 b, (2®iĨm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a 2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0 a4+b4+c4=2(a2b2+a 2c2+b2c 2) (1) Câu Vì (5điểm) Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c 2+b2c2)+4abc(a+b+c) a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b 2+a2c2+b 2c2) (2) 4 Tõ (1)và(2) a +b +c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2điểm) x=y áp dụng bất đẳng thức: x 2+y2 2xy Dấu a2 b2 a b a ; b c c b c 2 c b c b b 2 a c a a c a2 c2 a c c ; b a b b a 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Céng tõng vÕ ba bất đẳng thức ta có: a b c2 a c b 2( ) 2( ) b c a c b a 2 a b c a c b b c a c b a x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 x-300=0 x=300 VËy S = 300 (x-300) 86 84 82 a, (2®iĨm) b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Câu Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 (5điểm) k= 8,5 Với k=8,5 tacó phương trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x= ; x 1 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 Víi k=- 8,5 Ta có phương trình: 64x -16x+9=0 (8x-1) +8=0 v« nghiƯm 1 2 VËy S = , Gv: Nguyễn Văn Tú 40 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 2 c, (1®iĨm) x -y +2x-4y-10 = (x +2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 0,5 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dương 0,5 Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phương trình có nghiệm dương (x,y)=(3;1) 0,5 B a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBAA (cùng đáy đường cao) 0,5 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB O K E F Hay SAOD = SBOC I N M 0,5 C D 1,0 0,5 EO AO b, (2®iĨm) Vì EO//DC Mặt khác AB//DC Câu DC AC (5®iĨm) AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 1 DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +Kẻ 1,0 1,0 đường thẳng KN đường thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN KIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM Quý thầy cô bạn dành thêm chút thời gian để đọc giới thiệu sau tri ân người đăng tài liệu cách dùng Email mã số người giới thiệu theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho thầy bạn, đồng thời tri ân với người giới thiệu mình: Kính chào q thầy cô bạn Lời cho phép gửi tới quý thầy cô bạn lời chúc tốt đẹp Khi thầy cô bạn đọc viết nghĩa thầy cô bạn có thiên hướng làm kinh doanh Nghề giáo nghề cao quý, xã hội coi trọng tơn vinh Tuy nhiên, có lẽ tơi thấy đồng lương q hạn hẹp Nếu khơng phải mơn học chính, khơng có dạy thêm, liệu tiền lương có đủ cho nhu cầu thầy Cịn bạn sinh viên…với thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? Bản thân giáo viên dạy môn TỐN thầy hiểu tiền lương tháng thu Vậy làm cách để kiếm thêm cho 4, triệu tháng tiền lương Gv: Nguyễn Văn Tú 41 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 Thực tế thấy thời gian thầy cô bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngồi mục đích kiếm tìm thơng tin phục vụ chuyên môn, thầy cô bạn cịn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy không bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho 4, triệu tháng Điều có thể? Thầy bạn tin vào điều Tất nhiên thứ có giá Để q thầy bạn nhận 4, triệu tháng, cần đòi hỏi thầy bạn kiên trì, chịu khó biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc việc làm nào? Quý thầy cô bạn đọc viết tơi, có hứng thú bắt tay vào công việc Thầy cô nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn có Tuy nhiên internet có nhiều trang Web kiếm tiền khơng uy tín ( trang web nước ngoài, trang web trả thù lao cao ) Nếu web nước gặp nhiều khó khăn mặt ngôn ngữ, web trả thù lao cao khơng uy tín, nhận tương xứng với cơng lao chúng ta, thật Ở Việt Nam trang web thật uy tín : http://satavina.com Lúc đầu thân tơi thấy không chắn cách kiếm tiền Nhưng tơi hồn tồn tin tưởng, đơn giản tơi nhận tiền từ cơng ty.( thầy bạn tích lũy 50.000 thơi u cầu satavina tốn cách nạp thẻ điện thoại tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm chẳng bao nhiêu, sau số tiền kiếm tăng lên Có thể thầy bạn nói: vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho Đúng chẳng cho không thầy cô bạn tiền đâu, phải làm việc, phải mang lợi nhuận cho họ Khi đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm phải có cháo mà ăn chứ, khơng dại mà làm việc cho họ Vậy làm Thầy cô bạn làm nhé: 1/ Satavina.com công ty nào: Đó cơng ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh GPKD số 0310332710 Sở Kế Hoạch Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GPSTTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM Khi thầy cô thành viên công ty, thầy cô hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo xem video quảng cáo( tiền trích từ tiền thuê quảng cáo công ty quảng cáo thuê satavina) 2/ Các bước đăng kí thành viên cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm sau: Bước 1: Nhập địa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, khơng nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện sau: Gv: Nguyễn Văn Tú 42 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 Để nhanh chóng q thầy bạn coppy đường linh sau: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 ( Thầy cô bạn điền thơng tin Tuy nhiên, chức đăng kí thành viên mở vài lần ngày Mục đích để thầy bạn tìm hiểu kĩ cơng ty trước giới thiệu bạn bè ) Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc bên phải( khơng có giao diện bước thời gian đăng kí khơng liên tục ngày, thầy bạn phải thật kiên trì) Bước 3: Nếu có giao diện thầy khai báo thông tin: Gv: Nguyễn Văn Tú 43 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 Thầy cô khai báo cụ thể mục sau: + Mail người giới thiệu( mail tơi, tơi thành viên thức): hoangngocc2tmy@gmail.com + Mã số người giới thiệu( Nhập xác) : 66309 Hoặc q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 + Địa mail: địa mail thầy cô bạn Khai báo địa thật để vào kích hoạt tài khoản sai thầy bạn khơng thể thành viên thức + Nhập lại địa mail: + Mật đăng nhập: nhập mật đăng nhập trang web satavina.com + Các thông tin mục: Gv: Nguyễn Văn Tú 44 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 Thơng tin chủ tài khoản: thầy bạn phải nhập xác tuyệt đối, thơng tin nhập lần nhất, không sửa Thông tin liên quan đến việc giao dịch sau Sai không giao dịch + Nhập mã xác nhận: nhập chữ, số có bên cạnh vào trống + Click vào mục: đọc kĩ hướng dẫn + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau đăng kí web thông báo thành công hay không Nếu thành công thầy bạn vào hịm thư khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành cơng q thầy bạn vào web có đầy đủ thông tin công ty satavina cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại cho thầy cô Hãy bắt tay vào việc đăng kí, khơng gì, chút thời gian ngày mà thơi Kính chúc q thầy cô bạn thành công Nếu quý thầy cô có thắc mắc q trình tích lũy tiền gọi trực tiếp mail cho tơi: Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 Email người giới thiệu: 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho thầy cô bạn: + Điểm thầy bạn tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo xem video quảng cáo Nếu tích lũy điểm từ thầy bạn tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè thầy cô bạn 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) Đọc tin quảng cáo: 10 điểm/giây (hơn tin quảng cáo) _Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 điểm / _Viết Trong ngày bạn cần dành phút xem quảng cáo, bạn kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm 300đồng Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi Mức bạn), 10 người dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người bạn có 100 người (gọi mức bạn), công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày Tương tự vậy, công ty chi trả đến Mức bạn theo sơ đồ sau : Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn 30.000đồng/ngày → 900.000 đồng/tháng Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn 300.000đồng/ngày → 9.000.000 đồng/tháng Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn 3.000.000đồng/ngày → 90.000.000 đồng/tháng Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng Tuy nhiên thầy cô bạn không nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng để 1tháng 1=>10 triệu ổn Như thầy cô bạn thấy satavina không cho không thầy cô bạn tiền không Vậy đăng kí giới thiệu mạng lưới Lưu ý: Chỉ thầy cô bạn thành viên thức thầy bạn phép giới thiệu người khác Gv: Nguyễn Văn Tú 45 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 Hãy giới thiệu đến người khác bạn bè thầy cô bạn giới thiệu quan tâm đến người mà bạn giới thiệu chăm sóc họ( thành viên thầy cô bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè thay nội dung mục thông tin người giới thiệu thông tin thầy cô bạn Chúc q thầy bạn thành cơng kiếm khoản tiền cho riêng Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Quý thầy cô bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 Website: http://violet.vn/nguyentuc2thanhmy HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG Chúc bạn thành công! Gv: Nguyễn Văn Tú 46 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Gv: Nguyễn Văn Tú Năm học: 2011-2012 47 Trường THCS Thanh Mỹ ... 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 x-300=0 x=300 VËy S = 300 (x-300) 86 84 82 a,... Văn Tú 36 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán ( AB BC CA) c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 Năm học: 2011-2012 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính x... chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012