Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2016 – 2017 môn Toán

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2016 – 2017 môn Toán gồm 5 bài tập tự luận có kèm theo đáp án và hướng dẫn giải chi tiết giúp học sinh ôn tập và củng cố lại kiến thức của mình. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x + x3 − mx + x + = ( m tham số) a) Giải phương trình m = −2 b) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm dương Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình x − x x − + x − = 2 b) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x = y ( x + y + y ) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Chứng minh ( a + b + c ) − ( a + b3 + c3 ) ≥ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) với AB < AC Gọi M trung điểm BC , AM cắt ( O ) điểm D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB F khác B a) Chứng minh hai tam giác BDF , CDE đồng dạng ba điểm E , M , F thẳng hàng b) Chứng minh OA ⊥ EF · · · c) Phân giác góc BAC cắt EF điểm N Phân giác góc CEN BFN cắt CN , BN P Q Chứng minh PQ song song với BC Câu (1,0 điểm) Tập hợp A = { 1;2;3; ;3n − 1;3n} ( n số nguyên dương) gọi tập hợp cân đối chia A thành n tập hợp A1 , A2 , , An thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai ( i = 1,2, , n ) gồm ba số phân biệt có số tổng hai số lại ii) Các tập hợp A1 , A2 , , An đơi khơng có phần tử chung a) Chứng minh tập A = { 1;2;3; ;92;93} không tập hợp cân đối b) Chứng minh tập A = { 1;2;3; ;830;831} tập hợp cân đối —— Hết—— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh: …………………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016-2017 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm, học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a Với m = −2 , phương trình cho trở thành: x + x3 + x + x + = Ta thấy x ≠ , chia hai vế phương trình cho x ta được: 3  x + +  x + ÷+ = x x  Đặt t = x + , ta phương trình: t + 3t − = ⇔ t = 1; t = −4 x Với t = x + = ⇔ x − x + = (vô nghiệm) x Với t = −4 x + = −4 ⇔ x + x + = ⇔ x = −1; x = −3 x Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1; x = −3 b Trong trường hợp tổng qt ta có phương trình: t + 3t − − m = (1) Ta có t = x + ⇔ x − tx + = (2) x Từ suy điều kiện để (2) có nghiệm dương t ≥ Điểm 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy PT cho có nghiệm dương (1) có nghiệm t ≥ 33 −3 ± 4m + 33 Xét PT (1) có ∆ = 4m + 33 ≥ ⇔ m ≥ − Khi t1,2 = −3 + 4m + 33 ≥ ⇔ m ≥ 1+ Vậy giá trị cần tìm m m ≥ + ( Do (1) có nghiệm t ≥ khi: ( ) ) 0,25 0,25 0,25 3,0 a ĐKXĐ : x ≥ 0,25  4x − = x Phương trình cho tương đương: x − x − 3 x − x − = ⇔   x − = 3x x ≥ 4x − = x ⇔  ⇔ x = 1; x = 4 x − = x x ≥ x ≥ x − = 3x ⇔  ⇔ (vô nghiệm)  2 4 x − = x 9 x − x + = ( )( ) 0,5 0,5 0,5 Kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm x = 1; x = b 0,25 2 2 Ta có x = y ( x + y + y ) ⇔ x − y x − y ( y + ) = (1) 0,25 Coi (1) PT bậc hai ẩn x, ta có ∆ = y ( y + ) ⇒ ∆ = y y + (1) có nghiệm nguyên nên y + số phương, đặt y + = k (k ∈ ¥ ) Khi ( k − y ) ( k + y ) = 0,25 Xét trường hợp ý k ∈ ¥ ta ( k , y ) ∈ { ( 5; ) ; ( 5; −2 ) ; ( 3;0 ) } 0,25 Với y = ±2 ta được: x − x − 96 = ⇔ x = 12; x = −8 Với y = ta được: x = Vậy nghiệm cần tìm ( x, y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( 12; ) ; ( 12; −2 ) ; ( −8; ) ; ( −8; −2 ) } 0,25 1,0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: ( a + b + c ) ( a + b + c ) − ( a + b3 + c ) ≥ 27 ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c ) − ( a3 + b3 + c ) ≥ ( a + b + c ) ⇔ ( a + b3 + c ) + ( a 2b + b c + c a + ab + bc + ca ) ≥ ( a + b + c ) Ta có đẳng thức ( a + b + c) 0,25 (1) = ( a + b3 + c ) + ( a 2b + b c + c a + ab + bc + ca ) + 6abc Do (1) tương đương với a 2b + b 2c + c a + a 2c + b a + c 2b ≥ 6abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a 2b + b 2c + c a + a 2c + b a + c 2b = a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) ( ) ≥ 2a bc + 2b ca + 2c ab = a bc + b ca + c ab ≥ 6abc 0,25 0,25 0,25 Vậy BĐT (1) chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = (Chú ý: Học sinh sử dụng BĐT AM-GM với số BĐT Schur’s để chứng minh) 3,0 a b · · · Do tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên DEC = DMC = DFB (1) · · · Tứ giác ABDC nội tiếp nên DCE (2) = DCA = DBF Từ (1) (2) suy ∆BDF : ∆CDE ( g − g ) · · · · · · Từ ∆BDF : ∆CDE ⇒ EDC BMF = BDF Mà EMC = EDC = BDF 0,25 Suy Từ hai BECF 0,25 · · Vậy E , M , F thẳng hàng EMC = BMF tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên AB AF = AM AD = AE AC , suy tứ giác nội tiếp Do ·AFE = ·ACB · · Vẽ tiếp tuyến Ax ( O ) ·ACB = BAx Do BAx = ·AFE , suy Ax || EF 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Vậy OA ⊥ EF c S BDF BF = Ta có ∆BDF : ∆CDE nên SCDE CE 0,25 MB S DAB S DAB S BDF SCDE AB BF CE AB.BF = = = = MC S DAC S BDF SCDE S DAC BF CE AC CE AC BF AC AF NF EN FN = = = ⇒ = Từ (3) CE AB AE NE EC FB QN FN PN EN = = Theo tính chất phân giác ta có (4) QB FB PC EC PN QN = Từ (3) (4) suy Do PQ song song với BC PC QB Ta có = 0,25 0,25 0,25 a ( ) 1,0 Giả sử A = { 1;2;3; ;93} tập hợp cân đối , tập Ai i = 1,31 có dạng { xi ; yi ; xi + yi } , tổng ba phần tử Ai số chẵn Do tổng phần tử 0,25 tập A số chẵn Mặt khác tổng phần tử A bằng: + + + + 93 = 93.94 = 93.47 (là số lẻ) Mâu 0,25 thuẫn A tập không cân đối b Nhận xét: Nếu tập S n = { 1;2;3; ; n} , với n chia hết cho tập hợp cân đối tập S n = { 1;2;3; ;4n} S n +3 = { 1;2;3; ;4n + 3} tập hợp cân đối Chứng minh Từ tập S 4n ta chọn tập ba phần tử sau: { 1;2n + n;2n + n + 1} ;{ 3;2n + n − 1;2n + n + 2} ;{ 5;2n + n − 2;2n + n + 3} ; ;{ 2n − 1;2n + 1;4n} Rõ ràng tập thỏa mãn có phần tử tổng hai phần tử lại Còn lại số sau tập S 4n 2,4,6, ,2n Tuy nhiên tập Sn cân đối nên tập { 2;4;6; ;2n} 0,25 cân đối Vậy S 4n tập cân đối Tương tự từ tập S n +3 ta chọn tập ba phần tử sau: { 1;2n + n + 2;2n + n + 3} ; { 3;2n + n + 1;2n + n + 4} ;…; { 2n + 1;2n + 2;4n + 3} Và lại số 2,4,6, ,2n , suy S n +3 tập cân đối Trở lại tốn Ta có 831 = 4.207 + 207 = 4.51 + 51 = 4.12 + 12 = 4.3 Chú ý tập { 1;2;3} cân đối nên theo nhận xét ta xây dựng tập hợp cân đối theo quy trình sau: { 1;2;3} → { 1;2; ;12} → { 1;2; ;51} → { 1;2; ;207} → { 1;2; ;831} Do tập A = { 1;2;3; ;831} tập hợp cân đối (đpcm) Hết 0,25 ĐỀ THI VÀO CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— Câu (3,0 điểm) Câu (1,0 điểm) Hỏi có hay khơng 16 số tự nhiên, số có ba chữ số tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số chúng số dư chia cho 16? HẾT -Cán coi thi không giải thích thêm! ... ĐỀ THI VÀO CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên. ..Họ tên thí sinh: …………………………………… ; Số báo danh: …………………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016- 2017 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN... trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm, học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương