Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Nga Thủy

Với mong muốn giúp các em có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi chọn HSG sắp tới. TaiLieu.vn xin gửi đến các em Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Nga Thủy. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi.

PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020- 2021 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4,5 điểm) 1.Tính hợp lí giá trị biểu thức sau: 11 13 15 17 19      10 15 21 28 36 45 2 1    0,25   0,4    11   : 2020 B=  7   2021  0,875  0,7   1,4   11   1 1 c a b Cho a + b + c = 2021 = Tính C =     a  b b  c c  a 90 ab bc ca A = 2   Câu 2.(3,5 điểm) Tìm x biết: a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n số tự nhiên b 2019  x  2020  x  2021  x  Câu 3.(4 điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy - = x2 + 2y b) Cho a,b,c,d số nguyên thỏa mãn: a + b3 = 2(c3 - 8d3) Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho Câu 4.(6 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC AF = AC Chứng minh: a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM  EF 15 n2 1     Câu 5.(2 điểm).Chứng tỏ S = không số tự nhiên với n  N 16 n2 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn thi : Tốn Nội dung Ý Điểm 1.a (1,5) 11 13 15 17 19 =      10 15 21 28 36 45 11 13 15 17 19   21          =2  12 20 30 42 56 72 90  1 1 1 1 1 1               2    9 10  2 2 3  10  1.b (1,5) 2 1    0,25   0,4    11   : 2020 = B=  7   2021  0,875  0,7   1,4   11   1  2 2        11   : 2020 =    : 2020   7 7 7  2021  7  2021        11 10  A = 2   (4,5đ) (1,5) a (1,5) (3,5) b (2đ) 0,5đ 1đ 1,5đ Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c); c = 2021-(a+b) 0,5đ c a b 1 = 2021( )-3     ab bc ca ab bc ca 1751 = 2021 -3 = 90 90 n+1 n+11 a (x +2) = (x + 2) Suy ra: x  2n1  x  210  Từ tìm 0,5đ => C =   0,5đ 1,5đ x = -2; x= -1; x = -3 b 2019  x  2020  x  2021  x  Ta có 2020  x  ; 2019  x  2021  x  x  2019  2021  x  Do ( x  2019)(2021  x)  2020  x   để 2019  x  2020  x  2021  x   1đ 1đ Suy x = 2020 a 3xy - = x2 + 2y a (2,0đ) (4đ)  y(3x - 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên suy x2 + chia hết cho 3x -  9(x2 + 5) chia hết cho 3x -  9x2 -6x + 6x - +49 chia hết cho 3x -  49 chia hết cho 3x -  3x -   49;7;1;1;7;49  x  1,3,17 thay vào (1) y  6;2;6 Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); (17;6) 0.5 0.5 0,5 0,5 b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3)  a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3 Mà 3c3 - 15d3 chia hết a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho (1) b 2,0 1đ Lại có a  a3 (mod3) b  b3(mod3); c  c3(mod3); d  d3(mod3) 0,5 suy a + b+ c +d  a3 + b3 +c3 + d3 (mod3) 0,5 (2) Từ (1) (2) suy a +b +c + d chia hết cho Vẽ hình xác viết GT,KL A A E F C M B 0,5 A K a (1,5đ) (6đ) b (2đ) c (2,0đ) 0,5 ∆ABF = ∆AEC (c-g-c)  FB = EC Trên tia đối tia MA lấy điểm K cho AK = 2AM Ta có ∆ABM = ∆KCM (c-g-c) => CK//AB =>ACK + CAB = EAF + CAB = 1800 =>ACK = EAF Xét tam giác ∆EAF ∆KCA có AE = AB = CK, ACK = EAF , AF = AC => ∆EAF = ∆KCA (c.g.c) => EF = AK = 2AM Từ ∆EAF = ∆KCA =>CAK = AFE =>CAK + FAK = AEF + FAK =900 => AK  EF 15 n 1 1 1 1 n 1     =     2 16 n n 1 1 = (n - 1) - (     ) n 2 2 0,5 1đ 1đ S= (2đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 => S < n - (1) 1 1 1 1         < = 1- S > n- - = n - (2) Từ (1) (2) suy S không số nguyên 0,5 ...PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Toán Nội dung Ý Điểm 1.a (1,5) 11 13 15 17 19 =      10... 3xy - = x2 + 2y a (2,0đ) (4đ)  y(3x - 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên suy x2 + chia hết cho 3x -  9(x2 + 5) chia hết cho 3x -  9x2 -6 x + 6x - +49 chia hết cho 3x -  49 chia hết cho 3x -  3x -. ..   49;? ?7; 1;1 ;7; 49  x  1,3, 17? ?? thay vào (1) y  6;2;6 Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); ( 17; 6) 0.5 0.5 0,5 0,5 b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3)  a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3 Mà 3c3 - 15d3 chia