Đề thi thử Đại học: Môn Toán (Có hướng dẫn lời giải)

"Đề thi thử Đại học môn Toán" sẽ mang đến cho các bạn 9 câu hỏi bài tập có hướng dẫn lời giải, giúp các bạn củng cố lại kiến thức và rèn luyện những kỹ năng cần thiết để chuẩn bị bước vào kỳ thi. Chúc các bạn thi tốt.

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 2x − có đồ thị (C) x−2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Câu (1 điểm) Giải phương trình: 2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + = dx Câu (1 điểm) Tính tích phân: ∫ + x + + x −1 Câu (1 điểm) Tính tổng : S = C50C57 + C15C74 + C52C37 + C35C72 + C54C17 + C55C07 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = Tìm phần thực phần ảo số phức z biết z = − z = + i.z Câu (1 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;1; −2) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho ABC tam giác có trực tâm điểm M Câu (1 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) trường hợp thể tích khối chóp S.ABC lớn Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn Câu (1 điểm) Giải phương trình x − 24 x3 + 200 x − 672 x + 716 + x − + 10 − x = Câu (1 điểm) Cho số thực a, b, c > −1 thỏa mãn ( a + b + c ) + ≤ ( a + b + c ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = a +1+ a +1 + b +1+ b +1 + c +1+ c +1 ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) HS tự làm  Lấy điểm M  m; +  ∈ ( C ) Tiếp tuyến (d) M có PT y = − m−2   ( m − 2) (x − m) + + m−2  Giao điểm (d) với tiệm cận đứng A  2; +  , với tiệm cận ngang B(2m – ; 2) m−2   Ta có : AB2 = ( m − ) +     ≥ Dấu “=” xảy m = Vậy điểm M(2; 2) ( m − )    Câu (1 điểm) PT ⇔  +  ( cosx + sin x − cosx.sin x ) =  cosx sin x  - Xét −3 + = ⇔ tan x = = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ cosx sin x http://megabook.vn/ - Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = Đặt t = sinx + cosx với t ∈  − 2;  Khi phương t2 −1 = ⇔ t − 2t − = ⇔ t = − 2 π π  1− π   2cos  x −  = − ⇔ cos  x −  = = cosβ ⇔ x = ± β + k 2π , k ∈ℤ 4 4   trình trở thành: t − Suy : 1  + x2 Tích phân I = ∫ = ∫  + 1 dx − ∫ dx Trong 2 x 2x   + x + + x −1 −1 −1 Câu (1 điểm) dx 1 1+ x2 1  1 2 I = + dx =  ln x + x  | =    −1 ∫−1 2x dx Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = 2xdx Đổi −∫1  x  2 I1 = x = t = 2 t 2dt = Nên I = c ận :  ⇒ Vậy I2= ∫ 2 t − ( )  x = −1  t = 2 Câu (1 điểm) Chọn khai triển : ( x + 1) = C5 + C5 x + C52 x + ⋯ + C55 x ; ( x + 1) = C07 + C17 x + C72 x + ⋯ + C77 x = C07 + C17 x + C72 x + ⋯ + C57 x + ⋯ Hệ số x5 khai triển (x + 1)5.(x + 1)7 C50 C57 + C15C74 + C52 C37 + C35C72 + C54C17 + C55C07 Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 hệ số x5 khai triển (x + 1)12 : C125 Từ ta có : C50 C57 + C15C74 + C52C37 + C35C72 + C54C17 + C55C07 = C125 = 792 Tìm phần thực phần ảo số phức z biết z = − z = + i.z  z = a + b2 = ⇔ ⇔ a = b = ±1 ⇔ z = ± (1 + i ) Giả sử z = a + ib, với a, b ∈ ℝ Ta có  1 − z = + i.z a = b Vậy phần thực phần ảo z −1 Câu (1 điểm) Chứng minh M trực tâm ∆ABC OM ⊥ ( ABC ) Vậy mặt phẳng (α ) qua M (1;1; −2), có VTPT n = OM = (1;1; −2) , nên (α ) có PT x + y − z − = Câu (1 điểm) Gọi ϕ góc hai mp (SCB) (ABC) Ta có ϕ = SCA ; BC = AC = a.cos ϕ ; SA = a.sin ϕ Vậy VSABC = SABC SA = AC.BC.SA = a sin ϕ.cos 2ϕ = a sin ϕ (1 − sin ϕ ) Xét hàm số 6 f(x) = x – x3 khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = – 3x2 f ' ( x ) = ⇔ x = ± Từ ta thấy khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên hàm số đạt a3   = Do đ ó MaxV = , đạt sin ϕ = hay SABC  3  3 3 1 π (với < ϕ < ) Vậy ϕ = arc sin ϕ = arc sin 3 GTLN hay Max f ( x ) = f  x∈( 0;1) Câu (1 điểm) Đường trịn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường trịn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = Nếu đường thẳng Ax + By + C = (A2 + B2 ≠ 0) tiếp tuyến chung (C1) (C2) khoảng cách từ I1 I2 đến đường thẳng R1 R2 , tức  5A − 12B + C = 15 (1)   A + B2   A + 2B + C = ( )  A + B2  Từ (1) (2) ta suy : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = ± 3(A + 2B + C) http://megabook.vn/ TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) ⇒ C = A – 9B thay vào (2) −14 ± 10 B 21 Nếu ta chọn B= 21 A = - 14 ±10 , C = −203 ± 10 |2A – 7B | = A + B2 ⇒ 21A + 28AB − 24B2 = ⇒ A = Vậy có hai tiếp tuyến : (- 14 ±10 )x + 21y −203 ± 10 = TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) ⇒ C = −4A + 3B , thay vào (2) ta 96A2 + 28AB + 51B2 = Phương trình vô nghiệm Câu (1 điểm) Giải phương trình x − 24 x3 + 200 x − 672 x + 716 + x − + 10 − x = Điều kiện ≤ x ≤ 10 Ta biến đổi PT ⇔ x − + 10 − x = ( x − ) ( x − 2)(10 − x) + 4(1) Với ≤ x ≤ 10 VP(1) ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (Bunyakovsky) ( x − + 10 − x ) ≤ (1 + 1)( x − + 10 − x ) ⇒ VT (1) = x − + 10 − x ≤ ⇒ VT (1) ≤ ≤ VP(1) ( x − )2 ( x − 2)(10 − x) = Như (1) ⇔  ⇔ x = Vậy (1) có nghiệm x =  x − = 10 − x Câu (1 điểm) Giả sử a, b, c > −1 thỏa mãn ( a + b + c ) + ≤ ( a + b + c ) Trước hết, ta thấy x − x + ≥ x + + + x3 , ∀x > −1 ⇔ x − x + ≥ + x , ∀x > −1 ( ⇔ 2x2 − x + ( ) ≥ + x3 , ∀x > −1 ) ⇔ ( x − ) x − x + 12 ≥ 0, ∀x > −1 BĐT cuối đúng, x − x + ≥ x + + + x3 đúng, với ∀x > −1 Ta có x − x + ≥ x + + + x3 > 0, ∀x > −1, nên 2x2 − 5x + ≤ x +1+ 1+ x , ∀x > −1,  1 ≤   a − 5a + a + + + a  1 ≤   2b − 5b + b + + + b3  1  ≤  2c − 5c + c + + + c3 1 1 1 ⇒F= + + ≥ + + ≥ 3 a − a + b − b + c − c + a +1+ a +1 b +1+ b +1 c +1+ c +1 9 ≥ = ≥ 2a − 5a + + 2b − 5b + + 2c − 5c + a + b + c − ( a + b + c ) + 24 ( Xảy F = ) ( ) ( ) ( ) 1 a = b = c = Vậy F = , đạt a = b = c = 2 http://megabook.vn/ ... 3x2 f ' ( x ) = ⇔ x = ± Từ ta thấy khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên hàm số đạt a3   = Do đ ó MaxV = , đạt sin ϕ = hay SABC  3  3 3 1 π (với < ϕ < ) Vậy