Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên năm học 2013-2014 CHUYÊN TIN CỦA THPT VĨNH PHÚC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề. ————————— Câu 1 (3,0 điểm). a) Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 0 , 3 0 x xy y x y y xy x y + − + = ∈ + −      − = ¡ b) Giải phương trình: ( ) 2 2 3 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x+ + + − + = + + + + − ∈¡ . Câu 2 (2,0 điểm). a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì ( ) 2013 2013 2013 2 1 2 n+ + + chia hết cho ( ) 1n n + . b) Tìm tất cả các số nguyên tố ,p q thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1p q− = . Câu 3 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực bất kì. Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 3 .a b c ab bc ca a b b c + + − − − ≥ − − Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, AB AC < và nội tiếp đường tròn ( ) O . D là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến với ( ) O tại D cắt BC tại E. Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC tại K, L. Đường thẳng qua A song song với EO cắt DE tại F. Đường thẳng qua D song song với EO lần lượt cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCLK nội tiếp. b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF. c) D là trung điểm của đoạn thẳng MN. Câu 5 (1,0 điểm). Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1,2,3, ,20. … Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a b+ là một số nguyên tố. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:……………………………………………; SBD:………………………………. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— (Hướng dẫn chấm có 03 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin ————————— A. LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 0 , 3 0 x xy y x y y xy x y + − + = ∈ + −      − = ¡ 1,5 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 3 0 2 x xy y y xy x y  + − + =   + − − =   Cộng từng vế các phương trình (1) và (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 0 3 2 0x y xy x y x y x y + + − + + = ⇔ + − + + = 0,50 1 2 x y x y + =  ⇔  + =  +) Nếu 1 1x y y x + = ⇔ = − thay vào (1) ta được ( ) ( ) 2 1 2 1 2 0x x x x + − − − + = 3 0 0 1x x y ⇔ = ⇔ = ⇒ = . 0,50 +) Nếu 2 2x y y x + = ⇔ = − thay vào (1) ta được ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0x x x x + − − − + = 1 3 4 2 . 2 2 x x y ⇔ = ⇔ = ⇒ = 0,25 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( ) ( ) 1 3 ; 0;1 , ; 2 2 x y   =  ÷   . 0,25 b Giải phương trình ( ) 2 2 3 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x+ + + − + = + + + + − ∈¡ 1,5 Điều kiện xác định 1x ≥ . Khi đó ta có 2 2 3 2 1 6 3 1 2 2 2 1x x x x x x+ + + − + = + + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 6 3 1 2 2 2 1x x x x x x x⇔ + + + − + + = + + + + − 0,50 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 3 1 2 1 2 2 6x x x x x x x⇔ + + + − + − + = − + + − ( ) ( ) 1 2 1 3 2 1 2 3x x x x x⇔ + + + − − = − + + − ( ) ( ) 1 2 x 2 1 3 0x x⇔ + − + + − − = 0,50 *) ( ) ( ) 2 2 1 3 0 2 1 2 2 1 9 2 4x x x x x x x x x+ + − − = ⇔ + + − + + − = ⇔ + − = − 2 2 4 2 2 8 16 x x x x x x ≤  ⇔ ⇔ =  + − = − +  0,25 *) 1 2 3.x x+ = ⇔ = Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là { } 2,3S = . 0,25 2 a Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì ( ) 2013 2013 2013 2 1 2 n+ + + chia hết cho ( ) 1n n + . 1,0 Nhận xét. Nếu ,a b là hai số nguyên dương thì ( ) 2013 2013 a b a b+ +M 0,25 Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2 1 2 1 2 1 1 1n n n n n+ + + = + + + − + + + +M (1) 0,25 Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2. 2 n n n n n n + + + = + − + + − + + − + + M 0,25 Do ( ) , 1 1n n + = và kết hợp với (1), (2) ta được ( ) 2013 2013 2013 2 1 2 n+ + + chia hết cho ( ) 1n n + . 0,25 b Tìm tất cả các số nguyên tố ,p q thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1p q− = 1,0 Nếu ,p q đều không chia hết cho 3 thì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 mod3 , 1 mod3 2 1 mod3p q p q≡ ≡ ⇒ − ≡ − vô lý. Do đó trong hai số ,p q phải có một số bằng 3. 0,50 +) Nếu 2 2 3 9 2 1 4 2p q q q= ⇒ − = ⇔ = ⇔ = . Do đó ( ) ( ) , 3,2p q = . 0,25 +) Nếu 2 2 3 18 1 19q p p= ⇒ − = ⇔ = vô lí. Vậy ( ) ( ) , 3,2p q = . 0,25 3 Cho , ,a b c là các số thực bất kì. Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 3 .a b c ab bc ca a b b c + + − − − ≥ − − 1,0 Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 a b c ab bc ca a b b c a b c ab bc ca ab ac b bc + + − − − ≥ − − ⇔ + + − − − ≥ − − + 0,25 2 2 2 4 4 4 2 0a b c ab bc ac ⇔ + + − − + ≥ 0,25 ( ) 2 2 0a c b ⇔ + − ≥ (bất đẳng thức này luôn đúng). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2a c b + = . 0,50 4 a Tứ giác BCLK nội tiếp. 1,0 Ta có · 1 2 ALD = (sđ » AD - sđ » DC ) = 1 2 sđ » AC (1) 0,25 N M F L E K D O B A C Lại có: · 1 2 ABC = sđ » AC (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra · · ALD ABC= 0,25 Suy ra · · 0 180CLK CBK+ = , suy ra tứ giác BKLC nội tiếp. 0,25 b Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF. 1,0 Do DE là tiếp tuyến của (O) nên 2 .ED EC EB = . 0,25 Mặt khác trong tam giác ADF có O là trung điểm của AD, OE song song với AF nên E là trung điểm của DF suy ra ED EF = . 0,25 Do đó 2 2 . .ED EC EB EF EC EB = ⇔ = . Đẳng thức này chứng tỏ EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF. 0,50 c D là trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,0 Do tứ giác BCLK nội tiếp nên 2 . . .EB EC EL EK ED EL EK = ⇒ = (1). 0,25 Do MN || AF nên theo định lí Talet ta có , DM KD DN LD AF KF AF LF = = (2). 0,25 Do đó để chứng minh DM DN = ta sẽ chứng minh KD LD KF LF = . Thật vậy: . . KD LD KD LF LD KF KF LF = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) EK ED ED EL ED EL EK ED⇔ − + = − + 0,25 2 2 . . . . . .EK ED EK EL ED ED EL ED EK ED EL EK EL ED ⇔ + − − = + − − 2 .ED EL EK ⇔ = (luôn đúng do (1)). Do đó KD LD DM DN DM DN KF LF AF AF = ⇔ = ⇔ = hay D là trung điểm của MN. 0,25 5 Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1,2,3, ,20. … Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a b+ là một số nguyên tố. 1,0 Xét tập hợp { } 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 , ta thấy tổng của hai phần tử bất kì của tập hợp này đều không phải là số nguyên tố. Do đó 11k ≥ , ta sẽ chứng minh 11k = là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0.25 Thật vậy, ta chia tập hợp { } 1,2,3, ,20A = thành 10 cặp số sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,2 , 3,16 , 4,19 , 5,6 , 7,10 , 8,9 , 11,20 , 12,17 , 13,18 , 14,15 . Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố. 0.50 Khi đó mỗi tập con của A có 11 phần tử thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc cùng vào một trong 10 cặp số trên. Suy ra trong A luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là một số nguyên tố. 0.25 Hết . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin Thời gian làm bài 150. coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ……………………………………………; SBD:………………………………. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— (Hướng dẫn chấm có 03 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC. HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin ————————— A. LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học