Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2013 - 2014 môn toán - Sở giáo dục đào tạo Đăk Lăk

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo miễn phí Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2013 - 2014 môn toán - Sở giáo dục đào tạo Đăk Lăk để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi

www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TỐN - CHUN (Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/6/2013 Câu 1: (3,0 điểm) 1) Giải phương trình:  x  x   x  10 x  21  25    2) Giải hệ phương trình:     4  10   y x 4  10   x y Câu 2: (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n lớn cho 2015 viết dạng: 2015  a1  a2    an , với số a1 , a2 , , an hợp số 2) Tìm số dư chia 2012 2013  20152014 cho 11 3) Cho a, b, c số dương thỏa mãn đẳng thức ab  bc  ca  a b c Chứng minh rằng:   1 b c a 1 1 1 a b c Câu 3: (1,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm cung AB, M  cắt BM điểm D Chứng điểm cung AC Tia phân giác COM minh điểm M di động cung AC điểm D thuộc đường tròn cố định Câu 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC Lấy điểm P tùy ý tam giác ABC Từ điểm P hạ PD, BD  CE  AF PE, PF vng góc tới cạnh BC, CA, AB Tính tỉ số PD  PE  PF www.VNMATH.com SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu 1: (3,0 điểm) 1)  x  x   x  10 x  21  25   x  1 x  3 x  3 x    25   x  x   x  x  21  25   x  x    12   x  x    12   25   x  x    144  25   x  x    169  x  2  26, x2  2  26  x  x   13  x  x  22     x3  2  x  x   13  x  x     2 1 5 2) ĐK: x  , y  Đặt  a,  b 0  a  ,0b  Hệ trở thành: 5 2 x y   2  4a  10  4b   10  4b   4a   2  4b  10  4a   10  4a   4b 10  4b2  25  16a  40a  5  0  a  ,  b   2 4 10  4a  25  16b  40b  2 2  a  4b  16a  16b  40a  40b   a  b   10  a  b     a  b  3a  3b  10    ab  3a  3b  10  a1    +) a  b , ta có: 10  a  25  16 a  40 a  a  8a     a   2 a1  (không TMĐK), a2  (TMĐK) 2 Với a  b   x  y  (TMĐK) 5 15 15 +) 3a  3b  10 (khơng xảy ra) Vì  a  ,  b   3a  3b     10 4 x  Vậy hệ có nghiệm  y  Câu 2: (4,0 điểm) 1) Ta có hợp số nhỏ mà 2015   503   n  503 www.VNMATH.com +) Nếu n = 503 2015  a1  a2    a503  có  i  1, 2,,503 số lẻ, giả sử a1  a1   a1  a2    a503   502   2017  2015 (không thỏa mãn) +) Nếu n = 502, ta có: 2015   500   Vậy n = 502 2014 2) Ta có: 2012 2013  20152014   20122013  1   2013    Mà 20122013   B  2012  1  B  2013  B 11  2013   2014   B  2013  22014   B(11)  22014  2014   16  210201   16  B 11  1 201   16  B 11  1   B 11  15  B 11  (Vì 210  1024  11  93   B 11  ) Vậy số dư chia 2012 2013  20152014 cho 11 a b2  a  b  3) Với a, b, x, y số dương ta chứng minh   x y x y 1   a y  b x   x  y   xy  a  b  2 1  a xy  a y  b x  b xy  a xy  b xy  2abxy   a y  b2 x  2abxy  a x   ay  bx   (bất đẳng thức đúng) Dấu “=” xảy ay  bx    b y a2 b2 c2  a  b  c  Áp dụng (1) ta chứng minh      với a, b, c, x, y, z số x y z x yz dương 2 a2 b2 c2  a  b  c2  a  b  c  a b c Dấu “=” xảy   Thật      x y z x y z x yz x y z a2 b2 c2 a  b  c  a  b  c       Áp dụng (2), ta có b c a a  b b  c c  a 2a  b  c 1 1 1 a b c Lại có Do  a b c   b c b c a b a      c a   a  b  c  ab  bc  ca  2  Dấu “=” xảy b c a 1 1 a b c b c  a  a b  bc  c a  a bc a bc    ab  bc  ca    Câu 3: (1,5 điểm) 1  www.VNMATH.com   COM   COD  (góc nội tiếp góc Ta có CBM ) tâm, OD phân giác COM   COD  (cmt), O Xét tứ giác BCDO, ta có: CBD B nằm nửa mặt phẳng bờ CD  O, B thuộc cung chứa góc dựng đoạn thẳng OB Do tứ giác BCDO nội tiếp   90 (vì CA   CB   OC  AB ) Lại có BOC Vậy tứ giác BCDO nội tiếp đường trịn đường kính BC, mà BC cố định nên D thuộc đường trịn cố định đường kính BC (cung OC hình vẽ) Câu 4: (1,5 điểm) A Đặt AB = BC = CA = a M Qua P kẻ SL // AB (S  AC, L  BC), IK // BC (I  AB, K  AC), MN // AC (M  AB, N  BC) Rõ ràng F tứ giác ABLS, BCKI, ACNM hình thang S cân tam giác PMI, PLN, PKS tam giác E P I có PF, PD, PE đường cao K  BL = AS, LD = ND, CK = BI, KE = SE, AM = NC, MF = IF B L D N C  BL + LD + CK + KE + AM + MF = AS + ND + BI + SE + NC + IF  BD + CE + AF = AE + BF + CD Mà (BD + CE + AF) + (AE + BF + CD) = BC + AC + AB = 3a  BD+CE+AF= a (*) a2 a Lại có SABC =SBPC +SAPC +SAPB  = a(PD+PE+PF)  PD+PE+PF= ** 2 BD+CE+AF 3a a = : = Từ (*) (**) có PD+PE+PF 2 ... = 502 2014 2) Ta có: 2012 2013  201 52014   201 22013  1   2013    Mà 201 22013   B  2012  1  B  2013? ??  B 11  2013   2014   B  2013? ??  22014   B(11)  22014  2014 ... trở thành: 5 2 x y   2  4a  10  4b   10  4b   4a   2  4b  10  4a   10  4a   4b ? ?10  4b2  25  16a  40a  5  0  a  ,  b   2 4 ? ?10  4a  25  16b  40b  2 2... 22014  2014   16  210? ??201   16  B 11  1 201   16  B 11  1   B 11  15  B 11  (Vì 210  102 4  11  93   B 11  ) Vậy số dư chia 2012 2013  201 52014 cho 11 a b2 