tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia từ năm 1962 đến năm 2005 môn toán

Trang 1

CAC BAI THI TOAN QUOC GIA VIET NAM (Từ năm 1962 đến 2005)

Trang 2

LOI NOI DAU

Mục đích của tài liệu nhỏ này là giới thiệu tới rỗng rãi các bạn, đặc biệt

là các bạn học sinh phổ thơng tất cả các đề thi Tốn quốc gia Việt Nam,

thuộc bảng A Tài liệu này được giữ bản quyền bởi www.ddroanhoc.net!

“Kì thi chọn học sinh giỏi Tốn tồn quốc nhằm chọn những học sinh giỏi Tốn lớp 10 (nay là lớp 12) được tổ chức hàng năm lần đầu tiên vào năm học 1961-1962 (trừ năm 1973 chúng ta khơng tổ chức kì thi) Thực tế các năm từ 1962 đến năm 1975 kì thi chỉ được diễn ra ở miền Bắc (gọi là kì thi chọn học sinh giỏi Tốn tồn

miền Bắc) Sau ngày giải phĩng hồn tồn miền Nam thống nhất tổ quốc kì thi mới được tổ chức trong phạm vi tồn quốc

Từ lần thi thứ nhất đến lần thi thứ tám kì thi được tổ chức trong một ngày, thời gian lam bai thi 1a 4 tiéng, khong ké thoi gian chép đề Từ lần thứ chín trở đi, kì thi mới

được tổ chức trong hai ngày, thời gian làm bài mỗi ngày 1a 3 tiéng Dé thi thudng

được đề cập đến các phân mơn của Tốn học sơ cấp như: Số học, Tổ hợp, Đồ thị, Đại số, Giải tích, Lượng giác, Hình học phẳng và Hình học khơng gian

Từ năm 1974 cho đến nay dựa trên kết quả của các ki thi Tốn quốc gia hàng năm chúng ta đã tuyển chọn một số học sinh đạt điểm cao tham gia cuộc thi chọn đội tuyển Tốn quốc gia đi thi Tốn quốc tế (IMO) và đã đạt được nhiều thành tích

vang dội

! Tác giả xin cảm ơn ban quản tri mang www.ddtoanhoc.net đã giới thiệu tài liệu này tới cácban đọc

? Cĩ tham khảo từ cuốn sách “Các bài thi học sinh giỏi Tốn PTTH tồn quốc (từ năm 1962

Trang 3

Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A 3

Lời ngỏ tới các bạn

Tài liệu này được viết dựa trên nhiều tài liệu tham khảo khác nhau và trên thực tế chỉ cĩ khoảng 10 đề thi đổ lại đây các đề thi mới được chúng tơi tham khảo trực

tiếp từ đề thi do Bộ Giáo dục và Đào tạo ấn hành Vì vậy tài liệu này khơng thể tránh được những sai sĩt và thiếu sĩt Tác giả rất mong nhận được những chỉnh sửa từ phía các bạn

Bên cạnh đĩ, chúng tơi cũng đang cố gắng sưu tập thơng tin xung quanh kết quả

va đáp án (từ năm 1991 trở về đây) của từng cuộc thi Vì vậy bất kì đĩng ghĩp nào về điều này chúng tơi đều rất hoan nghênh và đĩn nhận Mọi liên lạc xin được gửi về địa chỉ email:

pluricomplex.amath@yahoo.com

Hà Nội những ngày cuối đơng 2005

Trang 6

Chuong 1 Cac bai thi Toan quốc gia Việt Nam, bang A 1.1 Nam 1962 1 Chứng minh rằng với mọi số dương ø, b, c, d ta cĩ bất đẳng thức 1 1 + STF atc b+d | ti + a 6 d 2 Hãy xác định đạo hàm bậc nhất tương ứng với giá trị z — 1 của hàm số ƒ(z)=(1+z)-v2+z2?- 3+3

3 Cho một tứ diện 4BŒ) và 4”, ' là những hình chiếu của các đỉnh A, B lên các mặt đối diện Chứng minh rằng 4A' và 8” cắt nhau khi và chỉ khi hai

đường thắng 4 và ŒD vuơng gĩc với nhau Nếu AC = 4D = BC = BD thì hai đường thang AA’ va BB’ c6 cat nhau khong ?

4 Đường cao của một hình chĩp ttt gidc déu bang h Mat bén tạo với đáy một

gĩc œ Qua cạnh đáy ta dựng một thiết diện vuơng gĩc với mặt đối diện Tính thể tích của hình chĩp tạo thành và biện luận cơng thức tìm được

5 Giải phương trình sau đây với ẩn số thực z:

- 6 6 1

Trang 7

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A 7

1.2 Nam 1963

1 Ba học sinh lớp X tên là Dần, Mão, Thìn đi chơi nhìn thấy một người lái một

chiếc xe ơ tơ vi phạm luật lệ giao thơng, khơng ai nhớ số xe là bao nhiêu,

nhưng mỗi người đều nhớ một đặc điểm của số xe Dần nhớ rằng hai chữ số

đầu giống nhau, Mão nhớ rằng hai chữ số cuối cùng giống nhau Thìn thì

quả quyết rằng số xe cĩ bốn chữ số là một số chính phương Chúng ta hãy thử tìm số xe đĩ 2 2 Hãy xác định các giá trị giới hạn sau đây 8z — 1 Vx—-b-Va-—b lim ——————-_ & lim —————_—_—_ rt 6x2 —5xa+1 a x? — a

3 Giai phuong trinh

cos’ x + cos? 2x + cos? 3x + cos? 4x = 2

4 Cho hình hộp ABC'D.A'B'C'D' Nguoi ta cat hinh hop này bằng một mặt phẳng qua ba đỉnh 4, ', D' Chứng minh rằng đường chéo của 4'Œ của hình

hộp cắt thiết điện tam giác tạo thành tại trọng tâm của tam giác đĩ

5 Đáy của một hình lăng trụ đứng là một hình thoi 4Œ ) cạnh a và gĩc nhọn 600 Ta nối đỉnh ' với điểm giữa Aƒ của 47, đỉnh ' với điểm giữa của AB Hai duéng thang B’M va D'N cat nhau theo géc B’OD' bang a Tìm thể tích của hình lăng trụ đĩ

6 Hội nghị đại biểu thanh niên bàn về cơng tác chống hạn ở một huyện gồm cĩ 47 nam nữ thanh niên Cơ Lê nhận ra mình quen 16 nam, cơ Đào nhận ra mình quen 17 nam, cơ Mận quen 18 nam, , cơ Cam người nữ cuối cùng quen tất cả các bạn nam cĩ mặt Hỏi rằng hội nghị cĩ bao nhiêu nam và bao nhiêu nữ thanh niên ?

¬ (a) Hãy xác định giá trị của ? sao cho phương trình

#7 + (2m + 6)z + 4m + 12 = 0 cĩ hai nghiệm số và cả hai lớn hơn —1

Trang 9

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A

1.3 Nam 1964

1 Gọi œ là một gĩc tuỳ ý Hãy xác định giá trị của các biểu thức dưới đây

27 47m

cos @ + cos(a + 3)+ cos(a + 3)

2 Vẽ đường biểu diễn của các hàm số dưới day

u= W (œ2 — 1)? & ụ=#+ V(#2 — 1)2 Trong đĩ z € R Biện luận số nghiệm của phương trình

z + W{(z? — 1)? =m tuỳ theo giá trị của tham số ?m

3 Từ một điểm Ĩ nằm ngồi một mặt phẳng (P), ta hạ các đường vuơng gĩc

OïI xuống các đường thẳng của ?, đi qua một điểm cố định 44 Hãy xác định quỹ tích (c) của điểm ïï

Gọi (C) là mặt nĩn nghiêng cĩi đỉnh tại O va đáy là (c) Chứng minh rằng các mặt phẳng song song với (7P) hay vuơng gĩc với OA cat (C) theo nhiing

đường trịn

(C) cĩ hai mặt đối xứng cắt nĩ theo hai gĩc œ, đ Hãy xác định quan hệ giữa

a va 8

4 Một cây đâm nhánh như sau: cây mọc lên được một năm thì bắt đầu đâm nhánh, sau đĩ cứ hai năm cây lại đâm ra một nhánh Quy luật ấy của thân chính cũng được áp dụng cho các nhánh cây mọc ra, tức là mỗi nhánh sau

khi mọc ra một năm thì đâm ra một nhánh con và nhánh chính đĩ cứ hai

năm sau lại đâm ra một nhánh Coi thân chính là một nhánh đặc biệt, tính số nhánh của cây trong năm thứ năm

Gọi số nhánh trong năm thứ n là S„ Chứng minh rằng

Sn — Sn—1 + Sn—2

Goi a > b là hai số thoả mãn các đăng thức ø + b = 1 va ab = —1 Ching

minh bang quy nap rang

Si, — (a _— prt")

al”

Trang 10

1.4 Nam 1965

1 Tại một thời điểm ban đầu ¢t = 0, chiếc tầu thuỷ của hải quân ta ở vị trí ban

dau O phat hiện một chiếc tầu thuỷ của địch ở vị trí ban dau A, cach tau của ta là 2.4 = ø và đang chạy với vận tốc » khơng đổi trên đường thắng vuơng gĩc với (24 Để đuổi bắn quân địch ta mở máy chạy với vận tốc là khơng đổi trên một đường thẳng làm một gĩc nhọn y véi OA

(a) Khi ¿ đã được chọn trước, hỏi khoảng cách cực tiểu đạt được giữa tầu ta va tau địch là bao nhiêu? Các vận tốc u và phải thoả mãn điều kiện

øì thì cực tiểu ấy triệt tiêu?

(b) Nếu điều kiện ấy khơng được thoả mãn thì phải chọn gĩc ¿ như thế

nào để khoảng cách cực tiểu ở trên bé nhất cĩ thể? Khi đạt khoảng cách ngắn nhất ấy thì hướng ta phải bắn vào tau địch một gĩc là bao nhiêu

vào đường đi của địch?

2 Cho một vịng trịn lớn với hai dây cung 4? và CD song song với nhau Gọi

M là một điểm chạy trên vịng trịn ấy Đường thẳng Ä/7 cắt đường thẳng

AB tai Q

(a) Khi M tién téi D hay t6éi C thi tam vong tron tam gidc AMC Q tién téi

đâu? Hãy xác định quỹ tích của tâm vịng trịn (Ä/Œ4))

(b) Người ta lấy một điểm # cố định ngồi mặt phẳng của hình vẽ Ta phải chọn điểm # như thé nào để cho quỹ tích của tâm mặt cầu (1ŒQ#) trùng với quỹ tích của tâm vịng tron (MCQ) ?

3 (a) Cho hai số khơng âm z, + cĩ tổng là ø khơng đổi Hãy xác định giá trị

của z, để cho tổng +" + '* là bé nhất, trong đĩ zn là số tự nhiên cho

trước Cho ø số khơng âm cĩ tổng khơng đổi, chứng minh rằng muốn

cho tổng +7" + + + - - -+ +" là bé nhất thì phải cĩ #¡ = #a = - = #„ (b) Người ta muốn chưa một mét khối bột hố chất vào 8 thùng gỗ hình lập

phương mà mỗi mặt phẳng tấm gỗ cĩ bề dày nhất định khơng đáng kể Giá tiền mỗi tâm gỗ vuơng với bề day ấy tỉ lệ với bình phương diện tích

của nĩ Hỏi phải chọn các cạnh #, z¿, , zs như thế nào của 8 thùng

gỗ đĩ mà đỡ tốn tiền gỗ nhất?

Trang 11

15 Nam 1966

1 Người ta tính rằng nếu khơng kể sức cản của khơng khí thì mỗi viên đạn bắn

ra từ nịng của một khẩu súng vạch ra trong khơng gian một đường parabol nằm trong mặt phẳng đứng qua trục của nịng súng Nếu lấy vị trí của khẩu súng trên mặt đất làm gốc O, lấy đường thẳng nằm ngang làm trục hồnh

Ozx va lay đường thẳng đứng làm trục tung Øy thì phương trình của đường

parabol ấy là

g

2U cOS“ œ

U =

trong đĩ a là gĩc của nịng súng với mặt đất, ø là gia tốc trọng trường, 0œọ là

vận tốc ban đầu của viên đạn

(a) Với gĩc œ như thế nào thì viên đạn đi xa nhất ?

(b) Với những gĩc œ nào thì viên đạn trúng vào một điểm cĩ toạ độ X > 0, Y > 0 Những điểm bắn tới được trong phạm vi khơng gian nào? 2 Trong một mặt phẳng (P) người ta cho hai đường thẳng cố định ø và b va

hai đường thẳng biến thiến z và ; trong khi biến thiên z và luơn luơn song song với nhau và theo thứ tự đi qua hai điểm 4 và nằm trên đường thẳng 4; z cắt b ở điểm ; cắt b ở D Qua giao điểm M của 4 và ỞD người

ta dựng đường thẳng song song với z, nĩ cắt ø ở Ù, và bở N

(a) Cĩ nhận xét gì về ba điểm 7, 1, N ? Chứng minh nhận xét đĩ Hãy

xác định quỹ tích của điểm M?

(b) Cho một mặt phẳng thtt hai P’ khong song song với P và một điểm O

nằm ngồi ? và P! Các mặt phẳng Oa, Ob, Ox, Oy c6 thé hoac cat P’ hoac song song véi P’, trong trudng hop chiing cat P’ thi cdc giao diém

với P' sẽ theo thứ tự gọi là a', b, x’, y’ Nhu vay trong mat phang P’ sé

cĩ một bài tốn quỹ tích đối với giao điểm Ä⁄” của đường thẳng Ä⁄ với

mặt phẳng ?” Hãy phát biểu bài tốn quỹ tích đĩ 2

(c) Tìm xem z và phải ở vị trí nào thì zˆ và ø“ song song với nhau, Ở vị tri nao thi A’D’ va B'C” song song với nhau?

3 Cho ba số z, , z khơng âm thoả mãn các đẳng thức dưới day

z++bu<36_ & 2z + 3z < 72

trong đĩ ở là một số dương cho trước Chứng minh rằng tổng z + ? + z lớn

: 36

nhất là bang max { 36 , 24+ nh

Ung dụng Người ta vận chuyển hàng điểm 44 đến điểm 4 thì cĩ ba cách vận chuyển như sau:

Trang 12

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 12

(b) Chuyển bằng đường thuyền theo đường 441121

(c) Chuyển bằng xe hoi ti A đến rồi chuyển tiếp bằng thuyền từ Ưư đến

M

Tổng số xe hơi cĩ thể dùng để vận chuyển là 9 chiếc, tổng số thuyền là 45 chiếc Mỗi chiếc xe hơi nếu chạy trên đường 4 thì đảm bảo trung bình mỗi ngày chuyển được bốn tấn hang từ 4 đến # và nếu chạy trên đường 4Œ Mĩ thì mỗi ngày 2 tấn hàng từ 4 đến 4 Mỗi chiếc thuyền nếu đi đường Ø7

thì đảm bảo mỗi ngày vận chuyển được 1E tấn hàng tir A dén M Hoi rằng

nếu tổ chức vận chuyển như thé nào (bao nhiêu tấn mỗi ngày theo cach 1, theo cách 2, và theo cách 3) để cho tổng số tấn vận chuyển được là nhiều

, ee ae ` ¬- „4

nhất? Nếu mỗi chiếc xe hơi chạy trên đường 4Œ 1⁄ đảm bảo khơng tới 3

mỗi ngày thì nên tổ chức vận chuyển như thế nào?

Trang 13

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 13 1.6 Nam 1967 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số 1 Ụ= s|a”— #ˆ= 3| — |g + 1Í

2 Cho hai bờ sơng là hai đường thắng song song nằm ngang Dịng nước chảy song song với bờ từ trái sang phải với vận tốc là + Một chiếc phà cĩ vận tốc

riêng khơng đổi là », xuất phát từ điểm OĨ của bờ dưới lấy làm trục Oz chở

xe sang bờ kia

(a) Biết rằng đường đi thực tế của pha làm một gĩc œ với Ox, hoi rang van

tốc thực tế V' của phà là bao nhiêu? Biện luận

(b) Phải chọn gĩc œ là bao nhiêu để thời gian đi là ít nhất ?

3 Cho một đường trịn (U) cĩ tâm là Ơ nội tiếp trong một hình thoi ABCD Một tiếp tuyến biến thiên của đường trịn (1) cắt các đường thẳng 4Ư, 4),

BC, CD theo tht tu 6 các điểm 3, N, P, @

(a) Hãy đốn nhận hệ thức giữa hai đoạn thẳng Z1 va DN; ching minh hệ thức đĩ Trên hình vẽ cịn cĩ những hệ thức nào đáng chú ý (phát

hiện được càng nhiều càng tốt)

(b) Bốn đường trịn cùng đi qua điểm O va theo thứ tự cĩ tâm là 4, B, C, D

cất bốn đoạn thẳng 48, BƠ, CD, 2A ở tám điểm Hãy xét xem hình tám cạnh lồi nhận tám điểm đĩ làm đỉnh cĩ tính chất gì đặc biệt, chứng minh các tính chất đĩ Sử dụng vào việc dựng hình tám cạnh đều (c) Hãy phát biểu một bài tốn trong khơng gian bằng cách cho hình vẽ

của bài tốn trên đây quay quanh trục AC

Trang 14

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 14 1.7 Nam 1968

1 Cho hai s6 a, b thoả mãn điều kiện ø > 6 > 0, vaa+6=1

(a) Chứng minh rằng nếu rn,ø: là các số nguyên dương thoả mãn ?w > n

thi a” — a" > 6" — 6" > 0

(b) Với mỗi số nguyên dương ? người ta thiết lập tam thức bậc hai fa(œ) = zˆ — P”% — a"

Chứng minh rằng tam thức ƒ„(+) cĩ hai nghiệm số phân biệt nằm giữa

—l val

2 Cho một đường trịn cố định Ĩ2 bán kính r Một tam giác biến thiên AA BC luơn ngoại tiếp đường trịn đĩ và cĩ đỉnh 4 chạy trên đường thẳng cố định +, cịn hai đỉnh kia chạy trên một đường thẳng cố định song song với z

(a) Cho trước đường trịn OĨ, hai đường thẳng z, và gĩc 4 hãy dựng tam

giác AABŒ Biện luận

(b) Tính các gĩc của tam giác AAŒ theo gĩc A, bán kính r và khoảng cách h giữa hai đường thẳng z, Biện luận

(c) Cĩ nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai đoạn thắng 7 va IC (J 1a tiép

điểm của đường trịn Ĩ với đường thẳng + ? Cĩ cách gi để đốn nhận

ra mối quan hệ đĩ mà chưa cần chứng minh gi cả ? Chứng minh điều đốn nhận đĩ

Từ hệ thức giữa 7 và 7Œ hãy cố gắng phát hiện ra những hệ thức đáng chú ý khác (phát hiện được càng nhiều càng tốt)

Trang 15

1.8 Năm 1969

1 Trong một trạm lưới liên lạc giữa hai vùng 4 và Ư cĩ ø trạm ở vùng 4 và

k trạm ở vùng Ư Mỗi trạm ở vùng 4 cĩ thể liên lạc được với ít nhất & — p

trạm ở vùng Chứng minh rằng nếu ø - p < ÿ thì cĩ ít nhất một trạm ở

vùng B cĩ thể liên lạc được với mọi trạm ở vùng A 2 Hãy xác định gĩc + biết rằng Ư < z < 7 và

8

<> 138 in? tt <5 3sinx — sin 3x resin es

3 Cho nhiing s6 x50, y; > 0, 22 < 0, yo > 0,23 < 0, y3 < 0,244 > 0 > ya Biét rang voi mii = 1, 4 ta c6 (x; — a)? + (y; — b)“ < c? Hãy chứng minh rằng

a? + b? < c? Phát biểu sự kiện trên dưới dạng một mệnh dé trong hình học

phẳng

4 Cho hai vong tron tam O, O’ ban kính R, R’ tương ứng cắt nhau ở hai điểm

P,Q va moi đường thẳng (A) biến thiên luơn bị hai vịng trịn nĩi trên cắt thành một hàng điểm điều hồ

(a) Tir hai tam @ và Ĩ” người ta hạ các đường vuơng gĩc 2H và @“H'

xuống đường thẳng (A) Hãy dùng suy luận logic mà đốn nhận quỹ

tích của các điểm #ï và H” (càng đốn nhận được chính xác càng tốt)

(b) Chứng minh những điều đốn nhận về quỹ tích của hai điểm H va H’' và xác định giới hạn của các quỹ tích đĩ Trong trường hợp nào thì quỹ tích đi qua hai điểm Ơ và Ớ”

(c) V6i gia thiét rang OO’ < v/R2 + R2 hãy xác định trên đưưưường thẳng

(A) một điểm Ä⁄/ sao cho tổng của các doan thang MO va MO’ la ngan

nhất so với mọi con đường khác nối O va O' va cé diém qua mot điểm trên (A) Chứng minh rằng đường đi ngắn nhất đĩ là khơng đổi khi (A)

biến thiên Phải đối câu hỏi nhu thé nao dé OO’ > R2 + R2

Trang 16

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A 16 1.9 Năm 1970 1 Cho A, B,C là ba gĩc của một tam giác A4 BƠ Chứng minh rằng A B C 1 sin — -sln —-sin— < — 2 2 2 4

2 Tìm tất cả các số tự nhiên khơng chia hết cho 45 mà là ước số của số N = 1890 Cĩ bao nhiêu số như thế ?

3 Với mỗi điểm (z,) trong mặt phẳng toạ độ người ta cho ứng với một số thuc f(x, y) Gia str rang

(a) ƒ(z, 0) = az với a là một hằng số khác khơng

(b) Néu (x1, y1) va (2, y2) là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng toạ độ mà ƒ(#¡,¡) = ƒ(z›,1›) thì ƒ(z, 0) cĩ giá trị khơng đổi tại mọi điểm

(z, ) của đường thẳng đi qua hai điểm đĩ

Hãy chứng minh rằng

(a) Với mỗi số thực œ tập hợp tất cả các điểm (z, 9) tại đĩ ƒ(z,) = œ là một đường thang D, va tat ca cdc đường thẳng „ đĩ đều song song

với nhau

(b) Với mọi z, ta cĩ ƒ(z, ) = ax + bụ trong đĩ Ù là một hằng số

4 Cho một vịng trịn cố định tâm @ bán kính ?#‡ với hai đường kính vuơng gĩc

cố định 41, C7) và tiếp tuyến 4 tại điểm 4 Một điểm Ä⁄ chạy trên đường

trịn đĩ, các đường thang BM, DM cắt A¿ theo thứ tự ở P va Q

(a) Khi điểm A⁄ chạy trên đường trịn thì , @ luơn cĩ mối liên hệ sau đây:

khoảng cách giữa hai điểm ? và @ là tỉ lệ thứ tư của ba đoạn thang

AP, AQ và đường kính Sau đĩ tìm cách biểu diễn mối liên hệ này

bằng một cơng thức đơn giản nhất

(b) Dùng thước và compa dung diém M sao cho BQ va DP song song với

nhau

(c) Hai duong thang OP va BQ cat nhau 6 N Du doan quỹ tích của N rồi chứng minh nĩ

(d) ZP và BQ) cắt tiếp tuyến ở điểm 7D theo thứ tự ở P’ va Q’ C6 nhan

xét gì vẻ mối liên hệ giữa ? và Q' Chứng mỉnh nhận xét đĩ J2” và DQ cắt đường thẳng BƠ ở P” và Q” Cĩ nhận xét gì về mối liên hệ giữa P” và Q” Chứng minh rằng nhận xét đĩ

5 Cho mot khéi lap phuong ABCD.EFGH và một mặt phẳng P đi qua đỉnh

Trang 17

(a) Tinh cosin chung cua ba gĩc bằng nhau đĩ và dựng hình chiếu vuơng

gĩc của khối lập phương xuống mặt phẳng P

(b) Căn cứ vào hình chiếu này để phát hiện ra những quan hệ đáng chú ý (càng phát hiện càng nhiều càng tốt) giữa mặt phẳng ?P với các đường

thang nối các cặp diém lay trong tim diém A, B,C, D,E,F,G,H va các mặt phẳng chứa từng bộ ba điểm cũng lấy trong 8 diém đĩ

Trang 18

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 18 1.10 Nam 1971 ` 4 Z A ^Z nt «2 ?n ` z ` Z 1 Người ta xét các cặp phân số tối giản — < I và : < 1 với rn,m,p, g là các h q số nguyên dương sao cho nếu oe tga, P= te 6 thia+ 8 = 45° h q

(a) Cho m va n hay xac dinh p va g Khi nào thì cĩ lời giải ? (b) Cho n va ø hãy xác định m và p Khi nào thì cĩ lời giải ?

(c) Cho m va g hãy xác định ø và p Khi nào thì cĩ một lời giải? Khi nào

thì cĩ hai lời giải ?

2 Cho một hình lập phương 4BŒ!.EFGH cĩ cạnh AB = 2a va xét cac

đường thẳng ở cắt ba đường thẳng vơ hạn 1E, BC và DF' (trường hợp đặc

biệt đ cĩ thể song song với một trong ba đường thắng đĩ) Gọi M là giao

điểm của đ với đường thang BC va m là khoảng cách từ Ä⁄/ đến

(a) Hay ching minh rang mat phang MAF cat FG tai một điểm F7” cách một khoảng bằng m va mat phang MDF cat EH tai mot diém F’ cach HI cũng một khoang bang m Tir d6 suy ra cách dựng giao điểm ? của đường thẳng ở với mặt EFGH

(b) Tính khoảng cách từ P đến các duong thang EF va EH theo m Hay

tìm một hệ thức giữa hai khoảng cách ấy khơng phụ thuộc vào ?n Từ đĩ suy ra quỹ tích của điểm Phần nào của quỹ tích thì ứng với các

diém M trén canh BC?

(c) Các đường thẳng d tao nén một mặt S Mat S cắt các mặt của hình lập

phương theo những đường thẳng nào, tại sao?

Trang 19

1.11 Nam 1972

1 Gọi œ là gĩc biến thiên tuy y va x = cosa, y = cosna

(a) Chứng minh rằng ứng với một giá trị của + trong khoảng —l < z < 1

ta cĩ một và chỉ một giá trị xác định của ? Coi ; như là một hàm số

của z, ta ký hiệu # = 7„(+) Hãy tính 7; (+), 72(+) và chứng minh cơng thức T,ai(@) = 22 - Tạ(#) — Tạ_1(z) Từ đĩ suy ra rằng 7„(z) là một đa thức bậc n (b) Chứng minh rằng đa thức 7„(+) cĩ nghiệm thực phân biệt trong đoạn [—1, 1) 2 Cho một số nguyên dương N,ta xét tất cả các ước số lẻ z của N va lay tong ?m„ — ] của tất cả các số dạng (—l) 2 (a) Gọi tổng ấy là ƒ(/V) hãy chứng minh rằng nếu z là một số nguyên, ø là một số nguyên tố thì ƒ(2) = 1 và ƒ(27) = 1 và ip) = 0 nếu p cĩ dạng 4È — ] ‘i néu p cĩ dạng 4k + ] l+r nếùp cĩ dạng 4k + 1

ƒ(/)=$ 1 nếu ø c6 dang 4k — 1 va r chan 0 néu p c6 dang 4k — 1 var le

(b) Chứng minh rằng ƒ là hàm nhân tính, nghĩa là nếu A⁄, ý là hai số

nguyên dương thoả mãn gcd(1⁄, N) = 1 thì ƒ(MAN) =7(M) - ƒ(N) dựa vào kết quả trên mà tính ƒ(5! - 11? - 17!) và ƒ(1980) Nêu quy luật chung để tính ƒ(N) 3 Cho một tam giác 4C và một đường thẳng ở đi qua đỉnh 4 và khơng song song v6i BC’

(a) Nguoi ta dung hinh binh hanh CEFG sao cho cac dinh FE, F,G theo thứ tự nằm trên các đường thẳng đ, 4, BC va sao cho CE song song với trung tuyến 47 của tam giác ÀAABŒ, sau đĩ dựng hình bình hành

EAKH sao cho các dinh K, H theo thit tu nằm trên các đường thẳng AB va BC Hai duong thang BC va d cắt nhau ở điểm Ứ Người ta

lấy điểm V trên đường thẳng đ đối xứng ới qua điểm 4 Chứng minh

Trang 20

với nhau và thang hàng với hai đỉnh B’, C’ cia hinh binh hanh BB’CC’ nhận , Œ làm hai đỉnh đối diện và cĩ các cạnh theo thứ tự song song voi d va Al

(b) Xét cặp đường thắng ƑŒ và KT cắt ba đường thắng BŒ,ŒCA, AB ở

ba cặp điểm được sắp xếp như thế nào đĩ Từ đĩ cĩ thể phát biểu nên một định lý tổng quát như thế nào? Nếu trong mặt phẳng 4 cĩ cho trước một điểm O thì qua Ĩ cĩ thể dựng được hai đường thẳng Ƒ'Œ và

EKH hay khơng)

4 Cho một khối tứ điện đều 4Œ cĩ cạnh a trên đoạn thắng 4 người ta lấy , 5 ; hai điểm # và # sao cho 4 = si AEH = = trên đoạn thăng 4Œ người Z “2 3 2 ta lấy hai điểm #} F’ sao cho AF = 3 AF’ = = va trén doan thang AD > 2

lay hai diém G, G’ sao cho AG = si AG’ = >

(a) Trên mặt phẳng ĐC D hãy xác định hai giao tuyến của mặt phẳng này với hai mặt phẳng ƑƑ'Œ và F'F”G' Nghiên cứa xem hai giao tuyến

này cĩ vị trí tương đối như thế nào đối với tam giác BƠI) Từ đĩ cĩ

thể phát biểu nên một định lý tổng quát như thế nào?

(b) Tính thể tích của khối EF'GE'F’G’ theo a va tinh géc ma hai mat phang

EFƑG làm với các đường thing AB, AC, AD

Trang 21

1.12 Nam 1973

Nam 1973 Việt Nam khơng tổ chức kì thi

Trang 22

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A 1.13 Năm 1974 1 (a) (b) 2 (a) (b) (C) Với số nguyên dương ø là thì số sau đây 11 1—77 7

là số chinh phuong? (6 day c6 2n chit s6 1 va n chit s6 7)

Hãy xác định tất cả các chữ số ư sao cho

11 1—Ùb ð là số chính phương? (ở đây cĩ 2n số 1 và ø số 0)

Cĩ bao nhiêu cặp số nguyên liên tiếp z, z + 1 sao cho + là bộ của 9 và + + 1 là bội của 25? Hãy xác định các cặp đĩ

Cĩ bao nhiêu cặp số (+, z + 1) sao cho z là bội của 21 và z + 1 là bội

của 1652

Hãy xác định các bộ ba số nguyên liên tiếp (z, z + 1, + + 2) thoả mãn

+ là bội của 9, z + 1 là bội của 2ð và z + 2 là bội của 4

3 Cho một tam giác 4Œ cố định vuơng ở 4 và đường cao 4H Từ chân H của đường cao ta hạ các đường vuơng gĩc jP và HC) theo thứ tự xuống các cạnh 4Ư và AC Cho một điểm Ä chạy tuỳ ý trên đường thang PQ; dudng

thang vuơng gĩc với đường thẳng 77 ở điểm A⁄ƒ cắt đường thắng 4B ở R và cắt các đường thắng 4C ở S (a) (b) (C) Cĩ những nhận xét gì về đường trịn qua ba điểm 4, #, S và chứng minh nhận xét đĩ

Nếu ta lấy đi hai vị trí của A⁄ị, Ä⁄¿ của điểm Ä⁄ thì ta sẽ cĩ các vị

trí tương ứng R, va Re cha diém R, S; va Sy Ching minh rang ti s6

1 * 4t2

S1 + So

R và S chạy với những vận tốc như nhau (khi Ä⁄ chạy trên đường thẳng

PQ)

Ta lấy điểm # đối xứng với điểm 77 qua tâm đối xứng Ä⁄ Đường thang đi qua 4 và vuơng gĩc với đường thẳng ??) cắt đường thẳng 9 ở điểm

D Ching minh ring BHR = DHR Hay phat hién them mot dang

thức tương tự

khơng đổi Tam giác 4C phải thoả mãn điều kiện gì để cho

4 Trong khơng gian cho 12 đường thẳng chứa 12 cạnh của một khối lập phương cĩ cạnh bằng đơn vị Người ta cắt 12 đường thẳng đĩ bằng một mặt phẳng P Hãy xét sự tương giao của mặt phẳng P này với 12 đường thẳng nĩi trên Biện luận theo các vị trí cĩ thể của P

Trang 23

1 Khơng giai phuong trinh x? — 7 + 1 = 0 hãy xác định tổng của các luỹ thừa

bậc tám của các nghiệm số của nĩ

2 Giải phương trình sau đây

ptm yan yp?

(ytm)> (y+n)> (u+p) 58 yom yn U—P_—g 2 2yt+tm ytn ytp

3 Cho tứ điện ABC'D cĩ BA vuơng gĩc với AŒ và !)Ư vuơng gĩc với mặt

phẳng B AC Gọi Ĩ là điểm giữa của 4?, ta hãy hạ OK vuơng gĩc với DŒ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tỉ số các thể tích VKOAC _ AC Veopp BD là 2AC - 8D = AB” 4 Cho cấp số cộng —1, 18,37, , Tìm số hạng của cấp số mà khi viết tồn dùng chữ so 5 cote? x 5 Chứng minh rằng tổng các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = cotg 3x to3 TỪ pam v2 trên (0; 3) là một số hữa tỷ

6 Trong khơng gian cho một đường thẳng cố định A và một điểm 4 cố định

nằm ngồi A Một đường thang d biến thiên quay xung quanh điểm A Gọi

AMN là đường thẳng vuơng gĩc chung của đ và A (M trên đ và Đ trên A) Hãy tìm quỹ tích của điểm Ä⁄ và quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng M/N

Trang 24

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 24 1.15 Nam 1976 1 Hay tim nghiém nguyén cua hé phuong trinh getty — ụ1? yrry — 7

2 Hãy xác định dạng cua tam gidc AABC biét rang

acosA+ bcos B+ccosC _at+b+e asinA+bsinB+csinC - 9?

6 dé a, b,c 1a dé dai cua ba canh BC, CA, AB va R 1a ban kính đường trịn

ngoai tiép tam gidc AABC

3 Chứng minh rằng với mọi điểm M trong tam gidc AABC ta déu co bat dang

thức

883 <

dạduđ, S 27abc

trong d6 dy, dy, de 1a khoang cach tt diém M dén céc canh BC,CA, AB; a,b,c la d6 dai cua ba canh BC,CA, AB va S' 1a s6 do dién tich cua tam giác đã cho Hãy mở rộng bất đẳng thức trên cho trường hợp tứ điện trong khơng gian

4 Tìm số cĩ ba chữ số biết rằng số đĩ bằng 1.5 lần tích các giai thừa của ba

chữ số của nĩ (ở đây tích các giai thừa của số n nghĩa là tích 1 - 2 - - - n)

5 Cho mặt phẳng P va hai đường thẳng chéo nhau ở, ở cắt P lần lượt ở A, A' Gọi đ” là những đường thẳng chuyển động song song với ? và tựa lên d, ở ở M, M"

(a) Hay xác định vị trí của đường thẳng đ” sao cho Ä⁄ Ä⁄” là ngắn nhất (b) Cho trước một đường thẳng d¿ Hãy xác định trong những đường thang

đ” đường thẳng d; vuơng gĩc với đường thẳng dị

6 Cho & và ø là hai số nguyên dương và z,#¿, , z„ là những số dương cĩ

tổng bằng 1 Chứng minh rằng

g1”? Ca” «canh > ph!

Trang 25

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A 25 1.16 Nam 1977 1 Giai bat phuong trinh 1 1 «-l \/e-—-4/1 > Xv Xv Xv 2 Chứng minh rằng tồn tại 1977 tam giác mà các gĩc A, B,C cia no thoa man hệ thức

sin 4 + sin B+ sinC 12 12 = — & in Asin BsinC = — cos A+cos B+ cos C 7 SU 22 SU Sith 25

3 Hỏi rằng ø đường trịn chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu phần nếu bất cứ cặp hai đường trịn nào cũng cắt nhau tại hai điểm phân biệt và khơng cĩ ba

đường trịn nào cĩ giao điểm chung

4 Tìm điều kiện cần và di dé ham so f(t) = mt? + nt? + pt+ q co gia tri nguyên với mọi gia tri cua ứ

5 Cho ao,øứi, , đ„, đ„+¡ là một dãy hữa hạn các số thực thoả mãn các điều kiện đo = đ„+¡ = Ư và dy 1 — 2d - đy+1 | <1 Chứng minh rằng kín + 1— È) Qk = 2

với mọi & = Ư,1, ,? + 1

Trang 26

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A 26 1.17 Nam 1978 1 Tim tat ca cdc s6 c6 ba chit s6 TyzZ sao cho hai lan s6 d6 bang tong của hai SO Yzx Va FLY 2 Tìm tất ca nhitng gia tri cla m sao cho hé phuong trinh au day chi cé mét nghiém +? = 2lÌ + |ø|— ụ— m z2 —=l— ĐŸ

3 Ba cửa hàng lương thực 41, Ư,C tạo thành một tam giác À4 5Œ, trong đĩ CAB = 30°, 4B = 0.75 AC thường xuyên cung cấp mì sợi cho nhân dân

trong vùng lần lượt theo tỷ lệ 5 : 4 : 3 Phải đặt địa điểm cần mì soi M ở đâu để tiết kiệm chi phi chuyển trở biết rằng chi phí đĩ tỉ lệ với số lượng va đường đi x0 BC ` fo ¬ 4 Tìm ba phân số tối giản Tad tạo thành một cấp số cộng biết rắng _ l+ø & ec 1+6 a 1+d b 1+d

5 Một con sơng đào khúc đầu bề rộng ø mét đến một chỗ rẽ theo gĩc vuơng bề rộng khúc sau là 6 mét Tim chiều dài lớn nhất của một bè gỗ hình chữ

nhật mà chiều ngang là c mét để khi bè trơi từ khúc đầu sang khúc sau đến

chỗ rế khơng bị tắc

6 Cho hình hộp chữ nhật 4ABŒ7).A'E'C7D' Chứng minh rằng cĩ thể dựng

được một tam giác cĩ các cạnh bằng các khoảng cách từ 41, 4, đến đường chéo !/”' của hình hộp Ký hiệu kích thước của hình hộp là ø, đa, as va những khoảng cách nĩi trên là rmị,m¿,ma Hãy xác định hệ thức giữa

Q1, 49, 43,771, M2, M3

Trang 27

1 Chứng minh rằng với mọi z > 1 tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số ,(#) = #Í + z3 + 2z + z +1, P(z) = 2# + z + 2z + 1, và

Đ;(z) = + — 1 Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác đĩ gĩc lớn nhất

đều như nhau và hãy xác định giá trị của nĩ

2 Cho phương trình x* + ax? + bx + c = 0 cĩ ba nghiệm thực (khơng nhất thiết phân biệt) là ¿, , ø Với những giá trị nào của a, b, c thì các số f3, uỞ, 0Ÿ nghiệm đúng phương trình zỞ -++ a3zŸ + b3z + c= 02

3 Hãy chia một mảnh vườn hình tam giác A4 8Œ cĩ ba cạnh khơng bằng nhau bằng đoạn thẳng 41 sao cho hai tam giác AB và AC Mĩ cĩ tỉ số diện tích

bằng tỉ số chu vi tương ứng

4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 2 cos øØ là một đa thức bậc

n cua 2 cos @

5 Tìm tất cả những số œ sao cho phương trình #Ÿ — 2z|+] + z — œ = 0 cĩ hai nghiệm số khơng âm (ở đĩ |z| là phần nguyên của số z)

6 Trong khơng gian cho hai hình chữ nhật bằng nhau ABC'D và ABEF cé

AB =m, BC = BE = mmv2 Hãy xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng chứa hai hình chữ nhật nĩi trên để sao cho ỞA vuơng gĩc với BF Trong trường hợp ấy hãy xác định vị trí và kích thước tứ diện đều của hai

đỉnh nằm trên CA va hai đỉnh cịn lai nam trén BF

Trang 28

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 28 1.19 Nam 1980 1 Cho cdc gĩc œ, œa, , œ„ nằm trong đoạn |0, 1800] sao cho giá trị của n ` + COS Qf) k=1 là một số nguyên lẻ Chứng minh rằng Th Ss” sina, >1 k=1 2 Gọi 7' là tổng của k số dương ?n¡, ,?n„ Chứng minh rằng ta cĩ bất đẳng thức n 1 2 k T 2 » ng + — | >k| +— kl Mp T k

3 Cho P 1a mot điểm nằm trong tam giác 4 4s 4s Duong thang PA; cat canh d6i dién tai diém B; Goi C; 1a trung diém cia doan thang A;B; va D; 1a trung điểm của đoạn thắng PÐ; Hãy so sánh diện tích của hai tam giác

016916 và D,D2Dsz

4 Chứng minh rằng với mọi hình tứ diện ta đều tìm được trong khơng gian hai mặt phẳng sao cho tỉ số điện tích của các hình chiếu vuơng gĩc của tứ diện lên hai mặt phẳng đĩ khơng nhỏ hơn 4⁄2

5 Phương trình z3 — 2z — 2z + rm = 0 cĩ thể cĩ ba nghiệm hữa tỷ phân biệt

khơng? Tại sao?

6 Cho số nguyên ? > 1 và số thực p > 0 Hãy tìm giá trị cực đại của biểu thức

n—1

) URC E+1

k=1

khi cdc x, chay khap moi gia tri thuc khong 4m sao cho )>)_, Uy = p

Trang 29

1.20 Nam 1981

1 Ching minh rang một tam giác là vuơng khi và chỉ khi tổng của sin ba gĩc bằng tổng của cosin ba gĩc đĩ cộng với 1

2 Cho hai đa thức ƒ(p) = p!Ý — p!! + äp!? + 11p — pŸ + 23p + 30 và g(p) = p*+2p~+m Hãy xác định giá trị nguyên của m để tồn tại một đa thức h(p) mà ƒ(p) = ø(p) - h(p) với mọi giá trị thực của ?

3 Cho hai diém M va N 6 ngoai mot mat phẳng ?# Hãy xác định vị trí của

diém A trén R sao cho ti s6 —— 1a cuc tiéu AN 4 Giải hệ phương trình +z?+?2+z?+†?=50 #2 — 2+ z?T— †? = —24 %2 = Uí #œ—=+z+t+=0

5 Cho ø số thực ty, tg, ,t, sao cho t; € [p, g] với & = 1,n (ở đĩ Ũ < p< q là các số cho trước) Biết rằng A==(h +fy+ssc+ hồ B=-(#+ii+ +8) 2 ` 4 Hãy chứng minh răng FP > ——,, Hãy xác định điều kiện cân và đủ để Mi (p+ 4) cĩ đăng thức

6 Cho hai đường trịn cĩ tâm O,, O bán kính khác nhau, tiếp xúc ngồi tại A và một điểm Ä trong đường trịn tâm O; khơng nằm trên đường thang

O:Ĩ; Tìm một đường thẳng đ đi qua Äƒ sao cho đường trịn 4 8C tiếp xúc

với đường thẳng O,O> B 1a mot giao diém nào đĩ của đ với đường trịn tâm

Ĩ¡ và Ở là một giao điểm nào đĩ của d với đường trịn tâm Op

Trang 30

1 Lap phuong trình bậc hai cĩ hệ số nguyên và cĩ hai nghiệm là cos 72° va

cos 1440

2 Giải và biện luận theo rnz phương trình x(x + 1)(+ + 2)(z + 3) —?m +1 =0

3 Cho tam giác AABŒƠ Trên ba cạnh của nĩ dựng ba tam giác đều ra phía ngồi tam giác đĩ Gọi A lầtm giác cĩ các đỉnh là tâm của ba tam giác đều nĩi trên Tương tự trên các cạnh cua tam gidc AABC dựng ba tam giác đều về phía trong với tam giác đĩ và goi A’ 1a tam giác cĩ ba đỉnh là ba tâm của

ba tam giác vừa dựng Chứng minh rằng điện tích của tam giác A4 8Œ bằng

hiệu của diện tích hai tam giác A và AI

4 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2” + 2% + 2° = 2336 VỚI # < 1 < Z 5 Cho ? là số nguyên dương và hai số thực g, z Giả sử rằng q*! < z < 1 và 0 < g< 1 Hãy chứng minh rằng Dp I] k=1 z— q* z+q” < P l—q k — ise

6 Cho hình lập phương ABC'D.A'B'C'D' Ching minh rang khong c6 mot

đường thẳng nào cắt cả bốn đường thắng 41A", BƠ, D'Œ" và đường nối trung điểm hai canh BB’ va DD’

Trang 31

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 31 1.22 Nam 1983 1 t9 Cho a va ở là hai số nguyên dương, b > 2 Số 2“ + 1 chia hết cho số 2” — 1 hay khong ? (a) Chứng minh rằng V2(sin í + cost) > 2/sin 2£ với mọi 0 < t < 5 2 cot 2y ` tan 2 (b) Tìm y sao cho 1 + = cot y tan y v6i moi y € (0,7)

Cho tam gidc AABC va diém M bat ki nam trong tam gidc d6 Tr M

hạ những đường thẳng vuơng gĩc MA,, MB,, MC, 1an luot dén cdc cạnh BC,CA, AB Hay xac dinh quy tich cdc diém M sao cho số đo diện tích

cua tam gidc AA, B,C; bang sé k cho truéc Bién luan

C6 thé biéu dién mot số nguyên dưới dang một trong các tổng sau hay khơng 1 1 1 (a) —+—4 -+— ay ag 6 1 1 1 (b) —+ —+1: -+— ay ag ag trong đĩ ứ, øa2, , øo là các số nguyên dương phân biệt SO sánh - k “1 Sy = & T,= — 2m — 2k + 1)(2n — k + l1) k k=1 ( k=1

Cho một tứ điện trong đĩ các cặp cạnh đối diện bang nhau từng đơi một va

theo thit tu bang a, b,c (a < b < c) Một mặt phẳng cắt tứ diện đã cho theo

một tứ giác Hãy tìm vị trí của mặt phẳng sao cho tứ giác thiết điện cĩ chu vi bé nhất Trong điều kiện nĩi trên hãy tìm quỹ tích của những trọng tâm của các tứ giác thiết diện

Trang 32

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Viét Nam bang A 32 1.23 Nam 1984 1 (a) Hãy xác định đa thức của + cĩ bậc nhỏ nhất với hệ số nguyên cĩ một nghiệm là ⁄2 + 3⁄3 (b) Giải phương trình I+v1+z?(vV(L+z)3— w(1—+z)3)=2+v1- z?

2 Cho dãy số 1,ạ, , như sau: ị = 1,a = 2,U„‡i — Äu„ — tạ ¡ VỚI n = 2,3, , Day s6 v1, v2, , duoc xac dinh boi quy luật

Tì

Un = ) arccotg u; k=1

Hãy xác định limy 40 Un

3 Trong mặt phẳng P cho hình vuơng 4Œ cạnh bằng ø Trên nửa đường

thang Ax vuơng gĩc với P lấy điểm Š sao cho SA = 2a

(a) M và N là hai điểm tương ứng di động trên BC va DC

1 Xác định vị trí của hai điểm 4, Đ sao cho

3 BM +DN>>

déng thoi hai mat phang SAM va SMN vuơng gĩc với nhau va

tich BM - DN dat giá trị bé nhất?

ii Xác định vi tri cla M,N sao cho NAM = 450 và thể tích của tứ

dién SAM N là lớn nhất, nhỏ nhất Tính các giá trị đĩ

(b) @ là điểm di động sao cho @ luơn nhìn 1B và 47) dưới các gĩc vuơng Gọi 7 là mặt phẳng vuơng gĩc với P theo giao tuyến AB, DQ cat 7 6

()

i Tim quy tich diém Q’

ii Diém Q 6 trén sé vé nén dudng (K) Goi ?# là giao điểm thứ

hai khác với @ của CQ va (kK) Chứng minh rằng đại lượng

sin? Q'DB + sin? RDB là một hằng số khơng phụ thuộc vào vị trí

cua Q, trong dé R’ 1a giao điểm của D2 với mặt phẳng z

4 (a) Cho z,+ là các số nguyên khơng đồng thời bằng khơng Hãy xác định

giá trị bé nhất của biểu thức 4 = |ðzˆ + 11z+ — 5yỶ|

(b) Tìm tất cả các số dương ¿ để

Trang 33

5 Cho a, b 1a cdc sé thuc véi ø # 0 Hãy xác định đa thức P(z) thoả mãn điều

kiện

zP{œ — a) = (z — b)P(z)

6 Cho gĩc tam diện Šzzz đính S trong d6 Sz = Q, zS = 8, ySz = y Goi A, B,C tương ứng là giá trị của cdc géc nhi dién canh Sy, Sz, Sx cua géc tam điện ấy

(a) Chứng minh rằng

sinœ _ sinØ _ sin+

snA sinÿ? sinC’

ii @+ 6 = 90° khi va chi khi A+ B = 180°

(b) Giả sử rằng œ = đ = + = 900 Gọi Ĩ là điểm cố định trên Sz

sao cho SO = a M va N la hai diém di dong tr trên Sz, 22, 5W sao chc cho SM + SN = a Chứng minh rằng đại lượng SOM + SON + MON là một hằng số khơng phụ thuộc vao vi trf cha M va N Tim quỹ tích

tâm J cua hình cầu ngoại tiếp tứ giác 2SMN

1

Trang 34

1 Tim tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

z3 —y® = 2ry +8

2 Gọi Äƒ là tập hợp tất cả các hàm số ƒ xác định với mọi số nguyên nhận những giá trị thực thoả mãn các tính chất sau đây

(a) Với mọi số nguyên z và ø thì ƒ(z) - ƒ() = ƒ(+ø) + ƒ(œ — 0)

(b) f(0) 40

ne gy ¿ 5

Tìm tất cả các hàm số ƒ € M sao cho f(1) = 5

3 Một hình hộp chữ nhật với các kích thước ø, b, c bị cắt bởi một mặt phẳng đi qua giao điểm các đường chéo của hình hộp và vuơng gĩc với một trong các đường chéo của hình hộp đĩ Hãy tính diện tích thiết diện nhận được

4 Kí hiệu ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên ø và ở là gcd(ø, b) Chứng

minh rằng với ba số tự nhiên ø, ư và zn, điều kiện cần và đủ để tồn tại số tự

nhiên n sao cho (a” — 1) - b chia hét cho m 1a gcd(ab, m) = gced(b, m) 5 Hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số a dé phuong trinh

16z° — a# + (2ø + 17)” — a+ + 16 = 0

cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân

6 Một hình chĩp tam giác 2.ABC cĩ diện tích đáy là ABC bảng Š Tính

thể tích của hình chĩp biết rằng mỗi đường cao theo thứ tự hạ từ các điểm

A, B,C khong thé bé hơn trung bình cộng của hai cạnh bên thuộc bề mặt đối diện với các đỉnh đĩ

Trang 35

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Tốn quốc gia Việt Nam bang A 35 1.25 Nam 1986 1 Cho n bat phuong trinh 4x* — da;x + (a; — 1)? <0 1 ¿ › ¿

6 dé a; € 5 5| với mọi ¿ = 1,2, ,n Goi +; là nghiệm bất kì của bất phương trình ứng với tham số a; Chứng minh rằng n 2 n 2i < ¬— 2 Goi R,r 1a bán kính các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chĩp 1986 đều , ¬ 1 (a) Chứng minh răng — > ] + r cos —— 1986

(b) Tính diện tích xung quanh của hình chĩp cĩ cạnh đáy bằng ø khi ở bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng

3 Cho M(y) 1a mot da thttc bac n sao cho M (y) = 2, với y = 1,2, ,n +1 Hay xac dinh M(n + 2)

4 Cho hình vuơng ABCD canh 2a Trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng chứa hình vuơng đi qua 4? ta dựng một tam giác đều AM B Mot diém S$

chạy trên 47 cách một khoảng SŠ = z Gọi P là hình chiếu của điểm

M lên đường thẳng SƠ và #, O theo thứ tự là các trung diém ca AB, CM

(a) Hãy xác định quỹ tích của ? khi Š chạy trên 1Ư

(b) Tính các giá trị cực đại và cực tiểu của SỐ 5 Tìm các giá trị tự nhiên của n > 1 để cho bất đẳng thức

n m=—I

2 „1k > 1n t Q ,24

đúng với mọi z, & = ,1

6 Tir day số tự nhiên 1,2,3, , ta lập dãy số sau đây: số hạng thứ nhất là số

lẻ, cụ thể là số 1; hai số hạng tiếp theo là các số chắn 2 và 4; ba số hạng tiếp

theo là các số lẻ 5, 7, 9; bốn số hạng tiếp theo là các số chắn 10, 12, 14, 16; năm số hạng tiếp theo là các số lẻ 17, 19, 21, 23,25, , Hãy xác định số

hạng tổng quát của dãy trên

Trang 36

1.26 Nam 1987

, ^Z A a ^Z x TỪ ` A Tổ

1 Cho cấp số cộng gồm ree so hang dau wu; = 1987 va cong sal d = 3074 ° Hãy xác định giá trị cua tong

S = S-cos( tu; + ua + +++ + uygs7 )

ở đĩ tổng ` chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các cách khác nhau cĩ

thể được để lấy các dấu -+ hay — trước các s6 uy, U2, ., Uig987-

2 Cho hai dấy số {z„}„' 25 và {„};'®9 theo quy luật sau đây: zạ = 365; #„¡¡ —= Un (7286 + 1) + 1622 voi n > 0 va yo = 165 Yn41 = „(0ÿ + 1) — 1952 với

n > 0 Chứng minh rằng |z„ — ¿| > 0 với mọi ø, & tự nhiên

3 Trong mặt phẳng cho ø đường thẳng đơi một cắt nhau nhưng khơng cùng đi

qua một điểm Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm là giao của hai và

chỉ hai trong số đường thẳng đĩ

4 Cho a; > 0 với mọi ? = 1,n van > 2 Dat S = Ð”;_ ay Ching minh rang

Tm 2m 1+2™ _9#

— (S — ag) (n — 1)?-!n

v6i moi m,t nguyén thoa man m > ¿ > 0 Dấu bằng xảy ra khi nào ? 5 Hàm số ƒ(z) xác định và cĩ đạo hàm trên |0, +co] Biết rằng với moi x > 0

luơn cĩ

(a) |f(x)| <5

(b) ƒ(z) - ƒ{z) > sinz

Tồn tại hay khơng lim„_;+„e f(x) ?

6 Trong khơng gian cho 5 nửa đường thắng Ĩz„ với k = 1,5 Gọi œ là giá trị bé nhất trong tất cả các gĩc hợp bởi các cặp nửa đường thẳng Ĩz; và Ĩ2z;

Chứng minh rằng a < 90°

Trang 37

1 Cĩ 1988 con gà nhốt vào 994 chuồng cĩ hai con Sau mỗi ngày người ta lại

thay đối vị trí của gà sao cho khơng cĩ hai con gà nào đã ở chung trước đĩ lại nằm trong cùng một chuồng lần nữa Hỏi cĩ bao nhiêu ngày làm được như vậy 2 Cho đa thức (+) = ag#” + a+#*—! + - + a„— 1# + a„ với nø > 3 Biết rằng n2—n đa thức cĩ ø„ nghiém thuc va ag = 1,a, = —n, dạ = Hãy xác định các hệ số a; với ? = 3,4, ,

3 Mặt phẳng được phân chia thành các tam giác đều bằng nhau sao cho hai tam giác bất kì khơng cĩ điểm chung nào hoặc cĩ chung nhau một đỉnh hoặc chung nhau một cạnh Cĩ hay khơng một hình trịn chứa đúng 1988 đỉnh các tam giác đĩ 2

4 Dãy số {z„} bị chặn mà thoả mãn điều kiện z„ + #„¡¡ > 2#„;s với mọi m„ > 1 cĩ nhất thiết hội tụ hay khơng ?

5 Giả sử rằng cĩ tam giác AABC ba gĩc nhọn để tan A, tan B, tanC 1a ba nghiệm của phương trình zỞ + øzŸ + g+ + p = 0 (g # 1) Chứng minh rằng

p< —3V3 và q > 1

6 Trong khơng gian cho ba đường thẳng a, b va c doi một chéo nhau Chứng

minh rang a, b,c cĩ đường vuơng gĩc chung khi và chỉ khi tích của ba phép đối xứng lần lượt qua ø, b, c cũng là phép đối xứng đối với một đường thang

Trang 38

1.28 Nam 1989

1 Cho hai số tự nhiên N, n Chitng minh rang với mọi số thực khơng âm œ < Đ,

với mọi số thực + ta luơn cĩ bất đẳng thức » sin(a + k)a N+k < mìn|(n + Dial, mm k—0 | sin | Bai giai Dau tién ta dé y dén bat dang thitc | sin 8] < |6| vGi moi 8 € R, ta nhan duoc

sin(a + k)a | sin(a + k)a| < (œ+#)|z| 1)

DI) mncn nan ?ang

Trang 39

b) Tồn tại hay khơng một số ŒG của dãy trén sao cho f(G) + 2 chia hết cho

19892

Bài giải Đặt g(n) = 4n? + 33n + 29 thì ta cĩ ngay với mọi nguyên

Ƒ(n) = g(n) (mod 1989), do đĩ bài tốn được đưa về tương ứng thay ƒ bởi g Chú ý rằng ø(—1) = 0 nên ý tưởng ở đây là ta đi chứng minh rằng trong

dãy số FibonacclI cĩ vơ số số hạng đồng dư với —1 theo modulo 1989 Kí hiệu #„ là số Fibonaccli thứ n, với Fy = Fo = 1 và r„ là số dư của F„ chia

cho 1989 Xét 1989” + 1 cặp số (z;,r;¡¡) thì hiển nhiên sẽ cĩ ít nhất hai cặp phân biệt trùng nhau, nghĩa là cĩ thể tìm được i,j > 1 mar; = rj; va

f;+i = r¡+;+_1 Nhờ cơng thức của dãy số Fibonacci ta suy ra rang 1 = r9 = 1;

va 1 =r; = 1541 Thanh thử với moi n nguyén khơng âm ta cĩ ?„„; = F, =

Tn = 1 (mod 1989) Ti day r,; =r; = 1 (mod 1989), do dé ma ta cé thé

coi 7 > 3 Lai c6 rj_) = 7rj41 — 17; =0 (mod 1989), rj» = 7; — 77-1 = 1 (mod 1989), va rj_3 = rj-1 — rj-2 = —1 (mod 1989) Nhu thé r;_3; = —1 (mod 1989) va r;-2 = 1 (mod 1989) Tit rpz4;-3 = rn—z (mod 1989) ta

nhan duoc voi n = 1,2,3, , thi r,;-3 = Tm—1j-3 = + = 1-3 = 1

(mod 1989) Đĩ là điều phải chứng minh

Trong mặt phẳng cho hình vuơng 4Œ? cĩ cạnh bằng 2, các chữ 4, Ð, Œ, D xếp theo thứ tự nào đĩ trên hình vuơng Đoạn thắng 4? được dời chỗ liên tục để đến trùng với đoạn thắng 7 sao cho 4 trùng với Œ và trùng với D Gọi ®S là diện tích của hình do đoạn thẳng 4 quét ra trong khi dời chỗ Chứng minh rằng cĩ thể tìm được một cách dời chỗ sao cho Š < = (nếu một diện tích nào đĩ được quét hai lần thì cũng chỉ tính một lần)

Bài giải Trên thực tế cách đời đoạn thắng 4? được chọn khá đơn giản Vẽ các đường trịn nội và ngoại tiếp hình vuơng, ta cho điểm 4 chuyển động

theo chiều ngược kim đồng hồ, và do đĩ Ư Từ đĩ 4Ø luơn tiếp xúc với

đường trịn nội tiếp của hình vuơng Kí hiệu Š; là diện tích giới hạn bởi hai

đường trịn (hình vành khăn) và So là diện tích của phần giới hạn bởi đoạn

Trang 40

Bằng cách chọn dịch chuyển như trên ta thấy phần diện tích do 4 vạch ra

5D `

khơng vượt qua S; — Sp = 5 +1< == Đĩ là điêu phải chứng minh Tồn tại hay khơng các số nguyên z, khơng tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5

thoả mãn điều kiện zÝ -L 197 = 198 - 101 ?

Bài giải Ta sẽ chứng minh rằng phương trinh x? + 19y? = 198 - 10139 luơn cĩ nghiệm (z, ) thoả mãn (+ — y,5) = 1 Trước hết ta hãy chú ý đến các đẳng thức sau đây

100 =92+ 19-12, 1980=212+19-97

(z7 + 19/2)(øœ + 192) = (wa — 19yb)? + 19(xb + yz)? V x,y, a,b

Ta gọi một s6 n nguyén dương là đẹp nếu nĩ biểu diễn được dưới dạng

z2 + 19? với (z — ,5) = 1 Bằng quy nạp dễ dàng cĩ được số 10” là số đẹp với mọi ? nguyên dương Đặc biệt số 10158 là số đẹp Ngồi ra do các đẳng thức nĩi trên nên 1980 - 10188 cũng là số đẹp Điều này kết thúc chứng

minh bài tốn

Cho dãy đa thức {„(z)};'® xác định như sau: (+) = 0 và z— P?(z) 2 với mọi > 0 Chứng minh rằng với mọi + € |0, 1j, và với mọi ? nguyên khơng âm, ta cĩ Đ„.¡(z) = P,, (x) + 2 0< v#T— Ti) ST Bài giải Bằng quy nạp dễ dàng nhận được đánh giá sau 0< Đ,(øz)<P„„i(z)<1 Vzel|D0, 1]

Đối với mỗi z € [0, 1] cố định, dãy số {„(z)}}$ là một dãy khơng giảm, bị chặn trên nên dãy hàm đĩ hội tụ điểm tới hàm ƒ(+) nào đĩ Nhờ cơng thức ta suy ra ƒ(z) = x⁄+z Thành thử bất đẳng thức thứ nhất được kéo theo nhanh chĩng Xét hàm ø„(+) = ƒ(z) — P„(z) thì ta cĩ øu+i(#) < gn(z) (: sa va ) do dé ma g,(x) < va(1 _ ) tốn < ——— Từ đây suy ra kết luận của bài n+1

Cho hình hộp chữ nhật 4Œ) A'B'C' D' Chứng minh rằng nếu một đường thắng A cắt ba bốn đường thắng 41', BC’,CD! va DA’ thi phai cat hoac song song với đường thẳng thứ tư

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	2,01 MB