TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG HAY NHẤT ( Tài liệu để ôn thi đại học ) Bài Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A 1;0 , B 2; , C 1; , D 3;5 đường thẳng d : 3x y Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Giải - M thuộc d thi M(a;3a-5 ) uuu r x 1 y � 4x 3y 3 uuur x 1 y � CD 4;1 � CD 17; CD : � x y 17 4a 3a 13a 19 a 3a 17 11a , h2 - Tính : h1 M , AB 5 17 17 - Mặt khác : AB 3; � AB 5, AB : - Nếu diện tich tam giác : � 11 13a 19 11a 13a 19 17 11a a � 1 � AB.h1 CD.h2 � �� � � 12 � 13a 19 11a 2 17 � a 8 � �11 27 � - Vậy d có điểm : M � ; �, M 8;19 12 12 � � Bài Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) trung điểm I AC nằm đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C Giải - Nếu C nằm d : y=x A(a;a) suy C(2a-1;2a) - Ta có : d B, d 02 2 - Theo giả thiết : S AC.d B, d � AC 2 2a 2a � 1 a � � 8a 8a � a a � � � 1 a � � � 1 1 � � 1 1 � ; , C - Vậy ta có điểm C : C1 � � � � � � ; � � � � � � Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B( 2; 5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y 0 TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Giải AB � uuu r � - Tọa độ C có dạng : C(4;a) , AB 3; � � x 1 y 1 � 4x y AB : 3 � x x x � � 1 xG A B C x 1 � � � �G 3 �� - Theo tính chát trọng tâm ; � �y y A yB yC �y a a G G 3 � � Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG �a � � � a �3 � 4.4 3.2 1 15 � S ABC AB.d C , AB 5.3 - Vậy M(4;2) d C , AB (đvdt) 2 16 - Do G nằm : 2x-3y+6=0 , cho nờn : 2.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1) , B (1; 2) , träng t©m G cđa tam giác nằm đờng thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam gi¸c ABC b»ng 13,5 Giải - Ta có : M trung điểm AB Bài �3 � 1� A(2;1) M � ; � Gọi C(a;b) , theo tính chất 2 � a3 � xG � � trọng tam tam giác : � �y b �G M() G d:x+y-2=0 C B(1;-2) - Do G nằm d : a 3 b3 � a b 1 3 uuu r 3a b x y 1 � x y � h C , AB - Ta có : AB 1;3 � AB : 10 2a b 2a b 1 13,5 - Từ giả thiết : S ABC AB.h C , AB 10 2 10 2a b 27 2a b 32 � � � 2a b 27 � � �� 2a b 27 2a b 22 � � - Kết hợp với (1) ta có hệ : � 20 � b � � � ab � a b � � � � � � � � � 2a b 32 3a 38 38 � � � �38 20 � � a �� �� �� � C1 � ; � , C2 6;12 � � � 3 ab a b � � � � � � � � � b 12 � � a b 22 a 18 � � � � � �a 6 � � Bài Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ABC Giải - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) vng B góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ phương x+y+1=0 r �x t n 1; 3 � AC : � t �R �y 3t - Tọa độ C giao (AC) với đường trung �x t � tuyến kẻ qua C : � �y 3t �x y � Trang M C A(2;1) Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) x-3y-7=0 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Giải ta : t=2 C(4;-5) Vì B nằm đường cao kẻ qua B suy B(3a+7;a) M �3a a � ; � � � trung điểm AB � M � - Mặt khác M nằm đường trung tuyến kẻ qua C : 3a a � a 3 � B 1; 2 2 uuu r 12 x y 1 � 3x y 0, h C; AB - Ta có : AB 1; 3 � AB 10, AB : 10 1 12 (đvdt) - Vậy : S ABC AB.h C , AB 10 2 10 � Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải �a b � ; � M nằm � �2 - Gọi B(a;b) suy M � trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1) - B,B đối xứng qua đường trung trực cho �x a t t �R nên : BC : � �y b t A(5;2) 2x-y+3=0 M Từ suy tọa độ N : N � 6a b B t � �x a t � � � 3a b y b t � � �x �x y � � � 6ba �y � �3a b 6 b a � � N� ; Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a ) � � � C x+y-6=0 - Do C nằm đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2) 2a b 14 a 37 � � �� � B 37;88 , C 20; 31 5a 2b b 88 � � - Từ (1) (2) : � � Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x y , ' :3 x y 10 điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ’ Giải Bài �x 2 3t � I 2 3t ; 2 t �y 2 t - Gọi tâm đường tròn I , I thuộc : � - A thuộc đường tròn � IA 3t t R (1) 2 3t t 10 - Đường tròn tiếp xúc với ' � - Từ (1) (2) : 3t 3t 2 R� 13t 12 R (2) 13t 12 2 � 25 � 13t 12 �3t t � � Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x y – x – y 0, (C ') : x y x – qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Giải * Cách r �x at �y bt - Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u a; b � d : � - Đường tròn C1 : I1 1;1 , R1 C2 : I 2;0 , R2 , suy : C1 : x 1 y 1 1, C2 : x y 2 t 0�M � � 2ab 2b � � C � a b t bt � � A ; - Nếu d cắt A : 2b � 2 2 � � t � a b a b � � a b t 0�M � � 6a 6ab � 2 � C � a b t at � � B 1 ; - Nếu d cắt B : a � � � a b2 � t � a b � a b 2 - Theo giả thiết : MA=2MB � MA 4MB * 2 2 2 2 � 6a � � 6ab �� � 2ab � � 2b � � � - Ta có : � 2 � � 2 � �2 � � �� a b � �a b �� �a b � �a b � � � � � 2 b 6a � d : x y � 4b 36a � � b 36a � � 2 b 6a � d : x y a b a b � * Cách 2 - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= ( Học sinh tự làm ) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3;1) Giải - Theo tính chất đường cao : HK vng góc với AC (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến uuur KH 1; 2 � AC : x y � x y A K(0;2 - B nằm u (BH) qua H(1;0) có véc tơ uur ) M(3;1) H(1;0) phương KH 1; 2 � B t ; 2t - M(3;1) trung điểm AB A(5-t;2+2t) - Mặt khác A thuộc (AC) : 5-t-2(2+2t)+4=0 , B C suy t=1 Do A(4;4),B(2;-2) - uVì C thuộc (AC) suy C(2t;2+t) , uur uuur BC 2t 2; t , HA 3; Theo tính chất đường cao kẻ từ A : uuur uuur � HA.BC � 2t t � t 1 Vậy : C(-2;1) uuu r r x4 y4 - (AB) qua A(4;4) có véc tơ phương BA 2;6 // u 1;3 � AB : � 3x y uuu r - (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA 3; � BC : x y Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG � 3x y Bài 10 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình C1 : x y y C2 : x y x y 16 Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 C2 Giải - Ta có : C1 : x y C2 : x y � I 3; 4 , R2 - Nhận xét : I1 I 13 � C1 không cắt C2 - Gọi d : ax+by+c =0 ( a b �0 ) tiếp tuyến chung , : d I1 , d R1 , d I , d R2 � I1 0; , R1 3, 2 � 2b c 1 � 3a 4b c 2b c 2b c 3a 4b c � � a b2 �� � � 2b c 3a 4b c � � 3a 4b c 2b c a b2 a b2 � �3a 4b c � a b2 � a 2b � �� Mặt khác từ (1) : 2b c a b � 3a 2b 2c � - Trường hợp : a=2b thay vào (1) : 2b c 4b b � 2b 5c b � 2 2 � 41b 4bc c 0. 'b 4c 41c 45c � � � 23 c � b � - Do ta có hai đường thẳng cần tìm : x y 1 � 2 x y x y 1 � 2 x y d : d1 : 2b 3a 2b 2b 3a - Trường hợp : c , thay vào (1) : � 2b a a b 2 2 a b a � b 0, a 2c b �c � � 2 2 � � 2b a a b � 3b 4ab � � � 4a � 4a a b , a 6c � b �c � � - Vậy có đường thẳng : d3 : x , d : x y Bài 11 Trong hệ tọa độ Oxy, viết phương trình hyperbol (H) dạng tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d : x y điểm A có hồnh độ Giải - Do A thuộc d : A(4;2) x2 y 16 - Giả sử (H) : 1 * � A � H � 1 1 a b a b - Mặt khác d tiếp xúc với (H) hệ sau có 12 nghiệm : � � � b x a y a 2b b x a x a 2b b a x 4a x 4a a b � � �� �� �� �y x �y x �y x Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG � 'a 4a b a 4a a 2b 4a 2b a 2b a 4b � a 2b b a � a b � � � 16b 4a a 2b b 8b 16 b2 x2 y � �2 � �2 � H : 1 - Kết hợp với (1) : � 2 a b2 a 8 �a b � � Bài 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Giải - Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm x-2y+1=0 �x y �21 13 � � B� ; � hệ : � �5 � �x y 14 - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: B A I D C x-7y+14=0 M(2;1) � 21 x t r � � u 1; 2 � BC : � �y 13 2t � - Ta có : R AC , BD R BIC 2R ABD 2 2R AB, BD uu r uu r uu r ur n1.n2 14 15 - (AB) có n1 1; 2 , (BD) có n2 1; 7 � cos = ur uur 50 10 10 n1 n2 r - Gọi (AC) có n a, b � cos AC,BD cos2 = a-7b �9 � cos � � 10 � � 50 a b 2 - Do : � a 7b 50 a b � a 7b 32 a b � 31a 14ab 17b 17 17 � a b � AC : x y 1 � 17 x 31y 31 31 - Suy : � � a b � AC : x y � x y � � 21 �x t � 14 � � 13 � - (AC) cắt (BC) C � �y 2t � t � C � ; � 15 �3 � � �x y � � �x y �x �� � A 7; - (AC) cắt (AB) A : � � �x y �y �x t - (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy (AD) : � �y 2t �x t � �98 46 � � t � D� ; � - (AD) cắt (BD) D : �y 2t 15 �15 15 � �x y 14 � - Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 em làm tương tự Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1: x + y + = d2: x + 2y – = Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải �x t , C thuộc d' �y 5 t �x 2m C: � �y m - B thuộc d suy B : � A(2;3) x+2y-7=0 G(2;0) - Theo tính chất trọng tâm : t 2m mt 2 0 3 mt m 1 � � �� - Ta có hệ : � t m 3 � t 1 � � xG 2, yG B x+y+5=0 C M r - Vậy : B(-1;-4) C(5;1) Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ phương u 3; , 20 15 13 x2 y � x y � d C; BG R 5 13 169 2 - Vậy đường trịn có tâm C(5;1) có bán kính R= � C : x y 1 25 (BG): Bài 14 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) Giải 2x y 1 � 12 x y 23 � - Đường (AB) cắt (BC) B � A 12x-y-23=0 Suy : B(2;-1) (AB) có hệ số góc k=12, đường M(3;1) thẳng (BC) có hệ số góc k'= , ta có : H 12 B C 2 2x-5y+1=0 tan B Gọi (AC) có hệ số góc m 12 m 5m tan C ta có : Vì tam giác ABC cân A tanB=tanC, hay ta có : 2m 2m 1 � 5m 4m 10 m � 5m � � 5m 2 m � � � � 5m 4m 10 2m � m 12 � - Trường hợp : m � AC : y x 3 � x y 35 - Trường hợp : m=12 suy (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại //AB ) - Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Giải : Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15 (C') có J(1;2) R'=5 Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( a b �0 ) - Khi ta có : h I , d 5a 12b c a 2b c 2 a b2 5a 12b c 3a 6b 3c � - Từ (1) (2) suy : 5a 12b c a 2b c � � 5a 12b c 3a 6b 3c � a 9b c � � � Thay vào (1) : a 2b c a b ta có hai trường hợp : � 2a b c � 2 2 2 - Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : 2a 7b 25 a b � 21a 28ab 24b a b2 15 1 , h J , d � 14 10 � 14 10 � 175 10 a � d :� x y 0 � � � 21 � 21 21 � � � Suy : � � 14 10 14 10 � 175 10 � a � d :� x y 0 � � 21 � � 21 21 � � � 2 2 - Trường hợp : c 2a b � 1 : 7b 2a 100 a b � 96a 28ab 51b Vô nghiệm ( Phù hợp : IJ 16 196 212 R R ' 15 20 400 Hai đường tròn cắt ) Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y 2x 8y Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Giải - Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 B 3 m m 5 �AB � 2 - Xét tam giác vuông IHB : IH IB � � 25 16 �4 � - IH khoảng cách từ I đến d' : IH H A I(-1;4) A K x+2y-5=0 B(2;-1) � m 1 25 H 3x-4y+27=0 C m 19 � d ' : x y 19 � 16 � m 20 � � m 21 � d ' : x y 21 � Bài 17 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao đường phân giác qua đỉnh A, C : (d1) : 3x – 4y + 27 = (d2) : x + 2y– 5=0 Giải Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG �x 3t , hay : �y 1 4t - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) vuông góc với (AH) suy (BC): � r x y 1 � x y n 4;3 4 �x 3t � - (BC) cắt (CK) C : � �y 1 4t � t 1 � C 1;3 �x y � r - (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến n a; b � Suy (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*) Gọi R KCB R KCA � cos = a+2b - Tương tự : cos = � a+2b 46 10 16 5 2 � a 2b a b 5 a b a b a � b y 3 � y � � � 3a 4ab � 4b � a � x 1 y 3 � x y � 3 � �y � � � �y �x 5 � � � x y 27 � 31 582 � � 31 � A 5;3 , A � � �� ; - (AC) cắt (AH) A : � � � x � � 4x 3y � 25 25 � � � 25 � � � � � x y 27 � � �y 582 � � 25 � 2 2 - Lập (AB) qua B(2;-1) điểm A tìm ( học sinh tự lập ) Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxy , xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC : x – y - = 0, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường trịn nội tiếptam giác ABC Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Giải - Đường thẳng (BC) cắt Ox B : Cho y=0 suy x=1 , B(1;0) Gọi A(a;0) thuộc Ox đỉnh góc vng ( a khác ) Đường thẳng x=a cắt (BC) C : a; a 1 - Độ dài cạnh : AB a , AC a � BC AB AC � BC a 2 - Chu vi tam giác : 2p= a a a a � p a 1 S 1 - Ta có : S=pr suy p= (*) Nhưng S= AB AC a a a 1 Cho nên r 2 � a 3 3 3 1 a 1 a 1 � a � � (*) trở thành : a 1 � - Trọng tâm G : � 1 2a � � x x G � �7 3 � � �G 3 �� �� � G1 � � ; � � 22 � � �y a 1 � G y � � G � 3 � Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG � 1 2a � 1 � x x G � G � 1 3 � � � 3 �� �� � G2 � � � ; � 2 � � �y a 1 � G y � � G � 3 � Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y đường thẳng d : x y Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 900 Giải - M thuộc d suy M(t;-1-t) Nếu tiếp tuyến vuông góc với MAIB hình vng ( A,B tiếp điểm ) Do AB=MI= IA =R = t - Ta có : MI A t 2t - Do : � t � M 2; � 2t 12 � t � � t � M 2; � 2 M x+y+1=0 * Chú ý : Ta cách khác - Gọi d' đường thẳng qua M có hệ số góc k suy d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) - Nếu d' tiếp tuyến (C) kẻ từ M d(I;d')=R � I(2;1) 2k kt t 1 k B 2 2 �� t k t 2� � � k � t 4t k t t k t 4t � � t 4t �0 � � 2 - Từ giả thiết ta có điều kiện : � � ' t t 4t t 4t �2 �t 4t 1 � �t 4t � t �2 � � � k1 k2 � � � 2 � k1; k2 � M - � � ' t 19 t � t � � � �2 � k1k2 1 � t 2 � Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho elip (E) : x y Tìm điểm N elip (E) cho : F1 Nˆ F2 600 ( F1 , F2 hai tiêu điểm elip (E) ) Giải x2 y � a 4, b � c � c - (E) : �x02 y02 � 3 � x0 ; MF2 x0 Xét tam giác F1MF2 theo hệ thức - Gọi N x0 ; y0 � E � �MF1 2 � �F1 F2 � hàm số cos : F1F2 MF12 MF22 2MF1MF2 cos600 � Trang 10 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) ... : HÌNH HỌC PHẲNG Bài 23 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 1 Viết phương trình tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm 16 (H) ngoại tiếp hình. .. nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG � 5m m2 25 � 25m m 25 m 16 m 16 - Ta có phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho... - Tính r cách : S BC.OA 5.3 2 2 r r 15 - Theo tính chất phân giác : Trang 16 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Bài 35 Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy