Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh 2013-2014

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạngPhương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm Ta có nhiều phương trình như thế nên có thể chọn vậy một phương trình thỏa đề bài đó là C M D 3,0 điểm -

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS

Năm học 2013-2014 Môn: TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút

(không kể thời gian phát đề) 15-3-2014

Cho đa thức

a Hãy phân tích đa thức thành tích các nhân tử

b Chứng tỏ rằng nếu là số nguyên thì luôn chia hết cho 5

a Chứng minh rằng BM song song OC

b Tính diện tích tam giác ACD

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

AN

GIA N G N ă m h ọc 20 1 3 – 2014

MÔN TOÁN A.ĐÁP ÁN

nên là tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5

2,0 điểm

2,0 điểm

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng

Phương trình có nghiệm

Phương trình có nghiệm

Ta có nhiều phương trình như thế nên có thể chọn

vậy một phương trình thỏa đề bài đó là

C

M

D

3,0 điểm

- Theo đề bài ta có , tam giác AMB vuông tại M (do

góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (*)

- Tam giác MOB cân có góc nên tam giác MOB đều

- CA, CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm C nên CO là

đường phân giác của góc , hay CO là phân giác của góc

1,0 điểm

Từ (*) và (**) suy ra BM song song OC (góc đồng vị)

Nhận xét: Ba tam giác OAC, OMC và OMB là ba tam giác vuông bằng

nhau do có một cạnh góc vuông bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau

+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+ Điểm từng phần có thể chia nhỏ đến 0,25 và phải được thống nhất trong tổ chấm./

2,0 điểm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (đề thi gồm 01 trang)

a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình

b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn

Chứng minh rằng là số chính phương

Câu 4 (3 điểm).

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H là một điểm di động trên đoạn OA(H khác A) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M Gọi K là hìnhchiếu của M trên OB

a) Chứng minh

b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E

OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G Chứng minh OD.GF = OG.DE

c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R

Câu 5 (1 điểm).

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ

-Hết -Họ và tên thi sinh……… số báo danh…………

Chữ ký của giám thị 1……… chữ ký của giám thị 2………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)

Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.

Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) (2) 0.25

Tứ giác MHOK nội tiếp (cùng chắn ) (3) 0.25

x

1

1 1

1

H

K O A

M

Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kính của (O) => M là điểm chính giữa

cung AM => H là trung điểm đoạn AO

Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB 0.25Gọi I là giao điểm của AO và BC

Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB =

D

H O A

M

2 1

A' I

H O A

M

Khi thì C = 7Vậy GTNN của C là 7 khi a =2; b =1; c = 1

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn

a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định.

Câu 5( 2,0 điểm)

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3

Chứng minh rằng

-Hêt—

Họ và tên thí sinh số báo danh

Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn

mà tù x+y+z=0 suy ra thay vaò (*) ta có đpcm

Câu 3( 4,0 điểm)

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn a) HD đkxđ

P D

M N

F

A

B

C E

a) ENB= EFM suy ra ENM+ EFM=1800

b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có DPF= DMF = EAF=

mặt khác EAF= EPF nên EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC mà

gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra HOI= HPF= ( không đổi)

suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng

Hướng dẫn Lời giải 1

GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú thọ

Lời giải 3 :Áp dụng BĐT AM – GM cho bốn số dương cho vế trái ta có

.

Ta cần chứng minh

GV KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO - PHÚ THỌ

BĐT đã cho được giải quyết chọn vẹn nếu chứng minh được:

Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có:

Suy ra:

Việt Trì, ngày 20 tháng 03 năm 2014.

Bùi Hải Quang

Tương tự ta có

Từ (1) và (2)

Từ ta CM được ( dễ chứng minh được theo biến đổi tương đương)

và chứng minh kết thúc nếu chỉ ra được

Vậy ta có ĐPCM dấu = xảy ra khi x=y=z=1 ,

các thầy cô đóng góp thêm lời giải cho bài số 5 nhé

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠOTHANH HOÁ

ĐỀ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

TỈNH Năm học 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao

Số báo danh

THI CHÍNH THỨC đề)

Ngày thi: 21/03/2014(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

1 Rút gọn biểu thức A

2 Cho Tìm giá trị lớn nhất của A

Câu II (5,0 điểm).

1.Cho phương trình Tìm để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn

2 Giải hệ phương trình

Câu III (4,0 điểm).

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1)

2 Tìm thỏa mãn

Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn

thẳng AO (C khác A và C khác O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đườngtròn đã cho tại D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D) Tiếp tuyến của nửađường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E Gọi F là giao điểm của AM và CD

1 Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân

2 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳnghàng

3 Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD

Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠOTHANH HOÁ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

TỈNH Năm học 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao

đề)

Ngày thi: 21/03/2014(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

I

0,50

0,50

1,252

Dấu bằng xảy ra   x = y =

0,50Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y =

0,50II

(5,0đ) (2,5đ)1 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: (*) 0,50

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 0,50III

- Với a = 1 Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2 

Vậy, trường hợp này ta có: a = 1, b = 2 hoặc a = 1, b = 3 0,25

- Với a = 2 (vì k = 1) Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 

TH2 khi đó (3) 0.50Giải (3) ra ta được hoặc thử lại

H F

A

Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mặt khác (giả thiết).Do đó Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp ). (vì cùng bù vớiMặt khác (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ) Từ (1) và (2)

Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E

(Có thể nhận ra ngay nên suy ra EMF cân)

0,500,500,500,50

0,50

Gọị H là trung điểm của DF Suy ra và .Trong đường tròn ta có: và lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DF Suy ra (4)

0,500,500,500,500,50

Vì ba điểm D, I, B thẳng hàng sđ

Mà C cố định nên D cố định sđ không đổi

Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD

0,500,50

Để tồn tại x, y thì (1) phải có nghiệm xy   = Bo2 – 8Bo + 4  0  0.25

Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0 Do đó ta có: