Đại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm và các phép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề cao cấp như lý thuyết nhóm, vành, trường, lý thuyết bất biến ... Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng hóa và trừu tượng hóa của bộ môn số học. Đại số giảng dạy trong trường phổ thông chủ yếu liên quan đến các phép tính trên số thực, các hàm số, phương trình và đồ thị sơ cấp. Các nhà toán học gọi môn này...
Đại số Đại số ngành toán học nghiên cứu cách trừu tượng hệ thống số đếm phép tính chúng, bao gồm số chủ đề cao cấp lý thuyết nhóm, vành, trường, lý thuyết bất biến Đại số xem ngành tốn học mở rộng hóa trừu tượng hóa mơn số học Đại số giảng dạy trường phổ thông chủ yếu liên quan đến phép tính số thực, hàm số, phương trình đồ thị sơ cấp Các nhà toán học gọi môn đại số sơ cấp Xem thêm mục phân loại bên Lịch sử Nguồn gốc đại số tìm thấy văn minh người Ai Cập Babylon cổ đại, người sử dụng đại số để giải phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai phương trình vơ định 3.000 năm trước Khoảng năm 300 TCN nhà toán học Hy Lạp Euclid (đọc Ơclit) tập sách Những nguyên lý (Στοιχεία) gồm 13 tập nhắc tới phương trình bậc hai Khoản năm 100 TCN phương trình đại số giải sách toán học người Trung Quốc Jiuzhang suanshu, (Cửu chương toán học) Khoảng năm 150 nhà toán học Hy Lạp Hero Alexandria giải phương trình đại số tuyển tập tốn học Khoảng năm 200 nhà toán học Hy Lạp Diophantus, thường nhắc tới "cha đẻ đại số", viết sách tiếng Arithmetica, cơng trình đưa lời giải phương trình đại số lý thuyết số Từ algebra số ngơn ngữ nước ngồi để đại số có nguồn gốc từ tên luận văn viết nhà toán học Ba Tư Al-Khwarizmi năm 820 với tiêu đề: Kitab almukhtasar fi Hisab Al-Jabr wa-al-Moghabalah có nghĩa Cuốn sách tóm tắt liên quan đến tính toán đổi chỗ rút gọn Từ al-jabr (từ mà có từ algebra) có nghĩa "hợp nhất", "liên kết" hay "hoàn thiện" hân loại Đại số sơ cấp Mơn học nghiên cứu thuộc tính phép tính số thực, sử dụng ký hiệu chỗ để biểu diễn số biến số, vận dụng quy tắc biến đổi biểu thức tốn học phương trình chứa ký hiệu Đại số đại cương Trong môn học cấu trúc đại số nhóm, vành, trường định nghĩa tiên đề nghiên cứu Đại số tuyến tính Mơn học nghiên cứu thuộc tính đặc trung khơng gian vectơ Các chủ đề Dưới số chủ đề đại số: • Các bất biến đại số • Các đa thức • Các đại số mang tên người • Các đẳng thức đại số • Các đường cong đại số • Các đường cong elíp • Các nhân thức • Các nhóm sóng • Các phép biến đổi đại số • Các phương trình đại số • Các tính chất đại số • Các tổng đại số • Cyclotomy • Dạng bình phương • Đại số đồng điều • Đại số khơng giao hốn • Đại số phổ dụng • Đại số tuyến tính • Đại số tổng qt • Đại số véctơ • Đại số vơ hướng • Hình học đại số • Lý thuyết giá trị • Lý thuyết mã hố • Lý thuyết nhóm • Lý thuyết nửa nhóm • Lý thuyết số • Lý thuyết trường đại số • Lý thuyết vành Các loại phương trình đại số Có nhiều loại phương trình đại số Một số liệt kê đây: • Phương trình tuyến tính • Phương trình bậc hai • Phương trình bậc ba • Phương trình mũ Tam thức Linh tinh Từ đại số sử dụng cho cấu trúc đại số khác: • Đại số trường (K-algebra) • Đại số tập hợp • Đại số Bool • Đại số sigma (σ-algebra) Hình học Hình học ngành tốn học nghiên cứu liên hệ khơng gian Dùng kinh nghiệm, hay có lẽ trực giác, người ta nhận không gian theo đặc điểm bản, thuộc hình học gọi hệ tiên đề Hệ tiên đề bao gồm khái niệm nguyên thủy không định nghĩa tiên đề (còn gọi định đề) không chứng minh quy định mối quan hệ khái niệm Hình học Euclid Hệ tiên đề hình học tập hợp hệ thống công bố tác phẩm Cơ sở Euclid Hệ tiên đề lấy mơ hình từ khơng gian vật lý theo nhận thức thời Các khái niệm nguyên thuỷ hệ tiên đề điểm,đường thẳng mặt phẳng Từ ba khái niệm số tiên đề, Euclid xây dựng thành nội dung tồn mơn hình học phổ thơng nay, mà sau nhà tốn học gọi hình học Euclid Tuy nhiên, tiên đề/định đề số khái niệm Euclid xây dựng chưa đủ chặt chẽ chưa có hồn thiện lý thuyết tập hợp Sau David Hilbert hoàn chỉnh lại thành hệ tiên đề chặt chẽ hồn chỉnh Mơn hình học dạy chương trình phổ thơng thường chia hình học phẳng hình học khơng gian Hình học môn học xuất sớm Hàng ngàn năm trước Công nguyên, người phải đo đạc ruộng, đong thóc gạo thu hoạch, xây dựng kim tự tháp khổng lồ Mơn hình học lúc đầu đời có ý nghĩa là khoa học đo đạc Nhưng rồi, người cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp Tuy nhiên, hình học trở thành môn khoa học thực người nêu lên tính chất hình học đường suy diễn chặt chẽ, từ đo đạc trực tiếp Định đề thứ Euclid Hình học phi Euclid Định đề thứ năm Euclid gây nhiều ý nhà toán học nội dung dài Theo ngơn ngữ định đề có nội dung là: "Qua điểm ngồi đường thẳng ln có có đường thẳng song song với đường thẳng cho" Nhiều nhà toán học nghi ngờ định lý, nghĩa suy từ tiên đề khác loay hoay tìm cách chứng minh Nhưng khơng thành công Đến kỷ thứ 19, đồng thời độc lập với nhau, ba nhà toán học Nga (Nikolai Ivanovich Lobachevsky), Đức (Carl Friedrich Gauss), Hungary (János Bolyai) đặt tư mẻ: "Chứng minh khơng thể chứng minh được" Điều có nghĩa ta xây dựng thứ hình học khác, tiên đề thứ năm không Cả ba người đạt kết Từ đời hình học phi Euclid Hình học fractal Fractal thuật ngữ nhà Tốn học Mandelbrot đưa ơng khảo sát hình tượng thiên nhiên khơng có đặc trưng độ dài Mandelbrot nhà toán học vĩ đại kỷ 20 Ơng rằng: “Các đám mây khơng phải hình cầu, núi khơng phải hình nón” Theo ơng Fractal đối tượng hình học có hình dáng ghồ ghề, khơng trơn nhẵn thiên nhiên Cụ thể vật thể có tính đối xứng xếp phạm vi định, có nghĩa ta chia vật thể fractal, với hình dáng ghồ ghề, gãy góc thành phần nhỏ có đặc tính đối xứng cấu trúc tưởng hỗn đoạn Hình dáng đám mây, đường tia chớp ví dụ mà ta dễ nhìn thấy Rất nhiều người, có dịp làm quen với hình học fractal nhanh chóng thích thú có đến say mê, nhiều lý do: Một là, hình học fractal đời phát triển với nhiều ý tưởng lạ, độc đáo, gợi cho ta cách nhìn thiên nhiên khác với cách nhìn quen thuộc hình học Euclid đưa lại từ nghìn năm Hai là, hình học fractal thường xây dựng với quy tắc đơn giản, đưa đến hình ảnh lạ mắt, đẹp Ba là, hình học fractal có nhiều ứng dụng phong phú, đa dạng, có bất ngờ vào nhiều lĩnh vực khác nhau, từ ngành xây dựng, khai thác dầu khí, chế tạo dụng cụ xác… đến sinh lý học, ngơn ngữ học, âm nhạc Bốn là, hình học fractal ngành tốn học cao cấp, đại số ý tưởng nó, số kết đơn giản trình bày thích hợp cho đơng đảo người đọc Hình học Euclid giới thiệu trường trung học với việc khảo sát hình đa giác, hình trịn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid có tác dụng to lớn văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo hành tinh hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc nguyên tử Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn vật dạng “đều đặn”, ”trơn nhẵn” Với hình dạng hình học Euclid ta khơng thể hình dung mô tả nhiều vật thể quen thuộc xung quanh núi, bờ biển, đám mây, nhiều phận thể mạch máu… vật cụ thể không đặn không trơn nhẵn mà xù xì, gồ ghề Một ví dụ đơn giản: bờ biển đảo Phú Quốc dài bao nhiêu? Ta khơng thể có câu trả lời Nếu dùng cách đo hình học quen thuộc dù thước đo có nhỏ ta bỏ qua lồi lõm hai đầu thước đo ấy, chỗ bờ đá nhấp nhô Và với thước đo nhỏ ta có chiều dài lớn là… vơ lớn ... tính chất đại số • Các tổng đại số • Cyclotomy • Dạng bình phương • Đại số đồng điều • Đại số khơng giao hốn • Đại số phổ dụng • Đại số tuyến tính • Đại số tổng quát • Đại số véctơ • Đại số vơ hướng... thức • Các đại số mang tên người • Các đẳng thức đại số • Các đường cong đại số • Các đường cong elíp • Các nhân thức • Các nhóm sóng • Các phép biến đổi đại số • Các phương trình đại số • Các... trúc đại số nhóm, vành, trường định nghĩa tiên đề nghiên cứu Đại số tuyến tính Mơn học nghiên cứu thuộc tính đặc trung khơng gian vectơ Các chủ đề Dưới số chủ đề đại số: • Các bất biến đại số •