Đề thi học sinh giỏi môn toán 10 tỉnh hải dương năm học 2015 2016(có đáp án)

1 Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.. Viết phương trình của đường thẳng BC.. Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C.. Chứng minh

Câu I(2,0 điểm)

Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm (0; 1) I − và có hệ số góc

là k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giả sử A, B lần lượt có hoành

độ là

1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

2) Chứng minh rằng

Câu II(3,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

4 2

1







Câu III(4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (2;6) A , chân

đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm 2; 3

2

 − 

D , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm Viết phương trình của đường thẳng BC.

2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C Biết rằng 2m a2 ≥m b2+m c2

a) Chứng minh rằng a2£ 4 cotS A b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC Chứng minh rằng góc ∠MGO không nhọn.

Câu IV(1 điểm)

Cho ; ; a b c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 3 3

2 + + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 12 2 12 2 12

M

-Hết -Họ và tên thí sinh:……… ; Số báo danh:……… Chữ ký của giám thị 1:……… ; Chữ ký của giám thị 2:………

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 06/04/2016 (Đề thi gồm 01 trang)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN THI: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm … trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu Nội dung Điểm

I

Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm (0; 1) I − và có hệ số

góc là k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giả sử A, B lần

lượt có hoành độ là

1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

1,0

+ Đường thẳng (d) có pt: y=kx- 1 0,25 + PT tương giao (d) và (P): - x2=kx- 1Û x2 + kx- 1 0(*)= 0,25 + (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x vì 1; 2 D=k2+ >4 0("k) 0,25

+ Trung điểm M của AB có hoành độ là 1 2

+ = −

; M nằm trên trục

2

− = ⇔ =k

k

0,25

Theo Vi et có: x1 +x2 = −k, x x1 2 = − 1

0,25

Ta có: x13−x32 = (x1 −x2 ) (  x1 +x2 )2−x x1 2  = 2

1 2 ( 1 2 ) 1 2

x −x x +x −x x 0,25

3 3

1 2

4( 1) 2

k + k + ≥ , k∀ ∈R Đẳng thức xảy ra khi k = 0 0,25

Điều kiện: 1

3

(1)⇔( 3x+ − +1 1) ( 5x+4 2− ) =3x2−x

5

0,25

Û









=

x

0,25

Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 là một nghiệm của (*) 0,25

Nếu x<1 thì VT(*)>2>VP(*) Vậy (1) có 2 nghiệm x=0; x=1 0,25 2) Giải hệ phương trình:

4 2

1(1) (*) (2 1) 1(2)







2 2

(*)

1



⇔ 



x y xy x y xy

Đặt

2

a x y

b xy

 = −

 Hệ trở thành: 2

1 1

a ab b

a b



Hệ

(*)

Từ đó tìm ra ( ; )a b ∈{(0; 1); (1; 0); ( 2; 3) − − }

0,25

Với ( ; ) (0; 1)a b = ta có hệ

2

0

1 1

x y

x y xy

0,25

Với ( ; ) (1; 0)a b = ta có hệ 2 1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0)

0

x y

x y xy

Với ( ; ) ( 2; 3)a b = − − ta có hệ

2

2

1; 3

x y

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( ; )x y ∈{(1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) − − − } .

0,25

III

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (2;6) A ,

chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm 2; 3

2

 − 

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm Viết phương trình của

đường thẳng BC.

1,5

Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính IA 0,25 Đường thẳng AD đi qua A và có VTCP AD0; 152 ÷

uuuur

( )1;0

⇒ urn là véc tơ pháp tuyến của AD

PT đường thẳng AD là: x=2

0,25 '= ∩(C); '≠ ⇒

A AD A A A’ thuộc AD và IA’=IA, Tìm được A' 2; 4( − )

0,25

A’ là trung điểm cung »BC không chứa A nên IA’^ BC 0,25 đường thẳng BC đi qua D và có uuuurA I' = −52;5÷ là vecto pháp tuyến 0,25

Từ đó viết được pt đường thẳng BC là: x−2y− =5 0 0,25

2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là Kí hiệu lần lượt là độ

dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C Biết rằng

2m a ≥m b +m (*) c

a) Chứng minh rằng a2£ 4 cotS A

1,5

Viết được công thức các trung tuyến

0,25 (*)

2 2

2 2 2 2

Ta có 4 cot 2 sin cos

sin

A

A

=

2 cosbc A b c a

-0,25 0,25

2b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm

tam giác ABC; M là trung điểm của BC Chứng minh rằng góc

∠MGO không nhọn.

1,0

Ta sẽ chứng minh GO GMuuur uuur £ Û0 OG GMuuur uuur ³ 0 0.25

Ta có

uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

⇒ OGuuur uuuur= OA OB OCuuur uuur uuur+ + OB OCuuur uuur+ − OAuuur

= 2

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

OB OC OA OC OA OB

0.25

* Mặt khác ta có

uuur uuur

( trong đó R= OA = OB = OC )

Tương tự có 2OA OCuuur uuur = 2R2 −b2 ; 2uuur uuurOA OB = 2R2 −c2

0.25

2

+

IV

Cho ; ; a b c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn

3 3 2 + + =

a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M

1,0

* Bđt phụ: Cho các số thực x, y, z > 0, a, b, c là các số thực bất kì

Khi đó

2 2 2 ( )2

a b c

+ +

Dấu bằng xảy ra khi a x = =b y c z

+ Dễ thấy bđt trên suy ra từ bđt Bunhia

* Vào bài chính

Ta sẽ chứng minh

M

3

P

0,25

0,25 Giả sử a b c≥ ≥

Biến đổi tương tự với 2 số hạng còn lại của P

Sau đó áp dung bđt (*) ta có:

P

0,25

Ta sẽ chứng minh

2

≥

⇔ a b c+ + + a c− ≥ a + +b c +

2

Bđt cuối cùng đúng, suy ra đpcm

0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.