tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 hay

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2009-2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5− − − = cotg45 0 Bài 2: (4đ) Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + −   = × −  ÷ −   − − a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 4y x x y M xy − + − = Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − với , 1, 1, 0, 0, 0x y yz xz x y z ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ thì 1 1 1 x y z x y z + + = + + Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45 0 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. Chứng minh rằng: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điể m 1 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 5 3 2 5 3 = − − − 5 6 2 5= − − ( ) 2 5 5 1 = − − = 1 = cotg45 0 1đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ 2a Q có nghĩa 1x ⇔ > và 2x ≠ 0,5đ 2b ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + −   = × −  ÷ −   − − ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 x x x x x Q x x x − − − + + − + − + − = × − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x x x Q x x − − + − + − = × − − 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − * Nếu 1 < x < 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − * Nếu x > 2 ta có: 0,75đ 0,75đ 0,25đ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 2 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25 3 Với điều kiện 1, 4x y ≥ ≥ ta có: M = 4 1 y x x y − − + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 2 2 x x x x + − − = − ≤ = 1 1 2 x x − ⇒ ≤ (vì x dương) Và: ( ) 1 1 4 4 4 4 4 2 2 2 4 y y y y + − − = − ≤ × = 4 1 4 y y − ⇒ ≤ (vì y dương) Suy ra: M = 4 1 1 1 3 2 4 4 y x x y − − + ≤ + = Vậy giá trị lớn nhất của M là 3 4 ⇔ x = 2, y = 8 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 4 ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x yz y xyz y xz x xyz ⇔ − − = − − 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz ⇔ − − + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 0x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0xy x y xyz x y z x y xyz x y ⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) 2 0x y xy xyz x y z x y xyz   ⇔ − − + + + − =   ( ) ( ) 2 0xy xyz x y z x y xyz⇔ − + + + − = (vì 0x y x y ≠ ⇒ − ≠ ) ( ) 2 xy xz yz xyz x y xyz ⇔ + + = + + 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 3 B F A B C M P Q N K E A P I Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 ( ) 2 xyz x y xyz xy xz yz xyz xyz + + + + ⇔ = (vì 0xyz ≠ ) 1 1 1 x y z x y z ⇔ + + = + + 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 Kẻ MP ⊥ AB tại P, MQ ⊥ AC tại Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N Do ∠ EMF = 45 0 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ 1 2 MEN MEK MPEK S S S ∆ ∆ ⇒ < = và 1 2 FEN QEK QAEK S S S ∆ ∆ < = ( FEN QEK S S ∆ ∆ < vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy EK) Suy ra: 1 1 2 2 MEN FEN APMQ MEF APMQ S S S S S ∆ ∆ ∆ + < ⇔ < (*) Chứng minh được: 1 2 MAP MAB S S ∆ ∆ = 1 2 MAQ MAC S S ∆ ∆ = 1 2 APMQ ABC S S ∆ ⇒ = (**) Từ (*) và (**) ta có: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 6 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 4 O C K Q M Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ là I. AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của ∠ BAC ⇒ ∆ PAQ cân ở A và AO ⊥ PQ Áp dụng Pitago ta có: MK 2 = MO 2 – R 2 ( ∆ MKO vuông tại K) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – R 2 ( ∆ MOI vuông tại I) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – (OP 2 – PB 2 ) ( ∆ BOP vuông tại B) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – [(OI 2 + PI 2 ) – PA 2 ] ( ∆ IOP vuông tại I và PA = PB) MK 2 = MI 2 + OI 2 – OI 2 + (PA 2 – PI 2 ) MK 2 = MI 2 + AI 2 ( ∆ IAP vuông tại I) MK 2 = MA 2 ( ∆ IAM vuông tại I) ⇒ MK = MA 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 TRƯỜNG THCS AN BÌNH (Thời gian : 120 phút) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 5 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức 2 3 3 3 3 1 3 3 27 3 x Q x x x x    = + + +  ÷ ÷  ÷ ÷ + + −    a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi 3 2010x = + Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức 4 7 4 7M = + − − Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có 2 2 2 a b c ab bc ac + + ≥ + + Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a 2 + b 2 b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình 2 2 9 6 9 0x x x− + − + = b/ 2 2 4 4 0x x− − + = Bài 6(2,5đ): Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt · MDC α = a/ Chứng minh AM là phân giác của · FCB . Tính độ dài DM, CE theo a và α b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của sin α Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 6 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 7 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Bài Nội dung Biểu chấm 1(1,5đ) a.(1đ) A =         ++         − + ++ 1 3 327 3 33 3 32 x x xxx ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 3 =         ++         ++− + ++ x xx xxxxx 3 33 )33)(3( 3 33 3 2 22 =         ++         ++− +− x xx xxx x 3 33 )33)(3( 33)3( 2 2 3 1 − = x b. (0,5 đ) Thay x = 3 +2010 vào A ta có: A 3 1 − = x 2010 1 320103 1 = −+ = 0.25 0.25 0.25 0.25 0,5 2(1đ) Rút gọn biểu thức 4 7 4 7M = + − − ( ) ( ) 2 2 4 7 4 7 8 2 7 8 2 7 2 2 1 7 1 7 2 2 1 7 7 1 2 2 2 M M M M M = + − − + − = − + − = − + − = − = 0.25 0.25 0.25 0.25 3(1đ) 0.25 0.25 0.5 4(2đ) a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a 2 + b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 min 2 2 2 2 4 4 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b a A a a A a a A a a A a A A + = ⇒ = − = + − = − + = − + + = − + ≥ = 8 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a b c ab bc ac a b c ab bc ac a ab b b bc c a ac c a b b c a c + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ⇔ − + + − + + − + ≥ ⇔ − + − + − ≥ · · · ECF ACM MDC α α = = ⇒ = Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di ========== Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : a)A = 51 1 + + 95 1 + + 139 1 + + 20052001 1 + + 20092005 1 + b) B = x 3 - 3x + 2000 với x = 3 223 + + 3 223 B i 2 (2,0 i m) Gi i cỏc ph ng trỡnh sau: a) 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x b) 2 4 2 2 4 4 4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y + + + + = c) x 4 - 2y 4 x 2 y 2 4x 2 -7y 2 - 5 = 0; (vi x ; y nguyờn) Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 9 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ,a b ta luôn có: 2 2 a b ab + ữ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? b) Cho ba số thực , ,a b c không âm sao cho 1a b c + + = . Chứng minh: 16b c abc + . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? c) Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức 6 6 sin cosP = + có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó. Bài 4: (1,5 điểm) Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời. Bài 5 ( 3,0 điểm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC. a) Chứng minh : 2 2 2 1 1 4 R r a + = b) Chứng minh : 3 3 2 2 2 8 ( ) ABCD R r S R r = + ; ( Kí hiệu ABCD S là diện tích tứ giác ABCD ) 2) Cho tam giác ABC cân tại A có ã 0 108BAC = .Chứng minh : BC AC là số vô tỉ. =============================================== Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 10 [...]... Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di Môn: Toán 9 Bài Bài 1.b (1,5 đ) a Cho điểm Sơ lợc lời giải áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a= 3 3 + 2 2 , b= 3 3 2 2 và biến đổi => x3 = 6 + 3x Suy ra B = 2006 Có A = 5 1 9 5 13 9 2005 2001 20 09 2005 + + + + + 5 1 95 13 9 2005 2001 20 09. .. (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n 5 => 4n 5 M 99 ) Mt khỏc : 100 n 2 1 99 9 101 n 2 1000 11 n 31 39 4n 5 1 19 (4) T (3) v (4) => 4n 5 = 99 => n = 26 Vy s cn tỡm abc = 675 (3) ( 0,75 ( 0,75 ) ( 0,5 ) Bai 3(4) a) (2 im) M = 7 x 1 x 3 x 2 + x 1 vi x 1 = x 1(7 x + x 1) = x 1( x 1 x 1 + Gv: Nguyn Vn Tỳ (0,25) 1 25 ) 4 4 16 (0,5) Trng THCS Thanh M Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013... nguyên và x 2) Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1 + Theo giả thi t: Nếu số xe là x 1 thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30) Gv: Nguyn Vn Tỳ 12 Trng THCS Thanh M 0,25 0,25 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 + Do đó ta có phơng trình: ( x 1) y = 22 x + 1 y = Bài 5 (3,0đ) 1a 22 x + 1 23 = 22 + x 1 x 1 + Vì x và y đều là số nguyên... (0,75im) Gii ra x = 0; 4; 9 Vỡ x nguyờn dng nờn x = 4 ;9 (0,75im) Bi 2: (4 im) 102 m 1 A = 111.111 ( 2m ch s 1) = 9 (0,5im) B = 111.111 (m + 1 ch s 1) = (0,5im) C = 666.666 (m ch s 6) = 10m+1 1 9 6 ( 10m 1) 9 (0,5im) 6 ( 10m 1) 102 m 1 10m+1 1 102 m + 16.10m + 64 A+B+C+8= + + +8= = 9 9 9 9 2 10m + 8 ữ (1im) 3 Gv: Nguyn Vn Tỳ 33 Trng THCS Thanh M Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 M 10m... + 2 x 20 09 2010 x = 1 + 2 x 20 09 2010 x 2 Ta cú: A 1 (vỡ 2 x 20 09 2010 x 0 vi x D) A 1 vi x D (0,25 im) Vy: Amin = 1 khi Gv: Nguyn Vn Tỳ 27 Trng THCS Thanh M Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 x 20 09 = 0 x = 20 09 2010 x = 0 x = 2010 (0,25 im) 2 Xột: 2 (0,25 im) A = 1 + 2 x 20 09 2010 x 1 + x 20 09 + 2010 x (vỡ 2 x 20 09 2010 x x 20 09 + 2010 x , vi x D; BT Cụsi) ... BC BC 1 + 5 > 0) Vậy ( Vì là số vô tỉ = CA AC CA 2 PHềNG GD-T HUYN LONG IN CP HUYN K THI CHN HC SINH GII NM HC 20 09- 2010 CHNH MễN THI : TON Thi gian : 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 16/01/2010 Bai 1(4) a) Tớnh tng: 2 2 2 2 + + + + 15 35 63 399 a c b) Cho a, b, c, d l cỏc s dng v = Hóy trc cn thc mu ca biu b d 1 thc sau: a+ b+ c+ d P= Bi 2: (4) a)... QU SN PHềNG GD&T K THI HC SINH GII LP 9 CP HUYN NM HC 20 09- 2010 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) CHNH THC - VềNG II Bi 1: (2.0 im) a) Chng minh bt ng thc: 1 1 4 + Vi a; b l cỏc s dng a b a+b b) Cho x; y l hai s dng v x + y =1 Tỡm giỏ tr nh nht ca P= 1 ; 2 xy M= 2 3 + 2 xy x + y 2 Bi 2: (2.0 im) Gv: Nguyn Vn Tỳ 19 Trng THCS Thanh M Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013... - Ba s 3,4,5 ụi mt nguyờn t cựng nhau nờn A(n) chia ht cho 3.4.5 hay Gv: Nguyn Vn Tỳ 22 0,75 1.0 1,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trng THCS Thanh M Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 A(n) chia ht cho 60 (Mi bc cho 0,25 im) UBND HUYN QU SN PHềNG GD&T K THI HC SINH GII LP 9 CP HUYN NM HC 20 09- 2010 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) HNG DN CHM - VềNG II Bi 1: (2.0 im) a Chng minh bt... số của 23 Mà 23 nguyên tố, nên: x 1 = 1 x = 2 hoặc x 1 = 23 x = 24 0,25 x = 2 thì y = 22 + 23 = 45 > 30 (trái giả thi t) Nếu Nếu x = 24 thì y = 22 + 1 = 23 < 30 (thỏa điều kiện bài toán) 0,25 + Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là: 22 ì 24 + 1 = 23 ì 23 = 5 29 học sinh 0,25 Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC 0,25 B E là đờng trung trực của đoạn thẳng M BD,BD là đờng trung trực của... 1,0 2.R.R 3 3R 2 3 = R 2 3 S ABFE = 2 4 (Mi bc cho 0,25 im) PHềNG GD & T LONG IN K THI CHN HC SINH GII THCS TRNG THCS NGUYN TRI NM HC: 20 09 2010 Mụn thi: Toỏn Thi gian: 150 Phỳt Bi 1: (4im) Mi cõu 2 im b) Cho a, b l 2 s t nhiờn l Chng minh rng: a2 b2 chia ht cho 8 2 2 2 2 c) Tớnh tng: P = + + + + 15 35 63 399 Gii a) (0,5 im) Ta cú: a2 b2 = (a2 1) (b2 1) = (a + 1)(a 1) (b + 1)(b 1) (0,5 . THCS Thanh Mỹ 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 20 09- 2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điể m 1 5 3 29 12 5− − − (. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 20 09- 2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3đ). có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 M 99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 2 2 1 99 9 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 39 4 5 119n⇔ ≤ − ≤ (4) ( 0,75đđ ) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 =>