a Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE đường thẳng, OB là phân giác trong của góc MOF Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng... Chứng minh bốn điểm A, B, H,
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
a)Giải phương trình: x2 3x 2 0
b)Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:
1 3.
5
x y z
y z x
z x y
Câu 2 (2,0 điểm)
a)Phép toán T được định nghĩa như sau: aTb 1 1,
a b với a và b là các số thực khác 0
tùy ý Thí dụ: 2 3 1 1 1
T Tính giá trị biểu thức: P5 6T T 7 8 T
b)Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
2
6a 20a15 0; 2
15b 20b 6 0; ab1
Chứng minh rằng:
3
3 2
6 2015
b
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính
phương
b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516 9989991000
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2 Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB Trên cạnh AD lấy điểm
E sao cho AM AE trên cạnh BC lấy điểm F sao cho , BM BF
a) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE đường thẳng,
OB là phân giác trong của góc MOF Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng..
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Chứng minh bốn điểm
A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua
một điểm cố định
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 2 2 3 3 4 4
- Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo
danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2015-2016
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang)
I M t s chú ý khi ch m b iột số chú ý khi chấm bài ố chú ý khi chấm bài ấm bài ài
Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm
Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số
II Hướng dẫn chấm v bi u i mài ểu điểm điểm ểu điểm
Câu 1 (2,0 điểm)
c)Giải phương trình: x2 3x 2 0
d)Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:
1 3.
5
x y z
y z x
z x y
a) (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình x2 3x 2 0 0,25đ
1
2
x
b) (1,00 điểm)
Cộng vế với vế các phương trình đã cho ta được x y z 9 0,25đ Phương trình đầu có dạng 2x x y z 1 x4 0,25đ Phương trình thứ hai có dạng 2y x y z 3 y3 0,25đ Phương trình thứ ba có dạng 2z x y z 5 z 2
Câu 2 (2,0 điểm)
c) Phép toán T được định nghĩa như sau: aTb 1 1,
a b với a và b là các số thực khác 0
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 4tùy ý Thí dụ: 2 3 1 1 1
T Tính giá trị biểu thức: P5 6T T 7 8 T
d) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
2
6a 20a15 0; 2
15b 20b 6 0; ab1
Chứng minh rằng:
3
3 2
6 2015
b
a) (1,00 điểm)
Theo định nghĩa phép toán T, ta có:
5 6
5 6 30
7 8
7 8 56
Suy ra 5 6 7 8 1 1
30 56 26
b) (1,00 điểm)
Ta ký hiệu các điều kiện như sau
2
6a 20a15 0 (1); 15b2 20b 6 0 (2); ab1 (3)
Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt
Do (3) nên b khác 0 Chia hai vế của (2) cho b2 ta được
2
6 20 15 0 (4)
b b
0,25đ
Từ (1), (3) và (4) suy ra a và 1
b là hai nghiệm khác nhau của phương trình
2
6x 20x15 0 (5) Theo định lí Vi-ét: 1 10 5
a
0,25đ
Từ đó
2 3
a
0,25đ
Suy ra
3
3 2
6 , 2015
b
Câu 3 (2,0 điểm)
c)Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính
phương
d)Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516 9989991000
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2
Trang 5Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
a) (1,00 điểm)
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho n2015a n2; 2199b2
Suy ra b a b a 184
0,25đ
Hay b a b a 2 233
Vì b a và b a là các số có cùng tính chẵn lẻ và b a b a nên chỉ xảy ra hai
trường hợp
và
0,25đ
Trường hợp thứ nhất
47
a
0,25đ Trường hợp thứ hai
25
a
Vậy n10
0,25đ
b) (1,00 điểm)
Trong dãy số nói trên, 9 số đầu tiên: 1,2,3, ,9 là các số có 01 chữ số
90 số tiếp theo: 10,11,12, ,99 là các số có 02 chữ số
0,25đ
900 số tiếp theo: 100,101,102, ,999 là các số có 03 chữ số
Như vậy, bằng cách viết nói trên ta thu được một số có:
9 2 90 3 900 4 2893 chữ số
0,25đ
Vì 9 2 90 2016 2893 nên chữ số thứ 2016 của dãy số là một chữ số của số có
Ta có 2016 9 2 90 3 609, số có 03 chữ số đầu tiên là 100, số có 03 chữ số
thứ 609 là 609 100 1 708 do đó chữ số thứ 2016 trong dãy đã cho là chữ số 8 0,25đ
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB Trên cạnh AD lấy điểm E
sao cho AM AE trên cạnh BC lấy điểm F sao cho , BM BF
d) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE đường thẳng OB,
là phân giác trong của góc MOF Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng..
e) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Chứng minh bốn điểm A,
B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
f) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua
một điểm cố định
Trang 6M
F B
C
A
D
O E
I
a) (1,00đ)
Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc, hai đường chéo tạo với các
cạnh của hình vuông góc 45o
Tam giác AME vuông cân đỉnh A suy ra AM AE EAO MAO; 45 O
0,25đ
Suy ra AMOAEO c g c MOA EOA
Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc MOF 0,25đ Mặt khác, MOA MOB AOB 90o MOE MOF 2AOB180o hay E, O,
b) (1,00đ)
Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên MHA MEA 45 o 0,25đ
Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên MHB MFB 45 o 0,25đ
Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H,O cùng
c) (1,00đ)
Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H).
Ta có AHI BHI 45o nên I là điểm chính giữa cung AB (không chứa O) của
đường tròn đường kính AB
0,50đ
Do A, B, O là các điểm cố định nên I là điểm cố định (I đối xứng với O qua đường
thẳng AB).
Vậy, khi M di động trên cạnh AB, đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I (I đối
xứng với O qua đường thẳng AB).
0,50đ
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 2 2 3 3 4 4
Trang 7Xét đồ thị của hàm số y f x .
Trên mỗi miền x1; 1 x 2; 2 x 3; 3 x 4; x4(gồm 05 miền),
y f x là các hàm số bậc nhất
0,25đ
Đồ thị hàm số yf x là đường gấp khúc gồm 02 tia và 03 đoạn thẳng liên tiếp
nhau Mặt khác f x 0, x nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của f x trên và
giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng
0,50đ
Nói cách khác:
min f x min f 1 , f 2 , f 3 , f 4 f 3 8
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x bằng 8, đạt được khi x3
0,25đ
Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phương pháp chia khoảng.
HẾT
